2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆基础(有答案)-(数学)

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A 13B 5C ．22D ．4【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 113故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.2．在平面直角坐标系中，函数()()35y x x =+-的图象经过变换后得到()()53y x x =+-的图象，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位 【答案】A【分析】将两个二次函数均化为顶点式，根据两顶点坐标特征判断平移方向和平移距离.【详解】()()()2235215116y x x x x x =+-=--=--，顶点坐标为1,16，()()()2253215116y x x x x x =+-=+-=+-，顶点坐标为1,16，所以函数()()35y x x =+-的图象向左平移2个单位后得到()()53y x x =+-的图象.故选：A【点睛】本题考查二次函数图象的特征，根据顶点坐标确定变换方式是解答此题的关键.3．如图，过反比例函数1y x=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．大小关系不能确定【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S 1、S 1的值即可进行比较．【详解】由于A 、B 均在反比例函数1y x =的图象上， 且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1＝122k =； S 1＝122k =． 故S 1＝S 1． 故选：B ．【点睛】此题考查了反比例函数k 的几何意义，找到相关三角形，求出k 的绝对值的一半即为三角形的面积．4．已知点()()()1232,,1,,1,y y y --都在反比例函数2(m y m x=-为常数，且0m ≠)的图象上，则12,y y 与3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．132y y y <<【答案】B【分析】由m2>0可得-m2<0，根据反比例函数的性质可得2myx=-的图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大，根据各点所在象限及反比例函数的增减性即可得答案. 【详解】∵m为常数，0m≠，∴m2>0，∴-m2<0，∴反比例函数2myx=-的图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大，∵-2<-1<0，1>0，∴0<y1<y2，y3<0，∴y3<y1<y2，故选：B.【点睛】本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，函数图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图象在二、四象限，在各象限，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.5．顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是( )A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形【答案】C【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．【详解】如图，四边形ABCD是菱形，且E. F. G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，则EH∥FG∥BD，EF=FG=12BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=12AC，AC⊥BD.故四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF=90°，∴边形EFGH是矩形.故选：C.【点睛】本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．55B．255C．5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为222425+=．∴cos∠ABC=25525=．故选B．7．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m【答案】D【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．8．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【答案】B【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）, 所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．故选B．考点：二次函数的图象．1061449．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AC的长是( )A．10米B．53米C．15米D．103米【答案】B【解析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．【详解】Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=53米；故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，利用面积法求出r 的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ， ∴11()22AB AC BC r AB AC ++=⋅， ∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.11．已知34x y =，则x y y +=（ ） A ．47 B ．74 C ．37 D ．73【答案】B 【分析】由34x y =得到x=34y ,再代入计算即可.【详解】∵34x y =, ∴x=34y , ∴x y y +=3744y y y +=. 故选B. 【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据34x y =得到x=34y ，再代入计算即可. 12．如图，直线y ＝23x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为（ ）A ．（﹣34，0）B ．（﹣12，0） C ．（﹣32，0） D ．（﹣52，0） 【答案】A 【分析】根据一次函数解析式可以求得()30A -,,()0,2B ,根据平面直角坐标系里线段中点坐标公式可得3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1D ，根据轴对称的性质和两点之间线段最短的公理求出D 点关于x 轴的对称点()0,1D '-，连接CD '，线段CD '的长度即是PC PD +的最小值，此时求出CD '解析式，再解其与x 轴的交点即可.【详解】解: 223y x =+, ∴()30A -,,()0,2B∴303222A B C x x x +-+===-, 02122A B C y y y ++===,∴3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理可得()0,1D∴D 点关于x 轴的对称点()0,1D '-;连接CD ',设其解析式为y kx b =+,代入3,12C ⎛⎫-⎪⎝⎭与()0,1D '-可得CD ':413y x =--, 令0y =,解得34x =-. ∴3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题是结合了一次函数的动点最值问题,熟练掌握一次函数的图象与性质,把点的坐标与线段长度灵活转化为两点间的问题是解答关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为______．【答案】30°或150°【解析】与半径相等的弦与两条半径可构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60，而弦所对的圆周角两个，根据圆内接四边形对角互补可知，这两个圆周角互补，其中一个圆周角的度数为 ，所以另一个圆周角的度数为150.故答案为30°或150°.14．若1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，则m =__________．【答案】-2【分析】把x=1代入已知方程可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：∵1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，∴110m ++=，解得：m=－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.15．如图，AB CD ∥，AD 与BC 交于点O ，已知4AB =，3CD =，2OD =，那么线段OA 的长为__________．【答案】83 【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA ：OD ＝AB ：CD ，然后利用比例性质计算OA 的长．【详解】∵AB ∥CD ，∴OA ：OD ＝AB ：CD ，即OA ：2＝4：3，∴OA ＝83． 故答案为83． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 ▲ ．【答案】1．【分析】利用垂径定理和中位线的性质即可求解.【详解】∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得：AC=PC ，PD=BD ，∴CD 是△APB 的中位线，∴CD=12AB=12×8=1． 故答案为117．已知函数(31)5y k x =++（k 为常数），若从33k -中任取k 值，则得到的函数是具有性质“y 随x 增加而减小”的一次函数的概率为___________.【答案】49【分析】根据“y 随x 增加而减小”可知310+<k ，解出k 的取值范围，然后根据概率公式求解即可.【详解】由“y 随x 增加而减小”得310+<k ， 解得13k <-， ∴具有性质“y 随x 增加而减小”的一次函数的概率为()()1343339-----= 故答案为：49． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.18．已知关于x 的一元二次方程22(1)6320-++-+=k x x k k 的常数项为零，则k 的值为_____．【答案】1【分析】由一元二次方程（k ﹣1）x 1+6x+k 1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 2k 3k 20k 10⎧-+=⎨-≠⎩①②，继而求得答案．【详解】解：∵一元二次方程（k ﹣1）x 1+6x+k 1﹣3k+1＝0的常数项为零，∴2k 3k 20k 10⎧-+=⎨-≠⎩①②，由①得：（k ﹣1）（k ﹣1）＝0，解得：k ＝1或k ＝1，由②得：k≠1，∴k 的值为1，故答案为：1．【点睛】本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．求下列各式的值：（1）2sin30°﹣3cos60°（2）16cos 245°﹣21602tan ︒． 【答案】（1）12-；（2）132． 【分析】（1）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】（1）2sin30︒﹣3cos60︒＝2×12﹣3×12＝1﹣3 2＝﹣12；（2）16cos245︒﹣12tan260︒＝16×（2）2﹣12×（3）2＝8﹣3 2＝132．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝45，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞mx的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．【答案】（1）y＝﹣12x，y＝﹣23x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，25 8）【分析】（1）先利用三角函数求出OD，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；（2）根据图象直接得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三种情况，建立方程求解即可得出结论．【详解】∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4，∴sin∠AOD＝ADOA＝4OA＝45，∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，∵点A在第二象限，∴A（﹣3，4），∵点A在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣12x，∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣12x上，∴﹣2n＝﹣12，∴n＝6，∴B（6，﹣2），∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，∴34 62k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，∴2k3b1⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣23x+1；（2）由图象知，满足kx+b＞mx的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；（3）设点E的坐标为（0，a），∵A（﹣3，4），O（0，0），∴OE＝|a|，OA＝5，AE∵△AOE是等腰三角形，∴①当OA＝OE时，|a|＝5，∴a＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5），②当OA＝AE时，5＝∴a＝8或a＝0（舍），∴P（0，8），③当OE＝AE时，|a|＝29(4)a+-，∴a＝25 8，∴P（0，258），即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，258）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．21．某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．【答案】（1）12；（2）13【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，∴另一位选手恰好是乙同学的概率12；（2）画树状图如下：所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为26＝13．【点睛】考核知识点：求概率.运用列举法求概率是关键.22．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为_____．【答案】2【分析】设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，由勾股定理得出()22243a a+=，解得a，证明△EDG∽△GCF，得出比例线段ED DGCG CF=，求出CF．则可求出EF．由四边形面积公式可求出答案．【详解】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，222CG BC BG+=，∴()22243a a+=，∴a，∴DG＝CG，∴BG＝OB+OG＝＝，由折叠可得∠EGD＝∠EGO，∠OGF＝∠FGC，∴∠EGF＝90°，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∵∠EGD+∠DEG＝90°，∴∠FGC＝∠DEG，∵∠EDG＝∠GCF＝90°，∴△EDG∽△GCF，∴ED DGCG CF=，∴CF=．∴CF＝1，∴FO＝1，∴EF＝3，由折叠可得，∴∠BOE=∠A＝90°，∵点B，O，G在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上，∴EF⊥BG，∴S 四边形EBFG ＝12×BG×EF ＝1322⨯×3＝922． 故答案为：922． 【点睛】 本题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键23．如图，已知抛物线 y ＝x 2+2x 的顶点为 A ，直线 y ＝x+2 与抛物线交于 B ，C 两点．（1）求 A ，B ，C 三点的坐标；（2）作 CD ⊥x 轴于点 D ，求证：△ODC ∽△ABC ；（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM ⊥x 轴于点 M ，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B （﹣2，0），C （1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P ，坐标为（﹣53，﹣59）或（﹣73，79）或（﹣5，15）． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）根据勾股定理可得∠ABC ＝90°，进而可求△ODC ∽△ABC.（3）设出p 点坐标，可表示出M 点坐标，利用三角形相似可求得p 点的坐标．【详解】（1）解：y ＝x 2+2x ＝（x+1）2﹣1，∴顶点 A （﹣1，﹣1）；由 222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩，解得：20x y =-⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩ ∴B （﹣2，0），C （1，3）；（2）证明：∵A （﹣1，﹣1），B （﹣2，0），C （1，3），∴AB ()()2221012-+++=，BC ＝ ()()22210332--+-=， AC ＝()()22111325--+--=， ∴AB 2+BC 2＝AC 2，21332AB BC ==， ∴∠ABC ＝90°， ∵OD ＝1，CD ＝3，∴OD CD =13， ∴AB OD BC CD =，∠ABC ＝∠ODC ＝90°， ∴△ODC ∽△ABC ；（3）存在这样的 P 点，设 M （x ，0），则 P （x ，x2+2x ），∴OM ＝|x|，PM ＝|x 2+2x|，当以 O ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，有PM AB OM BC =或 PM CB OM AB=， 由（2）知：AB ＝2，CB ＝32， ①当PM AB OM BC=时，则 ＝13， 当 P 在第二象限时，x ＜0，x 2+2x ＞0， ∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -73， 当 P 在第三象限时，x ＜0，x 2+2x ＜0， ∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-53， ②当PM CB OM AB =时，则 ＝3， 同理代入可得：x ＝﹣5 或 x ＝1（舍），综上所述，存在这样的点 P ，坐标为（-53，-59）或（-73，79）或（﹣5，15）． 【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.24．如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积为5，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x= （2）P 的坐标为(2,0)-或(8,0) 【分析】（1）利用点A 在3y x =-+上求a ，进而代入反比例函数()0k y k x =≠求k 即可； （2）设(),0P x ，求得C 点的坐标，则3PC x =-，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．【详解】（1）把点()1,A a 代入3y x =-+，得2a =，∴()1,2A把()1,2A 代入反比例函数k y x =， ∴122k =⨯=； ∴反比例函数的表达式为2y x=； （2）∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点C ，∴()3,0C ，设(),0P x ， ∴3PC x =-， ∴13252APC S x ∆=-⨯=， ∴2x =-或8x =，∴P 的坐标为()2,0-或()8,0．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．25．解方程（1）x 2+4x ﹣3＝0（用配方法）（2）3x （2x +3）＝4x +6【答案】（1）x 1＝﹣27，x 2＝﹣27；（2）x 1＝23，x 2＝﹣32． 【解析】（1）原式利用配方法求出解即可；（2）原式整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】（1）方程整理得：x2+4x＝3，配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，开方得：x+2＝±7，解得：x1＝﹣2+7，x2＝﹣2﹣7；（2）方程整理得：3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，分解因式得：（3x﹣2）（2x+3）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+3＝0，解得：x1＝23，x2＝﹣32．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．26．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．【答案】解：（1）见解析（2）1 2【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果；（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为61 122．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．27．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．【答案】证明详见解析．【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．试题解析：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．考点：相似三角形的判定．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．方程20x =的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可．【详解】解：∵x 2=0，∴△=02-4×1×0=0，∴方程x 2=0有两个相等的实数根．故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，△=0时方程有两个相等的实数根，△＜0时方程没有实数根．2．如图，当刻度尺的一边与⊙O 相切时，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，圆的半径是5，那么刻度尺的宽度为（ ）A ．256cmB ．4 cmC ．3cmD ．2 cm【答案】D【解析】连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵OD ⊥AB ，∴AD=12AB=12(9−1)=4cm ，∵OA=5，则OD=5−DE ，在Rt △OAD 中，222OA OD AD -=,即2225(5)4DE --=解得DE=2cm.故选D.3．如下图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ,则位似中心的坐标和k 的值分别为（ ）A ．()0,0,2B ．()12,2,2C ．()2,2,2D ．()2,2,3【答案】C 【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD 、AC ，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA ：CD=6：3=2，故选C ．4．学校要举行“读书月”活动，同学们设计了如下四种“读书月”活动标志图案，其中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：A 、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180°以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；B 、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180°以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；C 、图形中心绕旋转180°以后，能够与它本身重合，故是中心对称图形，符合题意；D 、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180°以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．特别注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．10mB ．103mC ．15mD ．53m【答案】A 【解析】试题分析：河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3， 即BC 3tan BAC ?AC ∠==， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×5=10，故选A ．考点：解直角三角形6．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x ，可用如下算式计算方差：()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦，其中“5”是这组数据的（ ） A ．最小值B ．平均数C ．中位数D ．众数 【答案】B【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦中“5”是这组数据的平均数. 故选B ．【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.7．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm ，已知臂长60cm ，则电线杆的高度为（ ）A ．2.4mB ．24mC ．0.6mD ．6m【答案】D 【解析】试题解析：作AN ⊥EF 于N ，交BC 于M ，∵BC ∥EF ，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC∽△AEF，∴BC AM EF AN＝，∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，∴EF=•0.12300.6BC ANAM⨯==6m．故选D．8．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）A．B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【详解】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC=AE：AB，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1．【点睛】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．9．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( )A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值.【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，∴b＝﹣1，c＝﹣6故选：B.本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根12x x ，满足1212,b c x x x x a a+=-⋅= ，是解题的关键. 10．观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，∵第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；∴既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．故选C ．11．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B ．掷一次骰子，向上一面的点数是6C ．任意画一个五边形，其内角和是540°D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】解：A 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B 、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C 、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．D 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（-1，3）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）【解析】分析：据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标；解：∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+3，∴其图象的顶点坐标是：（1，3）；故选A ．二、填空题（本题包括8个小题）13．设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝_____．【答案】1．【分析】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，∴m 2＋2 m －7＝0，即m 2＋2 m ＝7；m ＋n ＝－2．∴m 2＋1m ＋n ＝（m 2＋2 m ）＋（m ＋n ）＝7－2＝1．故答案为：114．布袋里有8个大小相同的乒乓球，其中2个为红色，1个为白色，5个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是__________. 【答案】14 【分析】直接根据概率公式求解．【详解】解：随机摸出一个球是红色的概率=421125=++． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 15．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．【答案】1【分析】连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【详解】连接AD ，∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ADF=90°，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠ABC=∠C=108°，∴∠ABD=72°，∴∠F=∠ABD=72°，∴∠FAD=18°，∴∠CDF=∠DAF=18°，∴∠BDF=36°+18°=1°，故答案为1．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．16．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】1；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=1即该正多边形的边数是1．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．17．已知1x ，2x 是方程2510x x --=的两个实根，则2212x x +=______．【答案】27【分析】根据根与系数的关系，由x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，即可得到答案.【详解】∵x 1，x 2是方程 x 2−5x−1=0 的两根，∴x 1+x 2=5，x 1∙x 2=−1，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=52-2×（-1）=27；故答案为27.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算.18．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）【答案】③【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；故答案为:③.【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．。

北京市东城区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（+1）2+2的图象，只需将函数y=2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由 a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，若1＜2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随的增大而减小，∵1＜2＜0，∴点A（1，y1），B（2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S△ABC=8，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7.已知函数y=﹣2+b+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A.B．C．D．【分析】根据已知条件“ａ＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是=﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=a2+b+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与轴交点的个数．8.小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m ）成活率（m/n）移植棵数（n）成活数（m ）成活率（m/n）50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=2+2+c与轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=2+2+c 与轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=2+2+c 与轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系Oy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定 B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤．①AB=AD；②BC=CD；③　；④∠BCA=∠DCA；⑤　．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=2﹣2﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=2﹣2﹣3=（﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以=1 为对称轴的抛物线，当且仅当=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系Oy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当=y时，=，解得=±2，进而得到OM 的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当=y时，=，解得=±2，又∵＞0，∴=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）+3tan60°+|1﹣|．17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB 的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，由△ABC 旋转所得，∵△A′B′C′≌△ABC，∴△A′B′C′∠BAC=90°，∴BA=BA′，∠BA′C′＝∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，+∠BA′A=150°．∠BA′C′∴∠C′A′A=【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=2+4与反比例函数y=（≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2+4的解集为﹣3＜＜0或＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m+n（m≠0）与轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=+a 和l2：y=﹣+b 组成图形G．当图形G与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点 B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点 C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=m2﹣2m+n，∴抛物线的对称轴为直线=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=m2﹣2m+n过点B，直线y=﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣2++4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣+4，当=1 时，y=﹣+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣﹣，当=1时，y=﹣﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′Ｃ；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系Oy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离（3）①如图3中，当点O到C′D′EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤A≤﹣3时，满足条件；的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1②）①如图3 中，当点O 到A′B′当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤A≤﹣3或﹣1≤A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

圆解答题(计算)1．（昌平18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：A BCD∠=∠；（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．20．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD. …………………… 1分∠=∠.…………………… 2分∴A BCD（2）解：连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4. …………………… 3分∵直径AB =10，∴CO =OB=5.在Rt△COE中OE==…………………… 4分3BE=.…………………… 5分∴22．（朝阳18期末18）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，∠ADB＝45°. 求⊙O半径的长.3．（东城18期末18）已知等腰△ABC内接于O, AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数.4．（密云18期末21）如图，AB是O的弦，O的半径OD AB⊥垂足为C.若AB=，CD=1 ，求O的半径长.21.解：AB 是O 的弦，O 的半径OD AB ⊥ 垂足为C ，AB =AC=BC=…………………………………………………………………………..2分连接OA.设O 半径为r ，则222OA AC OC =+即222(r 1)r =+- ………………………………………………..4分5．（丰台18期末20）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD==.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r. …4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．20．解：∵∠A=15°，∴∠COB=30°． (1)∵AB=4，∴OC=2． (2)∵弦CD⊥AB于E，∴CE=12 CD． (3)在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，∴CE=1． (4)∴CD=2． (5)7．（大兴18期末21）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BD的长．21. 解：∵ AB为直径，∴∠ADB=90°，……………………………… 1分∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD=∠BCD，∴AD⌒=BD⌒．………………………………… 2分∴ AD=BD ……………………………………… 3分在等腰直角三角形ADB中，BD=AB sin45°=5×22=522 ……………… 5分∴ BD =52 2 .8．（通州18期末19）如图，ABC △内接于⊙O .若⊙O 的半径为6，︒=∠60B ，求AC 的长．9．（顺义18期末24）已知：如图，AB 为⊙O 直径，CE ⊥AB 于E ，BF ∥OC ，连接BC ，CF ． 求证：∠OCF =∠ECB ．24．证明：延长CE交⊙O于点G．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC=BG，∴∠G=∠2，……………………………………………..2分∵BF∥OC，∴∠1=∠F，………………………………………………3分又∵∠G=∠F，………………………………………..….5分∴∠1=∠2．…………………………………………….…6分（其它方法对应给分）10．（燕山18期末19）如图，AB为⊙O的直径，弦 CD ⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B ＝30°，求：弦CD的长.19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B＝30°，求：弦CD的长．解：连结AC , ∵AB为⊙O的直径 ,∴∠ACB=90°……………………..……………..1′又AB＝6∠B＝30°∴AC=3∠CAE＝60°……………………..……………..2′∵弦CD⊥AB,AB为⊙O的直径∴CE=ED……………………..……………..3′∵Rt△CEA中CE=3sin60°=233…………………………………………………………..5′。

圆基础★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（ ） A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外D.点B 和圆的位置关系不确定 C2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤C3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是 ．13．35r ≤≤；4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt△ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．14．35★圆周角、圆心角5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒B6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（ ）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒507．（平谷18期末6）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100° B．80°C．50° D40°C8．（昌平18期末4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50︒，则∠BOC的大小为（）A．40°B．30°C．80° D．100°D9．（门头沟18期末3）如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75∠的度数是（）∠=︒，那么BADDCEA．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B10．（朝阳18期末6）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是（）A．15° B．30°C．45° D．60°B11．（石景山18期末3）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠的度数为（）ACD，则BOD∠25=︒A．︒120100B．︒C．︒150130D．︒C（西城18期末5）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么12．∠BAD等于（）．A．34°B．46°C．56° D．66°13．（丰台18期末7）如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为（ ） A ．70°B ．110°C ．140°D ．70°或110°D14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ． B ． C ．D ．B15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ） A ．︒25B ．︒30C ．︒35D ．︒40 C16．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD ，则∠ COD 等于（ ） A ．25° B ．25°+ n° C ．50°D ．50°+ n°17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是°13.120°18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________.19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD，则正确结论的序号是 .①AB=AD；②BC=CD；③AB AD =；④∠BCA=∠DCA；40︒50︒80︒100︒⑤ BC CD =.20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .14.（2，0）；21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 1★垂径定理22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A B ．C ．D ．10B23．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O的半径为4，则弦AB 的长为（ ） A ．32 B ．34 C ．52D ．54 B24．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ） A. 3 B. 32C. 6D. 34 D25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（ ） A ．22分米 B ．23分米C ．32分米D ．33分米B26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC 的外接圆．如果BC=那么⊙O 的半径为________. 227．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 228．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC⊥AB，垂足为C ，那么OC 的长为cm ．329．（东城18期末12）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D.若CD=1，AB=4,则⊙O的半径是_______.12、5 230．（燕山18期末11）如图，AB、AC是⊙O 的弦，OM ⊥AB，ON⊥ AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=_______5★正多边形31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M，则M的半径是（）A．B．2C D．C32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 .133．（通州18期末13）如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.34．（昌平18期末13）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为 .336．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．13=★弧长、扇形面积37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2πB38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°B39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（ ）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120B40．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．6πB ．πC ．3πD ．32πD41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 642．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______.10.2π343．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2．14. 36 π .44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________.12.60︒45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．10．4π46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4π B47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．11．2π48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.49．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 3000500230001000ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分π25。

圆综合题1．（大兴18期末24）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合）， .∠=∠CAD B （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F ，且EF=4，AD=6，求BD 的长．24. （1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分 ∴90B DAB ∠+∠=︒ 又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分 即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线. （2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90° ∴OE AD ⊥.12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6 ∴AF =3. 又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ……………………………………………4分 4369 (52)4EF AF AD BDBD BD EF ∴==∴==∴分2．（昌平18期末24）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE 的长.24．（1）证明：连接OC ，∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分∵AE ⊥DE ，∴90CAE ACE ︒∠+∠=．∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．∴DE是⊙O的切线．…………………… 3分（2）解：∵tan D=OCCD=34，OC=3，∴CD=4．…………………………… 4分∴OD．∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分∵sin D=OCOD=AEAD=35，∴AE=245．……………………………6分3．（朝阳18期末24）如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E.（1）求证：E是AC中点；（2）若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长.4．（东城18期末25）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O与边BC，AC分别交于点D，E.DF是O的切线,交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tan A．19、20、21、22、23、24、25、5．（海淀18期末24）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB 交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EFDE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD4，DE5，求DM的长．24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分6．（石景山18期末25）如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ； （2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．25．（本小题满分6分） （1）证明：连接CD ∵AC 是⊙O 的直径∴∠A D C =90°………………………………………………………1分∴∠DAC+∠ACD =90° ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∴∠DAC+∠AB C=90°∴∠A B C =∠A C D …………………………………………………2分 ∵∠AED=∠ACD∴∠A B C =∠A E D …………………………………………………3分（2）解：连接BF ∵∠AED=∠ACD=ABC ∠∴tan ∠ACD = tan ∠AED =ABC ∠tan =34∴tan ∠ACD =34=CD AD 即34532=CD∴CD=524………………………………………………………………4分 ∴AC=8∵AF=6，∴F C=2∵ABC ∠tan =34=BC AC ，即348=BC ∴B C =6………………………………………………………..…….5分 ∴B F =102……………………………………………………… 6分7．（西城18期末24）如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．8．（丰台18期末24）如图，AB是⊙O的直径，点C是»AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD AC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD.∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OE BF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==. ∵1122ABF S AB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分 其他方法相应给分.9．（怀柔18期末22）22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD 切⊙O于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ．（1）求证：AB =BN ；（2）若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长．22.(1)证明：连接OD ，…………………………1分∵MD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥MD ，∵BN ⊥MC ，∴OD ∥BN ，…………………………………2分∴∠ADO =∠N ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠OAD =∠N ，∴AB =BN ；………………………………………………………………………………………3分(2)解：由(1)OD ∥BN ，∴∠MOD =∠B ，………………………………………………………………………………4分∴cos ∠MOD =cosB =52， 在Rt △MOD 中，cos ∠MOD ==OMOD ， ∵OD =OA ，MO =MA +OA =3+MA ，∴AM 33=52， ∴MA =4.5………………………………………………………………………………………5分10．（平谷18期末25）25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 是AB 边上一点，以O 为圆心作⊙O 且经过A ，D 两点，交AB 于点E ．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）AC=2，AB=6，求BE的长．25．（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD．∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC． (1)∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°． (2)即OD⊥BC于D．∴BC是⊙O的切线． (3)（2）解：∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA．∴OD BOAC BA=． (4)∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r．∴626r r-=．解得r=32．∴AE=3．∴BE=3． (5)11．（密云18期末24）如图，AB是O的直径，C、D是O上两点，AC BC=.过点B作O 的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F.（1）求证：AC=CE.（2）若AE=，3sin5BAF∠=求DF长.24.（1）证明：连结BC.AB 是 的直径，C 在O 上90ACB ∠=︒AC BC =AC=BC45CAB ∠=︒AB 是O 的直径，EF 切O 于点B90ABE ∠=︒45AEB ∠=︒AB=BEAC=CE ……………………………………………2分（2）在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，AE=，AE=BE8AB = ………………………..3分在Rt ABF ∆中，AB=8，3sin 5BAF ∠= 解得：6BF = ………………………..4分连结BD ，则90ADB FDB ∠=∠=︒90BAF ABD ∠+∠=︒，90ABD DBF ∠+∠=︒，DBF BAF ∠=∠3sin 5BAF ∠= 3sin 5DBF ∠= 35DF BF = 185DF = …………………5分12．（顺义18期末26）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若tan∠BDE=12, CF=3，求DF的长．26．（1）证明：连接OD．………………………………………..1分∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．……………………………………….……..2分又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，∴AB∥OD，∴DE⊥AB．…………………………………….………..3分（2）解：连接AD．…………………………….…………….…4分∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，…………………………………..…5分∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，∴∠BDE =∠1，∵AB =AC ，∴∠1=∠2．又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3．∴△FCD ∽△FDA …………………………………….6分 ∴FC CD FD DA=， ∵tan ∠BDE =12,∴tan ∠2=12, ∴1=2CD DA ，∴1=2FC FD ， ∵CF =3，∴FD =6．……………………………….…7分13．（大兴18期末27）已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H.（1）求证：∠BCG=∠E BG ；（2）若55sin =∠CAB ，求GB EC 的值.27. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分∵CG ⊥AB 于点G ，∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分∵CE ∥AB ，∴∠CAB =∠ACE .∴∠BCG =∠ACE又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分（2）解：∵sin 5CAB ∠=∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==. 由（1）知，∠BCG =∠CAB在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33ECCHaGB GH a ===．…………………………………………8分14．（门头沟18期末24）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC 相切于点 E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BD =BF ；（2）若CF =2，4tan 3B =，求⊙O 的半径．24．（本小题满分5分）（1）证明：连接OE ，∵AC 与圆O 相切，∴OE ⊥AC ，…………….1分∵BC ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵O 为DB 的中点，∴E 为DF 的中点，即OE 为△DBF 的中位线，∴OE =BF ，又∵OE =BD ，∴BF =BD ；……………………………………….2分（2）设BC =3，4tan 3B ∠=可得：AB =5， 又∵CF =2，∴BF =3+2，由（1）得：BD =BF ，∴BD =3+2，∴OE =OB =322x +，AO =AB ﹣OB =3272522x x x +--= ∵OE ∥BF ，∴∠AOE =∠B ， ……………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠AOE =cos B ，即32232725OE x AO x +=⋅=-， 解得： 83x =则圆O 的半径为3210522x +==………………………………………………………………………5分15．（通州18期末22）如图，ABC △是等腰三角形，AC AB =，以AC 为直径的⊙O 与BC交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值．16．（燕山18期末24）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长.24.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F.（1）证明：连结OD∵OD=OB ∴∠ODB=∠DBO又AB=AC∴∠DBO=∠C∴∠ODB =∠C∴OD ∥AC又DE ⊥AC∴DE ⊥OD∴EF 是⊙O 的切线. ……………………..…………….2′（2）∵AB 是直径 ∴∠ADB=90 °∴∠ADC=90 °即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °∴∠1=∠C∴∠1 =∠3 ……………………..…………….3′∴ABAD ADE =∠==∠3sin 54sin ∴1054AD =∴AD=8 在Rt △ADB 中,AB=10∴BD=6在又Rt △AED 中,AD AE ADE ==∠54sin ∴532584=⨯=AE ……………………..…………….4′ 设BF=∵OD ∥AE∴ △ODF ∽△AEF ∴AF OF AE OD = x x ++=1055325 =790……………………..…………….5′。

如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEO DO 的长8如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径A如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 得长 13已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径（2019.1+++昌平+++初三上+++期末） （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵ BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF ∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE=80 ∴BD =2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5 ∴BF = ∴2BE BF ==在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4 ∵EH ∥AB ∴EH DHAB DB =∴254DH DH =+，解得83DH = ∴203BD BH HD =+=H3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin 45BH BC =⋅°3=，cos 45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P== ∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC = ∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin 45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠= ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x==，AC =∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在RtOBC △中，BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末）(1)∵点A 、C 、D 为O 的三等分点 ∴ AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解PB得BE=2m ，②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2，③在Rt△OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OBE 周长为25（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）连接OC∵ CBCB = ∴2BOC BAC ∠=∠ ∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末） (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan∠BEO ∴tan∠AOC 在Rt △AOC 中,设OC =r,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EB ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO = ∴DO =3AA8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC == ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD =在Rt △ADB中，可得AB =∴ OB =在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE =9（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）12（2019.1+++西城+++初三上+++期末）13（2019.1+++顺义+++初三上+++期末）。

2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综一．解答题（共27小题）1．（2019秋•北京期末）如图，AB 是O 的直径，点P 是AB 上一点，且点P 是弦CD 的中点．（1）依题意画出弦CD ，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若2AP =，8CD =，求O 的半径．2．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，连接BD ．（1）求证：A CBD ∠=∠．（2）若10AB =，6AD =，M 为线段BC 上一点，请写出一个BM 的值，使得直线DM 与O 相切，并说明理由．3．如图，点O 为ABC ∠的边BC 上的一点，过点O 作OM AB ⊥于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点（点E 在点F 的左侧）．（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，2sin 3ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得90CBD MOB ∠+∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．4．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．BE 平分ABC ∠交AC 于点D ，交ABC ∆的外接圆于点E ，过点E 作EF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF 是ABC ∆外接圆的切线；（2）若5BC =，12sin 13ABC ∠=，求EF 的长．5．（2019秋•密云区期末）已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点E，AD CB=．求证：AE CE=．6．（2019秋•密云区期末）已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．（1）求证：BF是O的切线；（2）连结BC，若O的半径为2，3tan4BCD∠=，求线段AD的长．7．（2019秋•海淀区期末）如图，在O中，AC CB=，CD OA⊥于点D，CE OB⊥于点E．（1）求证：CD CE=；（2）若120AOB∠=︒，2OA=，求四边形DOEC的面积．8．（2019秋•海淀区期末）如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E．（1）求证：AC是DAB∠的平分线；（2）若10AB=，AC=AE的长．9．如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，AED B ∠=∠．（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明．（2）若4BC =，1tan 2B =，求OB ．10．（2019秋•通州区期末）如图：在平面直角坐标系xOy 中，点(2,2)A −，(4,4)B ．（1）尺规作图：求作过A ，B ，O 三点的圆；（2）设过A ，B ，O 三点的圆的圆心为M ，利用网格，求点M 的坐标；（3）若直线x a =与M 相交，直接写出a 的取值范围．11．（2019秋•昌平区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的点，4sin 5A =，半径为5，求BC 的长．12．如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，点D 是半圆的中点，连接CD 交OB 于点E ，点F 是AB 延长线上一点，CF EF =．（1）求证：FC 是O 的切线；（2）若5CF =，1tan 2A =，求O 半径的长．13．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB⊥于E，连接AC、OC、BC．求证：ACO BCD∠=∠．14．如图，AB是O的直径，BC交O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，2ACB EAB∠=∠．（1）求证：AC是O的切线；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．15．（2019秋•大兴区期末）已知：如图，B，C，D三点在A上，45BCD∠=︒，PA是钝角ABC∆的高线，PA的延长线与线段CD交于点E．（1）请在图中找出一个与CAP∠相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明．16．（2019秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．17．（2019秋•朝阳区期末）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C ，过点C 作CD AB ⊥交图形W 于点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD ．（1）求ABD ∠的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且ADE ABD ∠=∠，求直线DE 与图形W 的公共点个数．18．（2019秋•东城区期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，CD =，求O 的半径的长．19．如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于12BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ．（1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点？请说明理由．20．（2019秋•西城区期末）如图，AB 是O 的直径，PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO交O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：12OE AC =； （2）若O 的半径为5，6AC =，求PB 的长．21．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．22．（2019秋•石景山区期末）如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD．E是O上一点，CE CA=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：OFC ODC∠=∠；（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长．23．（2019秋•房山区期末）已知ABC∆如图所示，点O到A、B、C三点的距离均等于(m m为常数），到点O的距离等于m的所有点组成图形W．射线AO与射线AM关于AC对称，过C作CF AM⊥于F．（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线FC与图形W的公共点个数并加以证明．24．（2019秋•房山区期末）如图，ABC∆内接于O，60∠=︒，高AD的延长线交O于点E，6BC=，BACAD=．5（1）求O的半径；（2）求DE的长．25．（2019秋•房山区期末）在ABC==B为圆心、1为半径作圆，设点M为∠=︒，AC BC∆中，90ACBB上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90︒，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图1中，补全图形，并证明BM AN=．（2）连接MN，若MN与B相切，则BMC∠的度数为．（3）连接BN，则BN的最小值为；BN的最大值为．26．（2019秋•平谷区期末）如图，O是ABC==，BC=，AB AC∆的外接圆，圆心O在ABC∆的外部，4求O的半径．27．如图，ABC∠，交O于点D，过点D作∆内接于O，AB是O的直径，过点A作AD平分BACDE BC交AC的延长线于点E．//（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与O的位置关系；（3）若10AB=，8BC=，求CE的长．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：圆综参考答案一．解答题（共27小题）1．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）设O 的半径为r ，在Rt OPD ∆中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）画出弦CD ，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连接OD ，OA CD ⊥于点P ，AB 是O 的直径，90OPD ∴∠=︒，12PD CD =， 8CD =，4PD ∴=．设O 的半径为r ，则OD r =，2OP OA AP r =−=−，在Rt ODP ∆中，90OPD ∠=︒，222OD OP PD ∴=+，即222(2)4r r =−+，解得5r =，即O 的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2．【分析】（1）利用圆周角定理得到90ADB ∠=︒，然后就利用等角的余角相等得到结论；（2）如图，连接OD ，DM ，先计算出8BD =，5OA =，再证明Rt CBD Rt BAD ∆∆∽，利用相似比得到403BC =，取BC 的中点M ，连接DM 、OD ，如图，证明24∠=∠得到90ODM ∠=︒，根据切线的判定定理可确定DM 为O 的切线，然后计算BM 的长即可．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒，90A ABD ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒，90CBD ABD ∴∠+∠=︒，A CBD ∴∠=∠；（2）203 BM=．理由如下：如图，连接OD，DM，90ADB∠=︒，10AB=，6AD=，8BD∴==，5OA=，A CBD∠=∠，Rt CBD Rt BAD∆∆∽，∴BC BDAB AD=，即8106BC=，解得403BC=取BC的中点M，连接DM、OD，如图，DM为Rt BCD∆斜边BC的中线，DM BM∴=，24∠=∠，OB OD=，13∴∠=∠，123490∴∠+∠=∠+∠=︒，即90ODM∠=︒，OD DM∴⊥，DM∴为O的切线，此时12023 BM BC==．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．3．【分析】（1）求出BO的长，MB的长，根据三角形BOM的面积可求出MH；（2）过点O作ON BD⊥于点N，证得OM ON=．则结论得证．【解答】（1）解：到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：OM AB ⊥于点M ， 90BMO ∴∠=︒． 在BMO ∆中，2sin 3OM ABC BO ∠==， 32BO MO ∴=．2BE =， ∴322BO OE OM =+=，解得：4OM OE ==． 6BO ∴=． 在Rt △BOM ∆中， 222BM OM BO +=，∴BM =． 1122BOM S MO MB MH BO ∆==∴46MH ⨯=⨯，解得：MH =（2）解：1个． 证明：过点O 作ON BD ⊥于点N ，90CBD MOB ∠+∠=︒， 且90ABC MOB ∠+∠=︒， CBD ABC ∴∠=∠．OM ON ∴=．BD ∴为O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个．【点评】本题主要考查切线的判定，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．4．【分析】（1）根据已知条件得到ABC ∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到13∠=∠．求得//OE BF ．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到1213AC AB =．根据勾股定理得到12AC =．根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：补全图形如图所示，ABC ∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．连接OE ，OE OB ∴=．23∴∠=∠， BE 平分ABC ∠，12∴∠=∠，13∴∠=∠．//OE BF ∴．EF BF ⊥，EF OE ∴⊥，EF ∴是ABC ∆外接圆的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，5BC =，12sin 13ABC ∠=， ∴1213AC AB =． 222AC BC AB +=，12AC ∴=．90ACF CFE FEH ∠=∠=∠=︒，∴四边形CFEH 是矩形．EF HC ∴=，90EHC ∠=︒．162EF HC AC ∴===．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．5．【分析】由圆周角定理可得ADE CBE ∠=∠，从而利用AAS 可证明ADE CBE ∆≅∆，继而可得出结论．【解答】解：由圆周角定理可得：ADE CBE ∠=∠，在ADE ∆和CBE ∆中，ADE CBE AED CEB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBE AAS ∴∆≅∆，AE CE ∴=．【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出ADE CBE ∠=∠．6．【分析】（1）根据垂径定理得到AB CD ⊥，90AED ∠=︒，根据平行线的性质得到90ABF AED ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）连接BD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据三角函数的定义得到34BD AD =，设3BD x =，4AD x =，求得5AB x =，于是得到结论．【解答】（1）证明：O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点， AB CD ∴⊥，90AED ∠=︒，//CD BF ，90ABF AED ∴∠=∠=︒，AB BF ∴⊥， AB 是O 的直径，BF ∴是O 的切线；（2）解：连接BD ，BCD BAD ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，3tan tan 4BCD BAD ∠=∠=， ∴34BD AD =， ∴设3BD x =，4AD x =，5AB x ∴=， O 的半径为2，4AB =，54x ∴=，45x =， 1645AD x ∴==．【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．7．【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOC BOC ∠=∠，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD ，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC ，AC BC =，AOC BOC ∴∠=∠，又CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE ∴=；（2）解：120AOB ∠=︒，60AOC BOC ∴∠=∠=︒，90CDO ∠=︒，30OCD ∴∠=︒，112OD OC ∴==，CD ∴===OCD ∴∆的面积12OD CD =⨯⨯=，同理可得，OCE ∆的面积12OE CE =⨯⨯=，∴四边形DOEC 的面积【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．8．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCM ∠=︒，得到//OC AD ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC ，连接BE 交OC 于点F ，根据勾股定理求出BC ，证明CFB BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出CF ，得到OF 的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC ，直线MC 与O 相切于点C ，90OCM ∴∠=︒，AD CD ⊥，90ADM ∴∠=︒，OCM ADM ∴∠=∠，//OC AD ∴，DAC ACO ∴∠=∠，OA OC =，ACO CAO ∴∠=∠，DAC CAB ∴∠=∠，即AC 是DAB ∠的平分线；（2）解：连接BC ，连接BE 交OC 于点F ， AB 是O 的直径，90ACB AEB ∴∠=∠=︒，10AB =，AC =BC ∴===，//OC AD ，90BFO AEB ∴∠=∠=︒，90CFB ∴∠=︒，F 为线段BE 中点，CBE EAC CAB ∠=∠=∠，CFB ACB ∠=∠，CFB BCA ∴∆∆∽．∴CF BCBC AB =，解得，2CF =，3OF OC CF ∴=−=． O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，26AE OF ∴==．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．【分析】（1）证明AE 是切线即可判断．（2）利用系数是局限性的性质求出EC 即可解决问题．【解答】解：（1）图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE ． BD 是O 是直径，90DEB ∴∠=︒，90ABC EDB ∴∠+∠=︒，OD OE =，ODE OED ∴∠=∠，AED ABC ∠=∠，90AED OED ∴∠+∠=︒，90AEO ∴∠=︒，OE AE ∴⊥，AE ∴是O 的切线，∴图形W 与AE 所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4BC =，1tan 2AC B BC ∴==， 2AC ∴=，90ACB DEB ∠=∠=︒，//DE AC ∴，CAE AED ABC ∴∠=∠=∠，C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽，2AC CE CA ∴=，2214CE ∴==， 3BE BC EC ∴=−=，1tan 2DE B EB ∴==， 32DE ∴=，2BD ∴===，12OB BD ∴==【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】（1）作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；（2）AB 的中点即为圆心M ，由此可得解；（3）求出半径，即可知直线x a =与M 相切时a 的值，由此可得相交时a 的取值范围．【解答】解：（1）如图即为所要求作的过A ，B ，O 三点的圆；作OA 和OB 的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可．（2）观察图形，由（1）可知点为M 的坐标为(1,3)；（3）(2,2)A −，(1,3)M ，r AM BM ∴===∴当1a =1+时，直线x a =与M 相切，∴当11a <<时，直线x a =与M 相交．【点评】本题是圆的综合问题，考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆相切时的有关计算是解题的关键．11．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB ，OC ，过点O 作OD BC ⊥，如图1OB OC =，且OD BC ⊥，12BOD COD BOC ∴∠=∠=∠， 12A BOC ∠=∠， BOD A ∴∠=∠，4sin sin 5A BOD =∠=， 在Rt BOD ∆中，4sin 5BD BOD OB ∴∠==， 5OB =， ∴455BD =，4BD =， BD CD =，8BC ∴=．方法Ⅱ：作射线BO ，交O 于点D ，连接DC ，如图2．BD 为O 的直径，90BCD ∴∠=︒，BDC A ∠=∠，4sin sin 5A BDC ∴=∠=， 在Rt BDC ∆中，4sin 5BC BDC BD ∴∠==． 5OB =，10BD =，∴4105BC =， 8BC ∴=．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．【分析】（1）如图，连接OD ．根据已知条件得到90AOD BOD ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ODC OCD ∠=∠．推出FC OC ⊥，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到12BC AC =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD ，OC ．点D 是半圆的中点，90AOD BOD ∴∠=∠=︒，90ODC OED ∴∠+∠=︒，OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠．又CF EF =，FCE FEC ∴∠=∠．FEC OED ∠=∠，FCE OED ∴∠=∠．90FCE OCD OED ODC ∴∠+∠=∠+∠=︒，即FC OC ⊥，FC ∴是O 的切线；（2）解：1tan 2A =， ∴在Rt ABC ∆中，12BC AC =， 90ACB OCF ∠=∠=︒，ACO BCF A ∴∠=∠=∠，ACF CBF ∆∆∽， ∴12BF CF BC CF AF AC ===． 10AF ∴=，2CF BF AF ∴=．52BF ∴=． 1524AF BF AO −∴==．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．【分析】先根据垂径定理得到BC BD =，再根据圆周角定理得到A BCD ∠=∠，加上ACO A ∠=∠．然后利用等量代换得到结论．【解答】证明：AB 是O 的直径，CD AB ⊥，∴BC BD =，A BCD ∴∠=∠， 又OA OC =，ACO A ∴∠=∠．ACO BCD ∴∠=∠．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．【分析】（1）如图①，连接AD ．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及2ACB EAB ∠=∠．求得90BAD CAD ∠+∠=︒，则BA AC ⊥，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ，先在Rt ADC ∆和Rt BAC ∆中，分别求得CD 、BC 、BD ．再在Rt BFH ∆中，由三角函数可求得FH 及DF ，则可用BD 的值减去DF 的值，求得BF ．【解答】（1）证明：如图①，连接AD ．图① E 是BD 的中点，∴BE DE =DAE EAB ∴∠=∠．2C EAB ∠=∠，C BAD ∴∠=∠． AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒90C CAD ∴∠+∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒即BA AC ⊥．AC ∴是O 的切线．（2）解：如图②，过点F 做FH AB ⊥于点H ．图②AD BD ⊥，DAE EAB ∠=∠，FH FD ∴=，且//FH AC ．在Rt ADC ∆中，3cos 4C =，8AC =， 6CD ∴=．同理，在Rt BAC ∆中，可求得323BC = 143BD ∴= 设DF x =，则FH x =，143BF x =− //FH AC ，BFH C ∴∠=∠． 3cos 4FH BFH BF ∴∠== 即31443xx =− 解得2x =．83BF ∴=． 【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．15．【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可以得到与CAP ∠相等的角，注意本题答案不唯一；（2）先写出线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，然后根据题意和图形，可以证明线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系成立．【解答】解：（1）AC AB =，AP BC ⊥，AP ∴平分CAB ∠，CAP BAP ∴∠=∠，2CAB CDB ∠=∠，CAP BAP CDB ∴∠=∠=∠， 故答案为：CDB ∠（或)BAP ∠；（2）AC ，EC ，ED 满足的数量关系：2222EC ED AC +=，证明：连接EB ，与AD 交于点F ，点B ，C 两点在A 上，AC AB ∴=，ACP ABP ∴∠=∠， PA 是钝角ABC ∆的高线，PA ∴是CAB ∆的垂直平分线， PA 的延长线与线段CD 交于点E ，EC EB ∴=，ECP EBP ∴∠=∠，ECP ACP EBP ABP ∴∠−∠=∠−∠，即ECA EBA ∠=∠，AC AD =，ECA EDA ∴∠=∠，EBA EDA ∴∠=∠，AFB EFD ∠=∠，45BCD ∠=︒，90AFB EBA EFD EDA ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90BAD BED ∠=∠=︒，222EB ED BD ∴+=，222BD AB =，2222EB ED AB ∴+=，2222EC ED AC ∴+=．【点评】本题考查勾股定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，利用垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后计算出DE 的长即可．【解答】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，118422AE BE AB ∴===⨯=，在Rt AEO ∆中，3OE ===，532ED OD OE ∴=−=−=，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．【解答】解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴=．OA OD点C为OA的中点，CD AB⊥，∴=．AD OD∴==．OA OD AD∴∆是等边三角形．OADAOD∴∠=︒．60∴∠=︒．ABD30（2）如图2，∠=∠，ADE ABD∴∠=︒．ADE30∠=︒．60ADO∴∠=︒．ODE90∴⊥．OD DEDE∴是O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．【点评】考查了圆的认识，切线的判定，切线必须满足两个条件：a 、经过半径的外端；b 、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．18．【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出90ACB ∠=︒，12CH DH CD ===得出2AC CH ==，AC ==，2AB BC =，得出2BC =，4AB =，求出2OA =即可．【解答】解：连接BC ，如图所示： AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，90ACB ∴∠=︒，12CH DH CD === 30A ∠=︒，2AC CH ∴==在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，AC ∴==，2AB BC =，2BC ∴=，4AB =，2OA ∴=，即O 的半径是2；【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30︒角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．19．【分析】（1）由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD ，由圆周角定理知CD AB ⊥，易知ACD ABC ∆∆∽，可得关于AC 、AD 、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．（2）当ED 与O 相切时，由切线长定理知EC ED =，则ECD EDC ∠=∠，那么A ∠和DEC ∠就是等角的余角，由此可证得AE DE =，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接OD ，证OD DE ⊥即可．【解答】解：（1）如图所示，在Rt ACB ∆中，3AC cm =，4BC cm =，90ACB ∠=︒，5AB cm ∴=；连接CD ，BC 为直径， 90ADC BDC ∴∠=∠=︒；A A ∠=∠，ADC ACB ∠=∠，Rt ADC Rt ACB ∴∆∆∽； ∴AC AD AB AC=， 23955AD ∴==；（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接OD ， DE 是Rt ADC ∆的中线；ED EC ∴=，EDC ECD ∴∠=∠；OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠；90EDO EDC ODC ECD OCD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；ED OD ∴⊥，ED ∴与O 相切．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．20．【分析】（1）根据切线的性质得到PB PC =，BPO CPO ∠=∠．根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）由切线的性质得到90OBP ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）PB ，PC 是O 的两条切线，切点分别为B ，CPB PC ∴=，BPO CPO ∠=∠．PO BC ∴⊥，BE CE =．OB OA =，12OE AC ∴=； （2）PB 是O 的切线，90OBP ∴∠=︒．由（1）可得90BEO ∠=︒，132OE AC ==． 90OBP BEO ∴∠=∠=︒． tan BE PB BOE OE OB∴∠==， 在Rt BEO ∆中，3OE =，5OB =，4BE ∴=．203PB ∴=． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．21．【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得2CF AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =−=−，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒．90CED CDE ∴∠+∠=︒．CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠，FAD FCB ∴∆∆∽． ∴AD AF CB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =−=−．在Rt ADF ∆中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴−=+． 解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出4BC =是解本题的关键．22．【分析】（1）①正确画图；②连接OC ，如图1，根据垂径定理得：90OBD ∠=︒，AC AD =，由已知可得CE AD =，则圆心角相等，即COE AOD ∠=∠，由CF 是O 的切线，则90OCF ∠=︒，由三角形内角和定理可得OFC ODC ∠=∠；（2）根据直角三角形的性质得：30ODB ∠=︒，再证明点D ，O ，E 在同一条直线上，最后根据勾股定理可得FB 的长．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接OC ，如图1，半径OA CD ⊥，90OBD ∴∠=︒，AC AD =，AC CE =，∴CE AD =，COE AOD ∴∠=∠， CF 是O 的切线，OC 是半径，90OCF ∴∠=︒，OFC ODC ∴∠=∠；（2）过点B 作BG OD ⊥于点G ，如图2．B 是OA 的中点，4OA =，2OB ∴=．∴在Rt BOD ∆中，30ODB ∠=︒，60DOB ∴∠=︒，AD AC CE ==，60EOC AOC DOA ∴∠=∠=∠=︒，180EOD ∴∠=︒．即点D ，O ，E 在同一条直线上，在Rt OCF ∆中，4OC =，可得8OF =，在Rt OGB ∆中，2OB =，可得1OG =，BG =，9FG OF OG ∴=+=，在Rt BGF ∆中，由勾股定理可得FB ===【点评】本题考查垂径定理、切线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据圆的定义补全图形即可得；（2）连接OC ，由射线AO 与射线AM 关于AC 对称知12∠=∠，由13∠=∠知32∠=∠，从而得//OC AE ，再由CF AM ⊥知CF OC ⊥，从而证得FC 与O 相切，据此可得答案．【解答】解：（1）依题意补全图形如下图所示，（2）如图，直线FC 与图形W 有一个公共点，证明：连接OC ，射线AO 与射线AM 关于AC 对称，12∴∠=∠，OC OA =，13∴∠=∠，32∴∠=∠，//OC AE ∴，CF AM ⊥于F ，CF OC ∴⊥，图形W 即O ，OC 为半径，FC ∴与O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点．【点评】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和性质、圆的定义、切线的判定与性质等知识点．24．【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，求得90BCF ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到GE GA =，四边形OHDG 是矩形，求得OH DG =，于是得到结论．【解答】解：（1）如图，作直径BF ，连接CF ，90BCF ∴∠=︒，60F BAC ∠=∠=︒，sin BC BF F ∴===O ∴的半径为；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，GE GA ∴=，四边形OHDG 是矩形，OH DG ∴=， 2OB =，30FBC ∠=︒，OH ∴=，DG ∴=5AG AD GD ∴=−=，5EG ∴=，55DE EG GD ∴=−==−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）补全图形，证明()MCB NCA SAS ∆≅∆，即可得出结论；（2）分两种情况：①由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；②如图3所示：由旋转的性质得90MCN ∠=︒，CM CN =，得出45CMN ∠=︒，由切线的性质得出90BMN ∠=︒，即可得出答案；（3）当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；证明四边形BMCN 是正方形，得出BN CN ⊥，1BN BM ==，CN 与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3；同（1）得()MCB NCA SAS ≅∆，得出1BM AN ==，求出2AB ==，得出3BN AB BN =+=，即BN 的最大值为3．【解答】（1）补全图形如图1所示：证明：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，90ACB MCN ∴∠=∠=︒，MCB NCA ∴∠=∠，在MCB ∆和NCA ∆中，BC AC MCB NCA CM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MCB NCA SAS ∴∆≅∆，BM AN ∴=；（2）解：分两种情况：①如图2所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，45BMC BMN CMN ∴∠=∠−∠=︒；②如图3所示：由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =， CMN ∴∆是等腰直角三角形，45CMN ∴∠=︒， MN 与B 相切，90BMN ∴∠=︒，135BMC BMN CMN ∴∠=∠+∠=︒； 综上所述，MN 与B 相切，则BMC ∠的度数为45︒或135︒； 故答案为：45︒或135︒；（3）解：当CM 与B 相切时，BN 有最小值为1；理由如下：如图4所示：CM 与B 相切，90BMC ∴∠=︒，由旋转的性质得：90MCN ∠=︒，CM CN =，180BMC MCN ∴∠+∠=︒，//BM CN ∴，1CM =，BM CM CN ∴==，∴四边形BMCN 是平行四边形，∴四边形BMCN 是正方形，BN CN ∴⊥，1BN BM ==，CN ∴与B 相切，点N 是切点，即BN 的最小值为1；当点N 在BA 延长线时，BN 有最大值为3，理由如下：如图5所示：同（1）得：()MCB NCA SAS ≅∆，1BM AN ∴==，90ACB ∠=︒，AC BC ==2AB ∴==，3BN AB BN ∴=+=，即BN 的最大值为3； 故答案为：1；3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．26．【分析】连接AO ，交BC 于点D ，连接BO ，由垂径可求AO BC ⊥，BD CD =，即可求BD =，由勾股定理可求AD 的长，圆的半径．【解答】解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．AB AC =，∴AB AC =．1又AO 是半径，AO BC ∴⊥，BD CD =．2BC =，∴BD =．3在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，222BD AD AB +=，4AB =，2.4AD ∴=设O 半径为r ．在Rt BDO ∆中，222BD DO BO +=，∴222(2)r r +−=，4r ∴=O ∴的半径为4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．27．【分析】（1）依据题意，即可补全图形；（2）根据切线的判定定理判断并证明：直线DE 与O 的位置关系即可；（3）根据10AB =，8BC =，圆的半径即可求CE 的长．【解答】解：（1）如图即为补全的图形．（2）直线DE 是O 的切线． 理由如下：证明：连结OD ，交BC 于F ． AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．∴CD BD =．OD BC ∴⊥于F ．//DE BC ，OD DE ∴⊥于D ．∴直线DE 是O 的切线．（3）AB 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒．10AB =，8BC =，6AC ∴=．90BOF ACB ∠=∠=︒， //OD AC ∴． O 是AB 中点，132OF AC ∴==． 152OD AB ==， 2DF ∴=．//DE BC ，//OD AC ， ∴四边形CFDE 是平行四边形． 90ODE ∠=︒，∴平行四边形CFDE 是矩形． 2CE DF ∴==．答：CE 的长为2．【点评】本题考查了作图−复杂作图、圆周角定理、直线和圆的位置关系、三角形外接圆与外心，解决本题的关键是根据语句准确画图并注明．。

圆基础★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A 为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（ ） A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外 D .点B 和圆的位置关系不确定 C2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤C3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是 ．13．35r ≤≤；4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．14．35★圆周角、圆心角5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒B6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（ ）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 C7．（平谷18期末6）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D40°C8．（昌平18期末4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC的大小为（）A．40°B．30°C．80°D．100°D9．（门头沟18期末3）如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75∠的度数是（）DCE∠=︒，那么BADA．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B10．（朝阳18期末6）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°B11．（石景山18期末3）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠的度数为（）∠25ACD，则BOD︒=A．︒120100B．︒C．︒150130D．︒C12．（西城18期末5）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD等于（）．A．34° B．46°C．56°D．66°C13．（丰台18期末7）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C ．140°D ．70°或110°D14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为 （ ） A ． B ． C ．D ．B15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（ ） A ．︒25 B ．︒30 C ．︒35 D ．︒40C16．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转n°得到 CD ，则∠ COD 等于（ ） A ．25° B ．25°+ n° C ．50°D ．50°+ n° 17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是 °13.120°18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________.19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是.①AB=AD ；②BC=CD ；③AB AD =；④∠BCA=∠DCA ； ⑤ BC CD =.40︒50︒80︒100︒20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .14.（2，0）；21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 1★垂径定理22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A B ．C ．D ．10B23．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（ ） A ．32B ．34C ．52D ．54B24．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（ ） A. 3B. 32C. 6D. 34 D25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（ ） A ．22分米 B ．23分米 C ．32分米 D ．33分米B26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC的外接圆．如果BC=,那么⊙O 的半径为________. 227．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 228．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．329．（东城18期末12）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D .若CD =1，AB =4,则⊙O 的半径是_______.12、5230．（燕山18期末11）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN =2.5，那么BC =_______5★正多边形31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M，则M的半径是（）A．B．2C D．C32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为.133．（通州18期末13）如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.34．（昌平18期末13）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则劣弧AB的长为．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为.36．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是 （结果不取近似值）．13=★弧长、扇形面积37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2πB38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°B39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（ ）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120B40．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ）A ．6πB ．πC ．3πD ．32πD41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 642．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______.10.2π343．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2．14. 36 π .44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________.12.60︒45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．10．4π46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4πB47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．11．2π48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.π2549．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分。

圆解答题(计算)1．（昌平18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：A BCD；（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．20．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD. …………………… 1分∴A BCD.…………………… 2分（2）解：连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4. …………………… 3分∵直径AB =10，∴CO =OB=5.在Rt△COE中223OE CO CE…………………… 4分BE.…………………… 5分∴22．（朝阳18期末18）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，∠ADB＝45°. 求⊙O半径的长.3．（东城18期末18）已知等腰△ABC内接于O, AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数.4．（密云18期末21）如图，AB是O的弦，O的半径OD AB垂AB，CD=1 ，求O的半径长.足为C.若2321.解： AB 是O 的弦，O 的半径OD AB 垂足为C ，23ABAC=BC=3…………………………………………………………………………..2分连接OA.设O 半径为r ，则222OAAC OC即222(3)(r 1)r………………………………………………..4分用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题.20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r.在Rt OCE中，∵222OE CE OC，∴22125r r.∴=13r. …４分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分6．（平谷18期末20）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．。

如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2 丰台如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3 海淀如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O e 的直径，过点B 作O e 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O e 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5 通州如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6 燕山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEODO 的长8 门头沟如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ， 交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9 大兴如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11 朝阳如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径CAE FOBD如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 的长 13 顺义已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径24. 如图，已知Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．15 石景山如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，点F 是»AD 的中点，连接OF 并延长交CD 于点E ，连接BD ，BF ． （1）求证：BD∥OE ； （2）若OE =3tan 4C =，求⊙O 的半径．EC1昌平 （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵»»BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE =80 ∴BD= 2丰台 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5∴BF =∴2BE BF == 在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4∵EH ∥AB ∴EH DH AB DB = ∴254DH DH =+，解得83DH =∴203BD BH HD =+=H3海淀（1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin45BH BC =⋅°3=，cos45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P==∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC =∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=o ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x ==，32AC x = ∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵32BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在Rt OBC △中，32BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠== 可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4怀柔(1)∵点A 、C 、D 为O e 的三等分点 ∴»»»AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O e 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O e 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解G H F APCBE OABCDF M O得BE=2m ，m②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2m ，③在Rt △OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OB E 周长为2m 5通州 （1）连接OC∵»»CB CB = ∴2BOC BAC ∠=∠∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G 6燕山 (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857房山）（1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan ∠BEO∴tan ∠AOC在Rt △AOC 中,设OC =r ,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EBr ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO =∴DO =3AA8门头沟（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC== ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD=在Rt △ADB 中，可得AB=∴ OB=在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE=9大兴 （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=Q 4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11朝阳12西城。