高二数学抽样方法

高中数学统计抽样方法精选题目（附答案）一、抽样方法1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取；②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法；②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3．分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．1.(1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．[解析](1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为a n＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．(2)小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．[答案](1)C(2)189注：1．系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn . 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 3．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x 人，由分层抽样可得32180＝x90，解得x ＝16. 答案：164．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本容量，样本容量＝960×14420＝32.答案：32二、用样本的频率分布估计总体的频率分布1．频率分布直方图2．茎叶图5.(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．①求图中a的值；②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [为50×0.18＝9.答案：9(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.所以a＝0.005.②该100名学生的语文成绩的平均分约为x＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x 5403020x∶y 1∶12∶13∶44∶5y 5204025100－(5＋20＋40＋25)＝10.注：与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：选B由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.7．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()A ．300B ．360C ．420D ．450解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为： (0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)． 8．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析：总销售额为2.50.1＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．答案：10三、用样本的数字特征估计总体的数字特征有关数据的数字特征9.(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(3)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C.(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4， 又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3 注：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．10．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B 法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.11．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙12．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100(mm)，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100(mm)，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(mm 2)， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm 2)．(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.四、线性回归1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b x .13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 注：(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．(2)回归直线方程恒过点(x ，y )．14.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498.代入公式可得b ^＝187.再由a ^＝y －b ^x ，求得a ^＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＝47＜2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＝67＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。

高中数学概率与统计中的抽样与调查技巧在高中数学的概率与统计中，抽样与调查是一项重要的技巧，它们被广泛应用于各个领域，如市场调研、社会调查、医学研究等。

掌握好抽样与调查的技巧，能够帮助我们更好地了解问题，做出准确的判断和决策。

本文将从抽样的基本概念、常见的抽样方法以及调查的设计与实施等方面进行论述，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一技巧。

一、抽样的基本概念抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和研究，以便对总体进行推断。

在抽样过程中，我们需要关注两个重要概念：样本和总体。

样本是从总体中选取的一部分个体，而总体则是我们所关心的全部个体。

通过对样本的研究和观察，我们可以推断出总体的一些特征或规律。

二、常见的抽样方法1. 简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择n个个体作为样本，每个个体被选中的概率相等。

这种抽样方法能够保证样本的代表性和可靠性，适用于总体规模较小且个体之间相互独立的情况。

例如，我们要对某个班级的学生进行调查，可以使用简单随机抽样方法从班级名单中随机选取一部分学生作为样本。

2. 系统抽样系统抽样是指按照一定的规律从总体中选取样本。

例如，我们要对某个城市的居民进行调查，可以按照住址的字母顺序，每隔一定间隔选择一个个体作为样本。

系统抽样相对于简单随机抽样来说，更加方便实施，适用于总体规模较大的情况。

3. 分层抽样分层抽样是指将总体分成若干层，然后从每一层中随机选择一部分个体作为样本。

这种抽样方法能够保证样本在各个层次上的代表性，适用于总体存在明显差异的情况。

例如，我们要对某个学校的学生进行调查，可以将学生按照年级进行分层，然后从每个年级中随机选择一部分学生作为样本。

三、调查的设计与实施在进行调查时，我们需要注意以下几个方面：1.明确调查目的：在设计调查问题和样本规模时，需要明确调查的目的和研究问题，以便更好地选择合适的抽样方法和样本规模。

2.合理选择调查方式：调查方式可以是面对面访问、电话访问、网络问卷等多种形式。

高二数学第一章统计知识精讲 人教版一. 本周教学内容：高三新课：第一章 统计二. 知识内容：1. 抽样方法统计的基本方法是用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况估计总体相应情况，为使样本能更充分反映总体的情况，采用简单随机抽样和分层抽样这两种常用的抽样方法，这两种方法的共同特点是在抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等，体现了抽样的客观性和公平性。

其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行分层抽样时要用到简单随机抽样。

（1）简单随机抽样① 定义：一般地，设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

② 简单随机抽样的特征。

<1> 它要求被抽取的样本的总体个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析。

<2> 这种抽样是从总体中逐个进行抽取，便于操作。

<3> 它是不放回方式的抽样，具有实用性，而且在整个抽样过程中所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于分析和计算。

<4> 它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率相等，从而保证抽样的公平性，一般地如果用简单随机抽样从个体为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于Nn ，证明如下： 设个体a 为总体中的任意一个个体，第一次抽取时，个体a 被抽到的概率NP 11=；第二个抽取时，个体a 被抽到的概率2112NNA A P -=N 1=；…第n 次抽取时，个体a 被抽到的概率为N A A P n Nn N n 111==--，由互斥事件的加法公式，在整个抽样过程中个体a 被抽到的概率为Nn P P P P n =+++= 21。

另外，如果采用一次性从总体为N 的个体中抽取容量为n 的个体，任何一个个体被抽到的概率也是Nn 。

高中数学统计学中的抽样方法探究在高中数学的统计学中，抽样方法是非常重要的一部分。

通过合理的抽样方法，可以从总体中选取一部分样本，对总体进行推断和分析。

本文将探究几种常见的抽样方法，并结合具体题目进行说明和分析，以帮助高中学生更好地理解和应用这些方法。

一、简单随机抽样简单随机抽样是最常见的一种抽样方法，它的特点是每个样本被选取的概率相等且独立。

简单随机抽样的步骤如下：1. 确定总体：首先确定要进行抽样的总体，例如某个班级的学生。

2. 编号：给总体中的每个个体进行编号，编号应该是唯一的。

3. 抽样：使用随机数表或随机数生成器，根据编号进行随机抽样。

4. 分析：对抽取的样本进行统计分析，得出相应的结论。

例如，某班级有40名学生，我们想要从中抽取10名学生进行调查。

我们可以给每个学生编号，然后使用随机数表或随机数生成器抽取10个不重复的随机数，对应的编号即为抽取的样本。

通过对这10名学生的调查结果进行分析，我们可以得出关于整个班级的一些结论。

简单随机抽样的优点是操作简单，适用于总体较小的情况。

但在总体较大时，抽取样本的时间和成本较高。

二、系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本的方法。

它的步骤如下：1. 确定总体：同样需要确定要进行抽样的总体。

2. 确定抽样间隔：根据总体大小和样本大小，确定抽样间隔。

抽样间隔可以通过总体大小除以样本大小得到。

3. 随机起点：使用随机数表或随机数生成器确定一个随机起点。

4. 抽样：从起点开始，按照抽样间隔选取样本。

5. 分析：对抽取的样本进行统计分析。

例如，某班级有40名学生，我们想要从中抽取10名学生进行调查。

我们可以先确定抽样间隔为4（总体大小40除以样本大小10），然后使用随机数表或随机数生成器确定一个随机起点，假设起点为7，那么我们可以选取编号为7、11、15、19、23、27、31、35、39的学生作为样本。

通过对这些学生的调查结果进行分析，我们可以得出关于整个班级的一些结论。

高中数学知识点：抽样方法
一、简单随机抽样
设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时，各个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

一般地如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本那么每个个体被抽到的概率等于n/N.常用的简单随机抽样方法有：抽签法、随机数法。

1.抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

2.随机数法
随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

二、活用随机抽样
系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距是唯一确定，每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{an},第k组抽取样本的号码，
ak=m+(k-1)d，如本题中根据第一组的样本号码和组距，可
得第k组抽取号码应该为9+30*（k-1）
三、系统抽样
当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事，这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。

四、分层抽样。

抽样方法-课文知识点解析1.常用抽样方法：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样.2.简单随机抽样一般地，从总体中抽取一定量的样本，在抽取过程中要保证每个个体被抽到的概率相同，这样的抽样方法叫简单随机抽样.通常采用抽签法和产生随机数字的方法（利用工具产生随机数）. （1）抽签法抽签法的实施步骤：a.给调查对象群体（共有N个）中的每个对象编号（号码可以从1到N）.b.准备“抽签”工具（签可以是纸条、卡片或小球），实施“抽签”.先把号码写在形状、大小相同的签上，然后把签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，每次从中抽出一个签，连续抽n次，就得到一个容量为n的样本.c.对样本中的每一个体进行测量或调查，得到数据，通过分析数据得出结论.例如：请用抽签法设计一个调查方案，调查你所在学校学生喜欢体育活动的情况.（以总体数量为N）抽取n个样本为例.第一步，给全体同学编号，号码从1到N；第二步，准备N个大小、形状相同的签，把号码（1～N）写在签上，每次抽取一个签，连续抽n次，就得到一个容量为n的样本；第三步，对样本中的每一个体进行调查.可设计一个问卷，如下. 你对体育活动的喜欢程度A.喜欢B.一般C.不喜欢说明：只准选择一个答案.然后请抽取的几个同学如实填写问卷，统计出数据，填入下表.由样本情况估计全校所有同学喜欢体育活动的情况，从而得出调查结论，写出调查报告.（2）产生随机数把总体中的N个个体依次编上0，1，2，…，N－1的号码，然后利用工具（转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机）产生0，1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直到抽到预先规定的样本数.利用转盘或摸球产生随机数，这种方法大家都比较熟悉，并且简便易行，尤其当总体容量不大时.这种方法的缺点是当总体容量很大时，制作转盘和进行摸球就比较困难了.利用随机数表产生随机数，是其中最重要、最常用的一种方法.下面举例说明如何利用随机数表来抽取样本.为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查.在利用随机数表抽取这个样本时，可按下面步骤进行. 全析提示我们知道要做到绝对地随机抽取样本非常困难，因此在抽样过程中尽可能避免人为因素的影响，而抽签法和产生随机数字法恰好具备此特点.抽签法最大的优点是简便易行，但此种方法不宜适用于总体数量较大的对象，一般适用于个体数量较少的对象.要点提炼一个调查方案的设计一定要科学、合理，要易于操作，易得出数据便于统计；问卷的设计更要具有科学性，选项要全面、合理.通过调查方案的设计和实施，有利于提高同学们的思维、逻辑、组织和实践能力，这也符合素质教育的要求.全析提示利用抽签法抽取样本时，编号应从1开始；而利用随机数抽取样本时，编号应从0开始.利用随机数表产生随机数是最常用的产生随机数的方法，要掌握此种方法的步骤.表3－17816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943 5556 8526 6166 8231 2438 8455 4618 44452635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 5379 7076 2694 2927 4399 5519 8106 85019264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 44887900 5870 2602 8813 5509 4324 0030 4750 3693 9212 0557 7369 7162 9568 1312 9438 0380 3338 0138 4560 4230 6496 3806 0347 0246 4469 9719 8316 1285 0357 2389 2390 7266 0081 6897 2851 4666 0620 4596 34009312 4779 5737 8918 4550 3994 5573 9229 6111 6098 0965 7352 6847 3034 9977 3770 2310 4476 9148 0679 2662 2062 0522 9234 9826 8857 8675 6642 5471 8820 4308 2105 6703 8248 6064 6962 0053 8188 6494 45091110 9486 6533 3954 1944 1516 1682 3404 9651 1456 5613 0357 4244 3341 9605 3567 8350 5728 4338 0824 7899 1307 5814 8688 6982 5126 7736 3383 6215 3441 8578 2277 6490 7644 7085 8361 5662 4141 9877 37478570 2150 8140 4355 5321 2548 0208 7543 9169 0408 4353 6122 8913 9930 4169 6032 2127 0162 6176 4969 8185 9312 8748 8575 8090 9872 1968 0263 0081 2662 6831 3106 2959 9011 1448 4346 7019 8148 1557 8400第一步，先将40件产品编号，可以编为00，01，02， (38)39；全析提示用随机数表产生随机数分三步，一第二步，在随机数表中任选一个数开始，由于总体的编号是两位数，我们可以一次选取其中的两列，组成一个两位数.我们从附表的第17列和第18列的第2行开始选数；第三步，从选定的数36开始，得到第一个两位数，将它取出；继续向下读，由上至下分别是24，11，24，16，76，70，29，43，77，25，15，66，11，55，71，42，12，46，45，68，26，54，00，…其中24，11重复出现，76，70，43，77，66，55，71，42，46，45，68，54超过39，不能选取，这样选取的10个样本的编号分别为36，24，11，16，29，25，15，12，26，00.课本例1，严格地按照用随机数表产生随机数的步骤进行的.在选数的过程中，是从表3－1中第6列和第7列这两列的第4行开始，由上至下的顺序进行选数的.事实上，定位置和选数的顺序是任意的.下面我们用另外一种顺序选取10个样本.第一步，将总体中的每个个体进行编号：00，01，02，…，79； 第二步，由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一个位置，比如从表3－1中第1列和第2列这两列的第三行开始选数，由左至右分别是29，76，34，13，28，41，42，41，24，24，19，85，93，13，23，…其中13，41，24重复出现，83，93超过79，不能选取，这样选取的10个样本的编号分别为29，76，34，13，28，41，42，24，19，23. 3.分层抽样将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫做分层抽样，有时也称为类型抽样.例如教材中的问题2，如若用简单随机抽样，则抽到的15个样本很可能不能按照它们的家数之比抽取，这样得到的数据就不能真实地反映情况，误差很大；为了避免这种情况，我们按照大型、中型、小型的比例，从100家大型商店中抽出1个代表，从500家中型商店中抽出5个代表，从900家小型商店中抽出9个代表. 再例如，一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本.由于职工年龄与这项指标有关，决定采用分层抽样的方法进行抽取.因为样本容量与总体个数的比为 100∶500=1∶5，所以在各年龄段抽取的个体数依次是 5125，5280，595，即25，56，19.在各年龄段分别抽取时，可采用简单随机抽样，将各年龄段抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本.是编号；二是定位置；三选数.定住位置后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等.取数过程中，要把不符合要求的数（超过最大编码）和与前面重复的数去掉.利用随机数表选取样本的一般步骤：①编号；②定位；③选数.选数过程中，重复的数字只取一个，超过最大编号的数不能取.思维拓展定位置是任意的，选数的顺序是任意的，没有任何约束，所以选取的样本的编号可以是多种多样的，并不唯一.全析提示当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占比例进行抽样.由于分层抽样充分地利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好地代表性，而在各层中进行抽样时，大多数情况下采用简单随机抽样，有时也会用到其他方法，这样需根据问题的需要来决定.本例符合分层抽样的特点和适用范围.课本例2，显然不同类型的农田之间的产量有较大差异，也就是说，总体由差异明显的几部分组成，故采用分层抽样的方法，对不同类型的农田按其总数的比例来抽取.假设本例中共有农田500亩，山地、丘陵、平原和洼地各占农田总数的10%、20%、40%和30%，欲抽取50亩进行产量调查，则应抽取5亩山地、10亩丘陵、20亩平原和15亩洼地.课本例3，由于不同层次管理人员的收入差异很大，故采取分层抽样的方法.不同层抽取样本的数目等于抽取样本总数与不同层次管理人员所占总体比例的积，所以应抽取：高层管理人员：100×5%=5（人），中层管理人员：100×15%=15（人），一般员工：100×80%=80（人）.4.系统抽样系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按照相同的间隔（称为抽抽样距）抽取其他样本，这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.例如，为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽一个容量为50的样本.假定这1000名学生的编号是1，2，…，1000，由于50∶1000=1∶20，我们将总体分成50个部分，其中每一部分包括20个个体，例如第一部分的编号是1，2，3，…，20，然后在第一部分随机抽取一个号码，比如它是18号，那么可以从第18号起，每隔20个抽取一个号码，这样得到了一个容量为50的样本，它们的号码分别是：18，38，58，…，978，998.由于总体中的个体数1000正好能被样本容量整除，可以用它们的比值作为抽样距.如果不能整除，比如总体中的个数为1003，样本容量仍为50，这时可先用简单随机抽样先从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数1000能被50整除，然后再按系统抽样法往下进行.在抽样时，如果总体的排列存在明显的周期性或者事先是排好序的，那么利用系统抽样进行抽样时将会产生明显的偏差，因为这样抽取的样本不具有代表性.如课本P20思考交流中的两个问题，第一个问题中，抽取的样本不具备代表性，身体偏高；第二个问题中，采取这样的抽样方法，只对周一的交通流量进行了统计，无法代表一个月的状况，只要改变抽样距，如抽样距改为6，就可以了.课本例4，由于总体个体数太大，又无明显的层次差异，所以不能采用简单随机抽样和分层抽样，采用系统抽样是比较合适的.课本给出了系统抽样的一般步骤，要严格地按步骤进行抽样.第一步，确定分段情况，所抽取样本数就是需要分的段数，应为50；确定抽样距，抽样距=总体个体数/抽取样本数=10000/50=200；第二步，按顺序进行编号；要点提炼采用分层抽样时，不同层次所选取的样本数=抽取样本总数×该层所占总体的比例.全析提示当总体容量和样本容量都很大时，采用简单随机抽样或分层抽样，都是非常麻烦的，系统抽样正好能解决这个问题.要点提炼用系统抽样抽取一定容量的样本时，首先要分清总体中的个数是否能被样本容量整除，否则就会出现抽样距不等的情况，就不合乎系统抽样的原则.全析提示在利用系统抽样进行抽样时，要注意总体的排列有没有明显的周期性，这时抽样距的选取要恰当，要打乱周期性；如果总体事先排好序，要先打乱顺序，再抽样，以达到抽取的样本具有广泛的代表性.系统抽样的步骤：①确定分段情况和抽样距；②编号；③确定第一个样本编号；④等距抽样.在确定第一个样本编号时，一定要采用简单随机抽样，并且一定要在第一段内抽取，否则无法保证等距抽样.对于系统抽样，经常遇见的两种情况要加以区分，以避免不必要的麻烦.第三步，采用简单随机抽样从第一个时间段抽取第一个样本；第四步，等距抽样，顺序抽取相应编号的样本.课本例5，本例与例4的不同之处在于，总体个体数不能被样本总数整除，这时可把商作为抽样距，余数得通过简单随机抽样从总体中剔除，对剩余进行编号，其余完全同例4.5.三种抽样方法的比较上面介绍了简单随机抽样、分层抽样和系统抽样.下面通过列表将它们作一个简单的比较.三种抽样方法的比较熟悉三种抽样方法各自的特点和适用范围，以便针对不同的实际问题，采取不同的抽样方法.。

高中数学知识点总结概率与统计的抽样方法在概率与统计学中，抽样方法是一种收集数据并进行分析的重要手段。

通过抽样，我们可以从总体中选择一部分样本，以此来了解和推断整体的特征和规律。

本文将对高中数学中与概率与统计相关的抽样方法进行总结。

一、简单随机抽样（Simple Random Sampling）简单随机抽样是指从总体中以随机的方式抽取样本，使得各个样本具有相同的机会被抽到，且各个样本之间是相互独立的。

简单随机抽样通常采用以下几种方式实施：1. 纸箱抽样法：将总体中的每个个体写在纸片上，放入一个装有纸片的纸箱中，然后用手在纸箱中摇晃，最后从中抽取所需的样本。

2. 随机数表法：通过使用随机数表，将总体中的个体与表中的随机数对应，然后按照表中的数值顺序抽取样本。

简单随机抽样的特点是简单易行，并且能够较好地反映总体的特征。

但是在总体较大时，抽样工作会比较繁琐，且可能出现样本偏差的情况。

二、系统抽样（Systematic Sampling）系统抽样是按照一定的规则从总体中抽取样本，通常是从第一个个体开始，每隔一定的间隔抽取一个样本，直到达到所需样本数量为止。

系统抽样的具体步骤如下：1. 确定总体大小 N 和所需样本数量 n。

2. 计算步长 k = N/n。

3. 随机确定一个起始值 r，保证 r 小于 k。

4. 以步长为间隔，从第 r 个个体开始进行抽样。

系统抽样相对于简单随机抽样而言，其抽样过程相对简单且精确。

但是需要注意，若总体的顺序具有某种规律或周期性，可能会导致样本的偏差。

三、整群抽样（Cluster Sampling）整群抽样是将总体划分为若干个互不重叠的群组，然后从中随机选择一部分群组作为样本，进行数据收集和分析。

整群抽样的步骤如下：1. 将总体划分为若干个群组，确保群组之间的相似度较高，群组内的差异较小。

2. 使用随机抽样技术，从划分好的群组中随机选择一定数量的群组作为样本。

3. 对所选的群组进行全员调查，或者从每个群组中再进行其他抽样方法的抽样。