解不等式的方法归纳终版.doc

数学解不等式的方法总结引言不等式在数学中占据着重要的地位，它不仅是数学分析和代数的基础，也是应用数学中的重要工具。

解不等式是数学学习中的一项基本技能，因此，掌握解不等式的方法对于学生来说至关重要。

本文将总结几种常见的解不等式的方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式类型，其解法与一元一次方程类似。

首先，将不等式转化为等式，然后通过移项、合并同类项等方法将其化简为标准形式，即形如ax+b>0或ax+b<0的形式。

接下来，根据系数a的正负情况，可以得到不等式的解集。

例如，对于不等式3x+2>5，我们首先将其转化为等式3x+2=5，然后移项得到3x=3，最后除以系数3得到x=1。

因此，不等式3x+2>5的解集为x>1。

二、一元二次不等式一元二次不等式的解法相对复杂一些。

首先，将不等式转化为等式，然后通过求解二次方程的方法得到其解集。

需要注意的是，解二次方程得到的解集并不一定满足原不等式，还需要通过判断不等式的符号来确定最终的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们首先将其转化为等式x^2-4x+3=0，然后求解得到x=1和x=3。

接下来，我们需要判断不等式在这两个解的区间上的符号。

通过代入一个测试点，如x=2，我们可以得到不等式在x<1和x>3的区间上为负，而在1<x<3的区间上为正。

因此，不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。

三、绝对值不等式绝对值不等式是一类常见的不等式类型，其解法与一元一次不等式类似。

首先，将不等式转化为等式，然后根据绝对值的定义将其化简为两个不等式，其中一个去掉绝对值符号，另一个取相反的不等号。

接下来，根据不等式的符号确定解集。

例如，对于不等式|2x-1|<3，我们首先将其转化为等式|2x-1|=3，然后化简得到两个不等式2x-1=3和2x-1=-3。

不等式解法一、一元二次不等式解法1、 ax 2+bx+c>0 (或ax 2+bx+c<0) (a>0) 形式解题步骤：① 转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0，并求此方程的解；② 根据方程ax 2+bx+c=0解的情况，结合f(x)= ax 2+bx+c 的图像写出解集；③ x 2+bx+c>0 (a<0) 的情况首先转化为-ax 2-bx-c<0，再利用上表进行解答。

2、 经典练习1) x 2-4x-21≤0 2) 3x 2+x-14>0 3) -5x 2+3x+14>04) 06222>-+x x 5) 033442<-+-x x 6) 12x 2-8x-15≤0二、高次不等式1、高中阶段只解决比较简单的高次不等式，举例如下：例题1 x 3-6x 2+11x-6>0解： ① 试根，令x 3-6x 2+11x-6=0，将1带入成立，则此三次式可分解出因式（x-1）② 多项式除法将x 3-6x 2+11x-6分解为（x-1）（x 2-5x+6），再将x 2-5x+6分解为 （x-2）(x-3)， 最终分解为：（x-1）（x-2）(x-3)=0，③④ 写出解集，x 3-6x 2+11x-6>0的解集为：{x ∣1< x<2或x>3}.(注：写成集合) 方法归纳如下：① 试根，一般取[-3,3]之间的整数② 用多项式除法分解因式将其分解为（x-a ）（x-b ）(x-c)……=0的形式③ 用数轴标根法，在数轴上依次标出所有根④ 写出解集，> 0取x 轴上方部分，< 0取x 轴下方部分2、经典练习：1) x 3-3x 2+2x ≤0 2) x 3-x 2-x+1>0 (二重根情况的处理)。

当a <0时，解为xa当a = 0, b > 0时无解；当a = 0, b < 0时，解为R. _一元二次不等式：(如下表)其中a > 0, x i , X 2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两实根，且 x i <X 2(若a < 0,则先把它化正，之后跟a >0的解法一样)3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：,,①将f(x)的最高次项的系数化为正数；,,丄!^ > 0或丄凶 > 0的形式，转化为整式不等式求解，即:g(x) g(x)然后用 二、疑难知识导析1. 不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化 为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式解不等式的方法归纳一、知识导学 , 儿一次不等式 1. 当a>0时，解为 ax>b ,b② 将f(x)分解为若干个一次因式的积；,,③ 将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线; ④ 根据曲线显示出的2.f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集4.分式不等式：先整理成 Hxl > 0g(x)f(x)-g(x) > 0J> 0g(x)f(x)g(x) 0或 f(x) g(x)>0“根轴法” 或化为不等式组求解的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形，2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集， 所以在解不等式组时,等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴， 一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高， 几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集 不等式求解一注意分类.,三、经典例题导讲取值范围是错解：由 I x — 1 |< 3得：一2< x < 4, J 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x=— 2 或 x = — a,」A 是B 的充分不必要条件理{ x| — 2< x < 4} { x| — 2 < X V — a }—a>4故选D.」 错因：忽略了 a =— 4时，{ x| — 2< x < 4} = { x| — 2< x <— a }，此时A 是B 的充要条件,不是充分不必要条件.,_正解：由 I x — 1 |< 3 得：一2< x < 4, _1 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x= — 2 或 x = — a, jA 是B 的充分不必要条件川{ x| — 2< X < 4}{ x| — 2< x <— a } .—a>4故选C.」x［例 3］已知 f(x) = a x + b ，若 3f(1) 0, 3 f (2) 6,求 f (3)的范围.」先要解出本组内各不 将本组内各不等式的解集在同 不要将一个不等式解集的两个或集合的思想和方法在解不等式问题中有广.解不等式的另一个难点是含字母系数的2［例1］如果kx+2kx — (k+2)<0恒成立，则实数—1 w k<0 C. — 1<k w 0 A. — K k w 0 B. 的取值范围是_ D. — 1<k<0,错解：由题意:k(2k)2 4k ［ (k 2)］解得：—1<k<0,2错因：将 kx +2kx — (k+2)<0 看成了- 正解：当k = 0时，原不等式等价于一定是一元二次不等式，忽略了k = 0的情况. 2 < 0，显然恒成立，k = 0符合题意.,k 0当k 0时，由题意：2(2k)2 4k［(k 2)］解得：—1<k<0,1 k 0 ,故选 c.j［例 2］命题 A:|x 1 <3,命题 B:(x 2)(xa) < 0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的A. (4,) B. 4, C. ( , 4)D.3 15 ③错解：由条件得2a②X 2—①①X 2—②得 ③+④得 103 3a 43 3 xf (x) ax -，其值是b同时受a 和b 制约的.当a 取最大(小)值时，b 不一定取最大(小)值，因而整个解题思路 是错误的.,, 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实: 作为满足条件的函数正解: f(1)由题意有f ⑵2a b ，-! 2 解得: a 3[2f(2) 2 b -[2f(1) f(2)], 3f(3)f(1). 把f (1)和f(2)的范围代入得 ［例4］解不等式( x+2) 2(X +3)(X —2) 0., 错解： (x+2) 2 0 原不等式可化为：(x+3)(x 原不等式的解集为｛ x| x 错因：忽视了“ —2) 0, —3 或 x 2 ｝ IJ —2) 0 ②，_解①得：x= — 3或x =— 2或x = 2,解②得：x < — 3或x > 2 原不等式的解集为｛ x| x —3或x 2或x2 ［例5］解关于x 的不等式a(x ab) b(x ab)解：将原不等式展开，整理得：(a b)x ab(ab h讨论：当a b 时，xab(a ab) b ,当a b 时，若a b > 0时x;若a b <0 时 x”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中 2①或(x+2) (x+3)(x 正解：原不等式可化为：(x+2) 2(x+3)(x — 2) 0当a b 时，x 灯点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号［例6］关于x 的不等式ax 2 bx c 0的解集为｛x | x2或x即：X 2 |x点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健, 在解题中的简单应用.,［例7］不等式log 2(x6) 3的解集为x2^2或 x 0反思：在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相 同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法:(1)作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量，往往是1,在这些数中，有的比1大，有的比1 小;，(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法，画出相 应的图形；(5)利用函数的单调性等等.， 四、典型习题导练.求关于x 的不等式 ax 2 bx c 0的解集.，解：由题设知 0, 且 x 2，x-是方程ax 2 bx c 0的两根II从而2axbx 0可以变形为解：••• log 2 (X 6)1 -2 x 1 -60 x这也体现了方程思想 解得x2^2, 3 2/2)11.解不等式x ? 3x 2 0x 2 2x 32x 224x 6x 37.解不等式J 3x 4 V x 3 0【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待 你的好评和关注，我们将会做得更好】2.解不等式 x 3 3x 2 2x 6 I3.解不等式 (x 24x 5)(x 2 x 2) 4.解不等式 (X 2)2(x1)3(x1)(x 2) 05.解不等式 16 x 12kx 6.k 为何值时，下式恒成立:。

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3(,2)2-当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

2210x x -->的解为(,1(1)-∞⋃+∞当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如2432x ax >+，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根2a和2的大小关系，这样做是有问题的。

解不等式的方法归纳在数学中，不等式是一种表示数值之间关系的数学语句。

解不等式是指找到使不等式成立的数值范围。

解不等式的方法主要包括图像法、代数法和数轴法。

在本文中，我们将对这些方法进行归纳和总结。

一、图像法图像法是一种直观的解不等式方法，通过在坐标平面上绘制不等式的图像，可以很清楚地找到使不等式成立的数值范围。

当不等式是一次函数时，我们可以使用图像法解决。

例如，对于线性不等式3x + 4 < 7，我们可以绘制出线性函数y = 3x + 4的图像，并找到y坐标小于7的x的范围。

图像法特别适用于一次函数和简单的几何图形。

二、代数法代数法是一种基于代数运算的解不等式方法。

通过代数运算，我们可以将不等式转化为等价的形式，并找到使等价不等式成立的数值范围。

代数法非常灵活，适用于各种类型的不等式。

例如，对于二次不等式x^2 - 3x > 2，我们可以将其转化为等价不等式x^2 - 3x - 2 > 0，然后通过求解方程或利用二次函数的性质找到x的范围。

三、数轴法数轴法是一种基于数轴的解不等式方法。

通过在数轴上标记出关键点，并结合区间的概念，可以清晰地找到使不等式成立的数值范围。

数轴法尤其适用于一元一次不等式和绝对值不等式。

例如，对于一元一次不等式2x + 5 ≤ 9，我们可以在数轴上标记出x = 2的位置，并确定 x 的范围在闭区间[2, 9] 内。

综上所述，解不等式的方法可以根据具体情况选择使用图像法、代数法或数轴法。

其中图像法适用于一次函数和几何图形，代数法适用于各种类型的不等式，而数轴法则适用于一元一次不等式和绝对值不等式。

不同方法的应用取决于不等式的形式和具体求解的目标。

在实际解题过程中，我们可以根据问题的要求选择合适的方法以求得准确的解答。

通过掌握这些解不等式的方法，并在实践中不断应用，我们可以提高解题的效率和准确性。

同时，对于解不等式的方法归纳和总结，有助于我们更深入地理解不等式的性质和求解方法，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。

不等式的解题方法不等式是数学中常见的问题，它涉及到比较两个或多个数值的大小。

解决不等式问题需要掌握一些基本的方法和技巧。

1.比较法：这是最直接的方法，用于比较两个数或表达式的大小。

通过直接计算或化简，可以得出它们之间的大小关系。

2.作差法：如果两个数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

一个常用的方法是计算A 和B 的差，即A - B。

如果差是正的，则A 大于B；如果差是负的，则A 小于B；如果差是零，则A 等于B。

3.作商法：对于两个正数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

另一种方法是计算A 和B 的商，即A / B。

如果商大于1，则A 大于B；如果商小于1，则A 小于B；如果商等于1，则A 等于B。

4.不等式的性质：对于不等式的基本性质，例如传递性、可加性、可乘性和同号得正等，需要熟练掌握。

这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行简化。

5.不等式的解法：对于一元一次不等式和一元二次不等式，需要掌握基本的解法技巧。

例如，对于一元一次不等式ax + b > c，可以通过移项、合并同类项和化简来求解。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过求解对应的等式来确定不等式的解集。

6.数形结合：在解决不等式问题时，结合图形可以帮助我们直观地理解问题。

例如，对于线性不等式组，可以通过在坐标系中画出直线和区域来直观地找出解集。

7.特殊值法：对于一些难以直接解决的问题，可以通过代入一些特殊的数值来检验或验证不等式的正确性。

综上所述，解决不等式问题需要掌握多种方法和技巧，根据具体问题选择合适的方法进行求解。

数学干货不等式解法、解决策略综合版解不等式的基本思想是根据不等式的基本性质，进行等价转换，划归为一元一次不等式或一元二次不等式（组）来解.解不等式是一个同解变形的过程，常常运用分类讨论、数形结合的思想方法，同时还应注意不等式与方程、函数及其他知识的联系.点评：不等式的证明因题而异，技巧性强。

基本方法有比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法，此外，还有放缩法、构造法(如构造函数、方程、向量、复数、几何、抽屉等模型、换元法、估计法、调整法、假设法、概率法、求导法、递推法、待定系数法等.不等式的证明，除掌握一些基本方法外，还要能娴熟地运用著名不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等)以及它们的各种变式。

代数变形能力和计算能力是不等式证明的基础。

1.分段讨论法点评：基于上题可以看出，划分区间段的重要性，在区间段的划分过程中，坚持做到“不重不漏”原则，求解每个区间上的不等式时要和区间取交集，最后的结果是要将每个区间段的结果取并集.2.平方法点评:3.数形结合法点评:4.换元法在解决绝对值不等式问题时，不等式常常会涉及复杂参数，与其他数学知识相类似，我们可以采用换元法进行讨论，将复杂的参数问题转化为简单的不等式再进行求解，在此方法中，换元是解题成功的关键。

点评：换元法对结构较为复杂、变量较多、变量间关系不甚明了的不等式，则可适当引入新变量，通三角代换、过代换，简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机.常用的变量替换有：局部代换、整体代换等。

常见的三角换元有：5.构造法对于含参数及绝对值的二次函数的最值问题，一般可以先考虑区间的端点及区间中点，然后借助绝对值不等式，合理配凑，最终得到所求的最优解。

点评：构造法针对欲证不等式的特点，通过观察、类比，展开联想，抓住知识间的横向联系，构造出符合要求的数、式、函数、图形等数学模型，通过转化，达到证明的目的.构造法对思维的要求比较高，是具有一定创造性。

一、不等式基本知识1、基本性质性质一：a b b a <⇔>（对称性） 性质二：c a c b b a >⇒>>,,（传递性） 性质三：c b c a b a +>+⇔>性质四：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0, 2、运算性质d b c a d c b a +>+⇒>>,（加法法则）；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（乘法法则） nnba N nb a >⇒∈>>+,0（乘方法则）；nnba N nb a >⇒∈>>+,0（开方法则）3、常用不等式 （1）ab b a b a ≥+≥+222)2(2（2）||222ab b a ≥+ 取等号条件：一正、二定、三相等 （3）2|1|≥+xx （4）若ma mb a b m b a ++<>>>,0,0（5）n n n x x x n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅+++21321(0≥i x )二、不等式的证明方法常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。

1、比较法例1、若,0,0>>b a 求证：b a baab+≥+22。

证明：abb a b a b a abb ab a b a b a baab22222))(()())(()(-+=+-+-+=+-+0≥，∴b a abba+≥+22。

2、分析法例2已知y x b a ,,,都是正实数，且.,11y x b a >>求证：yb y xa x +>+。

解： y x b a ,,,都是正实数，∴要证yb y xa x +>+，只要证)()(x a y y b x +>+，即证ay bx >，也就是abay abbx >，即,by ax >而由.,11y x ba>>，知by ax >成立，原式得证。

解不等式的方法不等式是数学中一个重要的概念，它可以用来描述两个量之间的大小关系。

在本文中，我们将探讨不等式的概念以及解决不等式的方法。

一、什么是不等式首先，让我们开始介绍什么是不等式。

不等式是带有比较符号的一个数学表达。

它的结构是由两个量之间的比较构成的，比较符号代表着其中一方大于或小于另一方。

比如，4x>12表明4x大于12。

而4x≤12表明4x小于等于12。

这样，不等式就可以用来表示两个量之间的大小关系。

二、解不等式的方法一旦掌握了不等式的概念，下一步就是学习如何解不等式。

通常来说，解不等式的方法主要有以下四种。

1.把不等式里面的量变成真数。

这种方法适用于解除不等式中的量是常量的情况。

此时，只需要把不等式的右边的量都变成真数（或者实数），再把不等式的结果带入左边，就可以得到结果。

比如：若要解4x>12，只需将12化为实数，便得到x>3，故解是x>3。

2.用数表求解不等式这种计算方法适用于不等式中存在两个变量的情况，在这种情况下，可以把不等式表示为一张数表。

数表中每一行表示不等式中每一个变量的可能取值，并且数表中记录下不等式解的可能性。

比如：若要解4x+5y>25，可以把这个不等式用数表表示：xtttyttt4x+5y0ttt5ttt251ttt4ttt292ttt3ttt333ttt2ttt374ttt1ttt415ttt0ttt45由数表可知，当x≥3或y≤2时，不等式4x+5y>25立，所以解是x≥3或y≤2。

3.用图表求解不等式如果不等式中只含有一个变量，那么就可以把不等式用图表表示出来。

数据完成图表后，就可以观察出不等式的结果了。

比如：若要解4x+3<9，可以把这个不等式用图表表示：XtttYttt4x+30ttt3ttt31ttt4ttt72ttt5ttt113ttt6ttt15由图表可知，当x≤2时，不等式4x+3<9成立，所以解是x≤2。