2019年中考数学真题分类汇编：知识点32 与圆的有关计算

（【解析】∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=O B，B C一、选择题1．2019·苏州）如图，AB为⊙O的切线．切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB=90°，∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°，∵OA=O D，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D．2.（2019·无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°AOP A BOBA【答案】B yF E-6O xO∴∠B=∠OAB=∠AOP=25°．故选B．3.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=，∠OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，∵线段DH是△R t CFD斜边上中线，∴DH=CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，△ABE的面积最小.在△R t ADH中，AH=OH+OA=13,∴AD=.∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，∴△AOE∽△ADH，∴，即，∴OE=，∴BE=OB-OE=.∵△S ABE BE·OA=AB·EG，=∴EG=.R t BGE中，∠EBG=450，在△∴BG=EG=，∴AG=AB-BG=.R t AEG中，在△tan∠BAD=.故选B.4.(2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为()A.23B.3C.4D.4-3【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝3OA,又∵在△R t AOB中,AO=AB2-OB2=43,∴OD＝23,故选A.5.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C＝40°则∠B的度数为50°.故选Ｂ．6.（2019·重庆A卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2=AC·AB；③若AB=4，∠APE=30°，则BM的长为④若AC=3，BD=1，则有CM=DM=3．3；【答案】①②④【解析】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∴ACBM =60π⨯2∴AC∵AB为直径，∴∠AMB=90=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．AM=AM AB．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴l2=π．选项③错误；1803∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM∽△MDB．CM=DM BD．∴CM·DM=3×1=3．∴CM=DM=3．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，O在△ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103，则△ABC的周长为__________.之比也是5∶12∶13，∵△O1O2O3的面积=10，∴O1O2=，O2O3=4，O1O3=，连接AO1与CO2，并延长相交共内心，四边形IEO2F四边形IDCG都是正方形，∴IE=IF==，ED=1，∴ID=IE+ED=，333设△ACB的三边分别为5m、12m、13m，则有ID=AC⨯BC=2m=，解得m=，△ABC的周长=30m=25.【答案】25【解析】如图，圆心O在△ABC内所能到达的区域是△O1O2O△3，∵O1O2O3三边向外扩大1得到△ACB，∴它的三边513333于I，过I作ID⊥AC于D，交O1O2于E，过I作IG⊥BC于G交O3O2于F，则I是△Rt ABC与△Rt O1O2O3的公O O⨯O O251223O O+O O+O O1223155AC+BC+AB363.（2019·济宁）如图，O为△R t ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝3，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．BDC O E A∴阴影的面积是S＝×π×()2＝π．211OA•OB【答案】6-334π【解析】在△R t ABC中，∵tan A=BC3=，∴∠A＝30°．AC3∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB．设⊙O的半径为r，在△R t ADO中，tan A=OD r=OA3-r33-3，解得r＝，26033-36－3336044.（2019·眉山）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为．【答案】23【解析】连接OQ，如图所示，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在△Rt AOB中，OA=OB=42，∴AB=2OA=8，∴S△AOB=∴PQ=OP2-OQ2=42-22=23．故答案为：23.OA•OB=AB•OP，即OP==4，22AB5.(2019·宁波)如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,点D在边BC上,CD＝5,BD＝13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的P与△ABC的一边相切时,AP的长为________.AD=;=,其中,PF＝6,AC＝12,AB＝AC2+BC2＝613,∴AP＝313;综上所述,AP的长为或313.【答案】132或313【解析】半径为6的P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:①当P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处取到,为5,故这种情况不存在;②当P与AC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE＝6,PE⊥AC,∴PE为△ACD的中位线,点P为AD中点,∴AP ＝11322③当P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF＝6,PF⊥AB,过点D作DG⊥AB于点△G∴APF∽△ADG∽△ABC,∴PF ACAP AB132三、解答题1．（2019·衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D，连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．B D B DC A CE AO O解：（1）证明：连接OB交AC于E，由∠BCA＝30°，∴∠AOB＝60°．在∆AOE中，∵∠OAC＝30°，∴∠OEA＝90°，所以OB⊥AC．∵BD∥AC，∴OB⊥BD．又B在圆上，∴BD为⊙O的切线；（2）由半径为8，所以OA=OB=8．在∆AOC中，∠OAC＝∠OCA＝30°，∠COA＝120°，∴AC＝83．由∠BCA＝∠OAC＝30°，∴OA∥BC，而BD∥AC，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BD＝83．∴∆OBD的面积为1132π×8×83＝323，扇形OAB的面积为×π×82＝，263∴阴影部分的面积为323－32π3．2．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．ADB EO C图6【解题过程】证明：（1）连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝△O C，∴AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA＝90°，∴∠ADO＝＝90°，∴OD⊥AB，∴BC＝8，∵∠BDO＝∠OCA＝90°，∠B＝∠，∴△B BDO∽△BCA，∴BD，∴=，∴AC＝6．2∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，AD＝ED，BC＝EC，∠ODE＝1∠ADC，∠OCE＝∠BCD∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．ADB EO C（2）∵CE＝6，∴OD＝OC＝3，∵∠BDO＝90°，∴BO2=BD2+OD2，∵BD＝4，∴OB＝42+32＝5，OD43=BC AC8AC3．（2019·武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C 两点（1）如图1，求证：AB＝4AD·BC（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积A D M A D F ME EO OB C N B C N图1图2【解题过程】证明：（1）如图1，连接OD，OC，OE．∵AD，BC，CD是⊙O的切线，122∴AD//BC，∴∠ODE＋∠OCE＝1（∠ADC＋∠BCD）＝90°，2∵∠ODE＋∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE．又∵∠OED＝∠CEO＝90°，∴△ODE∽△COE．∴ OE∴S 阴影 2△S OBC －S 扇形 OBE ＝3 3 －π．EC ，OE 2＝ED ·EC=ED OE∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图 2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

第31讲 与圆有关的计算1. (2010，河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8 m ，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是 36π m 2.第1题图【解析】 ∵AO ＝8，tan α＝AO BO ＝43，∴BO ＝6.所以圆锥的底面积是π·62＝36π(m 2)．2. (2013，河北)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则S 阴影为(D)第2题图A. πB. 2πC. 233D. 23π 【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝23，∴CE ＝DE ＝12CD ＝ 3.在Rt △ACE 中，∵∠C ＝30°，∴AE＝CE ·tan 30°＝1.在Rt △OED 中，∵∠DOE ＝2∠C ＝60°，∴OD ＝EDsin 60°＝2.∴OE ＝OA －AE ＝OD －AE ＝1.∴S 阴影＝S 扇形OAD －S △OED ＋S △ACE ＝60π×22360－12×1×3＋12×1×3＝23π.3. (2014，河北)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形，则S 扇形＝ 4 cm 2.第3题图【解析】 由题意，得弧长为8－2×2＝4(cm)，扇形的面积是12×4×2＝4(cm 2)．4. (2018，河北)如图①，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC ＝90°，而90°2＝45°是360°(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图②所示．第4题图图②中的图案外轮廓周长是 14 ；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 21 .【解析】 题图②中的图案外轮廓周长是6＋6＋2＝14.设∠BPC ＝2x ，则以∠BPC 为内角的正多边形的边数为360180－2x ＝18090－x ，以∠APB 为内角的正多边形的边数为360x .所以图案的外轮廓周长是18090－x －2＋360x －2＋360x －2＝18090－x ＋720x －6.根据题意，可知2x 的值只能为60，90，120，144.当x 越小时，周长越大．∴当x ＝30时，周长最大．把此时的图案定为会标，则会标的外轮廓周长是18090－30＋72030－6＝21.扇形的弧长与面积例1 (2018，唐山滦南县二模)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2.将Rt △AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，»AF和»DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是分别以点O，E为圆心，OA，ED的长为半径画(A)例1题图A. 8－πB. 5π4C. 3＋πD. π【解析】 如答图，过点D 作DH ⊥AE 于点H .∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13.由旋转的性质，可知OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13.∵∠OFE ＋∠FEO ＝∠OED ＋∠FEO ＝90°，∴∠OFE ＝∠OED .∴△DHE ≌△EOF .∴DH ＝OE ＝OB ＝2.∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形DEF ＝12×5×2＋12×2×3＋90π·32360－90π·（13）2360＝8－π.例1答图针对训练1 (2018，成都武侯区模拟)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上．现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径»AC 的长为(A)训练1题图A. 3π2B. πC. 2πD. 3π【解析】 ∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，∴∠AOC ＝90°. ∵OC ＝3，∴点A 经过的路径»AC 的长为90π·3180＝3π2.针对训练2 (2018，绍兴柯桥区模拟)如图，△ABC 为等边三角形，保持各边的长度不变，将BC 边向三角形外拉伸得到扇形ABC .设△ABC 的面积为S 1，扇形ABC 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系为(A)训练2题图A. S 1＜S 2B. S 1＝S 2C. S 1＞S 2D.无法确定【解析】 设△ABC 的边长是a ，高是h ，则a ＞h .∵S 1＝12ah ，S 2＝12·»BC ·a ＝12a 2，∴S 1＜S 2.圆锥的相关计算例2(2018，连云港模拟)如图，已知扇形AOB 的半径为6，圆心角的度数为120°.若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为(A)例2题图A. 4πB. 6πC. 9πD. 12π【解析】 由弧长公式，可知»AB ＝120π·6180＝4π.∴圆锥底面圆的周长为4π.设底面圆的半径为r ，∴4π＝2πr .∴r ＝2.∴圆锥的底面积为π·22＝4π.针对训练3 (2018，南京秦淮区模拟)已知圆锥的母线长为12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是(D)A. 24πB. 36πC. 70πD. 72π【解析】 圆锥的底面圆的周长为2π·6＝12π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π，则圆锥的侧面积为12·12π·12＝72π.针对训练4 (2018，银川兴庆区模拟)如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB ＝AC .以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥(AB 和AC 重合)．若∠ABC ＝30°，BC ＝23，则这个圆锥底面圆的半径是(A)训练4题图A. 23B. 32C. 2D. 3【解析】 如答图，连接OA .∵AB ＝AC ，OB ＝OC ＝12BC ＝3，∴AO ⊥BC .∵∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝120°，AO ＝33OB ＝1.∴AB ＝2OA ＝2.设这个圆锥底面圆的半径为r ，则 2πr ＝120·π·2180.解得r ＝23.训练4答图正多边形和圆例3 (2018，南阳镇平县模拟)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为(B)例3题图A. 2B. 23C. 3D. 4 3【解析】如答图，连接OB，OC.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°.∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBM＝60°.∴OM＝OB·sin∠OBM＝4×32＝2 3.例3答图针对训练5 如图，将正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 的长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．若AB ＝3，则所得扇形的面积为 18 .训练5题图【解析】 ∵六边形ABCDEF 是正六边形，AB ＝3，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ＝3.∴¼BDF的长为3×4＝12.∴S 扇形AFB ＝12×12×3＝18.针对训练6 (2018，石家庄新华区模拟)如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在一个半径为2的圆上，顶点C ，D 在圆内，将正方形ABCD 沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路径长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋26π ）.训练6题图【解析】 如答图，设圆心为O ，连接AO ，BO ，AC ，AE ，OF .∵AB ＝2，AO ＝BO ＝2，∴△AOB 是等边三角形．∴∠AOB ＝∠OAB ＝60°.同理△FAO 也是等边三角形，∠FAB ＝2∠OAB ＝120°.∴∠EAC ＝120°－90°＝30°，∠GFE ＝120°－90°＝30°.∵AD ＝AB ＝2，∴AC ＝（2）2＋（2）2＝2.当点C 第一次落在圆上时即点G 的位置，点C 运动的路径长为30π·2180＋30π·2180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋26π.训练6答图一、选择题»AB)，则»AB的展直长度为(B) 1. (2018，盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(第1题图A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π【解析】»AB 的展直长度为108π·10180＝6π.2. (2018，仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°【解析】 设母线长为R ，底面圆的半径为r ，∴底面圆的周长为2πr ，底面积为πr 2，侧面面积为πrR .∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2＝πrR .∴R ＝2r .设圆心角为n ，则n πR180＝2πr ＝πR .解得n ＝180°.3. (2018，宁夏)用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥底面圆的半径是(A)A. 10B. 20C. 10πD. 20π【解析】 设这个圆锥底面圆的半径是r .依题意，得2πr ＝120π·30180.解得r ＝10.故这个圆锥底面圆的半径是10.4. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，以点D 为圆心，BD 长为半径画弧交AC 于点E .若∠A ＝60°，∠B ＝100°，BC ＝4，则扇形BDE 的面积为(C)第4题图A. π3B. 2π3C. 4π9D. 5π9【解析】 ∵∠A ＝60°，∠B ＝100°，∴∠C ＝180°－60°－100°＝20°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠C ＝20°.∴∠BDE ＝∠C ＋∠DEC ＝40°.∴S 扇形BDE ＝40π·22360＝4π9.5. (2018，黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则»BD的长为(D)第5题图A. 2π3B. 4π3C. 2πD. 8π3【解析】 如答图，连接OD .∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝60°.∴∠BOD ＝120°.∴»BD的长为120π·4180＝8π3.第5题答图6. (2018，石家庄裕华区一模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是(C)第6题图A. 5∶2B. 3∶2C. 3∶1D. 2∶1【解析】 正六边形的面积为6×34·(2a )2＝63a 2，阴影部分的面积为2·a ·3a ＝23a 2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是63a 2∶23a 2＝3∶1.7. (2018，广安，导学号5892921)如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上．若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分的面积为(C)第7题图A. 2π3－2 3B. 2π3－ 3C. 4π3－2 3D. 4π3－ 3【解析】 如答图，连接OB ，AC ，且它们相交于点D .∵⊙O 的半径是2，∴OB ＝OA ＝OC ＝2.∵四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD ＝12OB ＝1.在Rt △COD 中，利用勾股定理，可知CD ＝22－12＝ 3.∴AC ＝2CD ＝2 3.∵sin ∠COD ＝CD OC ＝32，∴∠COD ＝60°.∴∠AOC ＝2∠COD ＝120°.∴S 菱形ABCO ＝12·OB ·AC ＝12×2×23＝23，S 扇形AOC ＝120π·22360＝4π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S 菱形ABCO ＝4π3－2 3.第7题答图8. (2018，衢州)如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面圆的直径．已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为(C)第8题图A. 34B. 35C. 45D. 53【解析】 设圆锥的母线长为R .由题意，得15π＝π·3·R .解得R ＝5.∴圆锥的高AO 为4.∴sin ∠ABC ＝AO AB ＝45.9. (2018，成都)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C)第9题图A. πB. 2πC. 3πD. 6π【解析】 ∵在▱ABCD 中，∠B ＝60°，∴∠C ＝120°.∴S 阴影＝120π·32360＝3π.10. (2018，绵阳)如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成．若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m 2，圆柱高为3 m ，圆锥高为2 m 的蒙古包，则需要毛毡的面积为(A)第10题图A. (30＋529)π m 2B. 40π m 2C. (30＋521)π m 2D. 55π m2【解析】 设底面圆的半径为r .根据题意，得πr 2＝25π.解得r ＝5.∴圆锥的母线长为22＋52＝29.∴圆锥的侧面积为12×2π·5×29＝529π，圆柱的侧面积为2π·5×3＝30π.∴需要毛毡的面积为(30＋529)π m 2.11. (2018，十堰)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝100°，OA ＝12，C 是OB 的中点，CD ⊥OB交»AB 于点D ，以OC 为半径的»CE 交OA 于点E ，则图中阴影部分的面积是(C)第11题图A. 12π＋18 3B. 12π＋36 3C. 6π＋18 3D. 6π＋36 3【解析】 如答图，连接OD ，BD .∵C 为OB 的中点，∴OC ＝12OB ＝12OD .∵CD ⊥OB ，∴∠CDO＝30°，∠DOC ＝60°.∴△BDO 为等边三角形．∵OD ＝OA ＝12，OC ＝CB ＝6.∴CD ＝6 3.∴S 扇形BOD ＝60π·122360＝24π.∴S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COE －(S 扇形BOD －S △COD )＝100π·122360－100π·62360－⎝ ⎛⎭⎪⎫24π－12×6×63＝6π＋18 3.第11题答图12. (2018，邯郸二模)正六边形ABCDEF 与正三角形ACG 按如图所示的位置摆放，在六边形AGCDEF 中，S 阴影S 空白的值是(D)第12题图A. 25B. 15C. 16D. 17【解析】 如答图，连接DF ，过点G 作GM ⊥AC 于点M . 设AC ＝2a .∵六边形ABCDEF 是正六边形，△ACG 是正三角形，∴∠ABC ＝（6－2）×180°6＝120°，AB ＝BC ，AG ＝CG ＝AC ＝2a .∴GM 过点B .∴AM ＝ CM ＝a ，∠BAC ＝∠BCA ＝30°.∴BM ＝33a .∴AB ＝2BM ＝233a .∴AF ＝AB ＝233a .在Rt △GMA 中，由勾股定理，得GM ＝（2a ）2－a 2＝3a .∴正六边形ABCDEF 的面积为2×12·2a ·33a ＋2a ·233a ＝23a 2，正三角形ACG 的面积为12·AC ·GM ＝12·2a ·3a ＝3a 2，阴影部分的面积为12·AC ·BM ＝12·2a ·33a ＝33a 2.∴S 阴影S 空白＝33a 223a 2＋3a 2－233a2＝17.第12题答图二、 填空题13. (2018，贵阳)如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，点O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是 72° .第13题图【解析】 如答图，连接OA ，OB ，OC ，则∠AOB ＝360°5＝72°.∵∠AOB ＝∠BOC ，OA ＝OB＝OC ，∴∠OAB ＝∠OBC .在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，AM ＝BN ，∴△AOM ≌△BON .∴∠AOM ＝∠BON .∴∠MON ＝∠AOB ＝72°.第13题答图14. (2018，株洲，导学号5892921)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是 48°.第14题图【解析】 如答图，连接OA .∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AOB ＝360°5＝72°. ∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM ＝360°3＝120°.∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝48°.第14题答图三、 解答题 15. (2018，湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC .(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求»AC 的长．第15题图【思路分析】 (1)根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．(2)根据弧长公式解答即可．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.∴AE＝ED.(2)解：∵OC⊥AD，∴»AC＝»CD.∴∠ABC＝∠CBD＝36°.∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°.∴»AC＝72π·5180＝2π.16. (2018，石家庄桥西区一模)如图，在矩形ABCD中，点F在BC边上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.(1)求证：DE＝AB；(2)以点A为圆心，AB的长为半径作弧交AF于点G.若AD＝43，tan∠ADE＝3，求阴影部分的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据矩形的性质得出∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，求出∠DAE ＝∠AFB ，∠AED ＝90°，根据AAS 推出△ABF ≌△DEA 即可．(2)根据tan ∠ADE ＝3，可得∠ADE ＝60°，解Rt △ADE ，求出AE ＝6，DE ＝23，根据全等三角形的性质得到AB ＝DE ＝23，BF ＝EA ＝6，∠BAF ＝∠EDA ＝60°，再根据S 阴影＝S △ABF －S 扇形ABG 求出即可．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，AD ∥BC . ∴∠DAE ＝∠AFB . ∵DE ⊥AF ， ∴∠AED ＝90°.在△ABF 和△DEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DAE ，∠FBA ＝∠AED ，AF ＝DA ，∴△ABF ≌△DEA (AAS)．∴DE ＝AB .(2)解：∵tan ∠ADE ＝3， ∴∠ADE ＝60°.∵AD ＝43，∠AED ＝90°， ∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝43×32＝6， DE ＝2 3.由(1)知，△ABF ≌△DEA . ∴AB ＝DE ＝23，BF ＝EA ＝6， ∠BAF ＝∠EDA ＝60°.∴S 阴影＝S △ABF －S 扇形ABG ＝12×23×6－60π·（23）2360＝63－2π.1. (2018，荆州)如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位： cm)，则钢球的半径为（ 6013）cm.(圆锥的壁厚忽略不计)第1题图【解析】钢球的直径为1212＋14×20＝12013(cm)，所以钢球的半径为12013÷2＝6013(cm)．2. (2018，荆门)如图，在▱ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为（4π3－ 3 ）.第2题图【解析】 如答图，连接OE ，AE .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝4，∠B ＝∠D ＝30°.∴AE ＝12AB ＝2，BE ＝42－22＝2 3.∵OA ＝OB ＝OE ，∴∠B ＝∠OEB ＝30°.∴∠BOE ＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBE －S △BOE ＝120π·22360－12×12AE ·BE ＝43π－14×2×23＝4π3－ 3.第2题答图3. (2018，玉林，导学号5892921)如图，正六边形ABCDEF 的边长是6＋43，点O 1，O 2分别是△ABF ，△CDE 的内心，则O 1O 2第3题图【解析】 如答图，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，连接O 1F ，O 1A ，O 1B .∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠FAB ＝（6－2）×180°6＝120°，AF ＝AB .∴∠AFB ＝∠ABF ＝12×(180°－120°)＝30°.∴AM ＝12AF ＝12×(6＋43)＝3＋2 3.∴FM ＝BM ＝3AM ＝33＋6.∴BF ＝2FM ＝12＋6 3.设△AFB 的内切圆的半径为r .∵S △AFB ＝S △AO 1F ＋S △AO 1B ＋S △BFO 1，∴12×(3＋23)×(63＋12)＝12×(6＋43)·r ＋12×(6＋43)·r ＋12×(12＋63)·r .解得r ＝3，即O 1M ＝r ＝3.∴O 1O 2＝2×3＋6＋43＝12＋4 3.第3题答图。

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】一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ． 12．（2019·烟台）如图，AB 是O 的直径，直线DE 与O 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则AC 的长为（ ）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，ODEBA所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒， 因为直线DE 与O 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒， 所以AC=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B.. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP，∴PF AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛） 如圈， 结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D.若AC = BD = 4,∠A =45°， 则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，CD =904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误. 7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（）A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C【解析】作AB 的垂直平分线，交圆与点C ，D ，设圆心为O ，CD 与AB 交于点E ，∵OA ，∴AE=2，∴2sin 2OE AOE OA OA ∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠ASB=45°， 故选：C ．1.（2019·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A 和∠BCD 都是弧BD 所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B ．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝，∴CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.8.9.10.11.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ． 12．（2019·烟台）如图，AB 是O 的直径，直线DE 与O 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则AC 的长为（ ）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，ODEBA所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒， 因为直线DE 与O 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒， 所以AC的长为601803π⨯⨯=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B.. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP，∴PF AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛） 如圈， 结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC = BD = 4,∠A =45°， 则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，CD=904180π⨯=2π，故选B.16．（2019·娄底）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴112122AD AB==⨯=．17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝12BC＝33，∴BC＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

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】一、选择题9．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．6．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．6.（2019·遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图 【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC 6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD＝AD ＝12AC ＝4,∴BD 22213CD ,故选C.7．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 8．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2， 所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.πD.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD ＝－2π＝2π,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【 】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋＝90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆） 如图，C 的路径为MN ,E 的路径为PQ 设⊙O 的半径为1，则⊙D ，∴MN PQ ＝42136022360tt ππ⨯⨯⨯1. (2019·泰安)如图,将O 沿弦AB 折叠,AB 恰好经过圆心O,若O 的半径为3,则AB 的长为A.12π B.πC.2πD.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点E,由题可知OD ＝DE ＝12OE ＝12OA,在Rt △AOD 中,sinA ＝OD OA ＝12,∴∠A ＝30°,∴∠AOD ＝60°,∠AOB ＝120°,AB ＝180n rπ＝2π,故选C.4t 2t t165432QP EDAOBC M N2. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD 中,以点B 为圆心,AB 为半径画弧,交对角线BD 与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C.3. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D 【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）A .45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，过圆心O 点作OE ⊥BC 于E ， 在Rt △OEC 中，∠COE =45°， ∴sin ∠COE =CEOC =√22, 设CE =k ，则OC =√2CE =√2k ，∵OE ⊥BC ，∴CE =BE =k ，即BC =2k .∴S 正方形ABCD =BC 2=4k 2，⊙O 的面积为πr 2=π×(k )2=2πk 2. ∴S 正方形ABCDS ⊙O=4k 22πk 2=2π≈23.6.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2 【答案】B ．【解析】∵r ＝5，l ＝13，∴S 锥侧＝πrl ＝π×5×13＝65π（cm 2）．故选B ．7. （2019·湖州）如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接BD ，则∠ABD 的度数是（ ）A ．60°B ．70°C ．72°D ．144°【答案】C ．【解析】∵正五边形ABCDE 内接于⊙O ，∴∠ABC ＝∠C ＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB ＝CD ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°． 故选C ．8. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2B.C.32D.【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2R．故选D ．9.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cmD.5cmB A【答案】B【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.10. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

9．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．6．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．6.（2019·遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图 【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD ＝12AC ＝4,∴BD =故选C. 7．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 8．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.π-D.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD＝－2π2π,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【 】A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m，∠5＝∠6＝n，得m＋n＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m＋＝90°＋45°＝135°∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆）如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯1. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA ＝ODOA＝12,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.2. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π4t2tt165432QPEDA OBCMN【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 3. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B 【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形⊙==≈.6.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．7. （2019·湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°【答案】C．【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝∠C＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB＝CD．第7题图∴∠CBD ＝∠CDB ＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°． 故选C ．8. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2B.C.32D.【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2RD ．9.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【答案】B【解析】AE ＝124AB π⋅⋅,右侧圆的周长为DE π⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124AB π⋅⋅＝DE π⋅,AB ＝2DE,即AE ＝2ED,∵AE+ED ＝AD ＝6,∴AB ＝4,故选B.10. （2019·衢州） 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

2019中考数学试题及答案分类汇编：圆、选择题1. （天津3分）已知O O i 与O 。

2的半径分别为3 cm 和4 cm ，若OQ 2=7 cm ，则O O 1与O O 2的位置关系是（A ） 相交 （B ） 相离 （C ） 内切 （D ） 外切 【答案】Db【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和 3+4=7，等于两圆圆心距 OQ 2= 7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是 2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两 圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半 径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

•••两圆的直径分别是 2厘米与4厘米，•••两圆的半径分别是 •••圆心距是1+2=3厘米，•这两个圆的位置关系是外切。

故选3, （内蒙古包头3分）已知AB 是OO 的直径，点P 是AB 延长线上的 动点，过P 作OO 的切线，切点为 C,Z APC 的平分线交AC 于点D, / CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 50°【答案】【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。

【分析】连接OC•/ OC=O , , PD 平分/ APC •••/ CPD M DPA / CAP d ACO •/ PC 为OO 的切线，• OCLPG•••/ CPD # DPA f CAP +/ ACO=90，•/ DPA f CAP =45，即/ CDP=45。

故选 G1厘米与2厘米。

B 。

4. （内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中, DC/ ABBC=1, AB=AC=AD=2 贝U BD 的长为A. 14B. .15C. 3 2D. 2.3【答案】Bo【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

2019全国中考数学真题知识点34与圆有关的位置关系（解析版）一、选择题9．（2019·福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°【答案】B【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝110°，∴∠APB ＝360° －110°－90°－90°＝70°．【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；11. （2019·泸州）如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（ ）A ．3√1010B ．3√105C ．3√55D ．6√55【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，∵等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，OD ⊥AB ，BE ＝BD ，PP (第9题)∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝3，在Rt △ABE 中，AE =√52−32=4，∵BD ＝BE ＝3，∴AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ，在Rt △AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r =32，在Rt △BOE 中，OB =√32+(32)2=3√52，∵BE ＝BD ，OE ＝OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH ＝EH ，OB ⊥DE ，∵12HE •OB =12OE •BE ，∴HE =OE⋅BE OB =3×32362=3√55，∴DE ＝2EH =6√55．故选：D ．5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．54 °B ．36°C ．32 °D ．27°（第5题）【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB =27°，故选D ．1. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ）A.20°B.25°C.40°D.50°OA B【答案】B【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A .817 B. 717 C.49 D.59【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OEAO =DHAD ，即OE8=512，∴OE =103，∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG=BE·OAAB =143×88√2=7√23.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=7√23，∴AG=AB-BG=17√23.在Rt△AEG中，tan∠BAD=EGAG =717.故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B 的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．5. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM．A【答案】①②④【解析】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，若O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB=O 的半径为2，点P 是AB边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB =12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB•=4，∴PQ= ．故答案为：5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论: ①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在; ②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ,∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或6.7.8.9.10.三、解答题23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°．在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ．∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线；（2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π，∴阴影部分的面积为323π． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E.(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE 与⊙O 相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD ，则OA=OD ，∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD 平分∠BAC ，∴∠FAD=∠BAD.∴∠FAD=∠ODA ，∴OD ∥AF.又∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴直线DE 与⊙O 相切.（2）连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，∴3223430cos =⨯=︒⋅=AB AD ， ∴3213230sin =⨯=︒⋅=AB DE ， ∴13360tan ==︒=DE EF .22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．图6CB（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图1 图2【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE =，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

2019 年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1.（2019 年ft东省滨州市）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2.（2019 年ft东省德州市）如图，点O 为线段BC 的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC 的度数是（）A. 130 ∘B. 140 ∘C. 150 ∘D. 160 ∘【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3.（2019 年ft东省菏泽市）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD，AD 分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A 成立；∴AD⊥OC，选项B 成立；∴AF＝FD，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立；故选：C．4.（2019 年四川省资阳市）如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．2 3 ⏜ ⏜5. （2019 年广西贵港市）如图，AD 是⊙O 的直径，AB =CD ，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是（）A. 40 ∘B. 50 ∘C. 60 ∘D. 70 ∘【考点】圆周角定理【解答】解：∵=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC= ∠BOC=50°， 故选：B ．6. （2019 年湖北省十堰市） 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交 CB 的延长线于点 E ，若 BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝ 13，则AE ＝（ ） A ．3B ．3C ．4D ．2【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接 AC ，如图，∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA ，∴AC ＝AD ＝5，∵AE ⊥CB ，3∴∠AEC＝90°，= 52‒ ( 13)2＝2 3．∴AE＝故选：D．7.（2019 年陕西省）如图，AB 是⊙O 的直径，EF、EB 是⊙O 的弦，且EF＝EB，EF 与AB 交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】圆内有关性质【解答】连接FB，得到FOB＝140°；∴∠FEB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°8.（2019 年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（）A.6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【考点】垂径定理的应用【解答】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C 三点共线,AC2 ‒C E2∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO 中，∵AO2=AD2+OD2，,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.9.（2019 年甘肃省天水市）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D＝80°，1 1∴∠ACB＝2∠DCB＝2（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10.（2019 年甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【考点】圆周角定理【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．11.（2019 年湖北省襄阳市）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分OB 【考点】圆内有关性质【解答】解：∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD 中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP 中，AP＝OP，所以A 选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C 选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP 为△ACD 的中位线，∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC 平分OB，所以D 选项的结论正确．故选：A．12.（2019 年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．13.（2019 年甘肃省武威市）如图，点A，B，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【考点】圆周角定理【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB 的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．14.（2019 年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB 于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．4﹣πC．D．2【考点】圆周角定理【解答】解：连接CD，∵BC 是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，∴△ACB 是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×2 2 ＝2，故选：D．15.（2019 年内蒙古赤峰市）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，点D 是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆内有关性质【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．16.（2019 年西藏）如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于D，点E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB 等于（）A.1B．C．2 D．2【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理【解答】解：∵半径OC⊥弦AB 于点D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB 是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，则半径OB 等于：＝．故选：B．17.（2019 年海南省）如图，直线l1∥l2，点A 在直线l1 上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C 两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【考点】圆内有关性质【解答】解：∵点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2 于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．二、填空题1.（2019 年ft东省德州市）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为⏜⏜E，= ，CE=1，AB=6，则弦AF 的长度为．【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理【解答】解：连接OA、OB，OB 交AF 于G，如图，∵AB⊥CD，1∴AE=BE=2AB=3，设⊙O 的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE 中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵= ，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG 中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG 中，AG2+（5-OG）2=62，②24解由①②组成的方程组得到AG= 5 ，48 48∴AF=2AG= 5 ．故答案为 5 ．⏜2.（2019 年湖北省随州市）如图，点A，B，C 在⊙O 上，点C 在优弧AB上，若∠OBA=50°，则∠C 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．3.（2019 年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC，点D 在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．4.（2019 年江苏省泰州市）如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP＝3,过点A 作AP 的垂线交于⊙O 点B、C.设PB=x,PC=y,则y 与x 的函数表达式为．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质【解答】如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点N，连接 BN，∵PN 是直径，∴∠PBN=90°.∵AP⊥BC,∴∠PAC =90°，∴∠PBN=∠PAC，又∵∠PNB=∠PCA，∴△PBN∽△PAC，PB PN∴ PA = PC ,x 10∴ 3 = y30∴y= x .30故答案为：y= x .三、解答题1.（2019 年上海市）已知：如图，AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E，联结CD 并延长交⊙O 于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC 是菱形．【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，∵AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，∴A 在BC 的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O 在BC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分BC，C D E F O ∴BD ＝CD ；（2）如图 2，连接 OB ，∵AB 2＝AO •AD ，=∴AOAB ， ∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形 ABDC 是菱形．2. （2019 年江苏省苏州市）如图，AE 为 O 的直径，D 是弧 BC 的中点 BC 与 AD ，OD 分别交于点 E ，F .（1） 求证： DO ∥AC ；（2） 求证： DE ⋅ DA = DC 2 ;（3） 若 tan ∠CAD = 1,求sin ∠CDA 的值. 2A B【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数【解答】（1）证明：∵D 为弧 BC 的中点，OD 为 O 的半径∴ OD ⊥BC又∵AB 为 O 的直径∴ ∠ACB = 90︒∴ AC ∥OD（2） 证明：∵D 为弧 BC 的中点∴ CD = B D ∴ ∠DCB = ∠DAC∴ ∆DCE ∽∆DAC∴ DC = DE DA DC即 DE ⋅ DA = DC 2（3） 解：∵ ∆DCE ∽∆DAC ， tan ∠CAD = 12∴ CD = DE = CE = 1 DA DC AC 2设 CD = 2a ，则 DE = a ， DA = 4a又∵ AC ∥OD∴ ∆AEC ∽DEF∴ CE = AE = 3 EF DE所以 BC = 8 CE3又 AC = 2CE∴ AB = 10 CE3即sin ∠CDA = sin ∠CBA = CA = 3AB 53. （2019 年河南省）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 交AC 于点 D ，点 E 是上不与点 B ，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F ，连接 BE 并延长交 AC 于点 G ．（1） 求证：△ADF ≌△BDG ；（2） 填空： ①若 AB ＝4，且点 E 是的中点，则 DF 的长为 ； ②取的中点 H ，当∠EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形．2【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值【解答】解：（1）证明：如图 1，∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝45°∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，∴∠DAF +∠BGD ＝∠DBG +∠BGD ＝90°∴∠DAF ＝∠DBG∵∠ABD +∠BAC ＝90°∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°∴AD ＝BD∴△ADF ≌△BDG （ASA ）；（2）①如图 2，过 F 作 FH ⊥AB 于 H ，∵点 E 是的中点，∴∠BAE ＝∠DAE∵FD ⊥AD ，FH ⊥AB∴FH ＝FD∵＝sin ∠ABD ＝sin45°＝ ，∴ ，即 BF ＝ FD ∵AB ＝4，∴BD ＝4cos45°＝2，即 BF +FD ＝2 ，（ +1）FD ＝2 ∴FD ＝＝4﹣ 故答案为 ．②连接 OE ，EH ，∵点 H 是的中点， ∴OH ⊥AE ，∵∠AEB＝90°∴BE⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形，∴BE＝OH＝OB＝AB∴sin∠EAB＝＝∴∠EAB＝30°．故答案为：30°4.(2019 年浙江省温州市)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，且CA＝CE，过A，C，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F，作直径AD，连结DE 并延长交AB 于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB 时，求⊙O 的直径长．【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF 是⊙O 的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG 是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF 中，AF＝10，AC＝6，∴CF＝＝3 ，即⊙O 的直径长为3 ．5.（2019 年湖北省宜昌市）已知：在矩形ABCD 中，E，F 分别是边AB，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H，以EF 为直径作半圆O．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当＝时，tan∠AEF 的值是；（2）如图1，在△EFH 中，当FE＝FH 时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM＝FE，连接EM 交DC 于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF 的值．【考点】圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数【解答】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O 为EF 中点，∴AO＝EF，∴点A 在⊙O 上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF 交HD 的延长线于点G，∵F 分别是边AD 上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M 作MQ⊥AD 于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM 为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．AC＝2 ，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质【解答】解：（1）连接OA、OC，过O 作OH⊥AC 于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O 的半径为2．（2）证明：在BM 上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM 是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。