管理运筹学引子

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。

决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124m a xx x x Z ++= s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

`第一章 线性规划与单纯形法(liner program and simplex algorithm)第一节 线性规划问题及其数学模型1. 问题的提出线性规划问题有两大类型，各举例如下：例1．某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ和Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，如下表所示，该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排计划使该厂获利最多？解：对这样的问题用数学的语言来描述，就称为建立数学模型，简称建模。

数学模型指用数学方法(字母、符号、数字等)对研究对象的数量关系所进行的定量描述。

该问题是要求如何安排生产方案，即生产多少Ⅰ和Ⅱ两种产品，才能使所获得的利润最大，为此，设Ⅰ和Ⅱ两种产品的产量分别为x 1和x 2，x 1和x 2称为决策变量，显然，x 1和x 2的产量越大，所获得利润也越大，但x 1和x 2的产量要受到材料设备等资源的约束。

如对于设备资源，生产Ⅰ和Ⅱ两种产品消耗的总台时数为x 1＋2 x 2不能超过设备的有效台时数，即必须要满足下列条件：8221≤+x x同样地，对于原材料A 、B ，也需满足下列条件：12416421≤≤x x由于x 1和x 2是产品的产量，所以，x 1和x 2的取值自然限制在：0,021≥≥x x在满足上述各个条件后，再考虑如何使得总利润2132x x z +=最大(总利润为产品Ⅰ和Ⅱ的利润之和)，即2132m ax x x z +=，这里，max 表示要求最大值。

所以，该生产计划问题的数学模型可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=012416482..32max 21212121x x x x x x t s x x z 、 用数学语言描述，就是求一组21x x 、的值，使之在满足下列约束条件条件下：12416482212121≥≤≤≤+x x x x x x 、使目标函数2132x x z +=的值尽量大。

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。

线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,86238321321321x x x x x x x x x解：标准化 32124max x x x Z ++=s .t . ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++0,,,,862385432153214321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

表1—15 某极大化问题的单纯形表7．用大M 法求解如下线性规划。

s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++0,,101632182321321321321x x x x x x x x x x x x解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：s .t . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+++=+++=+++)6,,2,1(0101632182632153214321 i x x x x x x x x x x x x x i列出单纯形表x为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：解：设ijs .t . ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤+≥+=+≤+≥+=++=++3,2,1;2,1,035027025032029045040023132313221221112111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x ij10s .t . ⎪⎪⎪⎪⎩⎨=≥≤≤≤4,3,2,1,0,,101520)3()2()1()1(4)1(3)1(2i x x x x x x i i i 通过LINGO 软件计算得：44,12,0,20,10)2(1)2(1)1(3)1(2)1(1=====x x x x x ． 10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。

《管理运筹学》第四版课后习题答案第2章线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC。

（2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B点，最优解1x=127，2157x=；最优目标函数值697。

图2-12．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6xx=⎧⎨=⎩，函数值为3.6。

图2-2（2）无可行解。

（3）无界解。

（4）无可行解。

（5）无穷多解。

（6）有唯一解1220383xx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。

3．解：（1）标准形式12123max32000f x x s s s=++++1211221231212392303213229,,,,0x x sx x sx x sx x s s s++=++=++=≥（2）标准形式1212min4600f x x s s=+++12112212121236210764,,,0x x sx x sx xx x s s--=++=-=≥（3）标准形式12212min2200f x x x s s''''=-+++1221122122212212355702555032230,,,,0x x x sx x xx x x sx x x s s'''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解：标准形式1212max10500z x x s s=+++1211221212349528,,,0x x sx x sx x s s++=++=≥松弛变量（0，0）最优解为1x=1，x2=3/2。

5．解：标准形式12123min118000f x x s s s=++++121122123121231022033184936,,,,0x x sx x sx x sx x s s s+-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13）最优解为x1=1，x2=5。

课程论文（2010—2011学年第一学期）题目：北京印染公司应如何合理使用技术培训费课程名称《管理运筹学》任课教师学生姓名学号系别经济管理系专业班级级公共事业管理2班成绩评定摘要通过对北方印染公司技术培训费合理使用和调配，使之适应现代科学技术的发展，提高工人的技术水平。

这样掌握了分析案例并建立数学模型，进行数据分析，提出问题和解决的方案，从而使公司的必要投入换取最大的经济效益。

引言本学科保证高等学校管理科学与工程类本科专业人才的培养，对一些管理问题进行深入研究，要求学习《管理运筹学》进一步掌握了解相关知识，更好的研究案例等实际问题。

1 选择的案例我选择的的是第四章的案例3：北方印染公司应如何合理使用技术培训费1.1北方印染公司概况为适应现代科学技术的发展，提高工人的技术水平，必须下工夫搞好职工技术培训，拨出专款进行智力投资，通过提高技术工人的水平，提高产品的质量，能获取长期的经济效益。

但是，智力投资的目的是以最小的必要投入换取最大的经济效益，因此要对可利用的有限资金进行合理的分配和利用，这就需要对智利投资的资金进行规划。

1.2 相关公司生产概况北方印染公司需要的技工分为初级、中级、高级三个层次。

统计资料显示：培养出来的每个初级工每年可为公司增加产值1万元，每个中级工每年可为公司增加产值4万元，每个高级工每年可为公司增加产值5.5万元。

公司计划在今后三年拨出150万元作为职工的培训费，第一年投资55万元，第二年投资45万元，第三年投资50万元。

通过公司过去培养初级工、中级工、高级工的经历并经过咨询，预计培养一名初级工，在高中毕业后需要一年，费用为1000元；培养一名中级工，高中毕业后需要三年的时间，第一年和第二年的费用为3000元，第三年的费用为1000元；培养一名高级工，高中毕业后也需要三年的时间，其中第一年的费用为3000元，第二年的费用为2000元，第三年的费用为4000元。

目前公司共有初级工226人，中级工560人，高级工496人。