专题：基本不等式常见题型归纳

基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一 基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． 解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________． 解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____． 解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________． 解 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； 解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________． 解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（ ）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。

完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。

专题2.2基本不等式知识点①基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b22．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.3．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．4．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．知识点②几个重要的不等式1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．3．ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．4．a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .知识点③利用基本不等式求最值1．已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .2．已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．题型一解法突破：两种常数处理方法(),ka a a b b a a=+-=.例1求12x x +-的最小值（2x >）.解：()1112222222x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()122242x x ⎛⎫-++≥+=⎪-⎝⎭令122x x -=-解得3,1x x ==（舍）例2求1142x x +-的最小值（2x >）.解：()()111111112242422422x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()11113242222x x ⎛⎫-++≥+= ⎪-⎝⎭令11(2)42x x -=-解得4,0x x ==（舍）1.以分式分母为主进行配凑使其定积2．注意变量范围，是否满足一正和三相等题型二解法突破:“1”的代换例1已知0,0x y >>，21x y +=求12xy+的最小值解：()1212122212149y xx y xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2已知0,0,1x y x y >>+=求1412x y +++的最小值解：()()1124,x y x y +=∴+++=，()()141411212124x y x y x y ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41129144124x y x y +⎛⎫+=+++≥ ⎪++⎝⎭【审题要津和评注】此类题型主要核心是“1”的等价代换，以及以分式分母为依据构造倒数形式，注意例5，例6两个题目题型三消元法解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()939,39,3x x y xy y x x y x -++=+=-=+，931233333x x x y x x x x -+-+=+=-++1212313910233x x x x =-+=++-≥++题型四换元法:一般求谁最值换谁为t例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()23312x y x y xy ++≥≤()()223333,931212x y x y x y xy x y x y ++∴++≤++≤++令3x y t +=则29,612t t t +≥≥或18t ≤-（舍）即3x y +的最小是6【审题要津和评注】1.题型二的例三和题型三题型四比较类似注意区分2.若一个题目在连用多个基本不等式时需注意取等时自变量取值是否相同题型五基本不等式的使用条件解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足例1已知5,4x <求14245x x -+-的最大值解：11424534545x x x x -+=-++--54504x x <∴-<,11453543,4554x x x x ⎛⎫-++=--++ ⎪--⎝⎭1540,54254x x x ->-+≥-1543154x x ⎛⎫--++≤ ⎪-⎝⎭一、单选题1．下列说法正确的为（）A ．12x x+≥B ．函数22243x y x +=+4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，44233+≥⋅--a a a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8【答案】C【解析】对于选项A ,只有当0x >时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确；对于选项B ,22243x y x +=+2222231333x x x x ++=++++(233x t t +=≥，即(223y t t t =+≥在)3,⎡+∞⎣上单调递增，则最小值为min 2832333y =,则B 不正确；对于选项C ,()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤，则C 正确；对于选项D ,当3a >时，()44433337333a a a a a a +=-++≥-⋅+=---，当且仅当433a a -=-时，即5a =，等号成立，则D 不正确.故选：C .2．函数2455())22x x f x x x -+=≥-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x ，12t ∴ ，2x t ∴=+.将其代入，原函数可化为22(2)4(2)5112t t t y t t t t +-+++===+= ，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =.故选：D3．已知1x >，则41x x +-的最小值是()A ．5B ．4C ．8D ．6【答案】A【解析】∵1x >，∴10x ->，∴()44111511x x x x +=-+≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，∴41x x +-的最小值是5．故选：A ．4．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（）A ．6B ．8C ．14D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---.因为a b >，所以0a b ->，所以168a b a b -+≥=-，即28a b a b +≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6.故选：A5．设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（）．A ．110B ．19C ．227D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b=++，()41414559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当23a =，13b =时取等号，∴149ab a b ≤+．故选：B ．6．下列不等式恒成立的是（）A ．2b a a b+≥B ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．a b +≥D ．222a b ab+≥-【答案】D【解析】：对于A ：若1a =、1b =-时2b aa b+=-，故A 错误；对于B ：因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，故B 错误；对于C ：若1a =-、1b =-时，22a b +=-<=，故C 错误；对于D ：因为()20a b +≥，所以2220a b ab ++≥，即222a b ab +≥-，当且仅当a b =时取等号，故D 正确；故选：D7．已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．4C ．254D ．1+【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴111224a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号，故选：B.8．已知x ，y ＞0，当x +y ＝2时，求41x y+的最小值（）A ．52B ．72C ．92D ．112【答案】C【解析】由题，()411411419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即2x y =，即42,33x y ==时取等号故选：C9．已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】由题意，可得()()()()21996610616b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++≥++ ⎪⎝⎭，则有()()26160a b a b +-+-≥，解得8a b +≥，当且仅当2a =，6b =取到最小值8.故选：B.10．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y都是正数，由基本不等式有：44y x x y +≥=，所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2, 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．11．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A ．8B．C ．9D．【答案】C【解析】因为2x y xy +=，0x >，0y >，所以211y x+=，∴()1222221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==取得等号，则2x y +的最小值为9.故选：C12．已知正实数a 、b 满足11m a b +=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+【答案】B【解析】：因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab ++24³=，当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a+≥（1a =时等号成立），所以2m ≥.故选：B.13．若0,0a b >>，且24a b +=，则下列不等式中成立的是（）A ．2ab <B ．2244b a +≥C ．22log log 1a b +<D ．9318a b +≥【答案】D【解析】0,0a b >>，24a b ∴+=≥，解得2ab ≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项A 错误；()()22222142282a b a b a b +=+≥+=，2224b a ∴+≥，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项B 错误；由A 可得2ab ≤，222log log log 1a b ab ∴+=≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项C 错误；2393318a b b a +≥==+，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项D 正确；故选：D14．已知实数,1x y >）A ．1BC ．2D．【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->，222++=222+≥x y =时取等号，=2≥=，2x y ==时取等号，2，故选：C15．已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为（）A ．1B ．6C ．7D．【答案】B【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号，∴22aa b+的最小值为6；故选：B.16．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【解析】【分析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤，当且仅当a b =时取等号．故选：D.17．若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=(当且仅当4,6a b ==时，等号成立)，所以2223a b a b +--的最小值是20.故选：C18．已知实数x ，y 满足()212x x y y +=+，则227x y -的最小值为（）A ．103+B ．103-CD【答案】A【解析】：实数x ，y 满足()212x x y y+=+化为：()()21x y x y +-=令2x y m +=，x y n -=，则1mn =解得：23m n x +=，3m n y -=则：()()2222222222233162730916273091276309130910737m n m n m n mn m n m m x y +-=⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪=⨯++=⨯ ⎪++⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝=⎭⎭⎝⎭⎝当且仅当22276m m =，即2m =所以227x y -故选：A.19．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）AB1C1D【答案】D【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1y x +(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a 的最小值为12.故选：D.20．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（）A ．34+B ．34+C ．36+D ．36+【答案】A【解析】：因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211(1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．。

专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b +的最小值为 .【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足211a b +=，则2a b +的最小值为 .【变式】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b ab ++的最小值为 .【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x y xy +的最小值为 .【例5】已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 .【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为 .【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22214e e +的最小值为【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则 ）A ．6B ．5 C【例10】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______.【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣ （D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）ABCD【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A ．10 B。

高中数学基本不等式题型总结word版专题根本不等式知识根本不等式：ABXXX,B0（1）根本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号2.几个重要的不等式（1）ABA,BR；(2)A+BXXX,B0；分析的巧妙替换0,Y0，且_Y，贝U4的最小值为4_Y0,Y0,且_Y3，那么4的最小值为4_Y020XX年天津)设AB2,B0，那么扁早的最小值为数A,B满足AB1，那么A2B的最小值为数A,B满足AB1,贝UA2BAB的最小值为_,Y满足_2Y1，那么冬旦的最小值为_Y0,B0,假设不等式AB 总能成立，那么实数M的最大值为2AB_2A_BY1A,B0与圆_21相交A,B 两点，O为坐标原点AOB为直角三角形，那么的最小值为AB11的最小值AB22直线2A_BY20A0,B0始终平分圆_Y2_4Y10的周长，那么110,Y0,LG2_LG4YLG2，那么的最小值是_YA.6B.5C.322D.4、2F_4_14_1，0,_20，且F_1F_21，那么F_1_2的最小值为与“积混合型4相交所得弦,NR,假设直线L:M_NY10与_轴相交点A,与Y轴相交B,且I与圆_2Y2的长为2，O为坐标原点，贝UAOB面积的最小值为11,YR,A1,B1，假设A_BY2,A2B8，那么一一的最大值为_Y数A,B满足AB2AB1，那么AB的最小值为,NR，假设直线M1_N1Y20与圆_221Y11相切，那么MN的取值范围是(A)1.3,1.3(B),1313,(C)222,222(D),22、2.222,1I1,Y1，且一IN_,,LNY成等比数列，那么_Y的最小值为.440,BO,AB8,那么当A的值为时LOG2ALOG22B取得最大值.G2ALOG2B1，那么3A9B的最小值为【例9以下说法正确的选项是A.函数Y_的最小值为2、2_B.函数YSIN_0_的最小值为22SIN_RC.函数Y_|的最小值为2运_D函数YLG_孟的最小值为2【例10设_,YR,且_Y5,那么3_3Y的最小值是A.10B.63C.46D.18、3精选。

高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七： 负数的基本不等式类型八： 化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十： 判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为▲.[解析] 考查指数函数的单调性. 51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.类型一、基本不等式的直接运用1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值 （改)4(2x x y -=）（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值2 ,141,0,0=+>>yx y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>yx y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，由②得m ≤（12﹣n ），∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18， 当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn 的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式1322<+-x x 的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1 若c b a >>，求使11k a b b c a c+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则yx 12+的最大值为 5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值 6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。

基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。

基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。

2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。

4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。

5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。

6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。

7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。

8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。

9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。

10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。

三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。

如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。

2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。

如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。

3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。

4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。

5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。

四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。

解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。

基本不等式一. 基本不等式①公式：a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab 2②升级版：a2b2 a b2ab a,b R 22选择次序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。

二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b典型例题：例 1 .求y x1( x 0) 的值域2x剖析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像办理）解： y ( x 1 )Q x 0x 02xx1 2 ( x) ( 1)22x2xx1获得 y ( , 2]22x例 2 .求y1的值域2x ( x 3)x31解： y2x（“添项”，可经过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）x 312(x 3) 6x31Q x 3 x 3 02( x 3) 2 2x3y 2 2 6 ，即y 2 26,例 3.求y sin x2(0 x ) 的值域sin x剖析： sinx 的范围是 (0,1) ，不可以用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是 2 ，但 2 不在范围内解：令 t sin x， t(0,1)2y t是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，因此 t 21代入获得）3，（注： 3 是将 tty (3, )注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x有没有在范围内，假如不在，就不可以用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例 4． 求 yx 22x 1( x 2) 的值域x2剖析：先换元，令 t x 2 , t 0 ，此中 x t 2(t 2)22(t 2) 1 t 2 6t 11 解： ytt6ttQ tt12 t1 6 8y [8, )tt总 之 ： 形 如 ycx 2dxf0,c 0) 的 函 数 ， 一 般 可 通 过 换 元 法 等 价 变 形 化 为ax b (aytpt 的取值范围；( p 为常数 ) 型函数，要注意 t【失误与防备】1． 使用基本不等式求最值，其失误的真实原由是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽略． 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．2 ．在运用重要不等式时，要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧，使其知足重要不等式中“正 ”“定 ”“等 ”的条件．3．连续使用公式时取 等号的条件很严格 ，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．【题型 2】 条件是 a b 或 ab 为定值，求最值（值域） （简）例 5．若 x0, y 0 且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 ________．分析：因为 x0, y 0 ，则 x y 2 xy ，因此 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为 81例 6． 已知 x, y 为正实数，且知足4x 3 y 12 ，则 xy 的最大值为 ________．4x 3 yx 3分析： Q 4x3y2 4x 3y ∴ 4 3xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4x y2获得最大值 3 .例 7． 已知 m 0, n0 ，且 mn 81，则 m n 的最小值为 ________．分析： Q m0,n 0 ，m n2 mn 18 ，当且仅当 m n 9 时，等号建立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11为定值，求最值（范围） （难）a b方法：将 1整体代入已知x 0, y 0 且 x y 1 ，则11 例 8.x的最小值是 ________________y分析： Q x y 11 1 ( x y)(1 1) 2y x 2 2y x4x yxyx yx y因此最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b 2 ，则 y1 4a 的最小值是 ________．b分析： Q ab2 a b12则 1 4 (1 4)( a b) 1 b 2a2 5 b 2a 52 b 2a9 a b a b22 2a b2 2a b 22a b2因此最小值是92例 10.已知 x0, y 0，且12 1, 求 x 2 y 的最小值是 ____________xy分析：Q12 1, xy则 x 2 y (12)( x 2 y) 12 y 2x45 2 2 y 2 x9x yxyx y进而最小值为 9【题型4】已知a b 与 ab 关系式，求取值范围例11.若正数a, b知足ab a b 3 ，求ab 及 a b 的取值范围．分析：把 ab 与 a b 当作两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求 ab 的范围① Q ab a b3（需要消去a baabb ：①孤立条件的 3 ，a b ②a b 2 ab ③将a b 替代）②a b 2 ab③ab 3 2 ab （消 a b 结束，下边把ab 当作整体，换元，求ab 范围）令 t ab (t 0) ，则ab 3 2 ab 变为 t 232t解得 t 3 或 t 1 （舍去），进而 ab9⑵求 a b 的范围（需要消去 ab ：①孤立条件的 ab ② ab (a b)2③将 ab 替代）2a b2Q ab a b 3，, ab2a b2a b（消 ab 结束，下边把a b 当作整体，换元，求 a b 范围）32令 t a b (t0)t 2则有t3， 4t12 t 2， t 24t 12 0 ，获得 t 6 或 t 2 （舍去）2获得 a b6。

专题：基本不等式基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ．2.若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______3.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-4.已知正数a ，b满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为练习1．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 .2.已知正数满足，则的最小值为 ．3．已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .4．己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，则ab 的最大值为 ．,x y 22x y +=8x yxy+60ax by +-=2(3)50x b y +-+=【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

高一基本不等式题型归纳一、利用基本不等式求最值1. 积定和最小- 例1：已知x>0，y>0，且xy = 16，求x + y的最小值。

- 解析：根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知xy=16。

- 则x + y≥slant2√(xy)=2√(16)=8。

- 当且仅当x=y时取等号，又因为xy = 16，所以x=y = 4时，x + y取得最小值8。

2. 和定积最大- 例2：已知x>0，y>0，x + y=8，求xy的最大值。

- 解析：由基本不等式xy≤slant((a + b)/(2))^2（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知x + y = 8。

- 则xy≤slant((x + y)/(2))^2=((8)/(2))^2 = 16。

- 当且仅当x=y时取等号，又因为x + y = 8，所以x=y = 4时，xy取得最大值16。

二、基本不等式的变形应用1. 配凑法求最值- 例3：已知x> - 1，求y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}的最小值。

- 解析：- 因为x> - 1，则x+1>0。

- 对y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}进行变形，y=frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5。

- 根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)，这里a=x + 1，b=(4)/(x + 1)。

- 则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+5=2×2 +5=9。

- 当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即(x + 1)^2=4，因为x> - 1，所以x + 1 = 2，x=1时取等号，y的最小值为9。

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x yxy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x －12≥21212，当且仅当54x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，则ab 的最大值为 ．【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b+--的最小值为 ．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________6.已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，3222=++z y x，求xyz 的最大值为______【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠ ，则1a－1b的最大值是．2．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．练习1．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为 ．2．设是正实数,且,则的最小值是____.3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为 ．244．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .222522x yx xy y --+,x y 1x y +=2221x y x y +++【题型五】判别式法【典例7】已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ．练习1.若正实数满足，则的最大值为 ．2.设R y x ∈,，1322=++xy y x ，则y x +2的最大值为________变式1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是 ．【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。