2017-2018学年北京市民大附中高二(上)期末数学试卷

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题：:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（ ） A. n ∀∈N ，2n n … B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2n n … D. n ∃∈N ，2n n >2.关于直线a ，b 以及平面M ，N 下列命题中正确的是（ ） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C.若b M ⊂，且a ⊥b ，则a ⊥M D.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（ ） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=xsinx 的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -= B.22145x y -= C. 22154x y -= D.22143x y -= 7.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（ ）A. 23B. 25C.5D.68.已知点A(-1,1).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②()2220y x x=--剟；③()01y x x =-剟； ④()299024y x x =-剟；其中，Γ型曲线的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=e x -x-1的零点个数是________.10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.若函数f(x)=alnx-x 在区间(0,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.13.如图，在三棱锥A-BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）15.（本小题13分）已知函数31()443f x x x =-+.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.16.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC=90°.17.（本小题14分）在Rt △ABF 中，AB=2BF=4，C ，E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形沿CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面AEF ； （Ⅱ）求：三棱锥C-EBD 的体积.18.（本小题13分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y 0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a>0，且对x ∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l 与椭圆C 交于点E 、F ，且165EF =，求直线l 的方程； （Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以P G ，PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； 20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x 2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.参考答案―、选择题（每小题4分，共40分。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知点A∈直线l，又A∈α，则（）A．l∥α B．l∩α=A C．l⊂α D．l∩α=A或l⊂α2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b4．（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两对夺取冠军的概率分别是和，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳7．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x 轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．38．（5分）函数f（x）=的部分图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）曲线f（x）=e x在点A（1，f（1））处的切线方程为．10．（5分）设某总体是由编号为001，002，…，190，200的200个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取三个数字（每三个数字为一个编号），则选出来的第5个个体的编号为．11．（5分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出80名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）[79.5，89.5）这一组的频率是．（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）为．12．（5分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x＜3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．三、解答题（共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线FG∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面PAD．16．（12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）；按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．17．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+2alnx+5．（Ⅰ）若a=﹣1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a＞1，∀x∈（1，+∞），有不等式f（x）≥2alna﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．（Ⅰ）若椭圆C1的焦点在x轴上，且左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A（a，0），短轴长为2b，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为，求椭圆C1的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若圆C2：x2+y2=1的任意一条切线都与椭圆C1交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标；若命题为假命题，说明理由．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知点A∈直线l，又A∈α，则（）A．l∥α B．l∩α=A C．l⊂α D．l∩α=A或l⊂α【解答】解：∵点A∈直线l，又A∈α，∴直线l与平面α有公共点A，∴l∩α=A或l⊂α．故选：D．2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．3．（5分）关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【解答】解：对于A，若a∥b，b⊂α，则a可能在α内，故A错误；对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b平行或者异面；故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质容易判断a∥b；故C正确；对于D，若a∥α，b∥α，则a与b可能平行、相交或者异面；故D错误．故选：C．4．（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p=．故选：D．5．（5分）某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两对夺取冠军的概率分别是和，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和，∴该市足球队夺得全省足球冠军的概率为：p=1﹣（1﹣）（1﹣）=．故选：C．6．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．7．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x 轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2 C．2 D．3【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2．故选：C．8．（5分）函数f（x）=的部分图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0时，即时，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即x或x时，函数f（x）单调递减，只有选项B符合，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）曲线f（x）=e x在点A（1，f（1））处的切线方程为y=ex．【解答】解：∵f（x）=e x∴f（1）=e且f′（x）=e x根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=e∴函数f（x）=e x在x=1处的切线方程是y﹣e=e（x﹣1），即y=ex故答案为：y=ex．10．（5分）设某总体是由编号为001，002，…，190，200的200个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取三个数字（每三个数字为一个编号），则选出来的第5个个体的编号为105．【解答】解：从随机数表由左到右依次选取三个数字小于200的编号依次为：181，171，097，067，105，则第5个个体的编号为105．故答案为：10511．（5分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出80名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）[79.5，89.5）这一组的频率是0.25．（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）为75%．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[79.5，89.5）这一组的频率是0.025×10=0.25．故答案为：0.25．（2）由频率分布直方图估计这次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10×100%=75%．故答案为：75%．12．（5分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x＜3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，a＞0，得a＜x＜3a；命题q：实数x满足2＜x＜3，∵p是q的必要不充分条件，∴由p得不到q，而由q能得到p；∴，∴1≤a≤2；因此，实数a的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]13．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中侧面PAB⊥底面ABC，底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO⊥底面ABC，PO=2，AO=1．该三棱锥的体积为：=．故答案为：14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（，）（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．【解答】解：（1）由题意可得射线OM方程为y=x（x＞0）与圆x2+y2=1联立，解得x=，y=，即有N（，）；（2）双曲线x2的渐近线方程为y=±x，代入圆x2+y2=1可得四个交点（，），（﹣，），（﹣，﹣），（，﹣）；即有曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为120°，半径为1，则弧长为．故答案为：（1）（，）；（2）．三、解答题（共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：直线FG∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面PAD．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA中点M，连接FM，BM．因为F为PD中点，所以FM∥AD，且．因为ABCD为正方形，且G为BC中点，所以BG∥AD，且．所以FM∥BG，FM=BG，所以四边形FMBG为平行四边形．所以FG∥BM．因为BM⊂平面PAB，FG⊄平面PAB，所以FG∥平面PAB．解：（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥CD．因为ABCD为正方形，所以AD⊥CD．因为PD∩AD=D，且PD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为E，F分别为PD，PC中点，所以EF∥CD．所以EF⊥平面PAD．因为EF⊂平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD．16．（12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）；轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A 2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，故P（E）=，即所求概率为．（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，∴P（D）=，即所求概率为．17．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+2alnx+5．（Ⅰ）若a=﹣1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a＞1，∀x∈（1，+∞），有不等式f（x）≥2alna﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣2lnx+5，∴．由f'（x）=0知，x=1．可得x，f'（x），f（x）的变化关系如下表：∴f（x）的极小值为f（1）=1+5=6，无极大值．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．由f'（x）=0知，x1=1，x2=a．由a＞0，可分类情况如下：（1）当0＜a＜1时，x，f'（x），f（x）的变化关系如下表：∴f（x）的单调增区间为（0，a），（1，+∞）；单调减区间为（a，1）．（2）当a=1时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；无单调减区间．（3）当a＞1时，x，f'（x），f（x）的变化关系如下表：x（0，1）1（1，a）a（a，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增∴f（x）的单调增区间为（0，1），（a，+∞）；单调减区间为（1，a）．综上所述，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为（0，a），（1，+∞）；单调减区间为（a，1）．当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；无单调减区间．当a＞1时，f（x）的单调增区间为（0，1），（a，+∞）；单调减区间为（1，a）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a＞1时，f（x）在区间（1，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增，∴．∵∀x∈（1，+∞），有不等式f（x）≥2alna﹣3恒成立，∴f（x）min≥2alna﹣3，即a2﹣2（a+1）a+2alna+5≥2alna﹣3．∴﹣4≤a≤2．又∵a＞1，∴1＜a≤2．综上所述，实数a的取值范围为（1，2]．18．（12分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．（Ⅰ）若椭圆C1的焦点在x轴上，且左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A（a，0），短轴长为2b，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为，求椭圆C1的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若圆C2：x2+y2=1的任意一条切线都与椭圆C1交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标；若命题为假命题，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为．依题意有：|AF|=a+c，|EO|=c．∴，即c2+ac=b2，又∵a2=b2+c2，∴2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0，0＜e＜1，解得椭圆的离心率e=．（Ⅱ）命题“若圆C2：x2+y2=1的任意一条切线都与椭圆C1交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”为真命题．设椭圆C1：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C2上任意一点，则过点P的圆C2的切线方程为sx+ty=1．∵圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设t≠0．由，得（mt2+ns2）x2﹣2nsx+n﹣t2=0∴∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，代入有m+n﹣1=0．∴满足椭圆的方程．即m（x2﹣y2）+y2﹣1=0对任意0＜m＜1且均成立．∴即x 2=y 2=1．∴满足条件的椭圆C 1恒过定点（1，1），（﹣1，1），（1，﹣1），（﹣1，﹣1）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q) ()2b f a-0xx<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

北京市民大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数(1−2i)2(2+i)2的模为()A. 1B. 2C. √5D. 52.已知数列{a n}中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1−a n，则a5=()A. 6B. −6C. 3D. −33.已知椭圆的方程为y225+x216=1，则椭圆的长轴长为()A. 4B. 5C. 10D. 84.已知f′(x)是(x)的导函数，f(x)=sin2x，则f′(π2)=()A. −2B. 2C. 0D. −15.已知等比数列{a n}满足a1+a3=2a2，则公比q=()A. −2B. 2C. −1D. 16.已知a⃗=(2,y，2)，b⃗ =(x,−1,1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数x，y满足的关系式为()A. 2x−y=0B. 2x+y=0C. 2x+y−2=0D. 2x−y+2=07.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A. a+b≥2√abB. a2+b2>2abC. ab +ba≥2 D. |ab+ba|≥28.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为()A. √52B. √53C. 2√55D. 23二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x2−y2=1的渐近线方程为______ ．10.设复数z=(5+i)(1−i)(i为虚数单位)，则z的虚部是______．11.函数f(x)=1+xe x的极大值是________12.不等式1−x2+x≥0的解集为______ ．13.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为______ ．14.已知当x∈[0,1]时，函数y=(ax−1)2的图象与y=√x+a的图象有且只有一个交点，则正实数a的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x+y+2=0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值与最小值．17.三棱柱ABC−A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中．已知AB=2，AC=4，A1A=3，D是BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1−A1D−C1的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(−1,2√33)在椭圆C上，|PF2|=4√33，过点F1的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若△OMN的面积为1211，O为坐标原点，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=lnx+ax+1，a∈R．(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b，求a，b的值；(2)记g(x)=f(x)+ax，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，关于x的方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．20.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(1)求a2，a3；(2)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(3)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 解：∵(1−2i)2(2+i)2=1−4i+4i 24+4i+i 2=−3−4i 3+4i=−1，∴|(1−2i)2(2+i)2|=1．故选：A ．2.答案：B解析：解：∵数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1−a n ， ∴a 3=a 2−a 1=3，同理可得：a 4=3−6=−3，a 5=−3−3=−6． 故选：B ．利用递推关系即可得出．本题考查了递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：椭圆的方程为y 225+x 216=1， 可得椭圆的焦点在y 轴上，即有a =5，可得椭圆的长轴长为2a =10． 故选：C ．求得椭圆的a =5，可得长轴长为2a =10．本题考查椭圆的方程和性质，考查长轴长的求法，属于基础题．4.答案：A解析：先求导，再代值计算即可．本题考查了复合函数的求导公式，属于基础题．解：f′(x)=2cos2x，∴f′(π2)=2cosπ=−2，故选：A．5.答案：D解析：解：根据题意，等比数列{a n}满足a1+a3=2a2，即a1+a1q2=2a1q，则有q2−2q+1=0，解可得q=1，故选：D．根据题意，由等比数列的性质可得a1+a1q2=2a1q，变形可得q2−2q+1=0，解可得q的值，即可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式，属于基础题．6.答案：D解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2x−y+2=0，故选：D．a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7.答案：D解析：解：对于A，若a，b<0，a+b≥2√ab不成立；当a，b>0，不等式成立，且a=b时取等号．故A不恒成立；对于B，若a=b，则a2+b2=2ab，若a≠b，a2+b2>2ab成立．故B不恒成立；对于C，若ab<0，则ab +ba<2；若ab>0，则ab+ba≥2成立．故C不恒成立；对于D，|ab +ba|=|ab|+|ba|≥2恒成立，且|a|=|b|时取得等号．故选：D．由a，b<0，可判断A不恒成立；由a=b，可判断B不恒成立；由ab<0，可判断C不恒成立；运用绝对值的性质和基本不等式，即可得到D恒成立．本题考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查重要不等式a2+b2≥2ab，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查了直线与平面之间所成角，属于简单题．连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在直角三角形AEB中求出正切值即可．解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE=√22+12=√5，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：ABAE =2√55．故选C．9.答案：y=±x 解析：由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．解：由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则双曲线x2−y2=1的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．10.答案：−4解析：解：∵z=(5+i)(1−i)=6−4i．∴z的虚部是−4．故答案为：−4．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.答案：1解析：本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题，先求函数f(x)=1+xe x的导数，令导数等于0，求得导数等于0的点，再判断左右导数的符号即可．解：∵函数f(x)=1+xe x ，∴f′(x)=ex−e x(1+x)e2x=−xe x，令f′(x)=0，解得x=0，∴当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x=0是函数f(x)=1+xe x的极大值点，∴f(x)=1+xe x的极大值是f(0)=1．故答案为1．12.答案：(−2,1]解析：不等式1−x2+x ≥0⇒x−1x+2≤0⇒{(x+2)(x−1)≤0x+2≠0，运用一元一次不等式组的解法，计算即可得到所求解集．本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，也可转化为二次不等式，注意分母不为0，考查运算能力，属于基础题．解：不等式1−x2+x ≥0⇒x−1x+2≤0，⇒{(x+2)(x−1)≤0x+2≠0即有−2<x≤1，则−2<x≤1，即解集为(−2,1]．故答案为(−2,1]．13.答案：2√2解析：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理进行求解，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|.直线l的方程即为x=1+y代入y2=4x得：y2−4y−4=0，由此能求出△OAB的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，直线l的方程为y=x−1，直线l的方程即为x=1+y，代入y2=4x得：y2−4y−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√2，∴S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|=12×4√2=2√2．故答案为：2√2．14.答案：(0,1]∪[3,+∞)解析：本题考查了函数图象的交点问题，涉及函数单调性与值域，是中档题．根据函数y=(ax−1)2和y=√x+a的解析式，讨论0<a≤1和a>1时，对应函数的单调性和值域，从而求出满足题意的a的取值范围．解：根据题意，a为正数，y=(ax−1)2为二次函数，在区间(0,1a )为减函数，(1a,+∞)为增函数，且函数y=√x+a为增函数，分2种情况讨论：①当0<a≤1时，有1a≥1，在区间[0,1]上，y=(ax−1)2为减函数，且其值域为[(a−1)2,1]，函数y=√x+a为增函数，其值域为[a,1+a]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当a>1时，有1a<1，y=(ax−1)2在区间(0,1a )为减函数，(1a,1)为增函数，函数y=√x+a为增函数，其值域为[a,1+a]，若两个函数的图象有1个交点，则有(a−1)2≥1+a，解可得a≤0或a≥3，又由a为正数，则a≥3；综合可得：a的取值范围是(0,1]∪[3,+∞)；故答案为：(0,1]∪[3,+∞)．15.答案：解：(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，b n=b2q n−2=3×3n−2=3n−1；即有a1=b1=1,a14=b4=27，则d=a14−a114−1=2，则a n=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；(2)c n=a n+b n=2n−1+3n−1，则数列{c n}的前n项和为：(1+3+...+2n−1)+(1+3+...+3n−1)=1+2n−12×n+1−3n1−3=n2+3n−12．解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，属于中档题．(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；(2)求得c n=a n+b n=2n−1+3n−1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可．16.答案：解：(1)因为f(x)=x3+ax2−1，所以f′(x)=3x2+2ax，f′(−1)=3−2a，所以函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线的斜率为3−2a，因为函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x+y+2=0，所以3−2a=−3，解得a=3，f(x)=x3+3x2−1综上所述，结论是：f(x)=x3+3x2−1(2)由(1)知：f(x)=x3+3x2−1，f′(x)=3x(x+2)，令f′(x)=0，解得x=0或−2舍去，当−1≤x<0时，f′(x)<0，当0<x≤2时，f′(x)>0所以f(x)在[−1,0)上是减函数，在(0,2]上是增函数，所以当x=0时，f(x)取得最小值，最小值是f(0)=−1因为f(−1)=1，f(2)=19，所以f(2)>f(−1)，所以f(x)的最大值为19综上所述，结论是：函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值是19，最小值是−1解析：本题考查函数的导数几何性质以及最值，属于基础题．(1)利用函数的导数的几何意义求出参数的值，得出结果．(2)利用函数的导数判断函数的单调性，确定函数的最值．17.答案：解：(1)根据题意，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，D(1,2，0)，A 1(0,0，3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4，3)， ∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−3)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)， 设平面A 1C 1D 的一个法向量是n ⃗ =(x,y ，z)， 可得：{n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −3z =0n⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y =0，取z =1，得x =3，y =0，可得n⃗ =(3,0，1)， 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为α，而DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,3)，∴sinα=|cos <n ⃗ ，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|3×1+0×(−2)+1×3|√10⋅√14=3√3535． 因此，直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值等于3√3535； (2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，结合A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−3)、A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，可得：{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b −3c =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0，取b =3，得a =0，c =2，可得m ⃗⃗⃗ =(0,3，2)， 设二面角B 1−A 1D −C 1的大小为β，得 |cosβ|=|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|0×3+3×0+2×1|√13⋅√10=√2√65∴sinβ=√1−cos 2β=3√45565，即二面角B 1−A 1D −C 1的正弦值等于3√45565．解析：(1)由题中的坐标系，得到A 、B 、C 、D 、A 1、B 1、C 1各点的坐标，从而得出A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出n ⃗ =(3,0，1)是平面A 1C 1D 的一个法向量，结合DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,3)，利用空间向量的夹角公式和直线所平面所成角的定义与性质，即可算出直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标利用数量积为零建立关于a 、b 、c 的方程组，得到m ⃗⃗⃗ =(0,3，2)，结合n ⃗ =(3,0，1)是平面A 1C 1D 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出n ⃗ 、m ⃗⃗⃗ 夹角的余弦值，再由同角三角函数的关系即可算出二面角B 1−A 1D −C 1的正弦值． 本题在指定空间坐标系内求直线与平面所成角和二面角的大小．着重考查了空间向量的夹角公式和利用空间向量研究空间角的知识，属于中档题．同时考查了空间想象能力，逻辑推理能力和运算能力，是一道不错的综合题．18.答案：解：(1)由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，由|PF 2|=(2√33)=4√33，解得：c =1，则F 1(−1,0)，PF 1⊥F 1F 2，则丨PF 1丨=2√33， 由丨PF 1丨+丨PF 2丨=2a =2√3，a =√3， b 2=a 2−c 2=2，离心率e =ca=√33， ∴椭圆的标准方程：x 23+y 22=1；(2)当直线MN 与x 轴垂直时，丨MN 丨=4√33，则△OMN 的面积S △OMN =2√33，不符合题意，舍去； 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线l ：y =k(x +1)，{x 23+y 22=1y =k(x +1)，整理得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0， 则x 1+x 1=6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，丨MN 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(k 2+1)2+3k ， 原点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2， 则三角形的面积S △OMN =12×2√3(k2+1)2+3k 2=1211，解得：k 2=3，则k =±√3，∴直线MN 的方程为y =√3(x +1)或y =−√3(x +1)．解析：(1)由两点之间的距离公式|PF 2|=4√33，即可求得c 的值，即可求得丨PF 1丨=2√33，根据椭圆的定义，即可求得a 的值，求得b 的值，求得椭圆方程；(2)由当直线MN 与x 轴垂直时，显然不成立，设直线l 的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求k 的值，求得直线l 的方程．本题考查椭圆的定义及方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)f′(x)=1x −ax 2，则f′(1)=1−a =2， 解得a =−1，则f(x)=lnx −1x +1，此时f (1)=ln1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2， 所以a =−1，b =−2;(2)g(x)=f(x)+ax =lnx +ax +ax +1，g′(x)=1x−a x2+a =ax 2+x−ax 2．①当a =0时，g′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0,12)上为增函数，g(x)在区间(0,12)上无最小值． ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根， 设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1， 则两根一正一负， 不妨设x 1<0<x 2．设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0)， (i)若a >0，若x 2∈(0,12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a4+12−a >0， 解得0<a <23．此时x ∈(0,x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减， x ∈(x 2,12)时，m(x)>0，则g(x)递增，当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0,12)，m(x)<0，g(x)在(0,12)单调减，无最小值． (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增，x ∈(x 2,+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减，在区间(0,12)上，g(x)不会有最小值． 所以a <0不满足条件．综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0,12)上有最小值; (3)当a =0时，由方程f(x)=bx 2，得lnx +1−bx 2=0， 记ℎ(x)=lnx +1−bx 2，x >0，则ℎ′(x)=1x−2bx =−2bx 2+1x．①当b ≤0时，ℎ′(x)>0恒成立，即ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数， 则函数ℎ(x)至多只有一个零点，即方程f(x)=bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．②当b >0时，当x ∈(0,√12b)时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)递增； 当x ∈(√12b,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)递减，则ℎ(x)max =ℎ(√12b )=ln√12b +12．要使方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根， 则ℎ(√12b )=ln√12b +12>0，解得0<b <e2，(i)当0<b <e2时，ℎ(1e )=−be <0. 又(1e )2−(√12b)2=2b−e 22be 2<0，则1e <√12b ，所以存在唯一的x 1∈(1e,√12b)，使得ℎ(x 1)=0.(ii)ℎ(1b )=ln 1b +1−1b =−lnb +1−1b ，记k(b)=−lnb +1−1b ，0<b <e2， 因为k′(b)=−1b +1b =1−b b ，则k(b)在(0,1)上为增函数，在(1,e2)上为减函数， 则k(b)max =k(1)=0，则ℎ(1b )≤0. 又(1b )2−(√12b)2=2−b 2b 2>0，即1b >√12b ，所以存在唯一的x 2∈(√12b ,1b]，使得ℎ(x 2)=0，综上，当0<b <e2时，方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．(1)求出函数f(x)的导数f′(x)，则f′(1)=1−a=2解得a的值，求得f(x)=lnx−1x+1，得切点即可；(2)函数g(x)=f(x)+ax=lnx+ax +ax+1，其导数g′(x)=1x−ax2+a=ax2+x−ax2，对a分类讨论，得出其单调性．20.答案：解：(1)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，∴S2=4a1−2=6.∴a2=S2−a1=4．同理可得a3=8．(2)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，∴S n=4a n−1−2(n≥2)．两式相减得：a n+1=4a n−4a n−1,变形得：a n+1−2a n=2a n−4a n−1=2(a n−2a n−1)(n≥2)，则：a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)(n≥3)，a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)=22(a n−2−2a n−3)=23(a n−3−2a n−4) =2n−2(a2−2a1)，∵a2−2a1=0∴a n−2a n−1=2n−2(a2−2a1)=0，数列{a n−2a n−1}是常数列．(3)由(2)可知：a n=2a n−1(n≥2)，数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=2n，∴a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12，a1−1 a2−1+a2−1a3−1+...+a n−1a n+1−1<12+12+...+12=n2．解析：本题考查数列的性质及综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．(1)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，知S2=4a1−2=6.所以a2=S2−a1=4.a3=8．(2)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，知S n=4a n−1−2(n≥2)，所以a n+1=4a n−4a n−1，由此入手能推导出数列{a n−2a n−1}是常数列；(3)由题设条件知a n=2n，所以a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12，由此可得结论．。

2015-2016学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知命题，，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．下列函数在区间内单调递减的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．6．“”是“曲线为双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在实数集中定义一种运算“*”，对任意，，为唯一确定的实数，且具有性质： （）对任意，；（）对任意，，． 关于函数的性质，有如下说法： ①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为． 其中所有正确说法的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．U =Z 01{}1A =﹣,,3{}01B =,,U B A =I ð{}3{0}1，{}1-{13}-，52i-2i +2i -+2i --2i -:0p x ∃>12x x+≥p ￢0x ∀>12x x +<0x ∀≤12x x +<0x ∃≤12x x +<0x ∃>12x x+<0+∞（，）3y x =11y x =-21log y x=tan y x =-1a -=2log 3b =ln c e =a b c a b c <<a c b <<c b a <<c a b <<3m >2221mx m y =(-)-013{}{}a b c =,,,,3a ≠3b =0c ≠10010a b c ++130103301310R a b ∈R *a b 1a ∈R *0a a =2a b ∈R **0*0a b ab a b =++()()1*x xf x e e =()()()f x 3()f x ()f x (],0-∞0123二、（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．抛物线的准线的方程是__________；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________．10与__________（用“”，“”或“”填空）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为__________．12．已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是__________．13．设函数的最大值为，最小值为，则__________．14．设复数，若，则： （）复数对应的点构成的区域的面积为__________．（）的概率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知函数的定义域为，． （）若，求实数的值． （）若，求实数的值．16．某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：2:4C y x =l C l=><1(0)()213(0)xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-⎩≤>1f f =((-))223(5)f a f a (-)>a 22(1)sin ()1x xf x x ++=+M m M m +=1)(z x yi x y =+∈R (-,)1z ≤1z 2y x ≥()f x =A 2{|}330B x x m x m m =++<∈R (),-112R A B =I ()(,)ðm 2A B A =U m编号项目收案（件）结案（件）判决（件）刑事案件婚姻家庭、继承纠纷案件 权属、侵权纠纷案件合同纠纷案件其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为、、的收案案件中随机取件，求该件是结案案件的概率． （Ⅱ）在编号为的结案案件中随机取件，求该件是判决案件的概率．（Ⅲ）在编号为、、的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为，如果表中，表中全部（类）案件的判决案件数的方差为，试判断与的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17．设为曲线在点处的切线． （）求的方程．（）证明：在定义域内恒成立．18．对于函数，任意，均有，当时，． （）当时，求的解析式． （）若，求的值．（）求和：．19．已知椭圆，点为椭圆的左顶点，点与椭圆的短轴端点，过点的直线与椭圆交于，两点． （）求椭圆的标准方程．（）是否存在直线，使得，并说明理由．20．已知，其中，，．（）当时，不等式有解，求实数的取值范围．（）如果当时有意义，求实数的取值范围．12400240024002300029001200341004000200041400013000n 123121123x 21S n x =422S 21S 22S L ln :xC y x=10(,)1L 21f x x -()≤)y f x =(x ∈R 1(2)()f x f x +=](02x ∈，()f x x =1](24x ∈，()f x 2()1f m =m 3(1)(2)(3)f f f f ++++L ()2222:10x y C a b a b+=>>(20)D -，C D C (10)M ，l C A B 1C 2l 13AM MB =u u u u r u u u r123()lg x x x n af x n++++=L a ∈R *n ∈N 2n ≥12n =1()lg(2)x f x x ->a 2()f x 1](x ∈∞-，a2015-2016学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷参考答案及评分标准高二数学（文科）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B6．A7．C 8．C二、（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．； 10．11．12．，13．14．（）；（） 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】（）求出）的定义域确定出，表示出中不等式的解集，根据的补集与的交集确定出的范围即可；（）根据与的并集为，得到为的子集，确定出的范围即可． 【解析】解：（）由函数，即， 解得：或，即， ∴， 由中不等式变形得：， 当时，解集为，不合题意；当时，解集为，即， ∵， ∴；（）∵， ∴，当时，，满足题意；当时，解集为，即，满足题意； 当时，解集为，即，此时， 综上，的范围为．16．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，计算“在收案案件中取件结案案件”的概率值； （Ⅱ）根据概率公式计算“在该结案案件中取件判决案件”的概率值；（Ⅲ），可以简单直观解释，也可以用具体计算说明．【解析】解：（Ⅰ）在编号为、、的收案案件中随机取件， 共有种取法，其中取到的是结案案件方法数为种，1x =-2214x y +=(-)>137605-1(,3)2-21π21142π-1()f x A B A B m 2A B A B A m 1f x =()6202x x +-+≥202x x -+≥2x <-2x ≥2[2A =∞+∞U (-,-),)22[R A =-,)ðB 30x x m (-)(-)<3m >3x m <<3m <3m x <<3B m =(,)12R A B =I ()(,)ð1m =2A B A =U B A ⊆3m =B =∅3m >3x m <<(3B m =,)3m <3m x <<3B m =(,)2m ≥m 2m ≥112212S S >12312400300041009500++=2400290040009300++=设“在收案案件中取件结案案件”为事件，则； （Ⅱ）在编号为的结案案件中随机取件共有种取法， 其中是判决案件有种取法，设“在该结案案件中取件判决案件”为事件，则； （讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）（Ⅲ）；可以简单直观解释，也可以具体计算如下： 设类案件的均值为，则． 17．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（），可得切线的斜率，利用点斜式即可得出． （）在定义域内恒成立，，（）．令，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明． 【解析】（）解：，，， ∴曲线在点处的切线的方程为：，即． （）证明：在定义域内恒成立，，（）．令，，（）．可得时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．∴时，函数取得极大值即最大值，，∴在在定义域内恒成立，即在定义域内恒成立．1A 9395P A =()21290012001B 1229P B =()2212S S >4x 34x xx x +==22222212341[()()()()]4S x x x x x x x x =-+-+-+-22221231[()()()()]4x x x x x x x x =-+-+-+-2221231[()()()]4x x x x x x =-+-+-222212311[()()()]3x x x x x x S <-+-+-=121ln xf x x-'=()1f '()21f x x ()-≤0+∞(,)ln 10xx x ⇔-+≤20ln 0x x x x ⇔+(>)-≤0x >2ln g x x x x =+()-121ln x f x x -'=()1ln111f x -'==()10f =()ln :xC y x=10(,)L 01y x =--10x y --=21f x x -()≤0+∞(,)ln 10xx x⇔-+≤20ln 0x x x x ⇔+(>)-≤0x >2ln g x x x x =+()-2112(21)(1)()21x x x x g x x x x x-+-+-'=-+==0x >01x ∈(,)()0g x '>()g x 1x ∈+∞(,)()0g x '<()g x 1x =()g x 1ln1110g =-+=()0g x ()≤0+∞(,)1f x x -()≤18．【解析】任意，均有， ∴，∴是周期为的周期函数， 设时，则， ∵当时，， ∴∴， ∴； （）∵，∴，或， 即或，（）∵，， ∴， ∴． 19．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（）由题意，，可得，即可求出椭圆的标准方程；（）设，，若，则，设直线的方程为，代入椭圆方程可得，利用韦达定理，即可得出结论．【解析】解：（）由题意，， ∴，∴椭圆的标准方程为；（）设，， 若，则，①设直线的方程为，代入椭圆方程可得，∴②，③， 由①③可得，由①②可得，消去得，不成立，x ∈R 12()f x f x +=()14()(2)f x f x f x +==+()f x ()42]4x ∈(,[]202x -∈,0]2x ∈(,f x x =()122()(2)f x f x f x -+==-(）122()f x x f x -==-()1()2f x x =-2()1f m =1m =112m =-1m =3m =322f =()131f f ==()()1(4)2f =9(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=4535(1)(2)(3)(2)(3)2f f f f f f ++++++=L 12a ==1b =C 211,A x y ()22B x y (,)13AM MB =u u u u r u u u r213y y =-AB 1x my =+22(4)230m y my ++-=12a ==1b =C 2214x y +=211,A x y ()22B x y (,)13AM MB =u u u u r u u u r213y y =-AB 1x my =+22(4)230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =+-212334y m =+12224m y m -=-+1y 224m m =+∴不存在直线，使得．20．【考点】指、对数不等式的解法． 【分析】（）把原不等式化为，进一步转化为有解，利用函数单调性求出在上的范围得答案； （）当时有意义的条件是，，恒成立．分离参数，可得恒成立， 利用函数单调性求得在上的最大值得答案． 【解析】解：（）当时，不等式化为，即， ∵，∴等价于有解， ∵与在上都是增函数，则在上是增函数，而， ∴要使时不等式有解，则实数的取值范围为；（）当时有意义的条件是，，恒成立． 即恒成立， ∵，，，，，在上都是增函数， ∴在上都是增函数， 从而当x=1时，． ∴（）恒成立，只需． 故实数的取值范围是．l 13AM MB =u u u u r u u u r11112202x x a x --+⋅>⋅>1(0)2x a x x >->12xx -(0)+∞,2()f x (1]x ∈-∞,120x x n a +++>L (1]x ∈-∞,2n ≥a 121[()()()]x x xn a n n n->-+++L 121[()()()]x x xn y n n n-=-+++L 1]∞(-,12n =1()lg()2x f x x >-112lg lg(2)2xx a x -+⋅>1112202x x a x --+⋅>⋅>120x ->1(0)2xa x x >->y x =12xy =-(0)+∞,12x y x =-(0)+∞,0110122x x ->-=-2n =1()lg()2x f x x >-a 1-+∞(,)2()f x (1]x ∈-∞,120x x n a +++>L (1]x ∈-∞,2n ≥121[()()()]x x xn a n n n->-+++L ()xk y n =-1k =23L 1n -1]∞(-,121[()()()]x x xn y n n n -=-+++L 1]∞(-,max 1211()(1)2n y n n n n -=-+++=--L 121[()()()]x x x n a n n n ->-+++L 2n ≥12a >-a 1(,)2-+∞选填解析一、选择题1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集及，求出的补集，找出与补集的交集即可． 【答案】A【解析】解：∵全集，，， ∴， 则，故选． 2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴复数的共轭复数是． 故选．3．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，， 故选． 4．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据的单调性，函数的定义域，反比例函数、对数函数和复合函数的单调性，及正切函数的定义域便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【答案】C【解析】解：．在定义域上单调递增；．在处无定义，∴该函数在内单调递减不成立； ．在内单调递减，单调递增；∴函数在内单调递减，即该选项正确； ．在内没有单调性，∴在内没有单调性． 故选．5．【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数函数的性质比较三个数与0和1的大小得答案．U A A B A U =Z 1,{1}0A =-,3{}01B =,,{,|11}0U A x x x x =∈≠≠≠Z -,ð{}3U B A =I ðA 55(2i)5(2i)2i 2i (2i)(2i)5++===+--+52i-2i -D p 0x ∃>12x x+<D 3y x =A 3y x =R B 11y x =-1x =0+∞(,)C 1t x=0+∞(,)2log y t =21log y x=0+∞(,)D tan y x =0∞(,)tan y x =-0+∞(,)C【答案】B【解析】解：∵，，， ∴， 故选． 6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可． 【答案】A【解析】解：若曲线为双曲线， 则对应的标准方程为， 则，即， 解得或，故“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件， 故选．7．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值． 【答案】C【解析】解：由得，、、的取值有以下情况： 当时，、或、，此时不满足题意； 当时，、或、，此时不满足题意； 当时，、，此时不满足题意； 当时，、，此时满足题意；综上得，、、，代入， 故选．8．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据新定义的运算表示出的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断． 【答案】C【解析】解：由定义的运算知，， ①，当且仅当，即时取等号，∴的最大值为，故①正确；②∵，101a -=<=22log 3log 21b =>=ln 1c e ==a c b <<B 2221mx m y =-(-)221112x y m m -=-1102m m ⋅>-(2)0m m ->2m >0m <3m >2221mx m y =-(-)A a b c a b c 013{}{}a b c =,,,,a b c 0a =1b =3c =3b =1c =1a =0b =3c =3b =0c =2a =3b =0c =2a =0b =3c =3a =0b =1c =10010301a b c ++=C ()f x 1111**0*01x x x xx x x xf x e e e e e e e e ==⋅++=++()()1113x x f x e e =+++()≥1x x e e =0x =()f x 3()1111x x x x f x e e f x e e--=++=++=(-)∴为偶函数，故②正确； ③，当时，， ∴在上单调递减，故③错误． 故正确说法的个数是， 故选．二、填空题9．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求解圆的半径，即可得到圆的方程．【答案】；． 【解析】解：抛物线的焦点坐标，准线方程为：， 圆的半径为：，圆的方程为． 故答案为：；．10．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差，再平方即可比较大小． 【答案】【解析】， ∵，∴，故答案为： 11．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求的值，计算不满足条件的最小的值，可得答案． 【答案】【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求的值， ∵满足条件，不满足条件． ∴输出．故答案为：．()f x 211x xx xe f x e e e -'=-=()0x ≤210x xe f x e -'=()≤()f x ]0∞(-,2C 1x =-2214x y +=(-)2:4C y x =10(,)1x =-22214x y +=(-)1x =-2214x y +=(-)>-=-213=+13=+0->>111123i S =+++L 94S <S 13760111123iS =+++L 1115091234244S =+++=<1111137912345604S =++++=>13760S =1376012．【考点】函数单调性的性质；函数的值．【分析】根据函数的解析式求得的值，进而求得的值．再根据函数在上是减函数，结合所给的条件，可得，解此一元二次不等式求得的取值范围．【答案】， 【解析】解：∵函数，∴，∴．再由函数的解析式可得，函数在上是减函数，故由， 可得，解得， 故答案为，．13．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数可化为，令，则 为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为，由此可得函数的最大值与最小值的和． 【答案】【解析】解：函数可化为， 令，则为奇函数， ∴的最大值与最小值的和为． ∴函数的最大值与最小值的和为． 即．故答案为：．14．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】（）利用复数的模，求出轨迹方程，利用表达式的几何意义求解面积即可． （）判断复数对应点图及内部部分．的图形是图形中阴影部分，根据几何概率的公式计算即可．【答案】（）；（）． 【解析】解：（）复数，， ∴， (1f )[]1f f ()f x ()R 2235a a <-a 5-1(,3)2-1()(0)213(0)x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪->⎩()≤11(1)()22f --==121325[]f f f ==⨯=(-)()--()f x R 2235f a f a (-)>()2235a a -<132a -<<5-1(,3)2-222(1)sin 2sin 111x x x x f x x x +++==+++()22sin ()1x x g x x +=+22sin ()1x x g x x +=+22sin ()1x x g x x +=+022(1)sin ()1x x f x x ++=+2222(1)sin 2sin 111x x x x f x x x +++==+++()22sin ()1x x g x x +=+22sin ()1x x g x x +=+22sin ()1x x g x x +=+022(1)sin ()1x x f x x ++=+1102++=2M m +=212y x ≥1π21142π-1(1i(z x y x y =+∈R -),)1z ≤2211x y +(-)≤∴在以为圆心，以为半径的圆的上和圆的内部的点， 复数对应的点构成的区域的面积为：． （）复数对应点图及内部部分，的图形是图形中阴影部分， 圆的面积为， ，【注意此处有文字】 ∴则的概率为，故答案为：（）；（）． x y (,)10(,)1z π2y x ≥πS =11π42S =-阴影y x ≥11π1142π42πS P S -===-阴影1π21142π-。

2017-2018学年北京民大附中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：共8道题，每题5分．1．下列语句不是命题的有（）①x2﹣3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5x﹣3＞6．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④2．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣14．“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣6．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要8．设有两个命题：①关于x不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；②函数t（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若命题有且只有一个真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2.）二、填空题：共6道题，每题5分．9．若命题P：∃x，sin2x=2sinx，则￢P：．10．已知直线x﹣2y+2=0过椭圆（a＞0，b＞0，a＞b）的左焦点F1和一个顶点B．则该椭圆的离心率e=．11．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为4，则该双曲线的方程．12．已知双曲线﹣=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为．13．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是．14．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．写出“若x=2或x=3，则x2﹣5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判断其真假．16．设P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．17．求实数a的取值范围，使得关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0分别满足下列条件：（1）有两个不同的，且都大于1的实数根；（2）至少有一个正实数根．18．已知：椭圆+=1，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．19．如图，若F1，F2是双曲线﹣=1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．2015-2016学年北京民大附中高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共8道题，每题5分．1．下列语句不是命题的有（）①x2﹣3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5x﹣3＞6．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①和命题④无法判断其真假，命题②为疑问句，所以只有③为命题．【解答】解：①x2﹣3=0，无法判断真假，故①不是命题；②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；③3+1=5，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；④5x﹣3＞6，无法判断真假，故④不是命题．故选C．2．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．3．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1【考点】双曲线的简单性质．【分析】表示双曲线则或解出．【解答】解：由双曲线标准方程的形式，表示双曲线须或，∴﹣1＜k＜1．故选A4．“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】取，，则sinα＜sinβ；同样取，，满足sinα＞sinβ．即可判断出．【解答】解：取，，则sinα＜sinβ；同样取，，满足sinα＞sinβ．因此“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分又不必要条件．故选：D．5．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到c2的值等于4，解方程求出k．【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即x2 +=1，∵焦点坐标为（0，2），c2=4，∴﹣1=4，∴k=1，故选B．6．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D7．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】充要条件．【分析】由题意得：命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题；命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题；可得答案．【解答】解：由题意得∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题∴判断命题若a≠1或b≠2则a+b≠3的真假只要判断命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题∴命题若a+b≠3则a≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故选B．8．设有两个命题：①关于x不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；②函数t（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若命题有且只有一个真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2.）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a2﹣16＜0可得P；由函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数可得5﹣2a＞1可得q，若命题有且只有一个真命题，则p，q中一个为真，一个为假，分情况求解a．【解答】解：由关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a2﹣16＜0，∴P：﹣2＜a＜2；由函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数可得5﹣2a＞1，则a＜2，q：a＜2．若命题有且只有一个真命题，则p，q中一个为真，一个为假①若p真q假，则有，此时a不存在②若P假q真，则有⇒a≤﹣2故选：A．二、填空题：共6道题，每题5分．9．若命题P：∃x，sin2x=2sinx，则￢P：∀x，sin2x≠2sinx．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：∃x，sin2x=2sinx，则￢P：∀x，sin2x≠2sinx．故答案为：∀x，sin2x≠2sinx．10．已知直线x﹣2y+2=0过椭圆（a＞0，b＞0，a＞b）的左焦点F1和一个顶点B．则该椭圆的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用．【分析】利用直线x﹣2y+2=0过椭圆（a＞0，b＞0，a＞b）的左焦点F1和一个顶点B，可得=，结合几何量之间的关系，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由x﹣2y+2=0得，∵直线x﹣2y+2=0过椭圆（a＞0，b＞0，a＞b）的左焦点F1和一个顶点B，∴=，即=．∴=，∴e==．故答案为：．11．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为4，则该双曲线的方程﹣y2=1或﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件下求出a=2，然后讨论双曲线的焦点位置，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为4，∴2a=4，则a=2，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为=1，a＞0，b＞0，此时==，解得b=1，∴双曲线方程为﹣y2=1．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为=1，a＞0，b＞0，此时==，解得b=4，即双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣y2=1或﹣=1．12．已知双曲线﹣=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义．【分析】根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF1⊥x轴进而可得M的坐标，则MF1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF2．【解答】解：已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，M（3，，则MF1=，故MF2=，故F1到直线F2M的距离为．故答案为：．13．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是y=．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】椭圆中a2=b2+c2，双曲线中c2=b2+a2，由有公共的焦点，故可建立方程，从而可求双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意3m2﹣5n2=2m2+3n2，∴m2=8n2∵双曲线的渐近线方程为∴双曲线的渐近线方程是故答案为14．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题的序号是①②④．【考点】复合命题的真假．【分析】将已知转化为命题间的相互推出关系；利用推出的传递性及充要条件的定义判断出各个命题的真假．【解答】解：由已知得p推出r，但r推不出p；q推出r；r推出s；s推出q∵s⇒q⇒r反之r⇒s⇒q故①对p⇒r⇒s⇒q但反之推不出故②对r⇒s⇒q所以r是q的充分条件，故③错s⇒q⇒r推不出p；p⇒r⇒s故s是p的必要条件；故；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件故④对r⇒s；s⇒q⇒r故r是s的充要条件故⑤错故答案为①②④三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．写出“若x=2或x=3，则x2﹣5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判断其真假．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中原命题写出其逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，即可判断真假，得到结论．【解答】解：∵原命题为：“若x=2或x=3，则x2﹣5x+6=0”，故：逆命题：“若x2﹣5x+6=0，则x=2或x=3”为真命题；否命题：“若x≠2且x≠3，则x2﹣5x+6≠0”为真命题；逆否命题：“若x2﹣5x+6≠0，则x≠2且x≠3”为真命题；命题的否定，“若x=2或x=3，则x2﹣5x+6≠0”为假命题．16．设P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20，即m+n=20 ①，再由余弦定理可得m2+n2﹣mn=122 ②，由①②求得mn的值，代入进行运算．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则．由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20，即m+n=20．①又由余弦定理得，即m2+n2﹣mn=122．②由①2﹣②，得，∴．17．求实数a的取值范围，使得关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0分别满足下列条件：（1）有两个不同的，且都大于1的实数根；（2）至少有一个正实数根．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）方程有两个不同的，且都大于1的实数根，等价于新方程（y+1）2+2（a﹣1）y+4a+5=0 有两个大于0的实数根；（2）至少有一个正实数根的对立面为：无实数根或者有两个负实数根，分别求出方程无实数根时与方程有两个负实数根时a的取值，从而求得至少有一个正实数根时a的范围．【解答】解：（1）令y=x﹣1，即x=y+1，那么原方程变为：（y+1）2+2（a﹣1）y+4a+5=0 ①原方程有两个大于1的实数根，等价于新的关于y的方程有两个大于0的实数根．方程①可简化为：y2+2ay+4a+5=0，令：h（y）=y2+2ay+4a+5，也就是需要满足h（0）＞0，对称轴在右侧，且△＞0，即：解得：﹣＜a＜﹣1．（2）至少有一个正实数根的对立面为：无实数根或者有两个负实数根当方程无实数根时，即：△＜0，[2（a﹣1）]2﹣4（2a+6）＜0，解得：﹣1＜a＜5当方程有两个负实数根时，等价于①式两根之积大于0，且两根之和小于0，即：2a +6＞0且﹣2（a ﹣1）＜0，解得：a ＞1所以，至少有一个正实数根时，a ≤﹣1．18．已知：椭圆+=1，求：（1）以P （2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设弦的端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得： +=1， +=1，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．（2）设直线方程为：y=2x +m ，弦的端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），中点M （x ，y ）．与椭圆方程联立化为：17x 2+16mx +4m 2﹣16=0，由△＞0，化为：m 2＜68．再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）设弦的端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得： +=1， +=1，相减可得： +=0，把=2， =﹣1，k=代入可得：k=．∴以P （2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程为：y +1=（x +2），化为：x ﹣2y=0． （2）设直线方程为：y=2x +m ，弦的端点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），中点M （x ，y ）．联立，化为：17x 2+16mx +4m 2﹣16=0，△=256m 2﹣68（4m 2﹣16）＞0，化为：m 2＜68．∴x 1+x 2=﹣=2x ，化为：x=．y=2×+m=．∴y=﹣x．19．如图，若F 1，F 2是双曲线﹣=1的两个焦点． （1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据双曲线的定义解答；（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2的值进而求得∠F1PF2．【解答】解：（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16﹣n|=2×3，解得n=10或22；（2）根据双曲线的方程可知，a=3，b=4，c=5则|F1F2|=2c=10，|PF1|﹣|PF2|=2a=2×3=6∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°，∴△F1PF2的面积为|PF1|•|PF2|=32×=16．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．2016年11月24日。

2015-2016学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 设为虚数单位，则A. B. C. D.2. 已知等差数列，，，又，，为等比数列，则该等差数列的公差A. B. C. D.3. 已知条件，条件，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为A. B. C. D.5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，求双曲线的方程A. B. C. D.6. 某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其左视图的面积为A. B. C. D.7. 抛物线上一动点到直线距离的最小值为A. B. C. D.8. 如图，在正方体中，、分别为棱、上的点，则下列判断中正确的个数有①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面内与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，而与点的位置无关．A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知命题，，则为 .10. 定积分 .11. 在中，若，，，则边 .12. 已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为 .13. 若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则 .14. 对于，将表示为，当时，，当时，或．记为上述表示中为的个数（例如：，，所以，），则（1）；（2）．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在数列中，，，求，，的值，并由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16. 已知函数 .（1）求函数在处的切线方程（2）写出函数的单调增区间和最值.17. 在四棱锥中，，，，，，平面平面 .（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值18. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．19. 已知点，，为一个动点，且直线、的斜率之积为 .（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，过点的直线与交于，两点，的面积记为，对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值．20. 已知数列，满足，其中．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，且，．①记，求证：数列为等差数列；②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．答案第一部分1. C2. D3. A4. A5. C6. C7. A8. B 【解析】对于①：平面，不一定成立．因为平面，而平面与平面不平行；对于②：在侧面上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论．因为其投影三角形的一边是棱，而点在面上的投影到此棱的距离是定值，故正确；对于③：在平面内总存在与平面平行的直线．因为这两个平面相交，一个平面内平行于两个平面的交线得直线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④：平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如与重合，与重合时的二面角与与重合，与重合时的情况就不一样．故此命题不正确．综上所述，假命题是①④．第二部分9. ，10.11.12.13.14. ；【解析】（1），则．（2）；；；；所以．第三部分15. 由及，得，，．猜想．下面用数学归纳法证明．当时，显然猜想成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，猜想成立．综上，成立．16. （1）切线方程： .（2）单调增区间，单调减区间，最小值为，无最大值.17. （1）因为，，，所以，又因为平面平面，为其交线，所以平面，又因为，所以，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，所以， .所以，从而 .又因为平面，平面，所以 .又因为与相交，所以平面 .（2）（3）18. （1）的定义域为．若，则．由，得；由，得，所以在上递减，在上递增．（2）．①若，在上单调递增；②若，在上单调递增，在上单调递减；③若，在上单调递增，在上单调递减．综上，的取值范围为．19. （1）设，则，化简，得．因此，动点的轨迹的方程是．（2）设，，．①若直线斜率不存在，则，，，，此时．②若直线斜率不存在，设直线，并不妨假设，此时，．由得．由于直线恒过点，且在椭圆内部，所以恒成立；由韦达定理，得，的面积；化简，得．于是，将式代入并整理，得，所以．综上可知，的最小值为 .20. （1）由，得（2）①，，，，，，，，，．由此可知：，，，其中．所以，则为等差数列．②由①可知，，，，，．要使得中任何一项不重复出现无数次，只要不为常数，不为常数，不为常数，即，，，，．。