2019年高考数学快速命中考点精练【6】及答案解析

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新，稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了没有区分度的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．2019年全国卷对必修5解三角形的考查，通常会有一道大题，相对来说难度不大，有时也会应用到圆锥曲线或立体几何的计算中．线性规划根据新课标的要求，考查越来越少，今年只有全国Ⅱ、Ⅲ卷文科进行了考查．基本不等式往年很少单独考查，经常综合到其他知识当中，但今年的全国Ⅰ卷文、理的第23题考查了基本不等式，取代了绝对值不等式．全国卷对数列的考查难度不大，通常都是数列基本量的计算，今年全国Ⅰ卷中概率大题不但成了压轴，同时还综合了数列的考查．自主命题的省市对数列的考查难度相对大一些，尤其在江苏卷、北京理科中，数列的考查难度较大，经常结合数列知识进行创新．下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修5所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.2. (2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析由题意知⎩⎨⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C. 3. (2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n 答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.4．(2019·浙江高考)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10>10B ．当b ＝14时，a 10>10 C ．当b ＝－2时，a 10>10 D ．当b ＝－4时，a 10>10 答案 A解析 解法一：考察选项A ，a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ＝a 2n ＋12，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －122＝a 2n －a n ＋14≥0，∴a 2n ≥a n －14. ∵a n ＋1＝a 2n ＋12>0，∴a n ＋1≥a n －14＋12＝a n＋14>a n ，∴{a n }为递增数列．因此，当a 1＝0时，a 10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a 1＝0，a 2＝a 21＋12＝12，a 3＝a 22＋12＝34，a 4＝a 23＋12＝1716，当n >1时，a n ＋1>a 2n ，∴lg a n ＋1>2lg a n ，∴lg a 10>2lg a 9>22·lg a 8>…>26lg a 4＝lg a 644，∴a 10>a 644＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11664＝C 064＋C 164⎝ ⎛⎭⎪⎫1161＋C 264⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＋…＋C 6464⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋4＋7.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝12.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664>10，因此符合题意，故选A. 解法二：由已知可得a n ＋1－a n ＝a 2n ＋b －a n ＝a n －122＋b －14.对于选项B ，当a ＝12，b ＝14时，a n ＝12恒成立，所以排除B ；对于选项C ，当a ＝2或－1，b ＝－2时，a n ＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D ，当a ＝1±172，b ＝－4时，a n ＝1±172恒成立，所以排除D.故选A.5．(2019·浙江高考)若实数x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 答案 C 解析如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.6．(2019·北京高考)若若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7 答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示． 设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当直线z ＝3x ＋y 过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C. 7．(2019·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当直线z ＝－4x ＋y 过点A (－1，1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.8．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②p ∨q ③p ∧q ④p ∧q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A 解析解法一：画出可行域如图中阴影部分所示． 目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．故选A.解法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．故选A.二、填空题9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案3π4解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴asin A＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.10．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案63解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又∵b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×1 2，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×43×23×32＝6 3.11．(2019·北京高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________．答案0－10解析∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴a n＝a1＋(n－1)d＝n－5.令a n<0，则n<5，即数列{a n}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．∴S n的最小值为S4＝S5＝－10.12．(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.13．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S5＝________. 答案 4解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4.14．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________. 答案 58解析 设等比数列的公比为q ，又a 1＝1，则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12， ∴S 4＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－－1241－－12＝58. 15．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案 1213解析 由a 24＝a 6，得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.∴S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.16．(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________． 答案 －3 1解析 x ，y 满足的平面区域如图所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎨⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0， 即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.18．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．答案 43解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0. ∵x ＋2y ＝5，∴(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy 时取等号．∴(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为4 3.三、解答题19．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin （2B ＋π6）的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ， 得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.20．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2＝b sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B2＝30°，所以B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.21．(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值； (2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即23＝(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c ，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ， 所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255. 因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.22．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12. (1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32. 由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.23．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24.24．(2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)． 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )． 解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.25．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.26．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．27．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )． 又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1， 所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.28．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎨⎧ 3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎨⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2nb n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n (n －1)2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3(1－3n )1－3＋n ×3n ＋1＝(2n －1)3n ＋1＋32.所以，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n －1)3n ＋1＋32＝(2n －1)3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *)．29．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎨⎧1，2k <n <2k ＋1，b k，n ＝2k，其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式； ②求∑i ＝12na i c i (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意得⎩⎨⎧ 6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2， 故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n .所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)①a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以，数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. ②∑i ＝12na i c i ＝∑i ＝12n[a i ＋a i (c i －1)]＝∑i ＝12n a i ＋∑i ＝1na 2i (c 2i －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n×4＋2n (2n －1)2×3＋∑i ＝1n (9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1－4n )1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．30．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )． 解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2)． 所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)证明：c n ＝a n2b n ＝2n －22n (n ＋1)＝n －1n (n ＋1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k <2k . 那么，当n ＝k ＋1时， c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k(k ＋1)(k ＋2)<2k＋1k＋1<2k＋2k＋1＋k＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋c n<2n对任意n∈N*成立．31．(2019·北京高考)已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m)，若a i1<a i2<…<a im，则称新数列a i1，a i2，…，a im为{a n}的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列．(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q，求证：a m0<a n0；(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n}的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s－1，且长度为s末项为2s－1的递增子列恰有2s －1个(s＝1,2，…)，求数列{a n}的通项公式．解(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明：设长度为q，末项为a n0的一个递增子列为a r1，a r2，…，a rq－1，a n0.由p<q，得a rp≤a rq－1<a n0.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为a m0，又a r1，a r2，…，a rp是{a n}的长度为p的递增子列，所以a m0≤a rp.所以a m0<a n0.(3)由题设知，所有正奇数都是{a n}中的项．先证明：若2m是{a n}中的项，则2m必排在2m－1之前(m为正整数)．假设2m排在2m－1之后．设a p1，a p2，…，a pm－1，2m－1是数列{a n}的长度为m，末项为2m－1的递增子列，则a p1，a p2，…，a pm－1，2m－1,2m是数列{a n}的长度为m＋1，末项为2m 的递增子列．与已知矛盾．再证明：所有正偶数都是{a n}中的项．假设存在正偶数不是{a n}中的项，设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k－1之前(k＝1,2，…，m－1)，所以2k和2k－1不可能在{a n}的同一个递增子列中．又{a n }中不超过2m ＋1的数为1,2，…，2m －2,2m －1，2m ＋1，所以{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2(m －1)个×1×1＝2m－1<2m .与已知矛盾．最后证明：2m 排在2m －3之后(m ≥2且m 为整数)．假设存在2m (m ≥2)，使得2m 排在2m －3之前，则{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾．综上，数列{a n }只可能为2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…. 经验证，数列2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…符合条件． 所以a n ＝⎩⎨⎧n ＋1，n 为奇数，n －1，n 为偶数.32．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”． (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M-数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M-数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎨⎧ a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎨⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M-数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ).当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得 b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n2(b n －b n －1)，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M-数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)． 当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln xx (x >1)，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33， 所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k ≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.33．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1， 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.由Ruize收集整理。

2[2019 •朝阳期末]如图，三棱柱 ABC -A|B I G 的侧面BCC i B i 是平行四边形，B® _C2，平面 AGCA _平面BCC i B i ，且E ，F 分别是BC ，的中点.(1) 求证：BC^A ,C ;(2) 求证：EF// 平面 A 1C 1CA ；AP(3) 在线段AB 上是否存在点P ,使得BG _平面EFP ?若存在，求出竺的值；若不存在,AB 请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)当点P 是线段AB 的中点时，BG _平面EFP •此BG _GC ,又平面 A&CA _平面BCC 1B 1，且 平面 AGCA"平面••• BC 1 _平面 ACC 1A 1 • 又••• A 1C 平面 AGCABG _AC •(2)取AQ 中点G ，连FG ，连GC •1大题精做 ■■■■■平行、垂直关系证明■时, AP AB【解析】(1 )1在厶A1B1C1 中，••• F , G 分别是A1B1, AG 中点，• FG// BQ，且FG =丄BG •1在平行四边形 BCC 1B 1中，••• E 是BC 的中点，••• EC // B 1C 1，且EC B 1C 1 .••• EC//FG ，且EC =FG .二四边形 FECG 是平行四边形.二 FE//GC .又••• FE 二平面 A 1C 1CA , GC 二平面 AGCA ,: EF// 平面 AGCA .(3)在线段 AB 上存在点P ，使得B® _平面EFP .取AB 的中点P ，连PE ，连PF .•/ BG _平面 ACC 1A 1 , AC 二平面 ACC 1A , CG 二平面 ACC 1A 1 BG _AC , BC 1 _ CG .在厶ABC 中，I P , E 分别是 AB , BC 中点，• PE//AC . 又由（2）知 FE//CG ,• BG _ PE , BG _ EF .由 PE^EF 二E 得 BG _平面 EFP .AB _ AD , AB _ BC .故当点P 是线段AB 的中点时,BG _平面EFP .此时, APABE 1. [2019 •无锡期末]在四棱锥P-ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB ,1(1) 求证：BC//平面PAD ;(2) 求证：平面PAD —平面ABCD .2. [2019 •海淀期末]在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD _平面PCD，底面ABCD为梯形,AB// CD , AD _ DC .(1) 求证：AB//平面PCD ;(2) 求证：AD _平面PCD ;(3) 若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F , MF与PC都不平行.3. [2019 •大连期末]如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形n•AEB 石，AB〃CD，AB_BC，AB^CDPBC .(1) 求证：AB _DE ;(2) 求证：平面AED_平面BCE ; ABE所在的平面互相垂直.(3)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD ?若存在，求出EFEA 的值；若不存在，说明理由.答案与解析1. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）四边形ABCD中，I AB_AD , AB _ BC ,••• BC//AD , BC在平面PAD夕卜，二BC//平面PAD .（2）作DE _ PA于E ,•••平面PAD _平面PAB，而平面PADR平面PAB^PA,• DE _平面PAB ,• DE _AB ,又AD _ AB , DE Pl AD =D , • AB _ 平面PAD ,又AB在平面ABCD内，.••平面PAD _平面ABCD .2. ［答案】(1)见证明；(2)见证明；(3)见证明.【解析】(1)v AB//CD , CD 平面PCD , AB 二平面PCD , • AB// 平面PCD .(2)法一：•••平面ABCD _平面，平面ABCDd平面PCD二CD ,AD _CD , AD 平面ABCD , • AD _平面PCD .法二：在平面PCD中过点D作DH _CD，交PC于H ,•••平面ABCD_平面，平面ABCD"平面PCD =CD , DH 平面PCD ,••• DH —平面ABCD ,••• AD平面ABCD ,二DH _ AD ,又AD _ PC , PC 门DH =H ,••• AD _平面PCD .(3)法一：假设存在棱BC上点F ,使得MF II PC ,连接AC，取其中点N ,在厶PAC中，T M , N分别为PA, CA的中点，• MN II PC ,•••过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，• MF与MN重合，•••点F在线段AC 上, • F是AC , BC的交点C ,即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，•••假设错误，问题得证.法二：假设存在棱BC上点F，使得MF II PC，显然F与点C不同，•P , M , F , C四点在同一个平面:-中，•FC 二x , PM 二：£,••• B FC 二,A PM 二、-,•:-就是点A , B , C确定的平面ABCD，且P :,这与P-ABCD为四棱锥矛盾，•假设错误，问题得证._ _ EF 13. 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)存在点F ,且时，有EC//平面FBD .EA 3【解析】(1)证明：取AB中点0,连结EO , DO .由等腰直角三角形ABE可得，T EB=EA , EA_EB , • EO _ AB ,•••四边形ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC , AB _ BC ,•四边形OBCD 为正方形，• AB_OD , ODD O E=O, AB _ 平面ODE ,•AB _ED .(2)T平面ABE_ 平面ABCD，平面ABE「| 平面ABCD=AB，且AB _ BC ,BC _ 平面ABE ,••• BC _AE , 又••• EA_EB , BC“BE=B , • AE _平面BCE , AE 平面AED , •平面AED _平面BCE .EF 1(3)解：存在点F ,且时，有EC II平面FBD，连AC交BD于M ,EA 3•••四边形ABCD为直角梯形，AB =2CD =2BC ,••• CE 二平面FBD , FM 平面FBD ,__ 一一EF 1EC〃平面FBD.即存在点F，且ET3时，有EC〃平面FBD.EF _ 1 FA ~2CM _ EFIM A "FACE I FM ,CM _CD _1MA 一AB 一2。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

泄露天机——2018年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1.【答案】B2.【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。

3.【答案】C4.【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。

复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。

5.【答案】C6.【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。

作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。

单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。

一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。

7.【答案】B8.【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。

程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。

9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x 轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。

艺考之路·考点快速过关数学参考答案第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算要点梳理1。

∈∉⊆、⊈=2。

{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B｝3。

{x｜x∈S且x∉A｝激活思维1。

③④⑤⑥2。

⌀Z3.｛(1,2）｝4. 4真题演练1。

｛1，8｝2.｛2，4，5}能力提升例1【答案】2例2【解答】由题意知A=｛—4，0｝,由A∩B=B，得B⊆A,所以B=⌀，{0}，｛-4｝或{—4,0}.若B=｛-4,0｝，则0,—4是方程x2+2(a+1）x+a2—1=0的两个根，所以{Δ>0,a2-1=0,(-4)2+2(a+1)(-4)+a2-1=0,解得a=1；若B=｛0},则0是方程x2+2(a+1）x+a2—1=0的两个等根,所以{Δ=0,a2-1=0,解得a=-1;若B=｛-4｝，则-4是方程x2+2（a+1）x+a2—1=0的两个等根,所以{Δ=0,(-4)2+2(a+1)(-4)+a2-1=0,无解;若B=⌀，则Δ=4（a+1）2-4(a2—1）〈0,解得a<—1。

综上，实数a的取值范围是{a｜a≤—1或a=1｝.当堂反馈1.｛—2}2. 3第2课四种命题和充要条件要点梳理1.若非p则非q 若q则p 若非q则非p 逆否命题否命题2.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要激活思维1。

若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行若两条直线不平行，则这两条直线的斜率不相等2。

23。

（1） 充要条件 （2) 既不充分也不必要条件 （3） 必要不充分条件 (4) 充分不必要条件 4。

[0,12] 【解析】因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件。

又因为p :x ∈[12,1]，q ：x ∈［a ，a +1］,所以有[12,1]⫋［a ，a +1］,所以{a ≤12,a +1≥1,且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故实数a 的取值范围为[0,12]。

【备战2018】（湖北版）高考数学分项汇编专题06 数列（含解析）一．选择题1. 【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】在等比数列｛a n｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9＝（）A. 81B. 27527C. 3D. 2432.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设,Rx∈记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{215+}，[215+],215+（）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】试题分析：可分别求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，51[]12+=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.13784.【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A.12+B. 12-C. 322+D 322-5. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ） A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升 【答案】B 【解析】试题分析：由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+-⨯+=⨯+4)2566()2899(32344111d a d a d a ，解得113a =22，d=766，所以易求a 5=6766. 考点：本题数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题. 6.【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ） A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④【答案】C二．填空题1. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项； （Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k - 10631···三．解答题1. 【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n . 【解析】（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故111112=2,{}.44n n n n n n b b q b b ---=⨯=即的通项公式为（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T2. 【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A．1)- B．1) C．(1) D．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

3．（福建卷）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D.4．（广东卷）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--， （1）当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z ，故选D.5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。

若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是( )x +yA.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππD.[0,]2π解析：圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴2()4()1a ab b ++≤0，∴ 2()2ab --+≤()a k b=-，∴ 22k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B.7．（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B . 18 C. 26 D . 25 解析：圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014=-+y x 的距离=2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C. 8．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -++=与相切1=，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

回扣6立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4.用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量). (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为2的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. 2B. 3C.2 3D.3 2答案 B解析由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12＋(2)2＝ 3.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3答案 B解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V＝V三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).4.直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()A.AB1∥平面BDC1B.A1C⊥平面BDC1C.直三棱柱的体积V＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∴BD ⊥A 1C . 又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确. V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确.此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.6.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B7.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________. 答案52π3解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 8.已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条.答案 6解析 如图，连接EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ， 可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF . 其中能成为增加条件的序号是________. 答案 ①③解析 由题意得，AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面. ①中，∵AC ⊥β，EF ⊂β，∴AC ⊥EF ，又∵AB ⊥α，EF ⊂α， ∴AB ⊥EF ，∵AB ∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故①正确； ②中，由①可知，若BD ⊥EF 成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.答案π6解析如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，∵AB＝1，BC＝3，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB 1C 1C 所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边长都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ，答案不唯一) 解析 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13.在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN∥平面PDC；(3)求二面角A—PC—B的余弦值.(1)证明因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC，又因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，P A⊥BD，又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.(2)证明在正三角形ABC中，BM＝23，在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，，所以AD＝CD，又∠CDA＝120°，所以DM＝233所以BM∶MD＝3∶1，在等腰直角三角形P AB中，P A＝AB＝4，PB＝42，所以BN∶NP＝3∶1，BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)解因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所，0)，P(0，0，4).以B(4，0，0)，C(2，23，0)，D(0，433由(1)可知，DB→＝(4，－43，0)为平面P AC的一个法向量，3→＝(2，23，－4)，PB→＝(4，0，－4)，PC设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2019年高考真题理科数学解析分类汇编6 平面向量1.【2019高考重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，+（A （B （C ） （D ）10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B.2.【2019高考浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b | 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．3.【2019高考四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.||||b a =为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a ba b =||||b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.4.【2019高考辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析】一、由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0,所以a ⊥b ，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

回扣6立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4.用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量). (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为2的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. 2B. 3C.2 3D.3 2答案 B解析由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12＋(2)2＝ 3.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3答案 B解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V＝V三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).4.直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()A.AB1∥平面BDC1B.A1C⊥平面BDC1C.直三棱柱的体积V＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∴BD ⊥A 1C . 又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确. V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确.此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.6.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B7.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________. 答案52π3解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 8.已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条.答案 6解析 如图，连接EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ， 可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF . 其中能成为增加条件的序号是________. 答案 ①③解析 由题意得，AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面. ①中，∵AC ⊥β，EF ⊂β，∴AC ⊥EF ，又∵AB ⊥α，EF ⊂α， ∴AB ⊥EF ，∵AB ∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故①正确； ②中，由①可知，若BD ⊥EF 成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.答案π6解析如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，∵AB＝1，BC＝3，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB 1C 1C 所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边长都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ，答案不唯一) 解析 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13.在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN∥平面PDC；(3)求二面角A—PC—B的余弦值.(1)证明因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC，又因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，P A⊥BD，又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.(2)证明在正三角形ABC中，BM＝23，在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，，所以AD＝CD，又∠CDA＝120°，所以DM＝233所以BM∶MD＝3∶1，在等腰直角三角形P AB中，P A＝AB＝4，PB＝42，所以BN∶NP＝3∶1，BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)解因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所，0)，P(0，0，4).以B(4，0，0)，C(2，23，0)，D(0，433由(1)可知，DB→＝(4，－43，0)为平面P AC的一个法向量，3→＝(2，23，－4)，PB→＝(4，0，－4)，PC设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。

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在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-==+-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.2221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626511052x x y +-==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．总结：本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A.B.C. D.【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6 B. π3 C. 2π3D. 5π6 【答案】B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 总结：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ． 总结：秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =- D. 2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，2455410,4240052S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 总结：本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y += 【答案】B 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③【答案】C 【分析】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．总结：化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π 【答案】D 【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D. 【详解】,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

（13套）2019年高考数学重点知识汇总章节练习题附答案（548页）目录.第一章集合与常用逻辑用语 (4)考纲链接 (4)1．1集合及其运算 (5)1．2命题及其关系、充分条件与必要条件 (11)1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (17)单元测试卷 (22)第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 (26)2．1函数及其表示 (27)2．2函数的单调性与最大(小)值 (38)2．3函数的奇偶性与周期性 (44)2．4二次函数 (52)2．5基本初等函数(Ⅰ) (62)2．6函数与方程 (75)2．7函数的图象 (80)2．8函数模型及其应用 (86)单元测试卷 (94)第三章导数及其应用 (99)3．1导数的概念及运算 (100)3．2导数的应用(一) (106)3．3导数的应用(二) (114)3．4定积分与微积分基本定理 (121)单元测试卷 (127)第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) (132)4．1弧度制及任意角的三角函数 (133)4．2同角三角函数的基本关系及诱导公式 (140)4．3三角函数的图象与性质 (146)4．4三角函数图象的变换 (155)4．5三角函数模型的应用 (164)4．6三角恒等变换 (171)4．7正弦定理、余弦定理及其应用 (181)单元测试卷 (192)第五章平面向量与复数 (198)5．1平面向量的概念及线性运算 (199)5．2平面向量的基本定理及坐标表示 (207)5．3平面向量的数量积 (214)5．4平面向量的应用 (225)5．5复数的概念 (233)5．6复数的四则运算及几何意义 (238)第六章数列 (247)6．1数列的概念与简单表示法 (248)6．2等差数列 (256)6．3等比数列 (265)6．4数列求和及应用 (273)单元测试卷 (283)第七章不等式 (289)7．1不等关系与不等式 (290)7．2一元二次不等式及其解法 (295)7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (305)7．4基本不等式及其应用 (314)单元测试卷 (321)第八章立体几何 (326)8．1空间几何体的结构、三视图和直观图 (327)8．2空间几何体的表面积与体积 (335)8．3空间点、线、面之间的位置关系 (342)8．4空间中的平行关系 (349)8．5空间中的垂直关系 (356)8．6空间向量及其加减、数乘和数量积运算 (365)8．7空间向量的坐标表示、运算及应用 (373)单元测试卷 (388)第九章平面解析几何 (395)9．1直线与方程 (396)9．2两条直线的位置关系 (403)9．3圆的方程 (410)9．4直线、圆的位置关系 (416)9．5曲线与方程 (426)9．6椭圆 (432)9．7双曲线 (444)9．8抛物线 (453)9．9直线与圆锥曲线的位置关系 (460)单元测试卷 (473)第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 (478)10．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (479)10．2排列与组合 (484)10．3二项式定理 (492)10．4随机事件的概率 (498)10．5古典概型 (504)10．6几何概型 (510)10．7离散型随机变量及其分布列 (519)10．8独立事件与二项分布及其应用 (525)10．9离散型随机变量的均值与方差 (535)10．10正态分布 (543)单元测试卷 (549)第十一章统计 (554)11．2用样本估计总体 (560)11．3变量间的相关关系与线性回归方程 (568)11．4统计案例 (577)单元测试卷 (586)第十二章算法初步、推理与证明 (592)12．1算法初步 (593)12．2合情推理与演绎推理 (604)12．3直接证明与间接证明 (610)12．4数学归纳法 (615)单元测试卷 (620)第十三章选考内容 (626)13．1坐标系与参数方程 (627)13．2不等式选讲 (639)单元测试卷 (648).第一章集合与常用逻辑用语考纲链接1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，_______________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________．(2)集合与集合之间的关系： 表示关系文字语言 符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同 __________⇔A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素________或________ 真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素________或________ 空集 空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A ，∅B(B ≠∅)结论：集合{a 1，a 2，…，a n }的子集有______个，非空子集有______个，非空真子集有______个．4．两个集合A 与B 之间的运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号表示若全集为U ，则集合A 的补集记为________Venn 图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A ∩B________A ；②A ∩B________B ； ③A ∩A ＝________； ④A ∩∅＝________； ⑤A ∩B________B ∩A .(2)①A ∪B________A ; ②A ∪B________B ； ③A ∪A ＝________； ④A ∪∅＝________； ⑤A ∪B________B ∪A .(3)①∁U (∁U A )＝________；②∁U U ＝________； ③∁U ∅＝________；④A ∩(∁U A )＝____________； ⑤A ∪(∁U A )＝____________；(4)①A ∩B ＝A ⇔________⇔A ∪B ＝B ； ②A ∩B ＝A ∪B ⇔____________.(5)记有限集合A ，B 的元素个数为card(A )，card(B )，则：card(A ∪B )＝__________________________； card[∁U (A ∪B )]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性 (3)列举法 描述法2．N N *(N ＋) Z Q R C 3．(1)属于 a ∈A 不属于 a ∉A(2)A ⊆B 且B ⊆A A ⊆B B ⊇A A B B A 非空集合 2n 2n －1 2n －24．A ∪B A ∩B ∁U A {x |x ∈A 或x ∈B } {x |x ∈A 且x ∈B } {x |x ∈U 且x ∉A } 5．(1)①⊆ ②⊆ ③A ④∅ ⑤＝ (2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A ＝B(5)card(A )＋card(B )－card(A ∩B )card(U )－card(A )－card(B )＋card(A ∩B )(2016·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{－1，0，1}D ．{－1，0，1，2} 解：由A ＝{x |－2＜x ＜2}，得A ∩B ＝{－1，0，1}．故选C .(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(－∞，1]解：因为M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x≤0}＝{x |0＜x ≤1}，所以M ∪N ＝[0，1]．故选A .(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)解：易知A ＝(0，＋∞)，B ＝{x |－1＜x ＜1}，所以A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C .设A ＝{1，4，2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x 的值为________．解：当x 2＝4时，x ＝±2，若x ＝2，则不满足集合中的元素的互异性，所以x ≠2；若x ＝－2，则A ＝{1，4，－4}，B ＝{1，4}，满足题意．当x 2＝2x 时，x ＝0或2(舍去)，x ＝0满足题意，所以x ＝0或－2.故填0或－2.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解：A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，则其对称轴x ＝a ＞0，由对称性知，若A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，得34≤a ＜43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43.类型一 集合的概念(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解：由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故选A .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则log 2 018⎝⎛⎭⎪⎫m ＋52的值为________． 解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)．此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32，lo g 2 018⎝⎛⎭⎪⎫m ＋52＝lo g 2 0181＝0.故填0.点拨：(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解：令x ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x ＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z ，即集合中有6个元素．故选B . (2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a2 017＋b2 017＝________.解：由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，所以a 2 017＋b 2 017＝－1.故填－1.类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}． (1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围；(3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5， 解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]． 点拨：本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5， 可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)因为x ∈R ，且A ∩B ＝∅，所以当B ＝∅时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件；当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得m ＞4. 综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三 集合的运算(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D ．(－∞，1] 解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13，所以A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：因为U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}．又因为B ＝{1，2}，所以{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.故填－1，1. 点拨：(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助V e nn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用V e nn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅的问题时，易忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x >1，N ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．[－1，1]D ．(1，3)解：因为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x >1＝{x |x >1}，则∁R M＝{x |x ≤1}，且N ＝{x |－1≤x ≤3}，所以N ∩(∁R M )＝[－1，1]．故选C .(2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( )A ．{0，1，2}B ．{0，1，3}C ．{0，2，3}D ．{1，2，3}解：因为M ∩N ＝{1}，所以lo g 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1.所以M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D .(3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解：|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，由A ∩B ＝∅知，a ＋1≤1或a －1≥5，解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解：作出Ve nn 图．当M ∩P ≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.点拨：这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助V e nn图将问题简单化．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：因为2 017＝403×5＋2，所以2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，所以－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b ＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.点拨：(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．对任意两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d ；运算“”为：(a，b )(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“”为：(a，b )(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1，2)(p，q)＝(5，0)，则(1，2)(p，q)＝() A．(0，－4) B．(0，2)C．(4，0) D．(2，0)解：因为(1，2)(p，q)＝(p－2q，2p＋q)＝(5，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p－2q＝5，2p＋q＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p＝1，q＝－2，所以(1，2)(p，q)＝(1＋p，2＋q)＝(2，0)．故选D.1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Ve nn图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁U B ⊆∁U A以及A∩(∁U B)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x ＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C 中至少有一个不是空集，求a的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a＜0，1－4（2a－1）≤0，a＞4a－9，解得58≤a＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C .2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}解：因为N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}， 所以M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．[0，1)B ．(0，2]C ．(1，2)D ．[1，2] 解：由题意得∁R P ＝(0，2)，所以(∁R P )∩Q ＝(1，2)．故选C .4．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1，1)，(1，1)} 解：因为A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0，2]．故选B .5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________.解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．8．已知集合A ＝{2，3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为________．解：当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ⊆{2，3}可得6m ＝2或6m ＝3，解得m ＝3或m＝2，综上可得实数m ＝0或2或3.故填0或2或3.9．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥－14.10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，所以∁I M ＝{x ∈R |x ≠－3}，所以(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，因为B ∪A ＝A ，所以B ⊆A ，所以B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，所以a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2， 解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝（－3）2－8a ＜0， 所以a ＞98， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，A 中只有一个元素23；当a ≠0时，Δ＝0，得a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，所以当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |a ＝0或a ≥98.(2016·北京)设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2)．如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．(1)对数列A ：－2，2，－1，1，3，写出G (A )的所有元素；(2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G (A )≠∅.解：(1)G (A )的元素为2和5.(2)证明：因为存在a n 使得a n ＞a 1，所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}≠∅.记m ＝min {i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k ＜m ，a k ≤a 1＜a m . 因此m ∈G (A )，从而G (A )≠∅.1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p ，则q ”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p ⇒q ，则称p 是q 的______，q 是p 的_________________________________________．(2)如果________，且________，那么称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的__________，记作________．(3)如果p ⇒q ，但q p ，那么称p 是q 的________条件．(4)如果________，但________，那么称p 是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠1．(1)判断真假 判断为真 判断为假(2)互逆命题 (3)互否命题 (4)互为逆否命题(5)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p2．(1)(2)①相同 ②没有关系 3．(1)充分条件 必要条件(2)p ⇒q q ⇒p 充要条件 p ⇔q (3)充分不必要(4)p q q ⇒p (5)p q q p下列语句为命题的是( ) A ．对角线相等的四边形 B ．a ＜5C ．x 2－x ＋1＝0D ．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 解：只有选项D 是可以判断真假的陈述句，故选D.下列命题中是真命题的是( )A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a ＞1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立解：对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；对于B ，当a ＝－1，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．故选D .已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解：当a >b >0时，因为y ＝lo g 12x 为减函数，所以lo g 12a <lo g 12b ，从而lo g 12a <lo g 12b ＋1，因此原命题正确，故逆否命题正确．令a ＝3，b ＝4，则lo g 12a <lo g 12b ＋1成立，但a >b 不成立，故逆命题为假命题，从而否命题为假命题．故选C .命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是____________________．解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故填若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解：因为x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，得m ≤14，所以“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．故填充分不必要．类型一 四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ；(3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3. 解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB ＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC .这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0.否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3.逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题． 点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． (3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数． 否命题：非有理数不都能写成分数．类型二 充要条件的判定指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0；(3)非空集合A ，B 中，p ：x ∈(A ∪B )，q ：x ∈B ； (4)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6. 解：(1)在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．(2)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q p ，故p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈(A ∪B )不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈(A ∪B )，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)易知綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ⇒綈p ，但綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．点拨：充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断； (2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解法一：(定义法)若sin α＝12，则cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，充分性成立；反之，若cos 2α＝12，则有1－2sin 2α＝12，得sin 2α＝14，sin α＝±12，必要性不成立． 因此，“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件．解法二：(集合法)令A ＝{α|p (α)}，B ＝{α|q (α)}，则可得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|si nα＝12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos 2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|1－2si n 2α＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|si nα＝±12.显然，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A .(2)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为綈p 是q 的必要而不充分条件，所以綈q 是p 的必要而不充分条件，从而得出p 是綈q 的充分而不必要条件．故选A .类型三 充要条件的证明与探求“数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)”是“数列{a n }是等差数列”的什么条件？解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B ，适合a n ＝2An ＋B －A .所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，即得S n ＝An 2＋Bn ，因此，必要性成立．所以“S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)”是“数列{a n }是等差数列”的充要条件．点拨：在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把p (或q )作为条件推出q (或p )．已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程 x 2－4x ＋4m ＝0，① x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．解：方程①有实数根⇔Δ＝16－16m ≥0，即m ≤1，方程②有实数根⇔Δ＝16m ＋20≥0，即m ≥－54， 所以方程①②都有实数根⇔－54≤m ≤1.因为m ∈Z ，所以m ＝－1，0，1.当m ＝－1时，方程①可化为x 2－4x －4＝0，无整数解；当m ＝0时，方程②可化为x 2－5＝0，无整数解；当m ＝1时，方程①②都有整数解．综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m ＝1.类型四 充要条件的应用(1)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1，得0≤a ≤12.故选A .(2)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，有a ≥1.故选A .点拨：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形．(1)(2015·湖南高三质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lo g 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C .12<a <1 D ．a ≤0或a >1 解：因为函数f (x )过点(1，0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．数形结合可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，知A 正确．故选A .(2)若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解：由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3， 解得0≤m ≤2.故填[0，2]．1．命题及判断命题的真假 (1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用 (1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；。