新人教八年级上全等三角形提高压轴题

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△P AB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④3．（2分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，连接AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．187．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③B．②④C．①②③④D．①③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，则AD的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．14．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG ＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF 于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为．19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．20．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC ＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．求证：△PMN是等腰三角形．27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD∠COB；（2）求证：△AOG≌△COE；（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝°．28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形综合压轴题专题训练1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，若DE=13，BD=12，求线段AB的长.2、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE; DA∥EC.3、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AE⊥CF；（3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．4、如图，AC=AB，AE=AD，B、E、D三点共线，∠1=∠2，求证：EA平分∠CED.5、如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC 于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠ACD. 求证：CD=CG.6、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．7、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.8、如图，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：（1）△CEM≌△BDM；（2）△MDE是等腰直角三角形．9、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？10、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．11、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE= 度；(2)如图2，①说明：△ABD≌△ACE．②说明：CE+DC=BC．③设∠BAC =α，∠BCE =β．当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．12、如图①，点M为锐角三角形 AB C内任意一点，连接A（1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）若 A M+BM+CM 的值最小，则称点 M 为△ABC 的费尔马点．若点 M 为△ABC 的费尔马点，试求此时∠AMB 、∠BMC 、∠CMA 的度数。

教学内容全等三角形教学目标巩固全等三角形题型重点全等三角形压轴题难点动点问题教学过程1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8．F是边AB上的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且保持AD＝CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，给出下列结论：①△DFE是等腰直角三角形：②四边形CDFE不可能为正方形：③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是 ( B ) A．①②③B．①④⑤ C．①③④D．③④⑤2、如图，在、四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为点E．若四边形ABCD的面积为16，则BE＝_______．43、如图，ABC=，AD，BE相∆是等边三角形，D，E分别是边BC，CA上的点，且BD CE交于点O.(1)求证: ACD BAE∆≅∆;(2)求AOB∠的度数.4、如图(1)，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN都是等边三角形．(1)求证：AN＝BM；(2)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图(2)所示），AN与BM的关系如何？请说明理由．5、已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为边AB的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F．当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图(1))，易证S△DEF ＋S△CEF＝12S△ABC．当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予说明；若不成立，S△DEF 、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需说明．5、如图1，在△ABC中，∠BAC为直角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在∠BAD∠_____AD的右侧作正方形ADEF．如图(1),则=(2)若AB=AC，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，问CF、BD有怎样的关系?并说明理由.②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，直接写出结论.6、已知：如图(a)，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°．求证：(1)①AC＝BD；②∠APB＝50°．(2)如图(b)，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝ ，则AC 与BD间的等量关系为_______，∠APB的大小为_______．8、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE，交CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．动点1、如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到_______位置时，才能使△ABC≌△QPA．2、如图，两根旗杆间相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，则这个人运动到点M所用时间是_______s．3、如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．(1)如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？半角模型1、探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=1 2∠BAD，若EF=13，BE=5，则DF= ．2、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，从而得EF=BE+DF；（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．3、如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．11。

人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。

人教版八年级上册数学全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键． 3．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．4．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.5．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【解析】【分析】延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE∆≅∆，而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.【详解】解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.8．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

全等三角形提高压轴题1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°， ∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。

2. 如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′，边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO 的度数为多少？3. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数是多少？4. 如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A=5. 已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD是多少？ACA6. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。

8. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC的面积是28cm 2,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。

9. 已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF ⊥CD10. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？为什么？11. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥ACBCBB12. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN （3）△CMN 为等边三角形 （4）MN ∥BC13. 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F （1） 求证：AN=BM（2） 求证：△CEF 为等边三角形14. 如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③BH平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（ ） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个15. 已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求证：A G ⊥AF16. 如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG求证：（1）AD=AG（2）AD 与AG 的位置关系如何N M A BDC H G F A C E B A G DF HF BGED17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE求证：AF=AD+CF18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB ，求证：AE=BE+BC19．如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF20．已知如图：AB=DE ，直线AE 、BD 相交于C ，∠B+∠D=180°，AF ∥DE ，交BD 于F ，求证：CF=CD21．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 是OC 上一点，连接DF 和EF ，求证：DF=EFDB22．已知：如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD ，求证：（1）△BDE ≌△CDF （2）点D 在∠A 的平分线上23．如图，已知AB ∥CD ，O 是∠ACD 与∠BAC 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB与CD 之间的距离是多少？24．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN ，按下列要求画图并回答： 画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E （1）∠AEB 是什么角？（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。

八年级上册全等三角形压轴题一、题目1. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，E为AC边的中点，过点A作AD ⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF =∠CBG。

（1）求证：AF = CG；（2）若AG = 6，求BD的长。

二、解析（1）证明AF = CG在△ACF和△CBG中：已知∠ACF =∠CBG（题目所给条件）。

因为AC = BC（题目中已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB = 90°，AC = BC）。

由于∠ACB = 90°，CG平分∠ACB，所以∠BCG=45°。

又因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB =∠CBA = 45°，所以∠CAF =∠BCG。

根据“角边角”（ASA）全等判定定理，可得△ACF≌△CBG。

全等三角形对应边相等，所以AF = CG。

（2）求BD的长因为E为AC中点，AC = BC，设AC = BC = 2a，则CE=a。

由∠ACB = 90°，AD⊥AB，可得∠DAB = 90°。

又因为∠AEB+∠CBE = 90°，∠D+∠DBE = 90°（直角三角形两锐角互余），且∠AEB =∠DEB（对顶角相等），所以∠D =∠CBE。

在△BCE和△ACD中：∠D =∠CBE（已证）。

∠BCE =∠ACD = 90°。

BC = AC（已知）。

根据“角角边”（AAS）全等判定定理，可得△BCE≌△ACD。

所以AD = CE=a。

由（1）知△ACF≌△CBG，所以CF = BG。

因为CG平分∠ACB，∠ACB = 90°，所以∠BCG = 45°，又∠CBA = 45°，所以△BCG是等腰直角三角形，BG = CG。

又因为AF = CG，设AF = x，则BG = CG=x，AB=公式，BF = 2\sqrt{2}a x。

人教版数学八年级上册全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，DF=23,2∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.3．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．4．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．6．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，6秒或14秒．本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．7．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

八年级上册数学全等三角形压轴题一、如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

解：∵△ABC≌△AED∴∠D=∠B=50°∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°∵∠CAD=10°∠ACE=75°∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°二、如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？解：∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，∴∠B′=∠B=30°，∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，∴∠BOB′=52°，∵∠A′CO是△B′OC的外角，∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．三、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，=180°-90°-60°=30°．四、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A等于多少？解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案为：55°．五、已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？因为AB=AC 三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为AD垂直于BC于D，所以BC=2BD，BD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40A D=40-25=15cm六、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则D是多少？解：∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠D=∠E∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE∵在△ABD与△CAE中∠ABD=∠CAE，∠D=∠E， AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE∵DE=AD+AE∴DE=BD+CE∵BD=3，CE=2 ∴DE=5七、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

人教版八年级上册数学全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC++=____cm．∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PFPF AC【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】∥解：∵PD AB，PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD ，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJCAI BJACA BA∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.4．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．5．如图，1AB A B=，1112A B A A=，2223A B A A=，3334A B A A=，…，当2n≥，70A∠=︒时，11n n nA A B--∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=． 故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．6．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．8．如图，∠BOC=60°，点A 是BO 延长线上的一点，OA=10cm ，动点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s 时，△POQ 是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形，如图2所示当点P 在BO 上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO 时，210t t -=解得10t =故答案为：103或10 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.9．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.10．如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，36BAC BCA ︒∴∠=∠=，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，从而可判断①正确；利用ASA可证明△ADE≌△ADF，从而可判断③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD，继而可得4BE=4CF=AB，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD，∴4BE=4CF=AB，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．13．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键14．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE为等腰三角形；②△BDF≌△ADN；③NF所在的直线垂直平分AB；④DM平分∠BMN ；⑤AE ＝EN ＝NC ；⑥AE BN EC BC=．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，AM⊥BE，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中,∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，∴△FBD≌△NAD，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB和△CNA中，∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==，由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，∴22 AE ENEC EC==,所以AE BNEC BC=，所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】首先证明△DOB≌△COA（SAS），推出S△DOB﹣S△AOE=S△EOC，再证明△OEC是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB．∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°．∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA．在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC．∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC12=⨯2×2=2．故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．16．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.A．9 B．7 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，C4，C5；③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．17．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．18．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．19．如图，已知等边△ABC的面积为43， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（）A．3B．3C15D．4【答案】B【解析】如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，设等边△ABC的边长为x，则高为32x，∵等边△ABC的面积为43，∴12x×32x=43，解得x=4，∴等边△ABC的高为3x=23，即PE=23，所以PR+QR的最小值是23，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.20．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．。

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．【分析】（1）如图①，连接ED，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠BCE，ED＝CE，于是得到结论；（2）如图②，连接DE，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠BCE，ED＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD，推出AF平分∠DAE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①连接ED，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠AED＝∠BCE，ED＝CE，∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC；∴∠AED+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝45°；（2）如图②，连接DE，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠ADE＝∠BEC，ED＝CE，∵ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，即∠ADE+∠ADC＝∠ECD，∴∠BEC+∠DAF＝∠AFC，∵∠BEC+∠EAF＝∠AFC，∴∠DAF＝∠EAF，∴AF平分∠DAE，∵∠DAE＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠EAF＝∠BAG，∴∠BAG＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．【分析】（1）由△BCD和△BEA为等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，进而得出∠DCE＝∠DAE，即可证明AE＝EC；（2）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，从而得出BF＝BG，FA＝CG，再通过等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD与△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD，BD=BC∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA为等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝EC＝AE；（2）证明：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE与Rt△BGE中，EF=EGBE=BE，∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE与Rt△CGE中，EF=EGEA=EC，∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，根据角平分线的性质得到CE＝EH＝BH，根据全等三角形的性质得到AH＝AC，于是得到结论；（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF＝BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF＝BG，进而得到BG＝BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，∴CE＝EH＝BH，在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EH AE=AE，∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），∴AH＝AC，∴AH＝BC，∵△EHB的周长为10m，∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；（2）如图所示，连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，∵AC⊥BD，DC＝BC，∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，∴∠BAD＝90°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，∴∠FDC＝90°，∵BG⊥BC，∴∠CBG＝∠CDF＝90°，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴DF＝BG，∴BG＝BE．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【分析】（1）利用SAS即可证明△BMD≌△AMC．（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】（1）证明：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMC BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS）；（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC FG=FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE ＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE∠ABE=∠AFE，AE=AE∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB=12（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH ＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．【解答】（1）解：EF＝DF+CF；在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等边三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，在△ECG和△CDF中，CG=CF∠ECG=∠ACD，CE=CD∴△ECG≌△CDF，（SAS）∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；（2）证明：在FQ上找到H点，使得FH＝FG，如图3，∵FQ平分∠DFG，∴∠QFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等边三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，在△DFG和△QHG中，∠DFG=∠QHG=120°FG=HG，∠FGD=∠QGH∴△DFG≌△QHG，（ASA）∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∵AJ ⊥CE ，AH ⊥BD ．∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°−12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°−12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF ≌△DMF （SAS ），可得GF ＝MF ，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝100°，∵BE 平分∠ABC 、CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB ＝50°，∴∠EDC ＝∠DBC +∠DCB ＝50°；方法二：如图，在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°−12∠ABC﹣∠DMB＝180°−12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．【分析】（1）证△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）设∠DAC＝∠DAE＝α，在AB上截取AM＝AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得∠DME＝∠B，然后证∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，即可得出结论；（3）求出MB＝AB﹣AM＝8，由全等三角形的性质得ME＝BE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，∠C=∠DEA∠DAC=∠DAE，AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：在△FAD和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAM，AD=AD∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴BE=12BM=4，即BM的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质求解即可；②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF ⊥BD．【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；②①中的结论成立，理由如下：如图②：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图③，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE∠CAF=∠EAD，AF=AD∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出合理的辅助线根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°，由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED＝45°，即可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，由“AAS”可证△ACD≌△ACG，可得CD＝CG，可得结论．【解答】证明：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠EAD＝∠CAB，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∵AF⊥CB，∴∠FAC＝45°，∴∠FAE＝135°；（3）∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴∠ADC＝∠ABG，∵AF⊥BF，BF＝FG，∴AB＝AG，∴AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，又∵∠ACG＝∠ACD＝45°，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴CD＝CG，∴CD＝BG+CB＝2BF+DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明△ACD≌△ACG是解题的关键．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠A＝90°，等量代换得出∠ADE+∠A＝90°，进而得出∠AED＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）过点G作GN∥FB交CD于点N，根据平行线的性质及垂直的定义推出∠AEG＝∠ANG＝90°，根据角平分线定义得出∠EAG＝∠NAG，利用AAS证明△EAG≌△NAG，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；（3）根据直角三角形的性质及对顶角相等得出∠DGH＝90°−13∠AGB，根据等腰三角形的性质推出∠DGH＝90°−12∠D，则90°−13∠AGB＝90°−12∠D，进而推出∠AGB=32∠D，则∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，结合（2）求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AB；（2）证明：如图2，过点G作GN∥FB交CD于点N，则∠GNC＝∠ACB＝90°，∴GN⊥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DEA＝90°，∴BE⊥DF，∴∠AEG＝∠ANG＝90°，∵AG平分∠EAC，∴∠EAG＝∠NAG，在△EAG和△NAG中，∠AEG=∠ANG∠EAG=∠NAGAG=AG，∴△EAG≌△NAG（AAS），∴∠DGA＝∠NGA，∴∠DGN＝2∠DGA，∵∠D+∠DGN＝90°，∴∠D+2∠DGA＝90°；（3）解：∵∠AGB＝3∠CBH，∴∠CBH=13∠AGB，∵∠DHG＝∠CHB＝90°﹣∠CBH，∴∠DGH＝90°−13∠AGB，∵∠DGH＝∠DHG，∴∠DGH=12（180°﹣∠D）＝90°−12∠D，∴90°−13∠AGB＝90°−12∠D，∴∠AGB=32∠D，∵∠DGH＝∠DGA+∠AGB，∴∠DGA+∠AGB＝90°−12∠D，∴∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，∴2∠D+∠DGA＝90°，由（2）知，∠D+2∠DGA＝90°，∴∠D＝∠DGA，∴3∠DGA＝90°，∴∠DGA＝30°．【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE＝EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF＝AB，同理CF＝CD，等量代换得到结论；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE＝180°，求得∠CFE＝∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAC，∴EF＝BE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∴EF＝DE，∵∠D＝90°，∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，在Rt△AEF与Rt△ABE中，BE=EF AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△ABE，∴AF＝AB，同理CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE与△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，∵AM∥CN，∴∠ABE+∠CDE＝180°，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，∵CE平分∠ACD，∴∠FCE＝∠DCE，在△CEF与△CDE中，∠CFE=∠CDE ∠FCE=∠DCE CE=CE，∴△CEF≌△CDE，∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．。

数学八年级上册全等三角形（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．4．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，推出∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出QP ∥AB 即可；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ．无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS ．【详解】解：连接AP①∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，PR=PS ，∴点P 在∠BAC 的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP ，在Rt △ARP 和Rt △ASP 中，由勾股定理得：AR 2=AP 2-PR 2，AS 2=AP 2-PS 2，∵AP=AP ，PR=PS ，∴AR=AS ，∴①正确；②∵AQ=QP ，∴∠QAP=∠QPA ，∵∠QAP=∠BAP ，∴∠QPA=∠BAP ，∴QP ∥AR ，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.5．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.6．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.7．如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。

全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴）目录题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题...........................................................................................1题型二　与全等三角形有关的多结论问题 (7)题型三　全等三角形中的动点综合问题 (13)题型四　全等三角形中的新定义型综合问题 (27)题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题【答案】4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动全等；分两种情况：12x x -=，得出x =01 压轴总结02 压轴题型∴CAP V ≌PBQ V ；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，可知12(cm)BQ AC =¹，此时CAP V 与PQB △不全等．综上所述：运动4s 后CAP V 与PQB △全等．故答案为：4．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，6cm AC =，8cm BC =，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A C B ®®路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B C A ®®路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm /s 和2cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE l ^于点E ，QF l ^于点F ，设运动时间为t 秒，则当t 为（ ）秒时，PEC V 与QFC V 全等．A ．12或43B ．2或45或10C ．1或43D ．2或143或12由题意得，,AP t BQ ==∵6cm,8cm AC BC ==，由题意得，,2AP t BQ ==∵6cm,8cm AC BC ==，∴6,28CP t CQ t =-=-，当PEC QFC △≌△，则PC CQ =，由题意得，AP t =，∵6cm AC =，∴6,6CP t CQ =-=，2.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，ABP V 与DCE △全等．3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ^，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ^，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过 秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，1266AE AB BE \=-=-=，\点E 的运动时间为623¸=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，12618AE AB BE \=+=+=，\点E 的运动时间为1829¸=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌，12AB =Q ，12BE \=，121224AE AB BE \=+=+=，\点E 的运动时间为24212¸=（秒）；综上所述，当点E 经过3秒或9秒或12秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等，故答案为：3秒或9秒或12．4．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，12AC =，16BC =，点P 从A 点出发沿A C B ®®路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B C A ®®路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以2和6的运动速【答案】1或72或12【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出可．【详解】解：设点运动t秒时，以Q PE l^，QF l^，\90PEC QFCÐ=Ð=°，Q90ACBÐ=°，\90EPC PCEÐ+Ð=°，Q 由①知：PC CQ =，\212616t t -=-，=1t \；因为此时60t -<，所以此种情况不符合题意；122616PC t t =-=-，7=2t ；④当Q 到A 点停止，P 在BC ⑤因为P 的速度是每秒2，Q 题型二　与全等三角形有关的多结论问题例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在Rt AEB V 和Rt AFC △中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，90E F ÐÐ==°，EAC FAB ÐÐ=，AE AF =．给出下列结论：①B C Ð=Ð；②CD DN =；③BE CF =；④ACN ABM @V V ．其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③④C ．①②③D ．①②④【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵EAC FAB Ð=Ð，∴EAB FAC Ð=Ð，在EAB V 和FAC V 中，90E F AE AFEAB FAC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA EAB FAC V V ≌，∴,,B C BE CF AB AC Ð=Ð==，∴①③都正确，在ACN ABM △和△中，B C AB AC CAN BAM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ACN ABM V V ≌，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在Rt ABC △中，点M ，N 分别是边AB BC ，上的点，且M ，N 两点满足AM CN =，BP AN ^交AC 于点P ，过点P 作PQ MC ^交AN 延长线于点Q ，交BC 于点F ，AN 与CM 交于点E ，若AB BC =，则下列结论：①连接BE ，则BE 平分ABC Ð；②AME CNE △≌△；③CFQ AME Ð=Ð；④AQ CE PQ =+．成立的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键．先证明()SAS AMC CNA V V ≌可得MCA NAC Ð=Ð，再证明()AAS AME CNE V V ≌可得ME NE =，进而证明()SSS BME BNE V V ≌得到MBE NBE Ð=Ð即可判定①；由()SAS AMC CNA V V ≌可得MCA NAC Ð=Ð，然后证明()AAS AEM CEN V V ≌即可判定②；由全等三角形的性质可得AME ENC Ð=Ð，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明()ASA BHE CHP ÐÐV V ≌可得EH HP =，再证明()AAS EGH PDH V V ≌可得HG HD =，然后证明()HL QGH QHD V V ≌可得QE QP =，再说明AE CE =，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论．【详解】解：∵AB BC =，∴BAC BCA Ð=Ð,∵AM CN =，∴()SAS AMC CNA V V ≌，∴MCA NAC Ð=Ð.∵AM CN =，AEM NEC Ð=Ð,∴()AAS AME CNE V V ≌，即②正确；∴ME NE =,∵AB BC =，AM CN =，∴MB BN =,∵BE BE =,∴()SSS BME BNE V V ≌,∴MBE NBE Ð=Ð，即BE 平分ABC Ð，故①正确；∵()AAS AEM CEN V V ≌，∴AME ENC Ð=Ð，BCM BAE Ð=Ð，∵90ENC BAE ABC BAN Ð=Ð+Ð=Ð+°，90CFQ BCM CDF BCM Ð=Ð+Ð=Ð+°,∴ENC CFQ Ð=Ð,即③正确；∴BNQ CFQ Ð=Ð∴90,90BNQ CBP BGN CBP QFC BCH QDC BCH Ð=Ð+Ð=Ð+°Ð=Ð+Ð=Ð+°，∴CBP BCM Ð=Ð,∴BH CH =，∵45MBE NBE Ð=Ð=°，45BCA Ð=°，∴EBN CBP BCA BCM Ð-Ð=Ð-Ð,即EBP ECP Ð=Ð，∵BHE CHP Ð=Ð，∴()ASA BHE CHP V V ≌，∴EH HP =，∵90EGH HDP Ð=Ð=°，EHG PHD Ð=Ð，∴()AAS EGH PDH V V ≌,∴HG HD =，如图：连接HQ ∵90QGH QDH Ð=Ð=°,HQ HQ =,∴()HL QGH QHD V V ≌，∴QE QP =,∵AEM CEN V V ≌,∴AE CE =,∴AQ AE EQ CE PQ =+=+,即④正确．故选D ．2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，BE 平分ABC Ð交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF AB =，则下列四个结论：①EF AC ∥，②EFB BAD Ð=Ð，③AE EF =，④ABE FBE △≌△，其中正确的结论有（ ）A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据SAS 证明ABE FBE △≌△，再利用三角形全等的性质证明EFB BAD Ð=Ð，AE EF =，进而得出EF AC ∥，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．【详解】解：Q BE 平分ABC Ð交AD 于E ，ABE FBE \Ð=Ð，在ABE V 和FBE V 中，AB BF ABE FBE BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABE FBE \V V ≌，故④正确；EFB BAD AE EF \Ð=Ð=，，故②③正确；90BAC Ð=°Q ，AD BC ^于D ，90BAE ABD \Ð+Ð=°，90C ABD Ð+Ð=°，C BAE EFB \Ð=Ð=Ð，EF AC ∥∴，故①正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：D ．3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，高AD 与角平分线BE 相交于点F ，DAC Ð的平分线AG 分别交BC ，BE 于点G ，O ，连接FG ，下列结论：①C EBG Ð=Ð；②AEF AFE Ð=Ð；③AG EF ^；④ACD ABG S S =△△，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③④D ．②③④题型三　全等三角形中的动点综合问题例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 ABC V 中， (060)AB BC ABC a a =Ð=<<°，，，射线AM AB ^，点P 为射线AM 上的动点(点P 不与点A 重合)，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转角度α后， 得到线段BQ ， 连接PQ 、QC ．(1)试说明 PAB QCB V V ≌的理由；(2)延长QC 交射线AM 于点D ，在点P 的移动过程中， QDM Ð的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 QDM Ð的大小(用含α的代数式表示)；(3)当BQ AC ∥时， AB m AP n ==，， 过点Q 作QE 垂直射线AB ， 垂足为E ，那么 AEQ S =V (用m 、 n 的代数式表示) ．【答案】(1)理由见解析(2)不改变，QDM aÐ=(3)mn【分析】（1）先证明PBA QBC Ð=Ð，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；（2）先证明()SAS DAB DCB V V ≌，得到DA DC =，DBA DBC Ð=Ð，再计算出DBA Ð的值，再证明DAC DBA Ð=Ð，最后根据三角形外角定理即可求得QDM Ð的大小；（3）证明QB 是ABE Ð的角平分线，根据角平分线定理得到BC BE =，QE QC =，再根据BC AB m ==，QC PA n ==，即可得到BE 和QE ，根据三角形面积公式进行计算即可．【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到PN QB =，PBQ a Ð=，∴PBQ ABC Ð=Ð，∴PBA QBC Ð=Ð，∵PB QB PBA QBC AB BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS PAB QCB V V ≌；（2）解：如下图所示，连接BD ，∵()SAS PAB QCB V V ≌，∴90QCB PAB Ð=Ð=°,∵BQ AC ∥，∴ACB CBQ CAB Ð=ÐÐ，∵ACB CAB Ð=Ð，∴QBE CBQ Ð=Ð，∴QB 是ABE Ð的角平分线，1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰Rt ACB △中，90ACB Ð=°，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ^且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FG AC ^交AC 于G 点，求证：V V ≌AGF ECA ；(2)如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 中点；(3)如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则AD CD = ．AGF ECA QV V ≌，FG AC BC \==，在FGD V 和BCD △中，由（1）（2）知：V AGF CD DG \=，AG CE =\47AC AG =，\4AC =，2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA ®®运动，回到点A 停止，速度为2cm /s ，设运动时间为s t ．(1)如图（1），当t =________时，APC △的面积等于ABC V 面积的一半：(2)如图（2），在DEF V 中，90E Ð=°，4cmDE =，5cm DF =，D A Ð=Ð．在ABC V 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA ®®运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △全等于DEF V ，求点Q 的运动速度．∴13cm 2CP BC ==∴()8311s 22t +==当P 在AB 上时，如图，∴12AP BP AB ===∴(6851922t ++==综上所述，当t 为（2）解：设点Q∴425x ¸=¸，解得52x =；②当点P 在AC 上，点Q 在∴5cm AP DF AQ DE ====，∴524x ¸=¸，解得85x =；③当点P 在AB 上，点Q 在∴5cm AP DF AQ DE ====，∴点P 的路程为68105++-∴19220x ¸=¸，解得4019x =；④当点P 在AB 上，点Q 在∴4cm AP DE AQ DF ===，∴点P 的路程为68104++-∴20219x ¸=¸，解得1910x =；∴Q 运动的速度为5cm/s 2或853．如图，在等腰ABC V 中，BA BC =，100ABC Ð=°，AB 平分WAC Ð．在线段AC 上有一动点D ，连接BD ，E 为直线AW 上异于A 的一点，连接BE 、DE ．(1)如图1，当点E 在射线AW 上时，若DE AE DC +=，直接写出：EBD Ð=______；(2)如图2，当点E 在射线AW 的反向延长线上时，①若（1）中的结论仍成立，则DE 、AE 、DC 应满足怎样的数量关系，请证明；②若6BCD ABDE S S -=V 四边形，且25DE AE =，94AD AE =，求ABC S V 的值．4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系xOy 中，点()0,4A ，点B 为x 轴正半轴上一个动点，以AB 为边作ABC V ，使BC AB =，90ABC Ð=°，且点C 在第一象限内．(1)如图1，若()2,0B ，求点C 的坐标．(2)如图2，过点B 向x 轴上方作BD OB ^，且BD BO =，在点B 的运动过程中，探究点C ，D 之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．(3)如图3，过点B 向x 轴下方作BD OB ^，且BD BO =，连结CD 交x 轴于点E ，当ABD △的面积是BEC V 的面积的2倍时，求OE 的长．【答案】(1)点C 的坐标为(6,2)(2)点C ，D 之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析(3)6OE =【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．90Q，Ð=°ABC\Ð+Ð=°，90ABO CBDÐ+Ð=°Q，OAB ABO90\Ð=Ð，OAB CBDAOBÐìï90OBA ABD Ð+Ð=°Q ，DBC ÐOBA DBC \Ð=Ð，在OAB V 和DCB △中，OB OBA AB =ìïÐíï=î()SAS OAB DCB \V V ≌．CF BO \=，BD BO =Q ，CF BD \=，4BF OA ==．CEF DEB Ð=ÐQ ，CFE Ð=()AAS CFE DBE \V V ≌，题型四　全等三角形中的新定义型综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在ABC V 中，4AB AC BC >=，，P 为边BC 上一点，若ABP V 与ACP V 是积等三角形，求BP 的长；【理解运用】（2）如图2，ABD V 与ACD V 为积等三角形，若24AB AC ==，，且线段AD 的长度为正整数，求AD 的长．【综合应用】（3）如图3，在Rt ABC △中90,BAC AB AC Ð=°=，过点C 作MN AC ^，点D 是射线CM 上一点，以AD 为边作Rt ,90,ADE DAE AD AE Ð=°=V ，连接BE ．请判断BAE V 与ACD V 是否为积等三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；（2）证明ADB NDC V V ≌，推出2AB NC ==，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）过过点E 作EH AB ^于点H ，先证明HAE CAD V V ≌, 则,AC AH EH CD ==，然后再依据积等三角形（2）解：如图2，延长V为积等三角形，QV与ACDABD\=BD CD（3）是积等三角形证明：如图3，过点E作^QMN AC\Ð=Ð=°ACD AHE90巩固训练1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)见解析【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE Ð=Ð，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE Ð=°可求出45DCE ACB Ð==°，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ÐÐ=，然后根据“8”字形图形即可求出EMD Ð的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP BE AD ÐÐ=，=，根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ACQ BCP =Ð=Ð，，进而可证结论成立；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【详解】（1）AD BE =．理由：∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð，∴ACD BCE Ð=Ð．在ACD V 和BCE V 中，ACBC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ACD BCE V V ≌，∴AD BE =．（2）∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð．∵90ACE Ð=°，∴45DCE ACB Ð=Ð=°．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ÐÐ=．∵MOE COD Ð=Ð，∴45EMD DCE Ð=Ð=°．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．AD ，BE 的中点分别为,Q P ，∴AQ BP =．在ACQ V 和BCP V 中，CA CB CAQ CBP AQ BP =ìïÐ=íï=î，∴()SAS ACQ BCP V V ≌，∴CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð．∵90BCP PCA °Ð+Ð=，∴90ACQ PCA °Ð+Ð=，∴90PCQ Ð=°，∴PCQ △是等腰直角三角形．2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是______；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是______；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．如图2，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且45CAF Ð=°，求证：BE CF CE =+．【答案】(1)DFEÐ(2)AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°(3)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；（3）延长,BA CD 交于点G ，先证明(ASA)ABE ACG V V ≌，再证明(SAS)AGF AEF V V ≌，依据题意得出GF EC =，即可得到结论．【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，DAE Ð的“边垂角”是DFE Ð；（2）解：若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，分两种情况①如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，190,290AQB APB \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12Ð=ÐQ ，AQB APB \Ð=Ð，②如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，90,90PAQ PBQ \Ð=°Ð=°，360PAQ AQB APB PBQ Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，\180AQB APB Ð+Ð=°，综上所述，AQB Ð与APB Ð的数量关系是AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°；（3）解：延长,BA CD 交于点G ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，∴CG BD BG AC ⊥，⊥，90,90ABE AEB ACD DEC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEB DEC Ð=ÐQ ，ABE ACF \Ð=Ð，90BAE CAG \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，\(ASA)ABE ACG V V ≌，,AG AE BE CG \==，45FAC Ð=°Q ，9045GAF FAC \Ð=°-Ð=°，AF AF =Q ，\(SAS)AGF AEF V V ≌，GF EF \=，Q 点C 关于直线BE 对称点为点F ，EF EC \=，BE CG CF FG CF EF CF CE \==+=+=+，BE CF CE \=+；3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点 F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是 ；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是 ；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．①如图2，已知B C Ð=Ð，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且 45CAF Ð=°，90BAC Ð=°，求证：BE CF CE =+；对于上述问题，小明有这样的想法：在BD 上截取BH CF =，连接AH ，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证BE CF CE =+．②如图4，若92CD BD +=，直接写出四边形ABDC 的面积．【答案】(1)DFE Ð②如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，90,90PAQ PBQ \Ð=°Ð=°，综上所述，AQB Ð与APB Ð的数量关系是AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°；（3）解：①延长,BA CD 交于点G ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，90,90ABE AEB ACD DEC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEB DEC Ð=ÐQ ，ABE ACF \Ð=Ð，90BAE CAG \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，\(ASA)ABE ACG V V ≌，,AG AE BE CG \==，45FAC Ð=°Q ，9045GAF FAC \Ð=°-Ð=°，AF AF =Q ，\(SAS)AGF AEF V V ≌，GF EF \=，Q 点C 关于直线BE 对称点为点F ，EF EC \=，BE CG CF FG CF EF CF CE \==+=+=+，BE CF CE \=+；②连接AD ，过点A 作AE AD ^与DB 延长交于点E ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，180ACD ABD \Ð+Ð=°，180ABE ABD Ð+Ð=°Q ，ABE ACD \Ð=Ð，90DAC BAD BAD EAB Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．4．（22-23七年级下·江苏淮安α(0180a °<<°)得到AB ¢，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ¢，连接B C ¢¢．当180a b +=°时，我们称AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AB C ¢¢△边B C ¢¢上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)【探索一】如图1，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”，探索AD 与BC 的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在ABC V 中，若10AB =，8BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ，使DE BD =，连结CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE V 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．中线BD 的取值范围是 ．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当90a b ==°时，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AE BC ^，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ¢¢于点D ，探索AD 是否是ABC V 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．【答案】(1)19BD <<；2BC AD =，证明见解析；(2)AD 是ABC V 的“旋补中线”， 证明见解析【分析】（1）材料：三角形三边关系可得CE BC BE CE BC -<<+，进而可得中线BD 的取值范围；探索一：延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，证明()SAS B DA CDE ¢≌V V ，可得AB CE ¢=，B AD E ¢Ð=Ð，求出BAC AC E ¢Ð=Ð，再证()SAS ABC C EA ¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得结论；（2）作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，求出B B AF ¢Ð=Ð，证明()AAS ABE B AF ¢≌V V ，可得=B F AE ¢，同理证明()AAS ACE C AH ¢≌V V ，可得=AE C H ¢，求出=B F C H ¢¢，可证()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得B D C D ¢=¢，然后可得AD 是ABC V 的“旋补中线”．【详解】（1）解：材料：由题意得：10AB CE ==，8BC =，2BE BD =，由三角形三边关系可得：CE BC BE CE BC -<<+，即218BD <2<，∴19BD <<，故答案为：19BD <<；探索一：2BC AD =；证明：如图1，延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，即B D CD ¢=，又∵B DA C DE ¢¢Ð=Ð，∴()SAS B DA C DE ¢¢V V ≌，∴AB C E ¢¢=，B AD E ¢Ð=Ð，∵AB AB ¢=，∴AB C E ¢=，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴180BAC B AC BAC B AD EAC ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，∵180AC E E EAC ¢Ð+Ð+Ð=°，B AD E ¢Ð=Ð，∴BAC AC E ¢Ð=Ð，∵AC AC ¢=，BAC AC E ¢Ð=Ð，AB C E¢=∴()SAS ABC C EA ¢≌V V ，∴2BC AE AD ==．（2）AD 是ABC V 的“旋补中线”；证明：如图，作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，∵AE BC ^，∴90F BEA Ð=Ð=°，∴90BAE B Ð+Ð=°，∵90a b ==°，即90BAB CAC ¢¢Ð=Ð=°，∴90BAE B AF ¢Ð+Ð=°，∴B B AF ¢Ð=Ð，又∵¢=BA AB ，∴()AAS ABE B AF ¢≌V V ，∴=B F AE ¢，又∵90AEC C HA ¢Ð=Ð=°，90CAC ¢Ð=°，∴90CAE C Ð+Ð=°，90CAE C AH ¢Ð+Ð=°，∴C C AH ¢Ð=Ð，∵CA AC ¢=，∴()AAS ACE C AH ¢≌V V ，∴=AE C H ¢，∴=B F C H ¢¢，∵90F C HD ¢Ð=Ð=°，B DF C DH ¢¢Ð=Ð，∴()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，∴B D C D ¢=¢，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，∴AD 是ABC V 的“旋补中线”．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF 到G ，使得FG=FB ，证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键．2．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ，∠DAP=∠DCP ，根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ，即∠DCP=∠E ，易得答案；(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等，然后得出PA=PC ，∠BAP=∠BCP ，然后得出∠DCP=∠E ，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC 是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，∴PC=PE ；(2)、由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∴∠DAP=∠DCP ，∵PA=PE ， ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ， ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等），∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ， 即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP ＝CE理由是：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP ，在△ABP 和△CBP 中， 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD ，在△ACF 和△ABD 中，∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)，∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF ⊥BD ；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°∵BM ⊥AE∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.5．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ∆中，90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ，AD=CE ，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等，从而得出BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等，在此基础上进一步证明求解即可.【详解】（1）∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD ，在△ABD 与△CAE 中，∵∠ABD=∠CAE ，∠BDA=∠AEC ，AB=AC ，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∠=∠=∠=，∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，∆为等边三角形，理由如下：（3）DEF由（2）可知：△ADB≌△CEA，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.7．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证:△DEF是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.9．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．（1）求证：∠ACB＝∠ADB；（2）求证：AC+BC＜2BD；（3）如图2，若∠ECF＝60°，证明：AC＝BC+CD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM=∠DBN，则结论得证；（2）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BN＜BD，则结论得证；（3）在AC上取一点P，使CP=CD，连接DP，可证明△ADP≌△BDC，得出AP=BC，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DC DM DN=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △DMC ≌Rt △DNC （HL ），∴CM ＝CN ，∴AC +BC ＝AM +CM +BC ＝AM +CN +BC ＝AM +BN ，又∵AM ＝BN ，∴AC +BC ＝2BN ，∵BN ＜BD ，∴AC +BC ＜2BD ．（3）由（1）知∠CAD ＝∠CBD ，在AC 上取一点P ，使CP ＝CD ，连接DP ，∵∠ECF ＝60°，∠ACF ＝60°，∴△CDP 为等边三角形，∴DP ＝DC ，∠DPC ＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题．（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题．（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时；列方程即可得到结论．【详解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）如图1中，∵OE＝OA，OB⊥AE，∴BA＝BE，∴∠BAO＝∠BEO，∵∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠BAO，∴∠CEO＝∠DAO，在△ADO与△ECO中，CE0DA0OA0ECOE AOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO≌△ECO（ASA）．（2）设运动的时间为t秒，当PO＝QO时，易证△OPM≌△OQN．分三种情况讨论：①当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝72（秒），②当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝174（秒），③当点P在x轴上，Q在y轴上时，若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝72（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

专题06 全等三角形压轴题型汇总一、单选题1．（2021·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，OA =OB ，OC =OD ，∠O =60°，∠C =35°，则∠DAO 的度数是（ ）A ．35°B ．85°C ．95°D ．以上都不对【答案】B【分析】由“SAS ”可证△OAD ≌△OBC ，就可以得出∠C =∠D ，从而得出结论．【详解】解：在△OAD 和△OBC 中OA OB O O OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAD ≌△OBC （SAS ），∴∠D =∠C ．∵∠C =35°，∴∠D =35°．∴∠DAO =180°-∠D -∠O =180°-60°-35°=85°，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．2．（2021·清涧县教学研究室七年级期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥交AB 于点F ，DE DG =，AGD DEF ∠=∠，25ADG S =△，19AED S =△，则EDF V 的面积为（）A ．12B ．6C ．4D ．3【答案】D【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，然后证明△DFE ≌△DHG ，得到DEF DGH S S =V V ，证明△DFA ≌△DHA ，得到DFA DHA S S =△△，由此求解即可．【详解】解：如图过点D 作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴DF =DH ，∵DF ⊥AB∴∠DFE =∠DHG =90°，又∵DE DG =，∴△DFE ≌△DHG （HL ），∴DEF DGH S S =V V ，同理可以证明△DFA ≌△DHA （HL ），∴DFA DHAS S =△△∵25ADG S =△，19AED S =△，∴19DFA DEF S S -=△△，25AHD DGH S S +=V V ，即25DEF DFA S S +=V △，∴3DEF S =V ，故选D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2021·陕西商州区·）如图，在ADF V 和CBE △中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，以下四个论断：①AD CB =；②AE CF =；③B D ∠=∠；④//AD BC ．从中选取哪三个作为条件不能证明ADF V 和CBE △全等的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【答案】A【分析】利用全等三角形的判定方法对四个选项分别证明即可．【详解】解：A 、①AD CB =；②AE CF =，则AF =CE ，③B D ∠=∠；满足的是SSA ，故不能证明全等，A 选项符合题意；B 、②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC ；∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C ，在△ADF 和△CBE 中，∵A C D B AF CE ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CBE （AAS ）；故B 选项不合题意；①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；④AD ∥BC ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C ，在△ADF 和△CBE 中，∵AD CB A C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CBE （SAS ）；故C 选项不合题意；D 、①AD ＝CB ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC ．∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C ，在△ADF 和△CBE 中，A C AD BC DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CBE （ASA ）；故D 选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL 是解题的关键．4．（2021·长沙市长郡双语实验中学八年级开学考试）如图，△ABC 中，∠ABC 、∠EAC 的角平分线BP 、AP 交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN （HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=1∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③2正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，S△APM+S△CPN=S△APC，即可判断．【详解】解：①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°=360°，∴∠ABC +∠MPN =180°，在Rt △PAM 和Rt △PAD 中，PA PA PM PD =⎧⎨=⎩，∴Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），∴∠APM =∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD =∠CPN ，∴∠MPN =2∠APC ，∴∠ABC +2∠APC =180°，②正确；③∵PA 平分∠CAE ，BP 平分∠ABC ，∴∠CAE =∠ABC +∠ACB ，∠PAM =12∠ABC +∠APB ，∴∠ACB =2∠APB ，③正确；④由②可知Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ）∴S △APD =S △APM ，S △CPD =S △CPN ，∴S △APM +S △CPN =S △APC ，故④正确，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．5．（2021·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学七年级期中）如图，在△ABC 、△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，AF 是△ADC 的中线，C ，D ，E 三点在一条直线上，连接BD ，BE ，以下五个结论：①BD ＝CE ：②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC ＝45°；④2AF ＝BE ⑤BE ⊥AF 中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】①由条件证明△ABD ≌△ACE ，就可以得到结论；②由△ABD ≌△ACE 就可以得出∠ABD ＝∠ACE ，就可以得出∠BDC ＝90°而得出结论；③由条件知∠ABC ＝∠ABD +∠DBC ＝45°，由∠DBC +∠ACE ＝90°，就可以得出结论．④延长AF 到G ，使得FG ＝AF ，连接CG ，DG ．则四边形ADGC 是平行四边形．想办法证明△EAB ≌△GCA ，即可解决问题；⑤延长FA 交BE 于H ．只要证明∠AHB ＝90°即可；【详解】解：①∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ．故①正确；∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ．∵∠CAB ＝90°，∴∠ABD +∠DBC +∠ACB ＝90°，∴∠DBC +∠ACE +∠ACB ＝90°，∴∠BDC ＝180°﹣90°＝90°．∴BD ⊥CE ；故②正确；③∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD +∠DBC ＝45°．∴∠ACE +∠DBC ＝45°，故③正确，④延长AF到G，使得FG＝AF，连接CG，DG．则四边形ADGC是平行四边形．∴AD//CG，AD＝CG，∴∠DAC+∠ACG＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠EAB+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝∠ACG，∵EA＝AD＝CG，AB＝AC，∴△EAB≌△GCA（SAS），∴AG＝BE，∴2AF＝BE，故④正确，⑤延长FA交BE于H．∵△EAB≌△GCA（SAS），∴∠ABE＝∠CAG，∵∠CAG+∠BAH＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AF⊥BE，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．6．（2021·广东福田区·明德学校八年级期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在△ABC中，A D、BE分别平分∠BA C、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵A D、BE分别平分∠BA C、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=1（∠A+∠B）=45°，2∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH ≌△FPD （ASA ），∴PH =PD ，∴AD =AP +PD =PF +PH ．故②正确．∵△ABP ≌△FBP ，△APH ≌△FPD ，∴S △APB =S △FPB ，S △APH =S △FPD ，PH =PD ，∵∠HPD =90°，∴∠HDP =∠DHP =45°=∠BPD ，∴HD ∥EP ，∴S △EPH =S △EPD ，∴S △APH =S △AED ，故⑤正确，∵S 四边形ABDE =S △ABP +S △AEP +S △EPD +S △PBD=S △ABP +（S △AEP +S △EPH ）+S △PBD=S △ABP +S △APH +S △PBD=S △ABP +S △FPD +S △PBD=S △ABP +S △FBP=2S △ABP ，故④不正确．若DH 平分∠CDE ，则∠CDH =∠EDH ，∵DH ∥BE ，∴∠CDH =∠CBE =∠ABE ，∴∠CDE =∠ABC ，∴DE ∥AB ，这个显然与条件矛盾，故③错误，故选B ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2021·山东芝罘区·七年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，∠DAB 与∠ADC 的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM 的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】过M作ME⊥AD于E，由角平分线的性质得出∠MDE=12∠CDA，∠MAD=12∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=12（∠CDA+∠BAD）=90°，由三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；由角平分线的性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②；由Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），得出CD=DE，由Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出AB=AE，即可判断③；由全等三角形推出S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，即可判断④．【详解】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE=12∠CDA，∠MAD=12∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=12（∠CDA+∠BAD）=12×180°=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵AB ∥CD ，∠B =90°，∴MC ⊥DC ，∵DM 平分∠CDE ，ME ⊥DA ，∴MC =ME ，同理ME =MB ，∴MC =MB =ME ，∴点M 为BC 的中点，故②正确；在Rt △DCM 和Rt △DEM 中，MC ME DM DM =⎧⎨=⎩，∴Rt △DCM ≌Rt △DEM （HL ），∴CD =DE ，同理：Rt △ABM ≌Rt △AEM （HL ），∴AB =AE ，∴AB +CD =AE +DE =AD ，故③正确；∵Rt △DCM ≌Rt △DEM ，Rt △ABM ≌Rt △AEM ，∴S △DEM =S △DCM ，S △AEM =S △ABM ，∴S △ADM =12S 梯形ABCD ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质和判定等知识；熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2021·黑龙江道里区·七年级期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE 是中线，过点B 作BF ⊥AE于点F ，过点C 作CD ⊥BC 交BF 的延长线于点D ．下列结论：①BE ＝CE ；②AE ＝BD ；③∠BAE ＝∠CBD ；④∠EAC ＝∠BAE ；⑤BC ＝2CD ．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】根据三角形的中线即可进行判断①和④；利用AAS 证明△BCD ≌△ABE ，即可进行判断③④⑤的正确性．【详解】解：①∵AE 是中线，∴BE ＝CE ，故①正确；②∵DC ⊥BC ，BF ⊥AE ，∴∠DBC +∠D ＝∠DBC +∠BEA ＝90°．∴∠D ＝∠BEA ．∵∠DCB ＝∠ABE ＝90°，在△DBC 与△ABE 中，90DCB EBA D AEB BC AB ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ，∴△BCD ≌△ABE （AAS ）．∴BD ＝AE ，故②正确；③∵△BCD ≌△ABE ，∴∠BAE ＝∠CBD ；故③正确；④∵AE 是中线，∴∠EAC ≠∠BAE ，故④错误；⑤∵△BCD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∵BC ＝2BE，∴BC＝2CD，故⑤正确．∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△BCD≌△ABE．9．（2021·四川青羊区·树德中学八年级开学考试）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接BD、CD；如图2，已知AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n-1C．()12n n+D．3（n+1）【答案】C【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC ，∵△ABD ≌△ACD ．∴BD=CD ，又DE=DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n 个图形中全等三角形的对数是(1)2n n +．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．10．（2020·浙江绍兴市·）如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，40AOB COD ︒∠=∠=，连接AC ，BD 交于点M ，连结OM ．下列结论：①40AMB ︒∠=；②AC BD =；③OM 平分AOD ∠；④MO 平分AMD ∠．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④【答案】D【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB ，得出∠AMB=∠AOB=40°，①正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H ，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠AMD ，④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM=∠AOM ，由全等三角形的判定定理可得△AMO ≌△DMO ，得AO=OD ，而OC=OD ，所以OA=OC ，而OA ＜OC ，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，故②正确；同时∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB ，∴∠AMB=∠AOB=40°，故①正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H ，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴OG=OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM=∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OMAMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO=OD ，∵OC=OD ，∴OA=OC，而OA ＜OC ，故③错误；正确的个数有3个；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．（2021·全国八年级课时练习）如图，在ABC V 中，2,,AB AC B C BD CE ∠∠====，F 是AC 边上的中点，则AD EF -________1．（填“>”“=”或“<”）【答案】<【分析】连接AE ，先证明△≌△ADB AEC 得出AD AE =，根据三角形三边关系可得结果．【详解】如图，连接AE ，在ADB △和AEC V 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ADB AEC V V ≌，∴AD AE =，在AEF V 中，AE EF AF -<，∴AD EF AF -<，∵F 是AC 边上的中点，∴112AF AC ==，∴1AD EF -<，故答案为：<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟知全等三角形的判定定理与性质是解题的关键．12．（2021·天津南开区·南开翔宇学校八年级月考）如图，ABC V 中，D 在AC 边上，BD CD =，E 在BC 边上，AE AB =，过点E 作EF BC ⊥，交AC 于F ．若4=AD ，6CE =，则EF 的长为______．【答案】【分析】在AC 上截取AG BD =，连接EG ，作GM BC ⊥于M ，证明()ABD EAG SAS ≌△△，再根据全等三角形对应边相等的性质解得4AD EG ==，3EM CM ==，在Rt CMG △中，利用勾股定理解得GM =平行线分线段成比例解题即可．【详解】解：在AC 上截取AG BD =，连接EG ，作GM BC ⊥于M，∵AE AB =，BD CD =，∴C DBC ∠=∠，ABE ABE ∠=∠，又∵AEB C EAC ∠=∠+∠，ABE CBD DBA ∠=∠+∠，∴ABD EAC ∠=∠，在ABD △和EAG △中，AB AE BAE EAG BD AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD EAG SAS ≌△△，所以4AD EG ==，∵AG BD DC ==，∴4AD CG GE ===GM EC ⊥Q3EM CM ∴==在Rt CMG △中，GM ==∵EF BC ⊥，GM BC ⊥，∴//MG EF ，∴12GM EF =，∴EF =故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·浙江浙江省·七年级月考）如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，则m +n _____ b +c ．（填>、≥、<、≤、=、≠）．【答案】＞【分析】在BA 的延长线上取点E ，使AE =AC ，连接EP ，证明△ACP 和△AEP 全等，推出PE =PC ，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m +n ＞b +c ．【详解】解：在BA 的延长线上取点E ，使AE =AC ，连接EP ，∵AD 是∠BAC 的外角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACP 和△AEP 中，AE AC CAD EAD AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△AEP （SAS ），∴PE =PC ，在△PBE 中，PB +PE ＞AB +AE ，∵PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，∴m +n ＞b +c ．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m 、n 、b 、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．14．（2021·哈尔滨市第四十七中学）如图，在△ABC 中，高AD 上有一点E ，连接BE ，CE ，AC =BE ，∠ACE =∠CBE ，若AE =3，CE =4，BC =9，则线段DE 的长为_______．【答案】125【分析】过点E 作EF EC ⊥交BC 于点F ，根据已知条件和三角形外角性质，先证FEB EAC ∠=∠，进而证明BEF CAE △≌△，再利用等面积法求得ED ．【详解】过点E 作EF EC ⊥交BC 于点F ，如图，EF EC ⊥，90EFC ECF ∠+∠=︒，AD BC ⊥ ，90ECF DEC ∴∠+∠=︒，DEC EFC ∴∠=∠，,FBE FEB EFC EAC ACE DEC ∠+∠=∠∠+∠=∠ ，ACE CBE ∠=∠，FEB EAC ∴∠=∠，AC BE =，∴BEF CAE △≌△（ASA ），3AE EF ∴==，4BF CE ==，9BC =，945FC BC BF ∴=-=-=，1122EFC S FC ED EC EF =⋅=⋅ △，431255EC EF ED FC ⋅⨯∴===，故答案为：125．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，构造全等三角形是解题的关键．15．（2021·长沙市长郡双语实验中学八年级开学考试）如图，在△ABC 中，∠ACB =90，AC =6，BC =8．点P 从点A 出发，沿折线AC—CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC—CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ，当△PEC 与△QFC 全等时，CQ 的长为_______．【答案】5或2.5或6【分析】分三种情况：（1）当P 在AC 上，Q 在BC 上时；（2）当P 在AC 上，Q 在AC 上时，即P 、Q 重合时；（3）当P 在BC 上，Q 在AC 上时，即A 、Q 重合时；得出关t 的方程，解方程求得t 的值，进而求得CQ 的长．【详解】解：当P 在AC 上，Q 在BC 上时，∵∠ACB =90，∴∠PCE +∠QCF =90°，∵PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．∴∠EPC +∠PCE =90°，∠PEC =∠CFQ =90°，∴∠EPC =∠QCF ，∴△PCE ≌△CQF ，∴PC =CQ ，∴6-t =8-3t ，解得t =1，∴CQ =8-3t =5；当P 在AC 上，Q 在AC 上时，即P 、Q 重合时，则CQ =PC ，由题意得，6-t =3t -8，解得t =3.5，∴CQ =3t -8=2.5，当P 在BC 上，Q 在AC 上时，即A 、Q 重合时，则CQ =AC =6，综上，当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ 的长为5或2.5或6，故答案为：5或2.5或6．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．16．（2021·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）如图，已知四边形ABCD 中，10AB =厘米，8BC =厘米，12CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动，当点Q 的运动速度为__________厘米/秒时，能够使BEP ∆与CPQ ∆全等．【答案】2或52．【分析】分两种情况讨论，①当5BE CP ==，BP CQ =时，②当5BE CQ ==，BP CP =时，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度．【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则2BP t =，82CP t =-，B C ∠=∠ ，∴①当5BE CP ==，BP CQ =时，BPE ∆与CQP ∆全等，此时，582t =-，解得32t =，3BP CQ ==∴，此时，点Q 的运动速度为3322÷=（厘米/秒）；②当5BE CQ ==，BP CP =时，BPE ∆与CQP ∆全等，此时，282t t =-，解得2t =，∴点Q 的运动速度为5522÷=（厘米/秒）；故答案为：2或52．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．（2021·黑龙江道外区·八年级期末）如图，等边△ABC ，D 为CA 延长线上一点，E 在BC 边上，且AD ＝CE ，连接DE 交AB 于点F ，连接BD ，若∠BFE ＝45°，△DBE 的面积为2，则DB ＝______________．【答案】【分析】过点D 作DG ∥BC ，与BA 的延长线交于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，证明△ADG 是等边三角形，再证明△BDG ≌△DEC ，得DB ＝DE ，进而证明∠BDE ＝30°，得EH ＝12BD ，再根据三角形的面积公式求得B D ．【详解】解：过点D 作DG ∥BC ，与BA 的延长线交于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，如图，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠C ＝60°＝∠ABC ＝∠AGD ，∵∠DAG ＝∠BAC ＝60°，∴△ADG 是等边三角形，∴AD ＝AG ＝DG ，∵AD ＝CE ，∴AB +AG ＝AC +AD ，∴BG ＝CD ，在△BDG 和△DEC 中，BG DC BGD C DG EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDG ≌△DEC （S A S ），∴∠BDG ＝∠DEC ，BD ＝DE ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∵∠BFE ＝45°，∠EBF ＝60°，∴∠DEB ＝∠DBE ＝180°﹣∠EBF ﹣∠BFE ＝75°，∴∠BDE ＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴EH ＝12DE ，∴EH ＝12BD ，∵△DBE 的面积为2，∴122BD EH =g ，即2124BD =，∴BD＝．故答案为【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．18．（2021·江苏苏州市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，当点P运动_________ 秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．【答案】1或72或12【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP=CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，QC=8-3t，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠QCF，∵△PCE≌△CQF，即6-t=8-3t，∴t=1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6，QC=3t-8，∵由①知：PC=CQ，∴t-6=3t-8，∴t=1；∴t-6＜0，即此种情况不符合题意；③当P、Q都在AC上时，如图3，CP=6-t=3t-8，∴t=72；④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，t-6=6，∴t=12．⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；答：点P运动1或72或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．故答案为：1或72或12．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此19．（2021·全国）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是__．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③FA 平分∠DFE ，④AE 平分∠FAB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【答案】③⑤⑥【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DFA ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠FAE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△FAE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EFA ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【详解】解：延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ，∴∠D ＝∠ABG ＝90°，在△ADF 和△ABG 中AD AB D ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DFA ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，∴∠DAF +∠EAB ＝∠DAB ﹣∠FAE ＝140°﹣70°＝70°，∴∠EAG ＝∠EAB +∠BAG ＝∠EAB +∠FAD ＝70°，∴∠FAE ＝∠EAG ＝70°，在△FAE 和△GAE 中AE AE FAE EAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAE ≌△GAE （SAS ），∴∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EFA ，EF ＝EG ，∴EF ＝EB +DF ，∠FAE ≠∠EAB ，故⑤正确，④错误；∴∠G ＝∠EFA ＝∠DFA ，即AF 平分∠DFE ，故③正确；∵CF +CE ＞EF ，EF ＝DF +BE ，∴CF +CE ＞DF +BE ，故⑥正确；根据已知不能推出△ADF ≌△ABE ，故①错误，②错误；故答案为：③⑤⑥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．20．（2021·江苏泰州市·泰州中学附属初中七年级期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，45B C ∠=∠=︒，D 、E 是斜边BC 上两点，过点A 作AF AD ⊥，垂足是A ，过点C 作CF BC ⊥，垂足是C ．交AF 于点F ，连接EF ，其中DE EF =．下列结论：①ABD ACF ∆∆≌；②BD CE DE +=；③若8ADE S ∆=，3CEF S ∆=．则19ABC S ∆=；④45BAD CAE ∠=︒-∠．其中正确的是__________．（填序号）．【答案】①③④【分析】只需要证明△ABD ≌△ACF ，△AED ≌△AEF 即可解决所有问题.【详解】解：∵AB AC =，45B C ==∠∠∴90BAC ∠=∵AF AD ⊥，CF BC⊥∴90DAF ECF ∠=∠=∴90BAD DAC CAF DAC ∠+∠=∠+∠=∴BAD CAF∠=∠∵45ACF FCE ACB ∠=∠-∠=∴ACF B∠=∠∴△ABD ≌△ACF∴①正确∴BD CF =，AD AF =，ABD AFCS S =△△∵EC CF EF +>，DE EF=∴EC CF DE +>，即EC BD DE+>∴②错误∵AE AE =，AD AF =，DE EF=∴△AED ≌△AEF∴ADE AEF S S =V V ，1452DAE FAE DAF ∠=∠=∠=∴AECF ECF AEF AEC ACFS S S S S ==++△△△△若8ADE S =△，3CEF S =△，则==11AEC ACF AEC ABD S S S S ++△△△△∵=ABC AEC AED ABDS S S S ++△△△△∴=11+8=1=9ABC AEC AED ABD S S S S ++△△△△∴③正确∵45FAE ∠= ，FAC FAE EAC∠=∠-∠∴=45BAD CAF FAE EAC EAC ∠=∠=∠-∠-∠∴④正确故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于找到三角形全等的条件.三、解答题21．（2021·辽宁西丰县·八年级期末）如图，点O 是△ABC 的边AC 的中点，AF ∥BC ，DE ⊥AC 于点O ，交AF 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ．求证：CD ＝CE ．【答案】见解析【分析】由点O 是△ABC 的边AC 的中点可得出AO ＝CO ，由AD ∥BC ，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DAO ＝∠ECO ，结合对顶角相等可证出△AOD ≌△COE （ASA ），利用全等三角形的性质可得出DO ＝EO ，结合∠DOC ＝∠EOC 及CO ＝CO ，即可证出△COD ≌△COE （SAS ），再利用全等三角形的性质可证出CD ＝CE ．【详解】证明：∵点O 是△ABC 的边AC 的中点，∴AO ＝CO ．∵AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠ECO ．在△AOD 和△COE 中，DAO ECO AO CO AOD COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ≌△COE （ASA ），∴DO ＝EO ．在△COD 和△COE中，90DO EO DOC EOC CO CO =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COE （SAS ），∴CD ＝CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，利用全等三角形的判定定理，证出△AOD ≌△COE 及△COD ≌△COE 是解题的关键．22．（2021·安徽泗县·七年级期末）如图，AE 与BD 相交于点C ，AC EC =，BC DC =，6cm AB =，点P 从点A 出发，沿A B A →→方向以3cm s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E →方向以1cm s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为()s t ．（1）求证：//AB DE ．（2）写出线段BP 的长（用含t 的式子表示）．（3）连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求t 的值．【答案】（1）见解析；（2）()63cm t -或()36cm t -；（3）1.5或3【分析】（1）由SAS 证明()ABC EDC SAS V V ≌，得A E ∠=∠，再由平行线的判定即可得出结论；（2）分两种情况分别表示BP 即可；（3）先证()ACP ECQ ASA △≌△，得AP EQ =，再分两种情况：当02t ……时，36t t =-；当24t <…时，1236t t -=-，分别解出t 即可．【详解】（1）证明：在ABC V 和EDC △中，AC EC ACB ECD BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC V ≌EDC △（SAS ），∴A E ∠=∠，∴//AB DE ．（2）解：当02t ≤≤时，()63BP t cm =-；当24t <≤时，()36BP t cm =-，综上所述，线段AP 的长为()63t cm -或()36t cm -．（3）解：由（1）得：A E ∠=∠，6ED AB cm ==，在ACP △和ECQ V 中，A E AC CEACP ECQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACP △≌ECQ V （ASA ），∴AP EQ =，当02t ≤≤时，36t t =-，解得 1.5t =；当24t <≤时，1236t t -=-，解得3t =．综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为1.5或3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键．23．（2021·广东高州市·七年级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 是△ABC 外的一点，连结CD 、BD 、AD ，线段BC 与AD 相交于点F ，E 为AF 上一点，连结CE ，已知∠CAD ＝∠CBD ，∠ACB ＝∠EC D ．（1）证明：CE ＝CD；（2）若∠CAB ＝72°，求∠ADB 的大小．【答案】（1）见解析；（2）36︒【分析】（1）由∠=∠ACB ECD 可知=ACE BCD ∠∠，结合已知条件，可证明CAE CBD V V ≌，进而证明CE ＝CD ；（2）由CAE CBD V V ≌，结合AC BC =，CAB CBA ∠=∠，求得DAB ABD ∠+∠的大小，进而根据三角形内角和定理求得∠ADB 的大小．【详解】（1）ACB ECD∠=∠ –ACB ECB ECD ECB∠∠=∠-∠∴即=ACE BCD∠∠ AC ＝BC ，∠CAD ＝∠CBD ，∴CAE CBDV V ≌CE CD∴=（2） AC = BC72CAB CBA ∠∴∠==︒CAE CBDV V ≌CAE CBD∴∠=∠72CAB CAD DAB ∠=∠+∠=︒ ,72CBD DAB ∴∠+∠=︒7272144CBA CBD DAB ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒18014436ADB ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用全等三角形的性质进行角的转化是解题的关键．24．（2021·全国）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【答案】见解析【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短；方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可；方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可；方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可；方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可；【详解】方法1：补短，构造全等证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：补短，构造全等证明：延长DA至点E，使得AE＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分线∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°过点A作AF⊥AB交BC于点F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延长上取点H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠H ＝∠EAC在△ABH 和△CEA 中∠H ＝∠EACAH ＝AC∠ABH ＝∠AEC∴△ABH ≌ △CEA (ASA )∴AB ＝CE∴CD ＝DE ＋CE ＝AD ＋AB25．（2021·湖南岳阳市·七年级期末）（1）如图1，在三角形ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 在边AC 上，12∠=∠，试说明DE 与BC 的位置关系，并予以证明；（2）如图2，在（1）的条件下，若CBD CDB ∠=∠，CDE ∠的平分线交AC 于点F ，连接BF ．求证：90DBF DFB ∠+∠=︒；（3）如图3，在前面的条件下，若ACD ∠的平分线与AB 、DF 分别交于G 、H 两点，且54BGC ∠=︒，求ACB ∠的度数．【答案】（1）DE ∥BC ，证明见解析；（2）证明见解析；（3）72°【分析】（1）证明∠2=∠BCD ，可得结论．（2）根据DE ∥BC ，得到∠EDB +∠DBC =180°，再利用角平分线的性质，即可解答；（3）根据FD ⊥AB ，∠BGC =54°，得到∠DHG =36°，利用外角的性质得到∠FDC +∠HCD =36°，再根据DF 平分∠EDC ，CG 平分∠ACD ，得到∠EDC =2∠FDC ，∠ACD =2∠HCD ，得到∠EDC +∠ACD =2（∠FDC +∠HCD ）=108°，利用三角形内角和为180°，∠DEC =180°-（∠EDC +∠ACD ）=180°-108°=72°，再利用平行线的性质求出∠AC B ．【详解】解：（1）结论：DE∥B C．理由：如图1中，∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BCD，∴DE∥B C．（2）证明：如图2中，∵DE∥BC，∴∠EDB+∠DBC=180°，∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB=180°，∴∠FDC+∠CDB=90°，∴FD⊥BD，∴∠DBF+DFB=90°．（3）如图3中，∵∠BGC =54°，FD ⊥BD ，∴∠DHG =36°，∴∠FDC +∠HCD =36°，∵DF 平分∠EDC ，CG 平分∠ACD ，∴∠EDC =2∠FDC ，∠ACD =2∠HCD ，∴∠EDC +∠ACD =2（∠FDC +∠HCD ）=72°，∴∠DEC =180°-（∠EDC +∠ACD ）=180°-72°=108°，∵DE ∥BC ，∴∠ACB +∠DEC =180°，∴∠ACB =72°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．26．（2021·重庆市大坪中学校八年级月考）如图1，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．MN 是过点A 的直线，BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于E ．（1）求证：BD AE =．（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD AE =．（3）在（2）的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ，求证：AFE BFG ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）首先证明∠DBA＝∠EAC，再证明△ADB≌△CEA，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE；（2）首先证明∠ABD=∠CAE，再证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE；（3）首先证明△ACF≌△ABP，然后再证明△BFG≌△BPG，再根据全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BFG，再根据等量代换可得结论．【详解】解：（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB +∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB = AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE；（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB +∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB = AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，（3）过B作BP//AC交MN于P，如图所示∵BP//AC，∴∠PBA+∠BAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠PBA＝∠BAC＝90°由（2）得：△ADB≌△CEA，∴∠BAP＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ACF≌△ABP（ASA），∴∠1＝∠3，∴AF=BP，∵AB的中点F，∵BF＝AF，∴BF＝BP，∵∠ABC=45°，又∵∠PBA＝90°，∴∠PBG ＝∠PBA －∠ABC =45°，∴∠ABC ＝∠PBG ，∵BG=BG ，∴△BFG ≌△BPG （SAS ），∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2即∠AFE =∠BFG ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．27．（2021·长沙市北雅中学八年级开学考试）在ABC V 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．。

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD 于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。