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七年级数学有理数的减法知识精讲 人教义务代数重点难点1．会进行有理数的减法运算。
2．能运用减法运算性质进行化简运算。
3．理解有理数减法法则，能熟练地运用有理数减法法则进行有理数的减法运算。
4．注意“化归”的数学思想方法的学习。
（将有理数的减法转化为有理数的加法来运算，这种思想方法称为“化归”思想）重点分析 有理数的减法有理数的减法与有理数的加法是代数运算的基础，也是中考的必考内容之一。
有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
对大家而言，做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。
有理数的减法法则是：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)。
到目前为止，我们在两种不同的意义上使用“-”号：（1）把“-”看成是减法的运算符号。
如3-7中的“-”即为运算符号，意思是“3减去7”。
（2）把“-”看成是取相反数的符号，即性质符号，如数-a 中的“-”即表示a 的相反数。
在使用减法法则进行减法运算时，经常要同时改变两个符号，即将运算符号“-”（减号）改变为“+”（加号）。
同时，把减数改变为它的相反数。
例题分析 [例1]计算：（1）(+5)-(-4) （2）4522- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-413413 （4）0)31.8(--（5）0-23 思路分析做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。
解：（1）(+5)-(-4) =(+5)+(+4)=9. （2）531)4(5224522-=-+=-. （3）0)413(413413413=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-. （4）31.80)31.8(0)31.8(-=+-=--.（5）0-23=0+(-23)=-23（将减法转化为加法时，必须把减号改成加号，减数改成它的相反数。
特殊地，0减去一个数得这个数的相反数）[例2]已知a 是5的相反数，b 比a 的相反数大3，求b-a 的值。
有理数的减法观课报告2016年暑假我认真学习了李老师的这节课，使我深深感悟到课堂教学，必须充分体现以学生为主体,体现学生的主体地位。
从整节课看学生活动多，动脑、动手、动口，多种感官参与学习；课堂气氛活跃，积极性高。
比较充分的体现课堂是学生的学习天地。
通过学习，收获不少，受益多多。
现将学习感受总结如下：一、新课程理念更符合时代的要求，把课堂还给学生，让学生成为学习的主人。
教师改变过去如何讲授结论，如何发现定理，公式，法则使学生理解，记忆，然后运用的教学方式，过去也教给学生如何学习的学习方法，但这只是教师的传授，学生接受的过程。
这使得学生的学习是被动的，被老师牵着走，跟着老师学，新的教学方式是要使学生会学。
因此，课堂教学不再按预设有计划，有目的的进行，而是师生平等交流，互动的过程。
教师要善于从学生已有的生活经验出发，创设学习的问题情境，让学生了解为什么要学，从而激起学生学习欲望。
课堂上教师要引导学生发现问题，组织学生探索问题，在小组进行交流合作学习。
在此过程中，教师是学生合作学习的合作伙伴。
小组合作学习的目的是让学生自主探索，亲身经历体验知识的形成过程。
二、教学要善于创设教学情境。
有意义的学习能诱发学生的内在动机，引发学生的积极思维，培养学生良好的学习态度，因此为了使学习变成有意义的学习，首先学习材料必须是有意义的，也就是使学生感到所学习的数学知识对生活实际和数迷的发展都是有用的，另外，学生的认知结构中要具有适当、可以与新知识进行相互联系和作用的知识，从另一角度来说就是新知识对学生来说是难度适当，新知识对学生既有智力的挑战，又使学生经过努力可以赢得挑战，新知识是学生的“最近发展区”。
知识处于最近发展时，最能激发学生的学习动机。
因此，创设有利于学生学习的教学情境是教学成功一半。
三、教学过程力求体现学生是学习的主体，教师只是教学活动的组织者，指导者，参与者，教师尽量引导学生思考，探索，相研究。
学生通过在小组的合作交流的学习方式，大胆发表见解，从根本上改变学生被动学习的局面。
有理数加减法的学习路径研究有理数加减法是数学学习中的基础技能，对于初中生和高中生来说，掌握这一技能是非常重要的。
本文将探讨有理数加减法的学习路径，以及如何提高有理数加减法的能力。
有理数加减法是指对有理数进行加法和减法运算，其结果是两个有理数的和或差。
有理数加减法的运算法则是相同的，即绝对值相加或相减，符号相加或相减。
例如，(2/3) + (4/5) = (2/3) + (4/5)，(−2/3) + (−4/5) = (2/3) + (−4/5)。
为了更好地掌握有理数加减法，我们需要遵循以下学习路径：理解有理数的概念和性质。
有理数包括整数和分数，整数可以表示为分数的形式，如2可以表示为2/1，分数可以化为小数，如5可以表示为1/2。
有理数的性质包括加法和减法运算满足交换律、结合律和分配律等。
掌握有理数加减法的基本技巧。
有理数加减法的运算法则包括先通分，再加减；分母相同时，直接加减分子；分数加减时，先把小数化为分数再加减。
在进行有理数加减法时，需要注意符号的处理，以及在计算过程中约分、通分和简化运算。
通过练习不断提高有理数加减法的能力。
练习是巩固和掌握所学知识的重要手段。
学生可以通过大量的练习来提高自己的有理数加减法能力，同时也可以通过纠错和反思来加深对这一技能的理解。
在实际应用中运用有理数加减法。
学习的最终目的是为了解决实际问题。
通过解决一些实际问题，比如计算百分比、计算利息等，学生可以更好地理解和掌握有理数加减法。
除了以上学习路径，还有哪些方法可以提高有理数加减法的能力呢？根据我个人的经验，以下方法或许有所帮助：多做题目。
练习是巩固和掌握所学知识的重要手段。
通过大量的练习，学生可以加深对有理数加减法的理解，提高自己的运算能力。
注重思考。
学习不仅需要记忆，更需要思考。
在练习有理数加减法时，学生应该思考每一步运算的道理和依据，比如为什么要先通分再加减，为什么可以约分等等。
同时，还需要思考如何运用所学知识解决实际问题。
有理数的减法（第一篇，共3000字）有理数的减法是数学中的一个基础概念，它描述了两个有理数之间的相减操作。
在我们日常生活和学习中，有理数的减法经常会出现，例如计算商品打折、测量温度的变化等等。
因此，学好有理数的减法对我们的日常生活和学习非常重要。
在有理数的减法中，我们通过减法运算符“-”来表示两个有理数的相减操作。
当我们需要计算两个有理数相减时，首先要确定相减的顺序，并按照从大到小的顺序排列两个有理数。
接下来，我们可以将相减的两个有理数看作“相反数”的加法，然后求解加法的结果。
举个例子来说明有理数的减法。
假设有两个有理数-3/4和1/4，我们需要计算它们的差值。
首先，我们将这两个有理数按从大到小的顺序排列，即1/4在前，-3/4在后。
接下来，我们可以将它们转化为“相反数”的加法，即1/4 + (-3/4)。
然后，我们可以通过加法的规则进行计算，将两个有理数的分子相加，保持分母不变。
即1 + (-3)得到-2，所以最后的结果为-2/4。
这个结果可以进一步化简，得到-1/2。
有理数的减法还涉及到负数的运算。
负数是整数的一种特殊形式，表示较小的数值。
当我们进行有理数的减法时，如果两个有理数中存在负数，那么可以将负数视为正数的相反数，然后按照正数的运算规则进行计算。
举个例子来说明负数的运算。
假设有两个有理数-3/4和-1/2，我们需要计算它们的差值。
首先，我们将这两个有理数按从大到小的顺序排列，即-1/2在前，-3/4在后。
接下来，我们可以将它们转化为正数的加法，即1/2 + 3/4。
然后，我们可以通过加法的规则进行计算，将两个有理数的分子相加，保持分母不变。
即1 + 3得到4，所以最后的结果为4/4。
这个结果可以进一步化简，得到1。
在有理数的减法中，我们还需要注意几个重要的规则。
首先，相减的两个有理数的分母必须相同，否则无法进行减法运算。
如果分母不同，我们需要通过通分的方式将它们转化为相同分母，然后再进行减法运算。
有理数的加法减法讲解1.解读有理数的减法法则有理数的减法法则是进行有理数减法运算的依据，是有理数四则运算的重要组成部分，在学习中要注意以下几点：一、全面、正确理解“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的含义有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成。
学习时注意理解以下几点：（1）弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3-5中，减数是5而不是-5，运用法则转化为加法运算后是：3-5=3+（-5）；同样地，在3-（-5）中，减数是-5而不是5，转化为加法运算后是：3-（-5）=3+（+5）或3+5；（2）将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变。
例如，运用法则把（-6）-（-8）转化为加法运算时，被减数-6不变，减数-8改变符号为+8（或8），减号“-”转化为加号“+”，即（-6）-（-8）=（-6）+（+8），不要错误地做成（+6）+（+8）；（3）并不是所有的减法运算都要转化为加法运算。
例如，计算15-5时，运用小学里学过的方法可以直截了当地得出结果为10，而运用法则计算则要先转化加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15-5=15+（-5）=10，如此运算反而显得拖泥带水，婆婆妈妈；（4）一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转加法运算。
例如，0-（-2）=0+2=2；3-（-3）=3+3=6；（-2）-（-5）=（-2）+5=3；（-6）-6=（-6）+（-6）=-12；3-8=3+（-8）=-5；有理数减法法则简洁明了，它主要是针对负数的减法运算，对于符合小学里两数相减的运算要注意仍然用小学的法则进行，切忌牵强附会造成不必要的麻烦。
二、了解两数差的几何意义有理数的减法运算实际上是求两数差的运算，在数轴上，设点A、B所表示的数分别是a、b，则点A到点B之间的距离就是|a-b|，这就是两数差的几何意义。
初中数学有理数的加法和减法运算的解题策略有哪些初中数学中，有理数的加法和减法运算是一个重要的知识点。
为了帮助学生解题，以下是一些解题策略：1. 确定符号：在有理数的加法和减法运算中，首先要确定数的符号。
正数和正数相加得正数，负数和负数相加得负数，正数和负数相加取绝对值较大的数的符号。
2. 对齐运算：在进行有理数的加法和减法运算时，要保持数的位数对齐，方便进行运算。
可以在纸上画虚线，将各个位数对齐，确保运算的准确性。
3. 进位和借位：当相加的位数相同时，如果某一位的和超过了所能表示的最大值，需要进位；而相减的位数相同时，如果被减数小于减数，需要借位。
学生可以使用进位和借位的策略来处理有理数的加法和减法运算。
4. 加减混合运算：当有理数的加法和减法运算混合出现时，需要按照运算顺序进行计算。
先计算括号内的加减法运算，再进行整体的加减法运算。
5. 分数的加减法：对于分数的加法和减法运算，可以先将分数化简为通分后再进行运算。
学生需要熟练掌握分数的通分方法，以便进行有效的运算。
6. 应用题解析：对于给定的应用题，学生需要能够将问题转化为数学运算，正确进行有理数的加法和减法运算，并给出符合实际意义的答案。
学生可以通过画图、列式、建立方程等方法来解决应用题。
7. 良好的数学表达：在解题过程中，学生需要用准确的数学语言和符号进行解题步骤的说明，以确保解题过程的清晰和准确。
学生应该学会正确使用数学符号、术语和解题策略，以便能够清楚地传达解题思路和解题步骤。
8. 反思和检验：解题完成后，学生应对解题过程进行反思和检验，确保答案的正确性和合理性。
学生可以通过重新计算、代入验证等方法来检验解题过程和答案的正确性。
以上是有理数的加法和减法运算的一些解题策略。
在教学中，教师可以通过大量的例题和练习题，帮助学生掌握这些策略，并提供详细的解题步骤和解题思路，以帮助学生培养解题能力和思维方式。
有理数减法是初中数学中的重要内容之一，它是学生从初中数学中逐步向高中数学转变的重要环节。
有理数减法的掌握对于学生的学习将起到至关重要的作用。
为了帮助老师更好地教授有理数减法，下面将从以下三个方面介绍有理数减法的教学方法：一、概念的引入在教学有理数减法之前，需要引入实数和有理数的概念，明确这些数之间的关系。
在教学的过程中可以采用比较的方法让学生更好地理解，例如：让学生从生活中举几个例子，比如说温度上升和下降，收益和损失等，引导学生从中看出数量和方向的不同。
再通过引出正有理数和负有理数的概念，让学生认识到有理数中存在负数和零，帮助学生更好地理解有理数的性质。
二、减法的算法在学生明确有理数的概念之后，教师就可以逐步地引入有理数减法的算法。
在教学的过程中，老师可以采用速算法、分解法和移项法等多种方法，让学生掌握不同场景下有理数减法的应用。
在讲解速算法时，老师可以通过综合练习，让学生掌握准确无误地算法，实现快速计算；在讲解分解法和移项法时，可以通过数学拆分移动符号来理解减法算法。
通过这样的教学方法，学生可以逐步掌握有理数减法的应用，更好地理解有理数减法的算法。
三、综合实战演练在学生掌握有理数减法的基本概念和算法之后，教师可以通过真实的案例引导学生进行综合实战演练，帮助学生更好地掌握知识点。
在这个阶段，教师可以针对学生的难点和问题进行重点培训，辅助学生完成练习题。
同时，老师也可以在教学过程中加强对学生的评估，寻找不足之处并及时进行调整，保证学生能够在学习中不断进步。
教师还可以通过生动形象的教学、互动讨论等多种方式，激发学生的学习热情，提高学生的自觉性和学习效率。
有理数减法的教学需要综合运用多种教学方法，通过概念引入、算法讲解和综合实战演练等不同环节，帮助学生逐步掌握有理数减法的基本知识，并在实践中更好地运用学习到的知识，提高学生的数学素质。
同时，教师也需要在教学的过程中不断优化教学方法，寻找适合自己学生的教学方式，创造良好的教学氛围，为学生的发展创造最好的条件。
作为数学教师，我们需要对各种数学知识点进行深入的研究，以便能够向学生传达更加全面、准确、易于理解的知识。
有理数作为初中数学的一个重要知识点，我们需要认真研究和深入理解，并掌握有理数的减法。
在本篇文章中，我将详细讲述有理数减法的教学内容和方法，以便提高学生的数学学习成效。
一、教学内容1. 有理数的概念和性质有理数是指可以表示为两个整数之商的数，包括正有理数、负有理数和零。
有理数具有加法、减法、乘法和除法四种基本运算及其性质。
在初中阶段，我们主要关注有理数的加法和减法。
2. 有理数的减法有理数的减法是指将两个有理数做减法运算。
在进行有理数减法运算时，我们需要将减法转换为加法，即将减数取相反数，再与被减数相加。
例如：a-b=a+(-b)，b-a=b+(-a)。
按照有理数加法的定义进行运算，要注意符号保持一致。
例如：(-5)+3=-2，3+(-5)=-2。
3. 有理数减法的应用有理数减法在实际应用中具有广泛的用途，在数学、物理、经济、工程等领域都有着重要的应用。
例如，在热力学中，可以用有理数减法来计算物体的温度变化量；在经济学中，可以用有理数减法来计算利润和亏损；在工程中，可以用有理数减法来计算物体的速度和位移等。
二、教学方法1. 确定教学目标在教学有理数减法时，我们需要明确教学目标，即让学生在课程结束时能够掌握有理数减法的核心概念、运算方法和应用能力。
根据学生的水平和需要，设置不同的教学内容和难度，以便全面提高学生的数学水平和能力。
2. 采用多种教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法来帮助学生理解有理数减法。
例如：使用教材和PPT展示的方法，通过示范和讲解的方法引导学生理解和掌握有理数减法的运算规律；通过小组讨论的方法，激发学生思考和发言的积极性，增强学生的合作和交流能力；通过编写练习题的方法，提高学生的题解能力和求解能力。
3. 练习和巩固在课堂结束后，我们需要通过让学生完成相关的练习和巩固任务，以强化学生的学习效果。
有理数的加减法法则及技巧有理数的加减法法则及技巧，可能很多人同学都没有关注这一方面。
为了帮助大家更好的解决问题。
下面是由小编为大家整理的“有理数的加减法法则及技巧”，仅供参考，欢迎大家阅读。
有理数的加减法法则有理数的加法法则：符号相同的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;符号相反的两数相加，绝对值相等时，和为零;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同零相加仍得这个数。
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数的运算法则1有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为:交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。
一不变：被减数不变。
可以表示成： a-b=a+(-b)。
有理数的加减法技巧在有理数的计算中,若能根据算式的结构特征,选择适当的方法,灵活运用计算技巧,就可以化繁为简,化难为易,提高运算的速度和准确性.一、正数、负数分别相加例1计算 6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9).分析:从左到右,逐项依次相加,较为复杂,而运用加法交换律和结合律,把正数、负数分别相加就能使问题单纯化.解:6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9)=(6+7+5+14)+[(-3)+(-8)+(-12)+(-9)]=32+(-32)=0.二、整数、分数(小数)分别相加例2计算 7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854.分析:如果逐项依次相加,比较复杂,而运用加法交换律和结合律,将整数、分数、小数分别相加,可使问题简化.解:7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854=(7.1146+2.8854)+[ 9+ (-3)]+[(-3)+(-2)]=10+6+(-5)=10.三、分离整数后分别相加例3 计算-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26 .分析:带分数相加,可把整数与分数分离后,把它们的整数部分与分数部分(或小数部分)分别结合相加.解:-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26=-4-7+13-3-5.26+10.26=(-4-7+13-3-5+10)+(--+-)-0.26+0.26=4+(-+)=4+(-1)=2.四、同分母或便于通分的分数分别相加例4计算-+-2+---.分析:整体通分计算,运算量大,可将同分母或便于通分的分数分别相加.解:-+-2+---=(-+)+(--)+(-2-)=--3=-3.五、和为整数的数结合相加例5计算(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)分析:根据算式的结构特征,可将和为整数的数结合相加.解:(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)=(-3-16)+(15.8-5)+(-0.75+4)=-20+10+4=-6.六、和为零的数结合相加例6计算1-2-3+4+5-6-7+8+…+2005-2006-2007+2008-2009+2010分析:逐项运算,显然不可取,若根据算式的结构特征,将和为零的数结合相加,就可以巧妙地解答题目.解:1-2-3+4+5-6-7+8+…+2005-2006-2007+2008-2009+2010=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-2006-2007+2008)+(-2009+2010)=0+0+…+0+1=1.七、去掉绝对值符号后再结合相加例7计算|-1|+|-|+|-|+…+|-|分析:若先算出绝对值符号内各式的值,再去绝对值符号,然后进行运算,费时费力,故应该先确定绝对值符号内各式的正负,再去绝对值符号,然后再结合相加.解:|-1|+|-|+|-|+…+|-|=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1+(-)+(-)+…+(-)-=1-=.八、先“借”后“还”例8计算11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+19999 9998.分析:由于数值较大,直接计算,容易出错,我们可以先分别“借”来9,8,7,6,5,4,3,2,再“还”9,8,7,6,5,4,3,2,这样运算量就小多了.解:11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199 999998=(11+9)+(192+8)+(1993+7)+(19994+6)+(199995+5)+(1999996+4)+ (19999997+3)+ (199999998+2)-(9+8+7+6+5+4+3+2)=222222220-44=222222176.九、拆分组合例9计算199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901.分析:这道题加数多,数值大,直接计算比较困难,若根据算式特征,拆分组合,可将计算过程简化.解:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901=(100+200+300+…+9900)+(99+98+98+…+2+1)=00+=495000+4950=499950.练习:1. 计算(+ )+(-3.5)+(-6)+(+1.5)+(+6)+(+ ).2. 计算2006-2007-2008+2009.3. 计算-1-2+4-5+1-10.8.答案:1.-1;2.-;3.-14.。
以“有理数的减法”为例谈如何进行深度学习张永才 （江苏省扬州教育学院附属中学 ２２５０００） 深度学习是掌握数学的内在规律，突出核心概念的地位，深入探究知识背后的内在规律，从而发展学生的思维能力和学习能力．深度学习能更好地提升学生的数学核心素养，促进学生的全面发展，达到终身学习的目的．１ 现状及特征２０世纪中叶，国外的学者着手对深度学习进行研究，并由瑞典学者于１９７６年首次正式提出深度学习的概念．经过长期的实践与理论总结，渐至成熟，进入稳定的发展时期．认知学习分成了知道、领会、应用、分析、综合以及评价六个层次．其中，知道、领会更多的是浅层学习的表现形式，是基础的思维活动，注重的是知识的传授．与之相对的，深度学习对应于应用、分析、综合及评价四个层次，是高级的思维活动，注重的是自主学习．初中数学深度学习有以下的特征：（１）理解和批判的主动性在知识理解的前提下，深度学习对新知识仍持怀疑和批判的态度，并将其融入原有的数学结构中，通过提问、分析加深理解新知识，提高自主学习的能力与意识．（２）构建新知识因学生有不同的知识背景，正式学习时，深度学习通过激活已形成的经验，实现新旧知识的互动，加深理解新知，完成新知识的构建．（３）知识及其深加工的整合檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪教材中既有知识的传授，又有相应的运用．按照教学参考书上的教学要求，两圆位置关系只要求“从几何角度加以分析落实”．可以这样来理解：首先，从几何角度，通过挖掘两圆位置关系中特有的几何特征，可以简化代数运算，比联立方程组的方法快捷；其次，按照方程观点，虽然学生对联立方程组的解法有着很好的认知基础，但是通过方程组的解来判断两圆位置关系有局限性．若方程组有且只有一个解，两圆的位置关系是内切还是外切还是不清楚；若方程组无解，两圆位置关系是外离还是内含也不清楚，仍需通过圆的几何特征辅助确定．例２的解决过程中，用到了两个圆心以及切点共线，这是一个必要条件，是本节课的一个次重点．因此，本节课的教学目标应该是：掌握利用圆心距和半径之间关系判定圆与圆的位置关系，在此基础上，能够求解与两圆位置关系为背景的圆的方程．这方面，例２起到了示范和引领作用．教材内容的价值追求，即要体现教学内容的教学价值．在教材所体现的设计思想得到尊重的前提下，教师完全可以在素材选择、呈现方式等环节作出适当调整．本节课内容中，按照《课标》要求，两圆有公共点时的几何特征不是本节课的教学重点，但是在例２中却有实质性的应用．那么，在教学设计中相关性质的挖掘探究要不要安排？如果安排的话，在什么位置安排？是与两圆位置关系的代数刻画一同探究，还是放在解决例２时现用现找？解析几何的本质是用代数方法解决几何问题，如果能够利用图形中的几何特征建构代数式，一是可以使代数式更加简明，二是可以简化运算．所以笔者认为，在探讨两圆位置关系的代数刻画的同时，可以就两圆有公共点时圆心连线与切线（外切时为过公共点的切线）或公共弦所在直线垂直一并进行探究．这样，解决例２时就很自然．两圆位置关系作为一种数学规则，有利于学生认知结构的完善和认知能力的提高．总之，理解数学，可以帮助我们把握事物的本质，优化教学设计，它是三个理解的的基础；理解学生，可以让我们的教学更适合学生，做到以学定教，因材施教；理解教学，可以使我们的课堂更高效，在获取知识、培养能力的同时，使学生的情感、态度、价值观活动更好地发展，真正做到既教书又育人．·６１· 中学数学月刊 ２０１９年第２期 深度学习是高层次的学习，需要知识整合的过程．数学知识不是孤立存在的，彼此有着密切的联系．深度学习要求初中生能发现规律，理顺知识之间的关系，通过技能将知识进行深度加工整合，形成解决数学问题的策略．知识容易被人遗忘，但技能、思想却不然．数学思想反映了数学的本质，深度学习就是让初中生灵活运用数学思想，体会并掌握数学的本质．（４）行之有效的迁移这是深度学习的核心特征．在激活初中生数学活动经验的同时，将他们置于创设的类似情境下，诱发他们活学活用、触类旁通，解决更多的实际问题．２ 初中数学教学过程中深度学习的基本策略及课堂教学的基本方法通过对深度学习实践的总结，笔者发现，深度学习需采取以下一些基本策略：（１）注重知识生成过程的细化深度需要通过过程来保证，简单的、表面的学习过程必然不是深度学习．因此在进行深入学习教学时，应充分还原知识的产生过程，保证学生“穿越”到实际情境中去，有足够的思考时间、空间．（２）注重思维的参与深度，是指思维探究的深度．学生在学习知识的过程中，只有思维充分，保证有一定程度的广度与深度，才是真正意义上的深度学习．思维的参与度是衡量学习深浅的核心所在．（３）注重深度学习的反思深度学习也面向学习策略，尤其是认知策略中的元认知策略．在初中数学教学中需予以关注，以便学生能够清楚地了解或描述知识如何产生，以及应该采用何种方式产生知识，这是学习反思的基本要求．深度学习理论下的初中数学课堂有如下教学方法：（１）提出开放的、探索性的数学问题与其他学科相比，初中数学知识是抽象的．由教师主讲、学生被动接受的传统教学方法不利于学生形成主动思维的习惯，同时被动接受知识的习惯不利于学生学习抽象的数学知识．因此，教师在传授知识时，应努力突破传统教学方法的弊端，与学生共同探讨数学问题，帮助学生在探索过程中发现问题的答案．如此方能提高学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，培养他们积极思维的能力，进而提高学习效率．例如，在教学四边形时，可以从熟悉的三角形知识（定义、性质、特殊的三角形以及全等三角形的性质和判定）出发，将三角形的学习知识网络迁移到四边形的相关知识，引导学生将四边形问题转化成三角形的知识，通过类比、迁移发展形成完整的四边形的知识体系，这是深度学习的一种有效教学方法．（２）创造体验式的教学活动体验式教学方法是指教师根据教学内容的特点，组织学生在实践中学习，它以更好地完成学习内容作为教学目标．教师可运用多种教学方法开展体验式教学活动，寓生活于知识的学习，提高学生参与学习的能力．例如，在学习“丰富的图形世界———立体图形”时，可以组织从平面图形的理解走向立体图形认识的活动，即准备一个密闭的盒子，盒子中装有不同种类的几何体（如圆柱、圆锥、狀棱柱、狀棱锥），让学生依次摸盒子中的几何体，说出几何体的特征，并且描述出与平面图形的区别．这种体验式的活动可以帮助学生将新旧知识结合在一起，构成完整的数学知识体系．这种深度学习的方法不仅能将抽象的数学知识与实际生活结合起来，还能帮助学生养成从生活中学习数学知识的习惯，为终身学习打下基础．３ 数的“成长”———“有理数减法”的深度学习活动设计学习目标：（１）多角度经历观察、猜想、归纳、概括、验证等过程，形成有理数减法运算的法则；（２）经历有理数减法法则的探究过程，体会有理数运算法则研究的一般规律；（３）经历多角度探究有理数减法法则的过程，体会负数的产生是生活的需要，是数学在追求完美过程中的必然产物．课程目标（教学目标）：掌握有理数的减法法则，描述有理数减法的特征和由来，阐述与相关对象之间的联系和区别，并能用于新情境中解决问题．·情境引入图１是２０１８年１月三亚的天气情况，问题：根据资料你能得到哪些信息？设计意图 采用开放的、贴近生活的实际·７１·２０１９年第２期 中学数学月刊 图１问题创设情境，让学生体会数学源于生活、服务于生活，让每个学生都能有话说．预设学生得到的信息：（１）计算每天的温差（正数的减法）；（２）计算一周（月）的平均气温（正数的加法、除法）；（３）气温的变化趋势（统计图表）；（４）比较大小：哪天的气温高、哪天温差大（正数的大小比较）；（５）三亚的气候特点（跨学科教学、数学的应用价值）．·数学活动，发现和探究问题活动１ 图２是２０１８年１月扬州的气温走势，问题：根据资料你能得到哪些信息？如何得到的？图２设计意图 根据情境，结合已有的活动经验，自主发现、探究解决不同情境、但本质相同的实际问题，充分提供时间让学生自主探究、小组讨论、互相交流，为下面得到有理数的减法法则留下伏笔．预设学生给出的答案：（１）计算温差（两个正数的差、正数与负数的差、两个负数的差）；（２）计算平均气温；（３）气候变化趋势；（４）最高（低）气温，温差最大（小）的情况……·数学活动，解决问题活动２ １月７日的温差是多少？如何解释所得结果的合理性？设计意图 将学生在上一环节中合作讨论的结果，借助已有的正数减法的经验，用自己的语言描述出来，综合应用经验及知识，充分整合，进入深度学习．预设学生的解释：（１）利用已有负数的实际意义的经验：如海平面上１００ｍ（＋１００ｍ）和海平面下５０ｍ（－５０ｍ）相差１５０ｍ，得出零上５℃（＋５℃）和零下１℃（－１℃）相差６℃；（２）借助前面的数学工具———数轴，对数轴上５和－１的距离是６进行解释……如能得到上述解释，表示学生已经进入深度学习，学会了知识的迁移、整合以及综合应用．·验证猜想，得出减法法则利用学生已经具备的经验、小学的知识（加减法为互逆运算）和有理数加法法则有：６＋（－１）＝５，一个加数＋另一个加数＝和；５－（－１）＝６，和－一个加数＝另一个加数．或借助等式的性质进行理解：６＋（－１）＝５，两边同时减去－１，等式仍然成立；５－（－１）＝６＋（－１）－（－１）．可以验证出猜想的正确性．在此基础上总结出有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．５－（－１）＝５＋１（减号变加号，一个数减去－１变成加上它的相反数１）＝６．·巩固提升（１）分别计算出扬州１月每天的温差．（体会数学源于生活，数学并不是孤立存在的，体会生活离不开数学的意义）（２）计算：１）（－３）－（－５）；２）０－７；３）７．２－（－４．８）；４）－３１２－５１４．（根据运算法则进行计算，发展学生的运算能力）（３）试说明４－（－６）的意义．（引导学生体会数学服务于生活的应用价值）（４）试说明８犪－２犪＋４犫－５犫的意义．（引导学生根据已有的数的经验去感悟式的意义）·作业布置（１）完成书后习题；（２）以小组为单位，探寻生活中的有理数减法的实际应用，并撰写简短的报告．推进中的课程改革越来越强调核心素养的培养．借助深度学习这种方法，可以帮助学生强化思维能力，丰富数学思想，发展核心素养，不断内化完善学生的数学知识结构体系，从而提升数学课的学习效益．·８１· 中学数学月刊 ２０１９年第２期。
