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具有Beddington-DeAngelis型功能性反应的随机时滞捕食
-被捕食系统
黄开娇;肖飞雁
【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(42)3
【摘要】本文研究一类具有Beddington-DeAngelis型功能性反应的随机时滞捕食-被捕食系统。
利用Lyapunov函数、It8公式等证明该系统存在唯一全局正解和随机最终有界性,得到全局渐近稳定性的充分条件。
利用Milstein方法进行数值模拟,验证系统的全局渐近稳定性。
【总页数】10页(P141-150)
【作者】黄开娇;肖飞雁
【作者单位】广西师范大学数学与统计学院;广西民族大学数学与物理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有Beddington-DeAngelis功能性反应的时滞捕食系统
2.一类被开发的具有Beddington-DeAngelis型功能性反应的捕食系统的全局稳定性
3.具有Beddington-DeAngelis型功能性反应的随机捕食—被捕食系统
4.具有时滞的Beddington-DeAngelis功能性反应捕食系统
5.具有时滞Michaelis-Menten型功能性反应的有放养的捕食链非自治扩散系统的一些性态
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具有无限时滞和脉冲的捕食收获系统的多重周期解逄欣;程荣福【摘要】By means of the continuation theorem based on coincidence degree theory,the existence of positive periodic solutions for a predator-prey harvest system with infinite delay and impulse is studied. Two bounded open sets are obtained by using analytic technique and a set of sufficient conditions for this system at least two positive periodic solutions fire obtained. The phenomenon is revealed that when the growth rate of prey species and predator species are all sufficiently large,the system will bring periodic oscillation of biological nature.%利用重合度理论中的延拓定理,研究了具有无限时滞和脉冲的捕食者-食饵收获系统正周期解的存在性问题,运用分析技巧获得了两个有界开集和至少存在两个周期正解的充分条件,揭示了当食饵种群和捕食者种群的增长率均足够大时,系统将产生生物性多周期振荡现象.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(014)001【总页数】8页(P9-16)【关键词】捕食者-食饵系统;脉冲效应;非单调功能性反应;多周期解【作者】逄欣;程荣福【作者单位】北华大学数学与统计学院,吉林吉林132033【正文语种】中文【中图分类】O175.14近年来，许多学者利用重合度理论研究非自治生物动力系统正周期解的存在性问题，获得了很好的结果[1-3].对于如下具有无限时滞和非单调功能性反应的捕食者-食饵系统：其中：y1(t)，y2(t)分别表示t时刻食饵和捕食者的种群密度；a(t)，b(t)，c(t)，d(t)，D(t)和h(t)≠const都是正的连续ω-周期函数；k(s)：[0，+∞)→[0，+∞)是可测核函数且满足(s)ds=1.文献[4]利用重合度理论中的延拓定理，给出了系统(1)至少存在两个周期正解的代数判据.然而，在非自治生物动力系统中，由于生物种群受生态环境、疾病、污染、遗传及其出生不连续性等因素影响，人们经常采用脉冲微分方程来加以刻画现实世界中动力系统的演变规律.如生物种群出生与捕获乃至于投放等问题，均可以运用脉冲微分方程来准确的描述短时间发生的突变现象[5-8].据此，我们研究如下具有无限时滞和脉冲的捕食收获系统：其中：代表自然数集；pik(i=1，2)分别表示tk时刻对食饵种群和捕食者种群的收获率；和分别表示yi(t)在tk时刻的右极限和左极限，本文假设即yi(t)在tk时刻都是左连续的(i=1，2).本文对于脉冲收获系统(2)作如下假设：(C1) φi∈C+，yi(s)=φi(s)≥0，s∈(-∞，0]，φi(0)gt;0(i=1，2).表示(-∞，0]到的全体连续向量函数，2：yi(t)≥0，i=1，2}；(C2) a，b，c，d，D，h∈C([0，+∞)，(0，+∞))都是t≠tk上的周期为ωgt;0的连续函数；(C3) tk，k∈满足t0=0lt;t1lt;t2lt;…lt;tk…；(C4) -1lt;pik≤0(i=1，2，k∈).存在正整数q，使得tk+q=tk+ω，pi(k+q)=pik，且tk-τ1≠tm，tk-τ2≠tm，还假设tk≠0，ω以及[0，ω]∩{tk}={t1，t2，…，tm}，那么q=m.引理是脉冲收获系统(2)的正不变集.证明：脉冲收获系统(2)等价于其中：当yi(0)gt;0，1+pikgt;0(i=1，2，k∈)时，恒有yi(t)gt;0(i=1，2).证毕.作变换yi(t)=exi(t)(i=1，2)，将脉冲收获系统(2)化为可见，如果(x1(t)，x2(t))T是脉冲收获系统(3)的ω-周期解，则(ex1(t)，ex2(t))T 就是脉冲收获系统(2)的ω-周期正解.令x=(x1(t)，x2(t))T是脉冲收获系统(3)的任意周期解，我们引入如下函数空间：PC(，2)={x：→2x在t≠tk处是连续的，存在，且}.定义1[3] 映射x：[0，ω]→2是脉冲收获系统(3)在[0，ω]上的解，若(ⅰ) x(t)是分段连续的，[0，ω]∩{tk}是x(t)的第一类间断点，且左连续；(ⅱ) x(t)在[0，ω]上满足脉冲收获系统(3).定义2[3] 映射x：→2是脉冲收获系统(3)的ω-周期解，若(ⅰ) x(t)是脉冲收获系统(3)的解；(ⅱ) x(t)满足x(t+ω-0)=x(t-0)，t∈.为了证明脉冲收获系统(3)周期解的存在性，现引入重合度理论中的延拓定理[9] 如下：引理2 设L是指标为零的Fredholm算子，N在上是L-紧的.假设(ⅰ) Lx≠λNx，∀x∈∂Ω∩DomL，λ∈(0，1)；(ⅱ) QNx≠0，∀x∈∂Ω∩KerL；(ⅲ) deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0.则方程Lx=Nx在内至少存在一个解.对于连续的ω-周期函数g(t)，引入记号：以及±，±.定理1 如果系统(2)除满足条件(C1)～(C4)外还满足(ⅰ) gt;q+exp2ω-ln(1+p1k)-ln(1+p1k)；(ⅱ) .则脉冲收获系统(2)至少存在两个ω-周期正解.证明：只须证明脉冲系统(3)ω-周期解的存在性.为此，令其范数为以及Z=X×2q，其范数为zZ=xX+y，z=(x，y)T∈Z，x∈X，y∈2q，其中·表示Euclid范数，·分别表示2和2q中的任意范数.不难证明X和Z在上述范数下构成Banach空间.作两个映射L：X⊃DomL→Z和N：X→Z，且满足其中：定义显然KerL={x∈X：x=h∈2，t∈[0，ω]}，以及且dim KerL=2=co dim ImL，因此ImL是Z中的闭子空间，L是一个指标为零的Fredholm算子.对于x∈X，z=( f，a1，a2，…，aq)T∈Z，定义两个连续投影算子且满足ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q).易知LDomL∩KerP：(I-P)X→ImL存在逆映射，L的广义逆为KP：ImL→KerP∩DomL，即根据Nx和Qz的定义，计算可得以及KP(I-Q)Nx=.显然，QN和KP(I-Q)N是连续的.利用Arzela-Ascoli定理，对于X中的任意有界开集Ω，容易证明和都是相对紧的，因此N：X→Z为上的L-紧算子.现在，寻找一个适合的开的有界子集Ω.对应算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)有设x∈X是系统(4)对于某一个λ∈(0，1)的解.对系统(4)各式两端从0到ω积分得注意到-1lt;pik≤0，ln(1+pik)lt;0(i=1，2)，则由式(4)～(6)有(t)dtlt;b(t)k(t-u)ex1(u)du+dt+a(t)dt+ln(1+p1k)=因为x∈X，所以存在ξi，ηi∈[0，ω]，使得一方面，由式(6)和(9)得即由于在连续点处(s)ds，所以对系统(4)有则由式(7)和(10)，对∀t∈[0，ω]有显然，有即注意，在定理所给定条件下q±gt;0，p±gt;0，据此得记类似地由式(6)和(9)可得由于在连续点处(s)ds，所以对系统(4)有进而，结合式(7)和(11)，对∀t∈[0，ω] 有同样有即于是，得由于h(t)≠const是正的ω-周期函数，易知p-lt;p+lt;q+，hL=q-q+lt;hM=p-p+，于是则由式(12)和(7)，对∀t∈[0，ω]有另一方面，结合式(5)和(13)，由式(5)可得结合式(8)，对∀t∈[0，ω]有x2(t)≤x2(ξ2)+(s)ds-ln(1+p2k)lt;ln(e2ρ+hM)+2ω-ln(1+p2k)L2.再结合式(7)，(12)和(13)，由式(5)又有即由此，结合式(8)，对∀t∈[0，ω]有综上，可知lnq-lt;lnp-lt;lnp+lt;lnq+lt;ρ.取M=lnq-+ρ+L2+l2，显然M与λ的选取无关.令则Ω1，Ω2均为X的有界开集.下面应用Arzela-Ascoli定理，证明N在上是L-紧的.对于∀由Ω1的定义可得可知是2上的有界集，且Nx≤M*.由KP的定义知以及从而于是，集合{KP(I-Q)Nx：x∈Ω1}是一致有界且等度连续的.因此，N在上是L-紧的.同理可证，N在上是L-紧的.依据xlt;M及λ∈(0，1)，∀x∈DomL∩∂Ωi(i=1，2)，均有Lx≠λNx，于是引理2的条件(ⅰ)满足.当x∈∂Ωi∩KerL(i=1，2)时，x是2中的常值向量，于是由积分中值定理知存在使得当x∈∂Ωi∩KerL时，定义映射J：ImQ→X，(d，0，…，0)→d，于是由于代数方程组在定理条件下存在正解u=u±，v=v±，其中：类似于式(12)的讨论方法，由q-q+=hLlt;h(t0)=u-u+lt;hM=p-p+可得这表明当x∈∂Ωi∩KerL(i=1，2)时JQNx≠0，即QNx≠0，故引理2的条件(ⅱ)满足.注意到直接计算得至此，Ω1，Ω2均满足引理2的所有条件，所以系统(3)分别在Ω1和Ω2内均至少存在一个周期解.注意到Ω1∩Ω2=∅，相应地脉冲收获系统(2)至少存在两个ω-周期正解.证毕.注1 脉冲收获系统(2)至少有两个ω-周期正解是无法用所列文献[1-2]的方法来判定的.注2 当食饵和捕食者两种群的增长率均足够大时，只要适当地对其进行收获，那么脉冲收获系统(2)将产生生物性多周期振荡现象.这一结果可以看成是对文献[8]的改进与推广.【相关文献】[1] Cheng Rongfu，Liu Yiyun.Existence of Periodic Solutions of Predator-Prey Diffusive System with Ratio-Dependence and Stage Structure[C]//Manchester：2009 Second International Conference on Information and Computing Science.Academic Word Academic Union，2009，3：224-227.[2] 叶丹，范猛.具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性[J].东北师大学报：自然科学版，2004，36 (4)：1-10.[3] 田德生，朱长青，朱永松.Holling IV 捕食-食饵时滞系统的多个周期解[J].纯粹数学与应用数学，2009，25(2)：339-345.[4] 程荣福，常亮.具无限时滞和非单调功能性反应捕食系统的多周期解[J].吉林大学学报：理学版，2010，48(5)：761-765.[5] 邵远夫，戴斌祥.一类含功能反应与脉冲的时滞比率依赖捕食者-食饵模型的多重正周期解[J].应用数学，2011，24(1)：30-39.[6] 王玲书，徐瑞，冯光辉.一类具有脉冲和食饵具有阶段结构的时滞捕食模型定性分析[J].北华大学学报：自然科学版，2011，12(2)：125-130.[7] 张步林.一类脉冲多种群生态系统的动力学性质[J].北华大学学报：自然科学版，2011，12(2)：131-136.[8] 程荣福.具有脉冲的非自治多种群Lotka-Volterra竞争系统的周期性[J].北华大学学报：自然科学版，2012，13(1)：1-8.。
