2019-2020学年商丘市九校高一下期末联考数学试题有答案

河南省商丘市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a 满足21(3)(3)a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．14D ．34 【答案】D【解析】由图象性质可知，21333a --≤≤，解得34a ≤，故选D 。

2．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．3km【答案】C【解析】【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30103sin120PB ==， 即这时船与灯塔的距离是3km ，故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．一个钟表的分针长为 10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是( )A ．353πB ．1753πC ．3153πD ．1756π 【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可．【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30︒则分钟走过的度数为730210⨯︒=︒钟表的分针长为10∴分针扫过图形的面积是2210175103603ππ⨯⨯=故选B【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础4．设()y f x =是定义在R 上的偶函数，若当()0,2x ∈时，()1f x x =-，则()1f -=() A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】A【解析】【分析】利用函数的为偶函数，可得()()11f f -=，代入解析式即可求解.【详解】()y f x =是定义在R 上的偶函数，则()()11f f -=，又当()0,2x ∈时，()1f x x =-，所以()()11110f f -==-=.故选：A【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.5．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A ．1()3x y =B ．3log y x =C ．1y x =D ．cos y x =【答案】B【解析】 试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A 的底数大于0小于1、C 是图象在一、三象限的单调减函数、D 是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B 的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B考点：函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．6．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【答案】C【解析】 设点A （3,1）关于直线1y x =+的对称点为11'(,)A x y ，则111111313122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩ ，解得1104x y =⎧⎨=⎩ ，即'(0,4)A ，所以直线'A B 的方程为240x y -+=，联立2401x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，即(3,2)B -- ,又(3,1)A ，所以边AC 所在的直线方程为210x y --=，选C.点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。

2019-2020学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）A．①用随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样2．（5分）已知，则＝（）A．B．3C．﹣3D．3．（5分）已知向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知程序框图如图，则输出S的值为（）A．B．C．D．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．610．（5分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣＝0，则c＝（）A．4B．C．2D．311．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．612．（5分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A．7B．11C．14D．28二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝．15．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝．16．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．则对于下列判断①函数为偶函数．②直线是函数f（x）的一条对称轴．③函数y＝1与的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断序号为．三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分）17．（10分）已知||＝，||＝1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．18．（12分）甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若c＝4a，求tan A的值．20．（12分）某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所示：数学成绩分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数6090300x160（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）21．（12分）设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）＝．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（3）若f（x）＞，求x的取值范围．22．（12分）已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22．（1）求通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c；（3）在（2）的条件下，求的最大值．2019-2020学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）A．①用随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样【分析】从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法．①中某社区420户家庭的收入差异较大；②中总体数量较少，且个体之间无明显差异．【解答】解：①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法；②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B．【点评】本题主要考查抽样方法的特点及使用范围，当个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法；当个体差异较明显时宜采用分层抽样方法；当总体数量较大，且个体没有差异宜用系统抽样．该题是基础题．2．（5分）已知，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而根据两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴sinα＝＝﹣，tanα＝＝﹣2，∴＝＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．（5分）已知向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若∥，则有1×sinθ＝cosθ，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则有1×sinθ＝cosθ，变形可得，则tanθ＝；故选：B．【点评】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示公式．4．（5分）已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由诱导公式求得．【解答】解：由P（6，﹣8），得|OP|＝，∴cosα＝．则＝﹣cosα＝﹣．故选：C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．5．（5分）已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】正方体的体积为1，与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，由此利用几何概型能求出在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率．【解答】解：本题是几何概型问题，正方体的体积为1，与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，其体积为：V1＝＝，∴在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率为：P＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）A．B．C．D．【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的∴（m，n）•（﹣1，1）＜0，即m﹣n＞0，满足题意的情况如下当m＝2时，n＝1；当m＝3时，n＝1，2；当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝5时，n＝1，2，3，4；当m＝6时，n＝1，2，3，4，5；共有15种故所求事件的概率是＝故选：D．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查了概率与向量相结合，以及分类计数的技巧，有一定的综合性．7．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则＝＝＝＝＝∴m＝1﹣λ，解得λ＝，m＝故选：D．【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．8．（5分）已知程序框图如图，则输出S的值为（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，用裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，可得S＝++…+＝++…+﹣＝﹣＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．6【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的n的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，可得﹣11+3d﹣11+5d＝﹣6，解得d＝2，则S n＝na1+n（n﹣1）d＝n2﹣12n＝（n﹣6）2﹣36，当n＝6时，S n取最小值﹣36．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次函数的最值求法，注意运用配方法，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣＝0，则c＝（）A．4B．C．2D．3【分析】依题意可求得a，b及C，再由余弦定理即可求得c．【解答】解：∵在锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝2，又2sin（A+B）﹣＝0，sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sin C，∴sin C＝，又△ABC为锐角三角形，∴C＝，cos C＝．∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab cos C＝12﹣4﹣2×2×＝6．∴c＝．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查余弦定理的应用，考查分析与运算能力，属于基础题．11．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n＝，b n＝，∴＝＝＝，又＝，∴＝＝7+，经验证，当n＝1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选：C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．12．（5分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A．7B．11C．14D．28【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x＝cos x求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组．【解答】解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），∴|a|＝2，若a＝2，则方程等价于sin（3x﹣）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时c＝；若b＝﹣3，此时c＝；若a＝﹣2，则方程等价于sin（3x﹣）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，此时c＝；若b＝3，此时c＝．综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．而当sin2x＝cos x时，2sin x cos x＝cos x，得cos x＝0或sin x＝，∴x＝或x＝或x＝．又∵x∈[0，3π]，∴x＝．∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7＝28．故选：D．【点评】本题考查三角函数的周期性、三角函数的恒等变换及三角函数的图象和性质，考查渗透转化与化归思想方法，是中档题．二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）＝sin x，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ＝sin[（x+φ）﹣φ]＝sin x，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝．【分析】把n＝2，3，4分别代入到已知递推公式中可求a2，a2，a4，然后根据a4＝0可求a【解答】解：∵a1＝a，∴，，∴故答案为：【点评】本题主要考查由数列的递推公式求解数列的项，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝．【分析】延长AD至E，使DE＝AD，由三角形全等可得△ABC的面积等于△ABE的面积S，解△ABE可得cos∠ABE，进而可得sin∠ABE，代入三角形的面积公式可得．【解答】解：由题意延长AD至E，使DE＝AD＝2，可证△BDE≌△CDA，其面积相等，故△ABC的面积等于△ABE的面积S，由已知数据可得AB＝2，AE＝4，BE＝AC＝4，在△ABE中由余弦定理可得cos∠ABE＝＝，∴sin∠ABE＝＝，∴S＝×2×4×＝．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理解三角形，作辅助线把三角形的面积进行转化是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．则对于下列判断①函数为偶函数．②直线是函数f（x）的一条对称轴．③函数y＝1与的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断序号为①③．【分析】首先利用已知条件求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性确定①的结论，进一步利用函数的对称性确定②的结论，最后利用函数的单调性的应用和函数的零点的应用确定③的结论．【解答】解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．所以f（x）min＝﹣3．由于，解得T＝π．所以A＝3，ω＝，由于函数的图象关于（）对称，所以φ＝kπ（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），由于0＜φ＜π，所以，当k＝1时，φ＝．所以f（x）＝3sin（2x+）．对于①：f（x﹣）＝3sin（2x﹣）＝3sin（2x﹣）＝﹣3cos2x，故函数为偶函数，故①正确．对于②：当x＝时，f（）＝3sin（π）＝﹣，故②错误．对于③：利用函数的单调性，当（k∈Z）时，解得（k∈Z）；当（k∈Z）时，解得（k∈Z）．所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；函数的单调递减区间为[]（k∈Z）；由于，所以（），（），（）单调递增，同理（），（），（）单调递减．由于函数y＝1与函数，的图象的交点的个数为6个，并且两两对称，他们的对称轴分别为，，x＝，所以所有的横坐标之和为＝7π．故③正确．故答案为：①③【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调性函数的零点和对称性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分）17．（10分）已知||＝，||＝1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．【分析】（1）利用|﹣|2＝（﹣）2，直接计算即可；（2）通过，可得（﹣）•＝0，化简得cosθ＝1，结合0°≤θ≤180°即得结论．【解答】解：（1）∵，，的夹角θ为45°，∴＝2﹣2||||cos45°+1＝2﹣2+1＝1；（2）∵，∴（﹣）•＝0，∴＝，即||||cosθ＝1，∴cosθ＝1，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°．【点评】本题考查平面向量的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．18．（12分）甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．【分析】（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，基本事件总数共有n＝6×5＝30，设事件A 为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率．（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，事件C为“甲、乙二人都抽到判断题”，事件C包含基本事件数为m′＝2×1＝2，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．【解答】解：（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，这一试验的基本事件总数共有n＝6×5＝30种不同结果．设事件A为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率．（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，事件C为“甲、乙二人都抽到判断题”，事件C包含基本事件数为m′＝2×1＝2，则．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若c＝4a，求tan A的值．【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a2+c2﹣b2＝ac，结合余弦定理算出cos B＝，从而可得角B的大小；（2）由c＝4a，结合正弦定理，得sin C＝，4sin A，由sin C＝sin（A+B），可得，展开并化简得同角三角函数的商数关系，可算出tan A的值．【解答】解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得：a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理得，又B∈（0，π），所以B＝．（2）∵c＝4a，由正弦定理，得sin C＝4sin A，且，∴，∴sin cos A+cos sin A＝4sin A，整理得：，有．【点评】本题主要考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．20．（12分）某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所示：数学成绩分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数6090300x160（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【分析】（1）分层抽样中每个个体被抽到的可能性均相等，计算即可；（2）由题意求出表中x的值，再估计该中学达到优秀线的人数；（3）列出频率分布表，画出频率分布直方图，利用频率分布直方图求出平均分．【解答】解：（1）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性均为，所以甲同学被抽到的可能性为：P＝＝；（2）由题意知，x＝1000﹣（60+90+300+160）＝390，所以估计该中学达到优秀线的人数为；（3）填表如下，分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]频数6090300390160频率0.060.090.300.390.16频率/组距0.0020.0030.010.0130.0053画出频率分布直方图，如图所示；计算该学校本次考试数学平均分为＝90；所以估计该学校本次考试的数学平均分为90分．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算和用频率估计概率的应用问题，是中档题．21．（12分）设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）＝．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（3）若f（x）＞，求x的取值范围．【分析】（1）利用y＝cos（ωx+φ）型函数的周期公式，可求得ω的值，利用f（）＝，结合φ的范围即可求得φ的值；（2）由题意可得，利用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）的图象；（3）利用余弦曲线的性质即可得解．【解答】解：（1）周期，∴ω＝2，∵，∵，∴．（2）∵，列表如下：0πx0πf（x）10﹣10图象如图：（3）∵，∴，k∈Z，可得：，k∈Z，可得：，∴x的范围是．【点评】本题考查了y＝cos（ωx+φ）型函数的图象和性质，其周期公式和解析式的确定，考查了利用五点法作函数y＝A sin（ωx+φ）的图象，属于中档题．22．（12分）已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22．（1）求通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c；（3）在（2）的条件下，求的最大值．【分析】（1）利用已知条件推出a3＝10，a4＝12．得到公差，然后求解通项公式．（2）{b n}是等差数列，通过2b2＝b1+b3，求解c即可．（3）求出f（n）的表达式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，∴a3+a4＝a2+a5＝22，又a3•a4＝120，∴a3，a4是方程x2﹣22x+120＝0的两实根．方程两个根为：10；12，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝10，a4＝12．∴d＝2，∴a n＝a3+（n﹣3）×2＝2n+4．（2）由（1）知，∴，∴．∵{b n}是等差数列，∴2b2＝b1+b3，∴c2﹣5c＝0．∴c＝5或c＝0（舍去），∴c＝5．（3）由（2）得，∴≤＝．当且仅当n＝6时，表达式取得最大值：．【点评】本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题第21页（共21页）。

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2017---2018 学年下期期末联考高一数学试题一．选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.等于( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】分析：利用诱导公式和两角差的余弦函数公式，即可化简求值． 详解：由，故选 A．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记诱导公式的变形和两角和与差的余弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2. 已知向量，，且，则 =（）A. —6 B. 8 C. 6 D. —8【答案】B【解析】分析：先根据向量加法得 ，再根据向量数量积坐标表示得方程解得详解：因为，所以选 B.点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：3. 在样本的频率分布直方图中，共有 5 个长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它 4个小长方形的面积和的 ，且样本容量为 100，则正中间的一组的频数为 （ ）A. 80 B. 0.8 C. 20 D. 0.2 【答案】C 【解析】解：∵样本的频率分布直方图中，共有 5 个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它 4 个小长方形的面积和的 ，则该长方形对应的频率为 0.2 又∵样本容量为 100， ∴该组的频数为 100×0.2=20- 1 -如有帮助欢迎下载支持文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

故选 C 4. 下列各数中与相等的数是 （ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】分析：先根据进制关系化为十进制，再找相等的项.详解：因为，,所以=选 C. 点睛：本题考查不同进制转换，考查基本求解能力. 5. 袋内分别有红、白、黑球 3，2，1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；至少有一个红球 【答案】B 【解析】分析：根据事件包含情况进行比较确定互斥而不对立的两个事件. 详解：因为至少有一个白球包括 1 个白球 1 个黑球、1 个白球 1 个红球，两个白球三种情况， 恰有一个白球包括 1 个白球 1 个黑球、1 个白球 1 个红球两种情况，至少有一个红球包括 1 个 红球 1 个黑球、1 个白球 1 个红球，两个红球三种情况，所以“至少有一个白球”与“红、黑 球各一个”是互斥而不对立的两个事件， 选 B. 点睛：本题考查互斥事件、对立事件等概念，考查对概念识别与简单应用能力.6. 某算法的程序框如图所示，若输出结果为 ，则输入的实数 的值是 （）A.B.C.D.【答案】A 【解析】分析：先根据循环得函数解析式，再解方程得实数 的值.- 2 -如有帮助欢迎下载支持文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2019学年河南省商丘市高一文下学期期末考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 商丘一高某社团为了了解“早餐与健康的关系”，选取某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60 ．选取的这6名学生的编号可能是（）A ． 1,2,3,4,5,6 ______________B ． 6,16,26,36,46,56C ． 1,2,4,8,16,32 ___________D ． 3,9,13,27,36,542. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的s属于（）A ． [－3,4]B ． [－5,2]______________C ． [－4,3]D ． [－2,5]3. 掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．下列结果正确的是（）A ． P （ M ）＝，P （ N ）＝B ． P （ M ）＝，P （ N ）＝C ． P （ M ）＝，P （ N ）＝D ． P （ M ）＝，P （ N ）＝4. 连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（ m，n ）与向量（－1,1 ）的夹角θ>90°的概率是（）A ． ______________B ．____________________C ．____________________________ D ．5. 函数f （ x ）＝sin xcos x＋ cos 2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1_________B ．π，2___________C ． 2π，1______________D ． 2π，26. 已知点A （ 1,3 ），B （ 4，－1 ），则与向量同方向的单位向量为（）A ．_________B ．C ．D ．7. 函数的图象关于直线对称，则的值为（_________ ）A ． 1______________B ．___________C ．____________________D ．8. 若向量两两所成的角相等，且则等于（）A ． 2B ．____________________C ．______________D ．9. 为了得到函数y＝sin （ 2x－）的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度10. △ ABC中，三边长a，b，c满足a 3 ＋b 3 ＝c 3 ，那么△ ABC的形状为（）A ．锐角三角形______________B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能11. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且＝2 ． 347x－6 ． 423；② y与x负相关且＝－3 ． 476x＋5 ． 648；③ y与x正相关且＝5 ． 437x＋8 ． 493；④ y与x正相关且＝－4 ． 326x－4 ． 578 ．其中一定不正确的结论的序号是（）A ．①②______________B ．②③____________________C ．③④ ________D ．①④12. 设向量满足则的最大值等于（_________ ）A ． ___________B ．____________________C ．______________ D ．二、填空题13. 已知函数f （ x ）＝asin （πx＋α）＋bcos （πx＋β），且f （ 3 ）＝3，则f （ 2 016 ）＝________ ．14. 某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________ ．15. 已知，则16. O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ ABC的三个顶点，∠ B，∠ C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是________ ．（把你认为正确的序号全部写上）① 动点P满足，则△ ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；② 动点P满足，则△ ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③ 动点P满足，则△ ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④ 动点P满足，则△ ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤ 动点P满足，则△ ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．三、解答题17. 已知△ ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量＝（ a，b ），＝（ sin B，sin A ），＝（ b－2，a－2 ）．（Ⅰ ）若，判断△ ABC 的形状；（Ⅱ ）若，边长c＝2，角C＝，求△ ABC的面积．18. 已知函数f （ x ）＝2cos 2 x＋ sin 2x，（Ⅰ ）求函数f （ x ）的单调递增区间；（Ⅱ ）将函数f （ x ）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数h （ x ）的图象，再将函数h （ x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （ x ）的图象，求函数g （ x ）的解析式，并求g （ x ）在[0，π]上的值域．19. 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2 ．（Ⅰ ）求C和BD；（Ⅱ ）求四边形ABCD的面积．20. 前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，下表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．21. ly:宋体; font-size:10.5pt">x 3 4 5 6 y 2 ． 5 3 4 4 ． 522. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学求身高为176 cm的同学被抽中的概率．23. 商丘市某高中从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40,50 ），2；[50,60 ），3；[60,70 ），14；[70,80 ），15；[80,90 ），12；[90,100 ），4 ．（Ⅰ ）请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；（Ⅱ ）估计成绩在85分以上学生的比例；（Ⅲ ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100 ）中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50 ）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表p24. ly:宋体; font-size:10.5pt">分组频数频率 [40,50 ） 2 0 ． 04 [50,60 ） 3 0 ． 06 [60,70 ） 14 0 ． 28 [70,80 ） 15 0 ． 30 [80,90 ） [90,100 ） 40 ． 08 合计参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2024届河南商丘市九校数学高一第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m nt mn+≤恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．92．角a 的终边经过点(),4P b -且3cos 5a =-，则b 的值为() A ．-3B ．3C ．±3D ．53．若直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：(1)10x a y +--=垂直，则实数a =( ). A ．23B ．1-C ．2D ．1-或24．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．115．函数y=2的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－16．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A ．2或3B ．4或3C ．5或6D ．8或77．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39B ．20C ．19.5D ．338．对数列{}n a ,“0n a >对于任意*N n ∈成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件9．已知等差数列{}n a 中，若261,5a a =-=-，则7S =（ ） A ．-21B ．-15C ．-12D ．-1710．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1B ．5C ．9D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前商丘市部分学校2020—2021学年（下）高一年级期末考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如下：环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数124461012138则估计他击中的环数不小于8的概率为（）A ．046．B ．055．C ．057．D ．063． 2．由一组样本数据(),i i x y 得到的线性回归方程为ˆ1826y x =+．，其中x 的取值依次为2，4，7，9，14，18，则ˆy=（） A ．356． B ．422．C ．564．D ．606． 3．某校高三年级共有600名学生选修地理，某次考试地理成绩均在60~90分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在[)70,85分的学生人数为（）A ．380B ．420C ．450D ．480 4．已知2tan62α=，则cos 2α=（）A ．725B ．149C ．925D ．549-5．已知sin 2cos 1sin 3cos 6αααα-=+，则22cos 3sin 24sin cos αααα-=+（）A ．1316-B ．1118-C ．712- D ．9146．已知实数[]15,15c ∈-，则直线2x y c -=与圆2220x y +=有公共点的概率为（） A ．35 B ．45 C ．23 D ．347．已知a ，b 是不共线的向量，在平面直角坐标系xOy 中，OA a λ=()λ∈R ，2OB a b =+，3OC a b =-若A ，B ，C 三点共线，则λ=（）A ．52-B ．23-C ．34D ．738．已知3,1,1k ∈--，4,2,2,6b ∈--，则直线y kx b =+经过第三象限的概率为（） A ．14 B ．34 C ．13 D ．239．执行如图所示的程序框图，若输出的值为2-，则判断框①中可以填入的条件是（）A ．999?n <B ．999?n >C ．999?n ≤D ．999?n ≥10．一名射击运动员连续射击5次，所得环数的平均数为8，标准差为12．，则这五次射击不可能出现的环数是（） A ．5B ．6C ．7D ．811．已知函数()2322sin 14f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向右平移ϕ()0ϕ>个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π12．已知1a =，2b =，4c =，a ，b 的夹角3πθ=，则()()a cbc -⋅-的最大值为（）A ．1747+B ．1285+．1825-．2037-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某花卉种植园有红、黄、白三个品种的菊花，红色菊花有60盆、黄色菊花有80盆、白色菊花有100盆，现要按照三种颜色菊花的数量比例用分层抽样的方法从中抽取48盆参加花展，则需要抽取______盆黄色菊花．14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制（打满三局），已知甲每局比赛获胜的概率均为07．．现用计算机随机产生的[]0,9之间的整数值来模拟甲和乙胜负的情况用0，1，2，3，4，5，6表示甲胜，用7，8，9表示乙胜由于是三局两胜制，所以以每3个随机数为一组，产生20组随机数：204，475，626，379，158，589，026，932，853，857，726，908，115，638，225，971，241，078，211，564．估计最终乙获胜的概率为______．151sin 20a +=︒，则tan50︒=______．（用含a 的式子表示） 16．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>在区间5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调的，且()566f f f πππ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知角α的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴正半轴重合，终边上有一点(),P a b ()0a <，且tan 2α=，5OP =． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()()()()()22sin cos tan cos tan αππαπααπα+++--的值． 18．已知向量1e 与2e 是夹角为3π的单位向量，且向量1234a e e =+． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）若122b e e λ=+，且a b ⊥，求实数λ的值．19．每到夏季，许多人选择到水上乐园游玩，某水上乐园统计了开业后第3～7天每天的游客人数y （万人）的数据，得到下面的表格：（Ⅰ）若与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）已知该水上乐园每天最大的游客承载量为10万人，如果某天的游客数量预计会超过该水上乐园每天最大的游客承载量，则当天需采取限流措施，根据（Ⅰ）中的回归方程估计：从第几天开始，该水上乐园需要采取限流措施？附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．已知函数()cos 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在区间(),0m 上单调递增，求m 的最小值；（Ⅱ）求函数2262y fx f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的值域．21．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0ω>）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和． 22．某家电商场搞开业庆典活动，购买家电的顾客可以参与“砸金蛋”的活动：每位顾客砸金蛋时一共摆放六个金蛋，其中有三个金蛋内装有红色纸条，另外三个金蛋内装有绿色纸条，每位顾客从中任选三个金蛋砸开．（Ⅰ）求砸开的三个金蛋中至少有两个金蛋内是红色纸条的概率． （Ⅱ）对砸金蛋的顾客有如下两种奖励方案：方案一：若三个金蛋内的纸条颜色相同，则奖励该顾客200元代金券；若有两个金蛋内是红色纸条，一个是绿色纸条，则奖励该顾客50元代金券，其余情况没有奖励．方案二：每砸出一个装有红色纸条的金蛋就奖励20元，没有红色纸条则没有奖励．该商场预计开业当天购买家电的顾客有300人，用不同奖励发生的概率代替对应奖励发生的频率，试估计并比较这两种方案商场发放的代金券总金额的大小．2020—2021学年（下）高一年级期末考试数学·答案一、选择题：本题共12小題，每小題5分，共60分．1．答案B命题意图本题考查概率的概念．解析击中的环数不小于8的频率为121380.5560++=，因此估计相应概率为055．． 2．答案B命题意图本题考查回归直线方程的性质． 解析∵()12479141896x =+++++=，回归直线过样本点的中心(),x y ， ∴ 1.892642.2y =⨯+=．3．答案C命题意图本题考查频率分布直方图．解析成绩在[)78,85分的学生人数为()6005004006005450⨯⨯++=．．．． 4．答案B命题意图本题考查二倍角公式的应用．解析221tan 1652cos 1671tan 2ααα--===-++，∴2251cos 22cos 1214949αα=-=⨯-=．5．答案A命题意图本题考查同角三角函数的关系． 解析由sin 2cos 1sin 3cos 6αααα-=+可得tan 3α=，则222222cos 3sin cos 3sin 24sin cos 2sin 2cos 4sin cos αααααααααα--==+++2213tan 127132tan 24tan 1821216ααα--==-++++． 6．答案C命题意图本题考查几何概型的概率计算．解析要使直线2x y c -=与圆2220x y +=有公共点，=≤，即10c ≤，∴1010x -≤≤，∴所求概率为202303P ==． 7．答案D命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析∵()12AB OB OA a b λ=-=-+，23BC OC OB a b =-=-，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使AB tBC =，即()()1223a b t a b λ-+=-，由于a ，b 不共线，∴12,23,t t λ-=⎧⎨=-⎩解得7,32,3t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴73λ=． 8．答案D命题意图本题考查直线方程、古典概型的概率计算．解析(),k b 所有的可能结果有()3,4--、()3,2--、()3,2-、()3,6-、()1,4--、()1,2--、()1,2-、()1,6-、()1,4-、()1,2-、()1,2、()1,6，共计12种，当0,0k b ≤⎧⎨≥⎩时，直线不经过第三象限，有()3,2--、()3,6-、()1,2-、()1,6-这4种情况，所以直线y kx b =+经过第三象限的概率为412111233-=-=． 9．答案A命题意图本题考查算法与框图的基本逻辑结构．解析由图可得()1lg1lg2lg2lg3lg lg 1S n n =+-+-+⋅⋅⋅+-+，则()1lg 12S n =-+=-，999n =，此时需终止循环，所以填写“999?n <”．10．答案A命题意图本题考查平均数与方差的性质．解析标准差为12．，则方差为1.44，若出现5环，因，()258185-=．，根据方差的计算公式，可知方差大于1.44，故不可能出现5环． 11．答案C命题意图本题考查三角函数的图象与性质． 解析∵()2cos 2sin 222sin 223f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()y f x =的图象向右平移ϕ()0ϕ>个单位长度后所得图象对应的函数为2sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，该函数为奇函数，则23πϕ-=k π()k ∈Z ，得26k ππϕ=-+()k ∈Z ，又0ϕ>．故最小值为6π． 12．答案A命题意图本题考查平面向量的数量积运算． 解析设a b +，c 的夹角为α．∵1a =，2b =，3πθ=，∴2124522cos 73a b a b π+=+⋅+=+⨯⨯=，∴7a b +=，而()()()22coscos 1617173a cbc a b a b c c a b c παα-⋅-=⋅-+⋅+=⨯-+⋅+=-≤+．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案16命题意图本题考查分层抽样的概念．解析三个品种的菊花共有6080100240++=盆，需要抽取黄色菊花488016240⨯=盆． 14．答案310命题意图本题考查古典概型的概率计算．解析20组随机数中含有7，8，9中的两个数字的有379，589，857，908，971，078，共6组，所以估计最终乙获胜的概率为362010P ==．15．答案4a命题意图本题考查三角恒等变换的应用． 解析∵12sin 20cos 20214sin 504sin 501sin 20sin 40cos50sin 402⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭+==︒︒︒︒︒︒==︒︒=4tan 50a ︒=，∴4tan 50a ︒=．16．答案53π命题意图本题考查三角函数的图象与性质. 解析由()f x 在区间5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且566f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭于对称．由56f f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭知()f x 的图象关于直线15112612x πππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭对称．设()f x 的最小正周期为T ，则有115412212T πππ=-=， 53T π=∴. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命題意图本题考查任意角的三角函数定义，以及诱导公式的应用． 解析（Ⅰ）由题意知tan 2baα==， ∴2b a =，又∵5OP ==，∴222525a b a +==，又0a <，∴a =，从而2b a ==-（Ⅱ）原式()()2222sin cos sin cos cos sin sin tan cos tan cos cos cos ααααααααααααα⋅-⋅===⋅⋅-⋅⋅，由（Ⅰ）知cos a OP α==．故原式=． 18．命題意图本题考查平面向量的运算． 解析（Ⅰ）∵12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， ∴()2221212112234349241637a e e e e e e e e =+=+=+⋅=+（Ⅱ）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=，又()()()()2212121122111342638463841022a b e e e e e e e e λλλλλλ⋅=+⋅+=++⋅+=++⨯+=+，∴111002λ+=，解得2011λ=-． 19．命题意图本题考查线性回归分析的应用． 解析（Ⅰ）由表中数据计算得，5x =，3y =，()()518.5i i i x x y y =--=∑，()52110i i x x =-=∑，()()()51521ˆ0.85iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆˆ30.855 1.25ay bx =-=-⨯=-． 所以回归方程为ˆ0.85 1.25yx =-． （Ⅱ）令ˆ10y>，得08512510x ->．．，得132x >．， 即从第14天开始，该水上乐园需要采取限流措施．20．命题意图本题考查三角函数的性质，以及三角恒等变换的应用． 解析（Ⅰ）令224k x k ππππ-<-<()k ∈Z ，得32244k x k ππππ-<<+()k ∈Z ， ∴()f x 在区间3,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故m 的最小值为34π-． （Ⅱ）22225cos cos 62124y fx f x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦51cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 1551cos cos 2sin sin 2sin 2266x x x ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1112sin 222x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭11sin 223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵x ∈R ，∴[]sin 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴1131sin 2,2322y x π⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即所求的函数的值域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21．命题意图本题考查三角函数的图象与性质． 解析（Ⅰ）∵()f x 相邻的两个零点间的距离2π， ∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=．又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k ∈Z ，即2k πϕπ=+()k ∈Z ，而0ϕπ<<，∴2πϕ=．故()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为()f x 的最小正周期为π， 所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期．因为3342<，作出()y f x =与43y =的大致图象如图．由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ，且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称， 所以1276x x π+=，34196x x π+=，故所有实数根之和为133π22．命题意图本题考查概率的计算方法，以及频率与概率的关系．解析设装有红色纸条的金蛋分别为A ，B ，C ，装有绿色纸条的金蛋分别为a ，b ，c ，则随机选其中三个所得结果的基本事件有ABC，ABa，ABb，ABc，ACa，ACb，ACc，Aab，Aac，Abc，BCa，BCb，BCc，Bab，Bac，Bbc，Cab，Cac，Cbc，abc，共20个．（Ⅰ）“至少有两个金蛋内是红色纸条”包含的基本事件有ABC，ABa，ABb，ABc，ACa，ACb，ACc，BCa，BCb，BCc，共10个．故所求概率为101 202=．（Ⅱ）方案一：“获得200元代金券”包含的基本事件有2个，概率为1 10；“获得50元代金券”包含的基本事件有9个，概率为920.所以发放的代金券总金额为19 3002003005012750 1020⨯⨯+⨯⨯=．方案二：“获得20元代金券”包含的基本事件有9个，概率为920；“获得40元代金券”包含的基本事件有9个，概率为920；“获得60元代金券”包含的基本事件有1个，概率为120．所以发放的代金券总金额为991 3002030040300609000 202020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．听以方案一商场发放的代金券总金额更大．。

2024届河南省商开九校联考数学高一下期末学业质量监测试题 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣62．以点()1,1和()2,2-为直径两端点的圆的方程是（ ）A ．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22315224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()225322x y +++= D ．()()223225x y +++= 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2CD ．24．已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A B =( ).A ．()23，B ．[)23，C ．[]42-，D ．()43-，5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 7．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度8．设定义域为R 的奇函数()f x 是增函数，若()2cos 2(2sin 2)0f m f m θθ-+-<对R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1)∞2,+B ．[1)-∞2,+C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，10AB AC ==2BC =，点M 为ABC 内切圆的圆心，若1010tan PMA +∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．689πB ．3481πC ．1369πD ．1363481π 10．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a>- B ．a b < C ．a b > D ．22a b > 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年河南省商丘一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）A．①用随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样2．已知，则＝（）A．B．3C．﹣3D．3．已知向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（）A．B．C．D．4．已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A 的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．6．先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．8．已知程序框图如图，则输出S的值为（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．610．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣＝0，则c＝（）A．4B．C．2D．311．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．612．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A．7B．11C．14D．28二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝．15．在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝．16．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．则对于下列判断①函数为偶函数．②直线是函数f（x）的一条对称轴．③函数y＝1与的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断序号为．三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分）17．已知||＝，||＝1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．18．甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若c＝4a，求tan A的值．20．某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所示：数学成绩分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数6090300x160（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）21．设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f （）＝．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（3）若f（x）＞，求x的取值范围．22．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22．（1）求通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c；（3）在（2）的条件下，求的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）A．①用随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样【分析】从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法．①中某社区420户家庭的收入差异较大；②中总体数量较少，且个体之间无明显差异．解：①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法；②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B．2．已知，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而根据两角和的正切函数公式即可计算得解．解：∵，∴sinα＝＝﹣，tanα＝＝﹣，故选：A．3．已知向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若∥，则有1×sinθ＝cosθ，变形即可得答案．解：根据题意，向量＝（1，），＝（cosθ，sinθ），若∥，则有1×sinθ＝cosθ，则tanθ＝；故选：B．4．已知点P（6，﹣8）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由诱导公式求得．解：由P（6，﹣8），得|OP|＝，∴cosα＝．故选：C．5．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1，则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A 的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】正方体的体积为1，与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，由此利用几何概型能求出在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于1的概率．解：本题是几何概型问题，正方体的体积为1，与点A距离等于1的点的轨迹是一个八分之一个球面，∴在该正方体内任取一点M，P＝＝．故选：D．6．先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）A．B．C．D．【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的当m＝2时，n＝1；当m＝6时，n＝1，2，3；当m＝6时，n＝1，2，3，4，5；故所求事件的概率是＝故选：D．7．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解：∵P是BN上的一点，设，由，＝＝＝解得λ＝，m＝故选：D．8．已知程序框图如图，则输出S的值为（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，用裂项法即可求解．解：模拟程序的运行过程，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，可得S＝++…+＝++…+﹣＝﹣＝．故选：C．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．6【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值及相应的n的值．解：设等差数列{a n}的公差为d，a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，解得d＝6，当n＝6时，S n取最小值﹣36．故选：D．10．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2﹣2x+2＝0的两个根，且2sin（A+B）﹣＝0，则c＝（）A．4B．C．2D．3【分析】依题意可求得a，b及C，再由余弦定理即可求得c．解：∵在锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+3＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝2，∴sin C＝，又△ABC为锐角三角形，∴c2＝a4+b2﹣2ab cos C＝12﹣4﹣2×2×∴c＝．故选：B．11．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n＝，b n＝，∴＝＝7+，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选：C．12．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（）A．7B．11C．14D．28【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x＝cos x求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组．解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），∴|a|＝2，若a＝7，则方程等价于sin（3x﹣）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时c＝；若b＝﹣4，此时c＝；综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣4，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．又∵x∈[0，3π]，∴x＝．故选：D．二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）＝sin x，从而求得函数的最大值．解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．14．已知数列{a n}满足a1＝a，，若a4＝0，则a＝．【分析】把n＝2，3，4分别代入到已知递推公式中可求a2，a2，a4，然后根据a4＝0可求a解：∵a1＝a，∴，，故答案为：15．在△ABC中，AB＝2，AC＝4．BC边上的中线AD＝2，则S△ABC＝．【分析】延长AD至E，使DE＝AD，由三角形全等可得△ABC的面积等于△ABE的面积S，解△ABE可得cos∠ABE，进而可得sin∠ABE，代入三角形的面积公式可得．解：由题意延长AD至E，使DE＝AD＝2，可证△BDE≌△CDA，其面积相等，由已知数据可得AB＝2，AE＝4，BE＝AC＝4，∴sin∠ABE＝＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．则对于下列判断①函数为偶函数．②直线是函数f（x）的一条对称轴．③函数y＝1与的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断序号为①③．【分析】首先利用已知条件求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性确定①的结论，进一步利用函数的对称性确定②的结论，最后利用函数的单调性的应用和函数的零点的应用确定③的结论．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为．所以f（x）min＝﹣3．所以A＝3，ω＝，所以φ＝kπ（k∈Z），由于0＜φ＜π，所以f（x）＝3sin（2x+）．对于②：当x＝时，f（）＝3sin（π）＝﹣，故②错误．当（k∈Z）时，解得（k∈Z）；所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；由于，同理（），（），（）单调递减．所以所有的横坐标之和为＝7π．故③正确．故答案为：①③三、解答题（共6道大题，17题满分70分，18-22题满分70分）17．已知||＝，||＝1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．【分析】（1）利用|﹣|2＝（﹣）2，直接计算即可；（2）通过，可得（﹣）•＝0，化简得cosθ＝1，结合0°≤θ≤180°即得结论．解：（1）∵，，的夹角θ为45°，∴＝2﹣2+1（2）∵，∴＝，∴cosθ＝1，∴θ＝45°．18．甲、乙二人参加台湾知识竞赛，共有6个不同的题目，其中选择题4个，判断题2个．甲、乙二人依次各抽一题，求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．【分析】（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，基本事件总数共有n＝6×5＝30，设事件A为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率．（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，事件C为“甲、乙二人都抽到判断题”，事件C包含基本事件数为m′＝2×1＝2，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．解：（1）“甲、乙二人依次各抽一题”，这一试验的基本事件总数共有n＝6×5＝30种不同结果．事件A包含基本事件数为m＝4×2＝8，（2）设事件B为“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”，则．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C．（1）求角B的大小；（2）若c＝4a，求tan A的值．【分析】（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a2+c2﹣b2＝ac，结合余弦定理算出cos B ＝，从而可得角B的大小；（2）由c＝4a，结合正弦定理，得sin C＝，4sin A，由sin C＝sin（A+B），可得，展开并化简得同角三角函数的商数关系，可算出tan A的值．解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得：a2+c2﹣b4＝ac，∴由余弦定理得，（2）∵c＝4a，由正弦定理，得sin C＝4sin A，∴sin cos A+cos sin A＝4sin A，整理得：，有．20．某中学共有1000名学生参加了“中原名校”的高三第二次模拟考试，数学成绩如表所示：数学成绩分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]人数6090300x160（1）在高考前的冲刺阶段，为了更好的了解同学们前段复习的得失，以便制定冲刺阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的可能性；（2）已知本次数学成绩的优秀线为115分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；（3）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【分析】（1）分层抽样中每个个体被抽到的可能性均相等，计算即可；（2）由题意求出表中x的值，再估计该中学达到优秀线的人数；（3）列出频率分布表，画出频率分布直方图，利用频率分布直方图求出平均分．解：（1）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性均为，所以甲同学被抽到的可能性为：P＝＝；所以估计该中学达到优秀线的人数为（3）填表如下，分组[0，30）[30，60）[60，90）[90，120）[120，150]频数6090300390160频率0.060.090.300.390.16频率/组距0.0020.0030.010.0130.0053画出频率分布直方图，如图所示；所以估计该学校本次考试的数学平均分为90分．21．设x∈R，函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）＝．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（3）若f（x）＞，求x的取值范围．【分析】（1）利用y＝cos（ωx+φ）型函数的周期公式，可求得ω的值，利用f（）＝，结合φ的范围即可求得φ的值；（2）由题意可得，利用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）的图象；（3）利用余弦曲线的性质即可得解．解：（1）周期，∴ω＝2，∵，（2）∵，列表如下：∴，k∈Z，可得：，∴x的范围是．22．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3•a4＝120，a2+a5＝22．（1）求通项a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c；（3）在（2）的条件下，求的最大值．【分析】（1）利用已知条件推出a3＝10，a4＝12．得到公差，然后求解通项公式．（2）{b n}是等差数列，通过2b2＝b1+b3，求解c即可．（3）求出f（n）的表达式，利用基本不等式求解最值即可．解：（1）∵{a n}为等差数列，∴a3+a4＝a2+a5＝22，又a3•a8＝120，方程两个根为：10；12，∴d＝2，（2）由（1）知，∵{b n}是等差数列，∴2b6＝b1+b3，∴c2﹣5c＝0．∴c＝2．∴≤＝．当且仅当n＝6时，表达式取得最大值：．。

2019-2020学年下期期末联考高一 数学试题第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是（ ）A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 4, 6, 8, 10C. 4, 14, 24, 34, 44D. 5, 16, 27, 38, 492．228与1995的最大公约数是（ ）A ．57B ．59C ．63D ．67 3．已知(3,)P y -为角β的终边上的一点，且13sin 13β=，则y 的值为 A ．12±B ．12C ．12- D ．2± 4．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A ．45，75，15B ．45，45，45C ．30，90，15D ．45，60，30 5．将二进制数110011（2）转化为十进制数，结果为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．546．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ． A 与B B ． B 与C C ．A 与D D ．B 与D 7．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且)()(21x f x f =12()x x ≠，则12()f x x +=（ ） A ．1B ．12C ．22D ．328． 已知程序框图如右图，如果输入三个实数a 、b 、c ， 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中， 应该填入 （ ）．A ．a x >B ．b x >C ．c x <D ．c x > 9．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求 得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原数据的平均数 和方差分别是 ( )A. 81.2, 84.4B. 78.8 , 4.4C. 81.2, 4.4D. 78.8, 75.610．已知关于x 的一元二次方程2220x bx a ++=，若a 是 从区间任取一个数，b 是从区间任取的一个数， 则上述方程有实根的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．3411．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被5整除的概率为 ( )A ．116B ．14C ．38D ．1212．在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为AB 边上的点且AP AB λ=u u u r u u u r，若CP AB PA PB ≥u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则λ的取值范围是（ ）A ．[12，1] B ．[222-，1 ] C ．[12，122+] D ．[122-，122+] 第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上． 13．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数 的和是______________ 14．已知1cos(75)3α+=o，其中α为第三象限角， 则cos(105)sin(105)sin(15)ααα-+-+-=ooo______.图1乙甲751873624795436853432115．用秦九韶算法计算多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-时的值时,3V 的值为 _________________.16．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π；⑤函数ln |1|y x =-的图象与函数2cos()y x π=-（24x -≤≤）的图像所有交点的横坐标之和等于6．其中正确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知tan ,tan αβ是方程24510x x +-=的两根，且0,22ππαβπ<<<<．(1)求tan()αβ+的值； （2）求αβ+的值．18．（本小题满分12分）已知函数),0,0)(sin()(R x A x A x f ∈<<>+=πϕϕ的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知α，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．19. （本小题满分12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概率.20.（本小题满分12分）某种产品在五个年度的广告费用支出x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：x2 4 5 6 8 y2035505580（I ）根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（II ）据此模型估计某年度产品的销售额欲达到108万元，那么本年度收入的广告费约为多少万元？（回归方程为ˆˆy bx a =+其中：1221,ni ii nii x y nx yb a y b x xnxΛΛΛ==-==--∑∑）21.（本小题满分12分）某校高一（1）班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法抽取4人组建了一个课外兴趣小组.（I ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（II ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（III ）在（II ）的条件下，第一次做实验的同学A 得到的实验数据为38,40,41,42,44，第二次做实验的同学B 得到的实验数据为39,40,40,42,44，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.22．（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．2019-2020学年下期期末联考高一数学参考答案一．选择题1. C2. A3. B4. D5. A6. C7. D8. D9. C 10. A 11. B 12. B 二．填空题 13. 64 14.32-22 15. 57- 16. ⑤ 三、解答题 17.答案：（1）.Q tan ,tan αβ是方程24510x x +-=的两根，∴51tan tan ,tan tan 44αβαβ+=-=-g ．∴5tan tan 4tan()111tan tan 1()4αβαβαβ-++===----g ……………5分（2）. Q 0,22ππαβπ<<<<，∴322ππαβ<+<，且tan()αβ+1=-，∴34παβ+=………………………10分18． 解：（1）依题意有1A = …………………………1分 则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，………3分而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=， 故()sin()cos 2f x x x π=+=……………………………………………6分 （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，…………………8分2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，…………………10分3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=…………12分 19. 解（Ⅰ）成绩落在的学生中任选两人，他们的成绩在同一分数段”，1A 表示“所选两人成绩落在内”，则1A 和2A 是互斥事件，且21A A A ⋃=, 从而)()()(21A P A P A P +=,因为1A 中的基本事件个数为15，2A 中的基本事件个数为3，全部基本事件总数为36， 所以 所求的概率为2136315)(=+=A P ……………………………12分20解：（Ⅰ）x==由题意 5 y 48……………………………………………2分5152215200ˆb=10205i ii ii x y x yxx ==-==-∑∑根据公式可得 ，……………………………………6分$481052ay bx =-=-⨯=-$， 故y 关于x 的线性回归方程为：$102y x =-……8分 （Ⅱ）当108y =时，代入回归直线方程得11x =，故本年度投入的广告费用约为11万元.……………………………12分 21．解：（Ⅰ）设课外兴趣小组中有x 名男同学，则45,45154x=+解得x =3，所以男同学的人数为3、女同学的人数分别为1. ……………3分（Ⅱ）把三名男同学和一名女同学分别记为123,,,,a a a b 则选取两名同学先后做实验的基本事件有：()()()()()()1213121232,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b ()1,,b a()()()31323,,,,,,a a a a a b ()()23,,,,b a b a 共12种， …………………5分其中有一名女同学的情况有6种， …………………6分 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61.122P ==…………8分 （Ⅲ）由题知，1384041424441,5x ++++==2394040424441,5x ++++== (9)分()()()()()22222213841404141414241444145s -+-+-+-+-==，()()()()()222222239414041404142414441 3.2,5s -+-+-+-+-==……………11分221221,.x x s s ∴=< 故同学B 的实验更稳定. …………………………12分22解：如图，在OBC Rt ∆中，OB=cosα，BC=sinα，在Rt △OAD 中，DA OA 3333α． 所以AB=OB ﹣OA=cos α3α．………………4分 设矩形ABCD 的面积为S ，则S=AB•B C=（cosα-33sinα）sinα =sin αcos α -33sin 2α =12sin2α+36cos2α﹣36 =33（32sin2α+12cos2α）﹣36=33sin （2α+6π）-36．………………………………8分由于0＜α＜3π，所以当2α+6π=2π， 即α=6π时，S 最大 =3﹣3=3． 因此，当α=6π时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36．………………12分。

2019-2020学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+ 所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题. 2．已知平面向量(4,2)a =-，(1,3)b =-，若a λb +与b 垂直，则λ=（ ） A ．2- B ．2C ．1-D ．1【答案】C【解析】由已知可得()0a b b λ+⋅=，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】因为a λb +与b 垂直，所以()0a b b λ+⋅=，即20a b b λ⋅+=，46100λ++⨯=，解得1λ=-.故选：C【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，涉及到向量垂直的坐标表示，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3．若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a1=1，则a4=（）A．12-B．32C．12D．2【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式列方程，求得d，进而求得4a. 【详解】由题意可得：S9=S4，∴9×1+36d=4×1+6d，解得d16 =-.∴a4=1﹣311 62⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．如果从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为（）A．310B．15C．110D．120【答案】A【解析】基本事件总数n3510C==，利用列举法求出这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有3个，由此能求出这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率.【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，基本事件总数n3510C==，这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有：{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，共3个，∴这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率p3 10 =.故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 5．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ） A．2πB．32πC ．3πD．3π【答案】C【解析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为3603012︒=︒ 则圆内接正十二边形的面积为：11211sin 3032⨯⨯⨯⨯=︒ 圆的面积为21ππ⨯=，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是3π． 故选：C 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题． 6．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A．12+B．C．D．6+【答案】D【解析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC的周长. 【详解】cos 3sin 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =， 2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是623a b c ++=+.故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）A ．a=4B ．a=5C ．a=6D ．a=7【答案】A【解析】由已知可得该程序的功能是 计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．∴a=4， 故选A ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点A ，B ，C ，O 满足：①AB BC λ=（0λ≠）；②A ，B ，O 确定一个平面；③398OB a OA a OC =+，则100S =（ ）A ．29B ．40C ．45D ．50【答案】D【解析】由题知、、A B C 三点共线，又398OB a OA a OC =+，得3981a a +=，由等差数列的前n 项和公式算出100S . 【详解】AB BC λ=，A B C ∴、、三点共线，又由②③得3981a a +=，因为等差数列{}n a ，所以()()1100391080100=50502S a a a a +=+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了共线向量定理，等差数列的前n 项和，等差数列的性质，考查了学生的运算求解能力.9．函数2()4cos ()2(0,0)2f x x πωϕωϕ=+-><<的相邻两条对称轴间的距离为,()2f x π的图象与y 轴交点坐标为()0,1，则下列说法不正确的是（ ）A ．56x π=是()f x 的一条对称轴 B ．1ω= C ．()f x 在(,)36ππ-上单调递增 D ．6π=ϕ 【答案】C【解析】首先根据二倍角公式化简函数()()2cos 22f x x ωϕ=+，由周期求ω，以及根据()0,1求ϕ的值，求得()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，并根据函数性质，依次判断选项. 【详解】由题意知2()4cos ()22cos(22)f x x x ωϕωϕ=+-=+，由周期为π，知1ω=；又因为(0)2cos21f ϕ==，0022πϕϕπ<<<<，即23πϕ=，6π=ϕ． 所以()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以B,D 正确 当56x π=时，52263πππ⨯+=，是函数()f x 的对称轴，所以A 正确；当36x ππ-<<时，22333x πππ-<+<此时当2033x ππ-<+<时，函数单调递增，当20233x ππ<+<时函数单调递减， 所以C 不正确. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质，属于中档题型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质.10．已知数列{}n a 满足：()()638,6,6n n a n n a n N a n +-⎧--≤⎪=∈⎨>⎪⎩，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,3 B ．[)2,3C ．10,37⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]2,3【答案】C【解析】根据{}n a 是递增数列，结合n a 的通项公式有76301a a a a->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解之得a 的范围【详解】由题意，数列{}n a 是递增数列 1、当6n ≤时，有30a ->； 2、当6n >时，有1a >； 3、76a a >，即106a a >-综上，有1037a << 故选：C【点睛】本题考查了数列的单调性，利用数列的单调性列不等式求参数范围，属于简单题 11．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．3【答案】C【解析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型. 12．已知α、β是函数()1sin cos 3f x x x =+-在[)0,2π上的两个零点，则()cos αβ-=（ ）A ．1-B ．89-C ．22-D ．0【答案】B【解析】利用已知条件求得2sin 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称性得出52παβ+=，进而利用二倍角的余弦公式可求得()cos αβ-的值. 【详解】()11sin cos 2sin 343f x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，由于α、β是函数()1sin cos 3f x x x =+-在[)0,2π上的两个零点， 则()0fα=，可得2sin 46πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，同理可得2sin 46πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 设αβ<，[)0,2απ∈时，9444πππα≤+<， 若442πππα≤+≤，则2sin 124πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，不合乎题意，所以，24ππαπ≤+≤，由正弦函数的对称性可知，344ππαβπ+++=，52a πβ∴+=，因此，()55cos cos cos 2cos 2cos 22222ππππαβαααααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦218cos 2cos 22sin 121244189πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．在ABC 中，2133AD AB AC =+，则BD DC=______．【答案】12【解析】利用向量减法得到B ，D ，C 三点共线的向量关系，即得到BDDC. 【详解】 因为2133AD AB AC =+，所以()113313AD AB AC AB AC AB -=-=-所以13BD BC =，所以12BD DC =即BD DC =12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了向量的共线关系，属于基础题. 14．关于x的方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，则sin cos 11tan 1tan θθθθ+=--______．【答案】【解析】利用方程的根得到sin ,cos θθ的关系，化简所求式，代入求值即可. 【详解】因为方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，所以sin cos θθ+=，sin cos 2m θθ=，因此，2222sin cos sin cos sin cos sin cos 11tan sin cos cos sin sin cos 1tan θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+=-----故答案为：【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值，属于基础题.15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积2228a b c S +-=，D 为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________．【答案】8-+【解析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=,所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形， 所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++．故答案为：853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.16．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______． 【答案】1m +【解析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）28n a n =-；（2）227,14724,5n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩. 【解析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）将n a 表示为分段的形式，分14n ≤≤和5n ≥两种情况讨论，结合等差数列求和公式可求得n T . 【详解】（1）因为27n S n n =-，所以当2n ≥时，()()()221717128n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 又因为1n =时，116a S ==-适合上式，所以28n a n =-；（2）因为82,142828,5n n n a n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩. ①当14n ≤≤时，0n a ≤，所以212127n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=---⋅⋅⋅-=-=-+；②当5n ≥时，0n a >，所以123512345n n n T a a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=----++⋅⋅⋅+242724n S S n n =-=-+.所以227,14724,5n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩. 【点睛】本题考查利用n S 求通项，同时也考查了含绝对值的等差数列求和，考查计算能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.18．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）．（1）求直方图中x 的值；（2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）；（3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？ 【答案】（1）0.56x =；（2）1.43千克；（3）16. 【解析】（1）利用频率之和为1计算；（2）由频率分布直方图估计平均值即组中值乘以对应频率之和； （3）该概率模型为几何概型，利用长度关系即可计算. 【详解】（1）由频率之和为1，可得()0.10.40.60.30.040.51x +++++⨯=，所以0.56x =；（2）由频率分布直方图，估计平均值即组中值乘以对应频率之和，0.10.50.250.40.50.750.560.5 1.250.60.5 1.75⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.30.5 2.250.040.5 2.75 1.43+⨯⨯+⨯⨯=，所以鱼的重量为1.43千克；（3）设游客在上午七点后随机到达码头乘船等待不超过10分钟的概率为P所以101606P ==. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算图中参数以及估计平均值，考查几何概型的概率计算，属于基础题. 19．已知向量()3cos ,1a x =-，()sin ,b x m =，m R ∈．（1）若m =，且//a b ，求3sin cos sin cos x xx x-+的值；（2）已知函数()()2122f x a b b m =-+⋅+，若()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求m 的取值范围．【答案】（1）5；（2）[]1,0-.【解析】（1sin 0x x =，进而求得tan 3x =-，将3sin cos sin cos x xx x -+化为3tan 1tan 1x x -+即可求出；（2）先求出()f x ，令()0f x =，分离参数得sin 265πx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求出5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦得值域即为m -的范围. 【详解】（1）因为()3cos ,1a x =-，()sin ,b x m =，m R ∈，m =，且//a b ，sin 0x x =即tan 3x =-， 所以3sin cos 3tan 15sin cos tan 1x x x x x x --==++；（2）因为()())()2212212sin ,1sin ,2f x a b b m x x m x m m =-+⋅+=-+-+2sin 2265πx m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，即sin 265πx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有解， 当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0sin 2165πx ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以10m -≤≤．【点睛】本题考查向量坐标的运算，向量平行时坐标的关系，以及二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及零点的定义.20．下表是某市2013年至2019年生活垃圾无害化处理量（单位：十万吨），经研究发现可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，但在分析数据时不慎出现污损，不过研究过程中已经计算得：7116.45ii y==∑，7168.51i i i t y ==∑．（1）求y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）； （2）预测2021年该市生活垃圾无害化处理量．附注：回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：ˆˆa y bt =-，()()()121ˆniii nii tty y btt==--=-∑∑，【答案】（1）ˆ0.10 1.96y t =+；（2）28.6万吨.【解析】（1）利用表格数据和回归方程公式，代入求解即得； （2）将9t =代入回归方程，即得估计值. 【详解】解：（1）由表格中数据和附注中参考数据得：4t =，7221728i i t t =-=∑，777111768.51416.45 2.71i i i i i i i i t y t y t y t y ===-=-=-⨯=∑∑∑由16.45 2.357y ==及()()()771177222117ˆ7iii ii i i i i i tty y t y t yb t tt t====---==--∑∑∑∑得 2.71ˆ0.09728b=≈ ˆˆ 2.350.0974 1.96ay bt =-≈-⨯≈，所以，y 关于t 的回归方程为：ˆ0.10 1.96yt =+； （2）将2021年对应的9t =代入回归方程得：ˆ0.109 1.96 2.86y=⨯+= 所以预测2021年该市生活垃圾无害化处理量将约为28.6万吨. 【点睛】本题考查了线性回归方程及应用，属于基础题. 21．已知函数()4sin cos122xxf x ωω=+，其中常数0>ω．（1）()y f x =在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； （2）若4ω<，将函数()y f x =图象向左平移3π个单位，得到函数y g x 的图象，且过,16πP ⎛⎫⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间[,]a b （a ，b R ∈且a b <）满足：y g x 在[,]a b 上至少含30个零点，在所上满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值； （3）在（2）问条件下，若对任意的,612ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()210g x mg x --≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）203ω<≤；（2）433π；（3）83m ≥．【解析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数()2sin()1f x x ω=+，0>ω即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求ω的范围即可；(2)根据函数图象平移得到()2sin 13πg x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由其过P 点且04ω<<求出ω值，yg x 在[,]a b 上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知b a -的最小值；(3)由不等式恒成立，令()21t t mt ϕ=--，即()max 0t ϕ≤成立即可求m 的范围【详解】解（1）由题意，有()2sin()1f x x ω=+，又0>ω则最小正周期2T πω=由正弦函数的性质，当2πx ω=-，函数取得最小值，2x πω=函数取得最大值∴,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的一个单调递增区间 若函数()2sin 0y x ωω=>在3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则23ππω-≤-且324ππω≥ 解得203ω<≤（2）∵由（1）：()2sin 1f x x ω=+ ∴将函数()y f x =图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 13πy g x x ωω⎛⎫==++ ⎪⎝⎭的图象∵()g x 的图象过,16πP ⎛⎫⎪⎝⎭． ∴()2sin 11663ππf πωω⎛⎫=++=⎪⎝⎭，可得：sin 02πω=，解得：2k πωπ=，k Z ∈， 即：2k ω=，k Z ∈， ∵04ω<<∴2ω=，可得()g x 的解析式为：()22sin 213πg x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴()g x 的周期为22T ππ== 在区间[,]a b （a ，b R ∈且a b <）满足：y g x 在[,]a b 上至少有30个零点，即21sin 232πx ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在[,]a b 上至少有30个解． ∴有252236ππx k π+=-或22236ππx k π+=- 解得：34πx k π=-或512πx k π=-分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度53()1243k k πππππ---=，最大为波峰跨度：233πππ-=∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，b a -有最小值 即，在所有满足上述条件的[,]a b 中b a -的最小值为431433πππ⨯+= （3）()[]2,3g x ∈，设()21t t mt ϕ=--，[]2,3t ∈∵()()(){}max max2,30t ϕϕϕ=≤即可只需要()()2030ϕϕ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩解得83m ≥综上所述83m ≥ 【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，23a =，()211n n S n a n -+=-+（其中n ∈+N ）． （1）求证数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若不等式()1812nn n a nλ++⋅-≤对任意的n ∈+N 恒成立，则实数λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；()*21n a n n N=-∈；（2）212λ≤-． 【解析】（1）消n S ，得n a ，1n a +间的递推关系，整理得1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求通项公式即可；（2）分离参数，构造函数()f n ，则只需求其最小值，使()min f n λ≤即可. 【详解】解（1）()()*211n n S n a n n --=-+∈N，∴()1122n n S n a n ++-+=-，得()()112211n n n a n a n a ++-+++=-， 即()111n n na n a +-+=．两边同除以()1n n +，可化为()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++， 即111011n n a a n n n n +⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1121a +=为首项，公差为零的等差数列，于是12n a n +=．∴数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N =-∈．（2）∴不等式()1812nn n a nλ++⋅-≤对任意的n N +∈恒成立， 即不等式()81212nn n nλ+⋅-≤+对任意的n N +∈恒成立 ∴()()21812nn n n λ⎡⎤++⋅-⎣⎦≤，记()()()21812nn n f n n⎡⎤++⋅-⎣⎦=，即，()min f n λ≤， ①当n 为奇数时，()()()21841522n n f n n nn+-==--随着n 的增大而增大，∴此时()()min 152111422f n f ==--=-； ②当n 为偶数时，()()()21841717222n n f n n nn++==++>，∴此时()min 172122f n >>-； 综合①、②可知()min 212f n =-，即212λ≤-．【点睛】本题考查了等差数列和有关正整数的恒成立问题，属于中档题.。