秦九韶算法 人教版高中数学必修3教材教案

2019-2020年高中数学秦九韶算法教案新课标人教版必修3(A)1．教学任务分析(1) 在学习中国古代数学中的算法案例的同(2) 时,进一步体会算法的特点。

(3) 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

2．重点与难点重点：理解秦九韶算法的思想。

难点：用循环结构表示算法步骤。

3．教学情境设计(1) 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。

学生提出一般的解决方案，如：x=5f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7PRINT“f=”；fEND教师点评：上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。

缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。

（2）有没有更高效的算法？师：计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计算x2.x，（x2.x）.x，(（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果。

(3)能否探索更好的算法，解决任意多项式的求值问题?教师引导学生把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？（4）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的?师：计算的过程可以列表表示为：最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算过程师：指出这种算法就是“秦九韶算法”，同时介绍秦九韶的生平。

(5)用秦九韶算法求多项式的值，与多项式的组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算?教师引导学生发现在求值的过程中，计算只与多项式的系数有关，让学生统计所进行的乘法和加法运算的次数。

中国古代数学中的算法案例秦九韶算法教学目标：知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。

过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。

情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数学开展的奉献，增强爱国主义情怀。

教学重点：秦九韶算法的计算方法和步骤。

教学难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。

授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、电子白板教学根本流程：改良算法,提高运算效率介绍秦九韶算法,求一般多项式的值用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结教学方法：“再创造〞活动学习、小组合作学习教学过程秦九韶计算多项式的方法一、教学引入：人物介绍——秦九韶秦九韶〔12021－1261年〕南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

字道古，汉族，自称鲁郡〔今山东〕人，生于普州安岳〔今属四川〕。

精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作?数书九章?，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要奉献。

二、新课探究:思考1：怎样求多项式f=23- 4231 ，当=2时的值呢？设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法算法1：f2=2*23- 4*223*21f2=2*2*2*2-4*2*23*21问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？结论：321=6次乘法运算，3次加法运算算法2：f=23- 4231步骤：1、提公因式，改写为：f= 2-4312、从内向外逐层计算，先计算2-4=2*2-4=0，再计算0*3=3,再计算3*1=7问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？结论：共做了3次乘法运算，3次加法运算。

通过具体实例引出--如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题？1、?数书九章?——秦九韶算法设f是一元n 次的多项式，f=a n n a n-1n-1a1a0首先多项式改写为：f=a n n a n-1n-1a1a0f=〔…a n a n-1a n-2〕…a1a0先算最内层的一次多项式的值，即v1=a n a n-1然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即V2=v1a n-2…Vn=v n-1a0提问：共计算多少次乘法，多少次加法？结论：共计算n次乘法，n次加法定义：这种将求一个n次多项式f的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。

算法案例秦九韶算法一、内容及其解析本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题二、教学目标及其解析目标定位知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久目标解析1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法三、问题诊断分析在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性四、教学支持条件分析的一般模式在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学五、教学过程设计问题一 什么事了解秦九韶算法？小问题1 怎样求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当=5时的值呢？设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算 小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？要求多项式的值，我们可以把它改写成：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+例题1 设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当=2时的函数值小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值课堂小结提问方式秦九韶算法计算多项式的值及程序设计上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩ 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现【程序框图】：六 目标检测 1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在2=x 的值，写出详细步骤七、教学反思1、学生还是不会分析运算次数的问题，应该给学生详细讲解2、学生在多项式11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++按照秦九韶算法写成标准形式是容易出错，且速度很慢，应教会学生快速的写法及检验方法3、应多给学生介绍一些有关秦九韶算法的背景知识，这样更能吸引学生的注意力和学习兴趣，另外介绍历史名人的大致成就，扩大学生的文化视野。

人教版高中数学必修3《秦九韶算法》说课稿(3)说课稿人教版高中数学必修3《秦九韶算法》说课稿各位老师：大家好!我叫___，来自__。

我说课的题目是《秦九韶算法》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。

下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用本节课是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生们在学习__古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。

学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。

2．教学的重点和难点重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。

）难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。

）二、教学目标分析1．知识与技能目标：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2．过程与方法目标：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

3．情感,态度和价值观目标通过对秦九韶算法的学习，了解__古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

三、教学方法与手段分析1．教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。

这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

四、学法分析探究秦九韶算法，对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算方法。

五、教学过程分析㈠创设情景在课的开始，给出一个例题：例1设计求多项式f(_)=2_5-5_4-4_33_2-6_7当_=5时的值的算法。

秦九韶算法 一、三维目标（a ）知识与技能了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

（b ）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

（c ）情态与价值观通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

充分认识信息技术对数学的促进。

二、教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点难点：1.秦九韶算法的先进性理解三、教学设计 （一）创设情景，揭示课题1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.2.对于求n 次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.（二）研探新知思考1 ).5(,12345)(2345f x x x x x x f 求已知+++++= 21325算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法思考2 ).3(,1234567)(234567f x x x x x x x x f 求已知+++++++= 18556 思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0=(a n x n-1+a n-1x n-2+…+a 2x+a 1)x+a 0=((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a 2)x+a 1)x+a 0=…=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a 1)x+a 0.思考4:对于f(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a 1)x+a 0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算v 1=a n x+a n-1.第二步，计算v 2=v 1x+a n-2.第三步，计算v 3=v 2x+a n-3.…第n 步，计算v n =v n-1x+a 0.思考5:上述求多项式f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x 0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？思考6:在秦九韶算法中，记v 0=a n ，那么第k 步的算式是什么？v k =v k-1x+a n-k (k=1，2，…，n)例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？求多项式43254321)(x x x x x f ++++=，在x=a 时的值.评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.作业：《习案》作业九 INPUT “x=”；a n=0y=0WHILE n <5y=y+(n+1)*a ∧n n=n+1WEND PRINT y END。

某某某某市科尔沁区大林镇高中数学 算法案例-秦九绍算法学案 新人教版必修3课题：1.3算法案例（2）——秦九韶算法【学习目标】1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2. 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

【学习重点】秦九韶算法的特点及其运算过程【学习难点】理解秦九韶算法的运算原理【问题导学】问题1：我们已经学过了多项式的计算，你如何计算多项式1)(2345+++++=x x x x x x f当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数？阅读课本34—37页，完成下列问题：问题2：在问题1中，一种方法是把5代入多项式()x f ，计算各项的值，然后把它们加起来。

另一种方法是先计算2x 的值，然后依次计算,2x x ⋅,)(2x x x ⋅⋅x x x x ⋅⋅⋅))((2的值，即 1)(2345+++++=x x x x x x f.1)())((2222+++⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=x x x x x x x x x x x试比较用这两种方法计算多项式()x f 当5=x 时的值时分别需要的计算种类及次数。

问题3：对于问题1中的多项式，我们可以用第三种方法计算。

把多项式变形为：1)(2345+++++=x x x x x x f 1)1)1)1)1((((+++++=x x x x x你统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数。

问题4：已知一个5次多项式为,5.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f试分别用上述三种方法求这个多项式当5=x 时的值，并统计它们进行的乘法和加法运算的次数。

注意：从上述三种方法中，你可以发现第三种方法乘法的运算次数更少了，对于计算机来说，这意味着运算效率提高了，这种方法就叫秦九韶算法。

问题5：你能利用秦九韶算法计算5次多项式0122334455)(a x a x a x a x a x a x f +++++=当0x x =时的值吗？至多需要多少次乘法运算和多少次加法运算？写出运算过程。

第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

1.3算法案例秦九韶算法（1）教学目标（a ）知识与技能了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。

（2）教学重难点重点：秦九韶算法的特点难点：秦九韶算法的先进性理解（3）学法与教学用具学法：探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。

根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。

我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。

显然少了6次乘法运算。

这种算法就叫秦九韶算法。

（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。

时案例2 秦九韶算法（一）导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.（三）应用示例例1 已知一个5次多项式为f （x ）=5x 5+2x 4+3.5x 3-2.6x 2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k -1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn Λ 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v. 程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.（四）知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．（五）拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.（六）课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.（七）作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.。

四川省古蔺县中学高中数学必修三：1.3.2 秦九韶算法与排序【教学目标】：（1）了解秦九韶算法的计算进程，并明白得利用秦九韶算法能够减少计算次数提高计算效率的实质。

（2）把握数据排序的原理能利用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，明白得数学算法与运算机算法的区别，明白得运算机对数学的辅助作用。

【教学重点】秦九韶算法的特点及其程序设计，两种排序法的排序步骤及其程序设计（重点放在循环语句的应用上）【教学进程】秦九韶计算多项式的方式例1、设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。

个别学生提出一样的解决方案，如：x=5y=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7PRINT“y=”；yEND提问：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？学生答：上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算，优势是简单、易懂。

缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。

提问：计算x的幂时，能够利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计算，（）.x， (（）.x).x的值,如此计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?学生答：上述算法一共做了解4次乘法运算，5次加法运算。

结论：第二种做法与第一种做法相较，乘法的运算次数减少了，因此能提高运算效率，而且关于运算机来讲，做一次乘法所需的运算时刻比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地取得结果。

咱们把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7从内到外，若是把每一个括号都看成一个常数，x的系数依次是什么？用图表能够表示为：多项式x系数 2 -5 -4 3 -6 7 运算10 25 105 540 2670 +变形后x的"系数" 2 5 21 108 534 2677 *5最后的系数2677即为所求的值,让学生描述上述计算进程。

备课人授课时间课题§1.3.2算法案例—秦九韶算法课标要求1.了解秦九韶算法的计算过程，理解利用秦九韶算法减少计算次数提高计算效率的实质。

2.理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。

教学目标知识目标了解秦九韶算法的计算过程；了解数学计算转换为计算机计算的途径。

技能目标模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算机算法与数学算法的区别。

情感态度价值观通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

重点理解秦九韶算法的思想。

难点用循环结构表示算法的步骤。

教问题与情境及教师活动学生活动学 过 程 及 方 法一．复习引入 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x 5+x 4+x 3+x 2+x+1当x=5时的值呢？思考：若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？共需要10次乘法运算，5次加法运算。

我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。

显然少了6次乘法运算。

这种算法就叫秦九韶算法。

二．研探新知111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--1教问题与情境及教师活动学生活动1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------学 过 程 及 方法 思考2：对于由内向外逐层计算一次多项式 的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算11-+=n n a x a v . 第二步， 第三步， …第n 步，计算01a x v v n n +=-思考3：上述求多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求)(0x f 的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0的求值问题。

1.3算法案例：秦九韶算法1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）A 、164B 、3767C 、86652D 、851692、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x)23456++++++x x x x x ＝ 当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ）A 、6，6B 、5，6C 、5，5D 、6，53、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。

4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（ ）A 、3210a a a a +++的值B 、300201032x a x a x a a +++的值 C 、303202010x a x a x a a +++的值 D 、以上都不对5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++,如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）答案：1、D2、A3、解：13)5)2.7)5.3)8)123((((()(-++-++=x x x x x x x f2.243168)6(2.2431681362.40530562.67542.765.11245.36188863012635645342312010==-⨯==+⨯==+⨯==-⨯==+⨯==+⨯==f v v v v v v v v v v v v v4、C5、n ＋3)（2）2n ；（3）∵0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+，∴P0（2）=1，P1（2）=2P0（2）+2=4；P2（2）=2P1（2）+3=11；P3（2）=2P2（2）+4=26；P4（2）=2P3（2）+5=57；P5（2）=2P4（2）+6=120。

《秦九韶算法》说课稿各位老师：大家好!我叫***，来自**。

我说课的题目是《秦九韶算法》，内容选自于新课程人教A 版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。

下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用本节课是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生们在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。

学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。

2．教学的重点和难点重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。

）难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。

）二、教学目标分析1．知识与技能目标：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2．过程与方法目标：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

3．情感,态度和价值观目标通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

三、教学方法与手段分析1．教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。

这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

四、学法分析探究秦九韶算法，对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算方法。

五、教学过程分析㈠创设情景在课的开始，给出一个例题：例1 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法。

（学生自己提出一般的解决方案：将x=5代入多项式进行计算即可）然后提出问题1：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？学生回答后教师点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。