云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测理科数学试题(三) Word版含解析

曲靖市2023-2024学年高三年级第一次教学质量监测数学参考答案一、选择题题号12345678答案DCDCBABC二、选择题题号9101112答案ACBCABCACD三、填空题题号13141516答案()31，⎪⎭⎫ ⎝⎛81131，7550（2分）,650（3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.特别说明：所标示的得分点，仅仅作为评分参考，具体阅卷需要请阅卷题组长组织讨论制定相对科学合理又方便于评分操作的评分细则.17.解：（1）b C a c 2cos 2-= ，由正弦定理得：()C A C A B C A C +-=-=sin 2cos sin 2sin 2cos sin 2sin ,C A C sin cos 2sin -=∴,0sin ≠C ，故21cos -=A .又()π，0∈A ，32π=∴A .…………………………………5分（2）由题意知，31===CD BD AD ，.0cos cos ,=∠+∠∴=∠+∠ADB ADC ADB ADC π ，故在ADC ∆和ADB ∆中，由余弦定理得：，02261022=-+-c b 即16322=+c b ，①在ABC ∆中，由余弦定理得：1622=++bc c b .②联立①②，解得774=c ，即774=AB .……………………………10分18.解：（1）n a S n n -=2 ，()()21211≥--=∴--n n a S n n ，两式相减，得121+=-n n a a ，故()()21211≥+=+-n a a n n .又当1=n 时，1211-=a a ，故11=a ，∴数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故n n n a 22211=⨯=+-，所以12-=nn a .…………………………………6分（2）()()121121*********---=--=+=+++n n n n nn n n n a a a b ，121112112171313111121--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=∴++n n nn n b b b T .由2024202312111>--+n ，得202411211<-+n ，2024121>-∴+n ，解得10≥n ，故n 的最小值是10.…………………………………12分19.解：（1）221==n p ，，即采用3局2胜制，故X 的所有可能取值为2,3，()212121222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()21212121213212212=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C C X P ，X ∴的分布列为：X 23P2121X ∴的数学期望()25213212=⨯+⨯=X E .…………………………………6分（2）当采用3局2胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为ξ，则甲最终获胜的概率：()()()()p p p p p C p P P P 2313221222-=⋅-⋅⋅+==+==ξξ.当采用5局3胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为η，则甲最终获胜的概率：()()()()()().101561154323222422333+-=⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅+==+=+==p p p p p p C p p p C p P P P P ηηη23P P > ，即()()p p p p p 2310156223->+-,0145223>-+-∴p p p ，即()()01212>-⋅-p p 121<<∴p .…………………………………12分20.解：（1）证明：由题意可知，BCE ∆为等边三角形，在图2中，取BE 的中点为F ，连接AF F C ，1，则BE F C ⊥1，且31=F C .在图1中，取BE 的中点为F ，则2160===∠AB BF ABF ，，，由余弦定理得，3=AF ，21212AC F C AF =+∴，故AF F C ⊥1，又F BE AF = ，ABED F C 平面⊥∴1，又E BC F C 11平面⊂，ABED E BC 平面平面⊥∴1.…………………………………5分（2）满足题设条件的点P 存在.如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()().32323023230100230030001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛，，，，，，，，，，，，，，，，，C F E B AD 由（1）知，平面EB C 1的一个法向量为()031321，，-==AF n ，设()101≤≤=λλDC DP ，则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+=λλλλλ3232233323230231，，，，，，DC BD BP ，又()013，，--=BE ，设平面PEB 的一个法向量为()z y x n ，，=2，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022BE n BP n ，得()132--=λλλ，，n .由二面角1C EB P --的大小为45，得()22142322=-+--λλλλ，解得[]1031，∈=λ，所以在棱1DC 上存在点P ，使得二面角1C EB P --的大小为45，此时36311==DC DP .…………………………………12分21.解：（1）设()()2211y x B y x A ，，，，则⎪⎩⎪⎨⎧==22212122py x py x ，()()()2121212y y p x x x x -=-+∴，故p x x x x y y 2212121+=--，由题意，得124=p，所以2=p ，所以抛物线E 的方程为y x 42=.…………………………………4分（2）由（1）知，()10，F ，易知直线2l 的斜率必存在，设直线2l 的方程为1+=kx y ，()().4433y x N y x M ，，，由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，得0442=--kx x ，440161643432-==+>+=∆∴x x k x x k ，，.且()22243214161611k k k x x kMN +=+⋅+=-+=.由42x y =，得2x y ='，所以切线PM 的方程为：()3332x x x y y -=-，即()422333x x x x y +-=，①同理，切线PN 的方程为：()422444x x x x y +-=，②联立①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===+=14224343x x y k x x x ，()12-∴，k P ，∴点P 到直线2l 的距离22212122k k k d +=++=，()()41412142123222≥+=+⋅+⋅=∴∆k k k S PMN，当且仅当0=k 时取等号，综上，PMN ∆的面积存在最小值4，此时直线2l 的方程为1=y .…………………12分22.解：（1）()()14141+='∴+='a f ax x x f ， ，由题意可知，()2141211-=+-='a f ，即，83-=∴a .…………………………………3分（2）()x f 的定义域为()∞+，0，且()x ax ax x x f 14412+=+='，∴当0≥a 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，令()0>'x f ，得a x 410-<<，令()0<'x f ，得ax 41->，所以()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a 41上单调递减.综上所述，当0≥a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a 41上单调递减.…………………………………6分（3）令()()()x g x f x F -=()12ln 2++++=x a ax x .函数()x f 的图象在函数()x g 的图象的下方，()0<∴x F 在()∞+，0上恒成立.当0≥a 时，()0321>+=a F ，不满足()0<x F 在()∞+，0上恒成立.当0<a 时，因为()()()()x ax x a ax xx F 112221++=+++='且0>x ，()()01010<'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∈>'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴x F ax x F a x 时，，，时，，，故()x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 10，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a1上单调递减，()aa a F x F 11ln 1max -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴.又()0<x F 恒成立，∴()0011ln <<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a aa 恒成立.令()()0ln >+=x x x x h ，则()0111>+=+='xx x x h ，()x h ∴在()+∞,0上单调递增，又0212ln 21<+-=⎪⎭⎫⎝⎛h ，()011>=h ，∴存在唯一的⎪⎭⎫⎝⎛∈1210，x ，使()00=x h ，且当()00x x ，∈时，()0<x h ，当()∞+∈，0x x 时，()0>x h ，010x a <-<∴，即01x a -<，又()121--∈-，x ，Z a ∈,a ∴的最大值为2-.…………………………………12分。

曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测卷三理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）1.已知集合，则A B＝A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式得到集合A，然后求出即可．【详解】∵集合，集合，∴．故选C．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合A，属于简单题．2.设复数满是（其中为虚数单位），则在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据题意求出复数，然后再求出，进而可得答案．【详解】由题意得复数，∴，故在复平面上所对应的点的坐标为，在第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，解题的关键是正确求出复数后得到该复数对应的点，属于简单题．3.已知命p：若N，则Z，命题q：，则下列命为真命题的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出命题的真假，然后再结合四个选项得到结论．【详解】由题意得命题p为真命题，命题q为假命题，所以，，为假命题，为真命题．故选D．【点睛】解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．4.函数的零点所在区间是A. B. (1,2) C. (2,3) D.【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理进行判断即可．【详解】∵，，∴，∴函数在区间(2,3)上存在零点．故选C．【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．5.为了得到的图象，只需把函数的图象上听有的点A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由题意得到，然后结合图象的平移变换得到平移的方向和平移的单位．【详解】∵，∴要得到的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度．故选C．【点睛】由函数y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，在具体问题中，可先进行平移变换后再进行伸缩变换，也可以先进行伸缩变换后再进行平移变换，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来．6.命题“対”为真命题的一个充分不必要条件可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．【详解】因为，等价于，恒成立，设，则．所以命题为真命题的充要条件为，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．故选C．【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．7.已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象可得函数的定义域为，为偶函数，且在上单调递减，然后结合所给的选项可得到正确的结论．【详解】由题意得函数的定义域为，为偶函数，且在上单调递减．对于选项A，函数满足条件，故A正确．对于选项B，函数为非奇非偶函数，所以B不正确．对于选项C，函数为奇函数，所以C不正确．对于选项D，函数为偶函数，但在上为增函数，所以D不正确．故选A．【点睛】根据图象判断函数的解析式时，可根据函数的图象得到函数的定义域及其性质，如单调性、奇偶性等，然后再结合所给出的各个选项进行逐个验证后可得结论．8.曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】【分析】先求出曲线在处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积．【详解】由，得，∴，又，∴曲线在处的切线方程为，令得；令得．∴切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题． 9.已知，则等于A.B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】 先由条件得到，然后将添加分母后化为用表示的形式，代入后可得所求值． 【详解】，，．故选D ． 【点睛】关于的齐次式在求值时，往往化为关于的式子后再求值，解题时注意“1”的利用． 10.知奇函数满足，若当时，，且，则实数a 的值可以是A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先由条件得到函数的周期为4，从而，然后根据解析式可得的值．【详解】∵，∴，即，∴，∴函数的周期为4，∴，当时，由，可得，解得．故选A．【点睛】本题考查函数性质的应用及根据函数值求参数的值，解题时根据条件得到函数的周期性是解题的关键，对于函数来讲，若已知奇偶性、对称性和周期性三个性质中的两个，则可推出第三个性质．11.已知函数，则下列说法正确的是A. 的图象关于直线对称B. 的周期为C. 是的一个对称中心D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式变形为后再对每个选项进行判断即可得到结论．【详解】由题意得．对于A，由知，函数在时取得最大值，故图象关于对称，所以A正确．对于B，结合图象可得函数的周期为，所以B不正确．对于C，由于不是函数图象的对称中心，所以C不正确．对于D，当时，函数不单调，所以D不正确．故选A．【点睛】本题考查三角函数的性质和综合运用知识解决问题的能力，解题时一是要注意解析式中的绝对值，二是在判断时可结合图象进行．12.已知函数，若对，使得，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，进而得到对恒成立，然后转化为在上恒成立，利用分离参数的方法求解即可．【详解】∵，∴，由题意得在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，而在上单调递增，∴，∴，∴实数m的取值范围为．故选B．【点睛】解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min．二、填空题（本大题共4小题、每小题5分共20分）13.若函数为偶函数，则a＝_______.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义可得，由此可求得．【详解】∵函数是偶函数，∴，即，整理得，∴，解得．故答案为．【点睛】解答类似问题时，要先根据奇偶性的定义得到恒等式，经过变形后比较系数可得所求的参数的值，对于选择题和填空题来说，也可以利用特殊值的方法来求解．14.若，则＝__________.【答案】【解析】【分析】利用倍角公式求解即可得到答案．【详解】∵，∴．故答案为．【点睛】本题考查倍角公式的应用，解题时注意将所给的条件当作一个整体进行求解，要熟悉倍角公式的形式，属于简单题．15.已知函数对，且，满足，并且的图象经过A，B，则不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】由题意得函数在上为增函数，将绝对值不等式转化成，即，然后利用函数的单调性求解．【详解】∵对，且，函数满足，∴在上为增函数．由得,∴，又的图象经过A，B，∴，∴，故不等式的解集为．【点睛】解答本题的关键是得到函数的单调性，然后根据单调性将不等式中的函数符号去掉，转化成一般的不等式求解，解题时还要注意函数定义域的限制．16.已知定义在R上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______。

云南省曲靖市第一中学2020届高考复习质量监测考试高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合212xxx⎧+⎫A=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x xB=<，则()RA B=Ið（）A．112x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B．{}12x x≤< C．{}12x x-<≤D．{}12x x<<【答案】B考点：不等式的解法与集合运算.2.复数321izi+=-（i为虚数单位）的共轭复数z为（）A．1522i-+B．1522i--C．1522i+D．15 22i -【答案】D 【解析】试题分析：()()()()32132151112i ii izi i i++++===--+，所以z的共轭复数为1522z i=-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n=，则输出k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6图1【答案】B考点：程序框图中的循环结构.4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．5306B．5304C．5302D．515图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=o 根据三视图的规则可知5,5,SA AB AC y ===,所以222SC AC SA +=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当15x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积2115305152532V y =⨯⨯⨯⨯-=，故选A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】DABy55考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知195519,2a a ab b b +==，又11a b =，99a b =，所以1919192a a a ab b +≥=，即55a b >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变； ③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出命题的逆否命题是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以命题①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的命题只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质.9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4UB ．()()0,24,5UC ．()()2,34,5UD ．()()2,33,4U 【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin 3f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =u u u r u u u r ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．13,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b 或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln 2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =r ，()1,1b =-r ，且()a b b λ+⊥r r r ，则2a b λ-r r的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===r rr r g，因为()a b b λ+⊥r r r，所以()a b b λ+r r rg220a b b λλ=+==r r r g ，0λ∴=， 2242a b a λ-==r r r .考点：向量的数量积运算.14.若22sin 4m x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以命题p 不等式组表示的平面区域内的点都在命题q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n n S a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+． （I ）求角A 的大小；（II ）若sin sinC 1B+=，2b =，试求C ∆AB 的面积． 【答案】（I ）23πA =；（II 3试题解析：（I ）Q ()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-．Q 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）Q sin sinC 1B+=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分） 又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 32S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=， 若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为ξ0 2P 0.24 0.76∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =o ，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90o ，得到C D ''AB （如图3）．（I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A-N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）55-.试题解析：（I ）证明：Q 1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =o ，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =o ，∴C 90∠BA =o ，即C A ⊥AB ．Q 平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB I 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：Q C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ． 如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B ，()C 3,0，(C 3'，13,,022⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 3'B =-u u u r ，(CC 0,3,3'=-u u u r ．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =r ，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r⇒)3,1,1n =r ．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =r ，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩u u u r ru u u u r r()3,1,0m ⇒=-r ， 设二面角C C 'A-N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==r r r r ，∴二面角C C 'A-N -的余弦值为512分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点2322⎛M - ⎝⎭，2，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ）2；（III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：22c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点23,22⎛⎫M - ⎪ ⎪⎝⎭，则2213124a b +=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+， 所以()22222222861624141121212k k k k k k k -⎛⎫AB =+-⨯=+ ⎪++⎝⎭+．又点O 到直线l 的距离为21h k=+，∴∆OAB的面积()2222222111624231222212112k k S h k k kk ∆OAB--=⋅AB ⋅=⋅+⋅⋅=+++． 令223t k =-（0t >），得2223k t =+，则21222222244t S t t t∆OAB ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB 的最大值为22．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值；（II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =．又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分）综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分）考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的不等式. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径； （II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）Q D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．Q D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ． Q GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA+∠BA =∠E A+∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =o ，D 90∠B A =o ，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．Q AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =o ．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．Q DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．Q AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-． （I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259. 试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。

曲靖一中高考复习质量监测卷三理科综合参考答案二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求；第18～21题有多项符合题目要求，全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的给0分。

【解析】14．10~t 内物体做加速度减小的加速运动，1t 时刻加速度为零，合外力为零，功率为零，34~t t 内加速度的方向和速度方向相同。

15．物体处于平衡状态，受到斜面体的支持力与摩擦力的合力与重力大小相等，则对斜面体的压力与摩擦力的合力即为斜面体受到的作用力，大小为mg 。

16．根据几何关系，a 、b 两个粒子在磁场中运动的角度分别60︒、90︒，时间之比为2︰3。

17．速度沿轨迹的切线方向，速度增加，则速度方向和合外力方向为锐角，故A 正确。

18．2x 处斜率不为零，电场强度不为零。

正电荷从1x 处移到3x 处，电势升高，电场力做负功，电势能增大，故B 正确。

3x 处和5x 处的斜率方向相反，电场强度方向相反，加速度方向相反。

4x 处斜率为零，电场强度为零。

19．从斜率可以看出，乙速度先减小后增大。

1t 到2t 时间内距离先变大后变小，位移相同，时间相同，平均速度相同。

20．当滑片向右滑动时，整个电路的电阻不变，所以电流不变，金属板两端的电压变大，小球受到的电场力变大，所以θ变大。

21．若2向后喷气，做离心运动，不能追上。

由黄金代换式2GM gR =，1和2的向心加速2222=()()GM GM gR a r R h R h ==++，位置2运动到位置1，引力不做功。

运动经历的时间4Tt =，且()2224π()GMm m R Th R h =++。

所以4T t =。

三、非选择题（一）必考题：共11题，共129分。

22．（每空3分，共6分） （1）10.04 （2）5.803（5.802~5.804） 23．（每空3分，共9分） （1）D （2）C （3）0.50 24．（14分）解：（1）电动势E BL =v① 根据闭合电路欧姆定律有EI R r=+ ② 得BL I R r=+v③ （2）滑动摩擦力f mg μ= ④ 安培力22I B L F BIL r R==+v⑤ 导体棒处于平衡状态，有I F f F =+⑥ F 的功率P F =v⑦ 得22B L P mg R r μ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭v v⑧评分标准：本题共14分。

2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.2．若复数z 满足()113z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由题意可得13121iz i i+===-+-，12z i =--，则z =得解.【详解】()113z i i -=+可得13(13)(1)121(1)(1)i i i z i i i i +++===-+--+， 所以12z i =--z ==，故选：A 3．411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为6，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．54C ．74D ．94【答案】B【分析】利用多项式乘法运算法则及排列组合思想即可求解. 【详解】解：由题意，411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为344411C a C ⨯⨯+⨯， 所以3444116C a C ⨯⨯+⨯=，即416a +=， 所以54a =， 故选：B.4．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A ．22440x y x y +--= B ．22440x y x y +++= C ．22330x y x y +++= D ．22220x y x y +--=【答案】A【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r = ∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且86a =，则11a 的为（ ） A ．-1 B ．-3C ．-5D ．-7【答案】B【分析】由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得312q =-，可求得11a ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，因为10a ≠，0q ≠，且210q q ++>，所以312q =-，又86a =，故311816()32a a q ==⨯-=-． 故选： B.6．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且9AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．16B ．4C ．82D ．76【答案】 D【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P ，由数量积的坐标运算可表示出PB PC ⋅，利用基本不等式可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，1,0ABt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AC t =，()()19,00,1,9AP t t t t ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即()1,9P ，11,9PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,9PC t =--，111981829t t B t PC t P ⎛⎫∴⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，0t >，119296t t t t∴+≥⋅=（当且仅当19t t =，即13t =时取等号），()82676PB PC ∴⋅≤-=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 为11，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【分析】按照程序框图运行程序，直到满足5x ≤可代入21y x =-，由此确定输出值. 【详解】按照程序框图运行程序，输入11x =，不满足5x ≤，循环；1156x =-=，不满足5x ≤，循环；651x =-=，满足5x ≤，则2111y =⨯-=，输出1y =.故选：A.8．已知a ，b 是空间两条不同的直线，已知α，β是空间两个不同的平面，对于如下四个命题：①若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，a b ⊥，则//αβ； ③若a α⊥，//b β，//a b ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④【答案】D【分析】由平行关系和垂直关系的相关定理依次判断各个选项可知①③④正确；由反例可知②错误. 【详解】对于①，//a b ，a α⊥，b α∴⊥，又b β⊥，//αβ∴，①正确；对于②，在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，若11A B a =，1BB b =，平面ABCD α=，平面11ADD A β=， 则满足//a α，//b β，a b ⊥，此时αβ⊥，②错误； 对于③，a α⊥，//ab ，b α∴⊥，又//b β，则在β中必存在直线//c b ，c α∴⊥，又c β⊂，αβ∴⊥，③正确； 对于④，a α⊥，b β⊥，,a b ∴分别为,αβ的法向量，又αβ⊥，a ∴与b 所成角为90，即a b ⊥，④正确. 故选：D.9．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得对函数()f x 定义域内任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”，若()22ln f x x x x =--，()3g x ax =-+．若()g x 为函数()f x在区间()0,∞+上的一个“线性覆盖函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],2-∞ C ．(],4-∞ D ．(],6-∞【答案】C【分析】由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，从而将问题转化为求函数的最值． 【详解】解：由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，等价于min ()a h x . 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x'+-=+-=， 由()0h x '<得01x <<，由()0h x '>得1x >， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时()h x 取得最小值()h 14=， 所以4a ，即a 的取值范围为(],4-∞． 故选：C ．【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）a ≥ f (x )恒成立⇔ a ≥ f (x )max ；（2）a ≤ f (x )恒成立⇔a ≤ f (x )min . 10．已知双曲线()2222:104x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】D【分析】根据切线长相等可得线段长的等量关系，结合双曲线定义可知1222MF MF PQ a -==，由此求得a ，结合2c =可得所求离心率.【详解】设2MPF 内切圆与12,MF MF 分别切于点,S T ，由切线长相等知：MS MT =，PS PQ =，22QF TF =，由对称性知：12PF PF =， 由双曲线定义得：12122232MF MF PF PS QF PQ PS PQ a -=+-=+===， 3a ∴=2242c a a +-=，C ∴的离心率23c e a ==. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果.11．设曲线() xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2- D ．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果. 【详解】()x f x ae '=，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.12．下列五个命题：① ln 72<；②ln p e >>>；③<④33ππ<；⑤33e e <．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】令()ln xf x x=，利用导数可求得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；将所比较的式子转化为()f x 的函数值的大小关系的比较，根据函数单调性可确定()f x 函数值的大小关系，化简得到所比较的式子的大小关系. 【详解】令()ln x f x x =，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；对于①，02e <<，()2ff ∴>ln 22>，2ln 7<=，①错误；对于②，0e p >>>，ff ∴<<，ln p ==，②正确；对于③，114e <<，()4f f∴<，即ln 42ln2ln 2442==<，2<ln ln11<，11∴<<③正确；对于④，3e π<<，()()3ff π∴<，即ln ln 33ππ<，3ln ln 3ππ∴<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ∴<，④错误； 对于⑤，3e <，()()3f e f ∴>，即ln ln 33e e >，3ln ln 3e e ∴>， 即3ln ln3e e >，33e e ∴>，⑤正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件21021010x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则()0z ax by a b =+>>取最大值4时，41a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】由约束条件可得可行域，当z 取最大值时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当a zy x b b=-+过()1,1A 时z 最大，利用()411414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得41a b+的最小值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当()0z ax by a b =+>>时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大， 0a b >>，1a b∴-<-，则由图形可知：当a zy x b b =-+过A 时，在y 轴截距最大，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，max 4z a b ∴=+=， ()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∴（当且仅当4b a a b =，即823a b ==时取等号），41a b ∴+的最小值为94.故答案为：94. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】由题得321211a a a =-=-=，432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-， 6542(1)1a a a =-=---=-, 7651(2)1a a a =-=---=, 8761(1)2a a a =-=--=,所以数列的周期为6，126+++0a a a =，2019=6336+3⨯，所以22019131214S a a a =++=++=. 故答案为：4【点睛】关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期. 15．如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．【答案】362【分析】由球的体积可确定其半径，根据正四棱柱外接球半径与底面外接圆半径和高之间关系可构造方程，求得2362h a =-根据侧面积公式可将侧面积S 表示为关于a 的函数，借助于基本不等式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得：3R =；正四棱柱底面正方形外接圆半径221222r a a a =+=，又2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2221922h R r a ∴=-=-，解得：2362h a =- ∴正四棱柱侧面积()2224436216362S ah a a a a ==-=-，()22222236223623242a a a a ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭（当且仅当222362a a =-，即3a =时取等号），8324362S ∴≤⨯= 即正四棱柱侧面积的最大值为362. 故答案为：362.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是将所求内容表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数值域的求解方法或基本不等式求得最值.16．已知函数()()12cossin 02262xx f x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点可结合周期确定01ω<≤，同时确定6x πω+的范围；可确定,266πππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭位于[]2,2k k πππ+或[]2,22k k ππππ++之间，由此构造不等式组求得结果. 【详解】()12cossin cos cos sin 226262x x x f x ωωπωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21coscos 2222xxx ωωω=+-1cos sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ()f x 在(),2ππ内没有零点，2ππππω∴-=≤，可知01ω<≤， 当(),2x ∈ππ时，,2666x πππωπωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()26226k k Z k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪∴∈⎨⎪+≤+⎪⎩或()262226k k Z k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：()152612k k k Z ω-≤≤+∈或()5112612k k k Z ω+≤≤+∈； 又01ω<≤，5012ω∴<≤或511612ω≤≤，即ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过函数在区间内没有零点，得到区间长度小于半个周期，并通过整体对应的方式确定区间端点值所满足的条件.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且有()cos cos sin 0A c B b C a A ++=．（1）求A ；（2）设AD 是ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程2640x x -+=的两根，求线段AD 的长度． 【答案】（1）23A π=；（2）23AD =.【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理已知等式求得tan A ，由此确定A 的取值； （2）由韦达定理可得,b c bc +，利用面积桥的方式可构造方程求得AD . 【详解】（1）由正弦定理得：()23cos sin cos sin cos sin 0A C B B C A ++=，即()23cos sin sin 0A B C A ++=，又()()sin sin sin B C A A π+=-=，23sin cos sin A A A ∴-=，又()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 3cos A A ∴=-，tan 3A ∴=-，又()0,A π∈，23A π∴=； （2）,b c ∵为方程2640x x -+=的两根，6b c ∴+=，4bc =，由（1）知：23A π=，3BAD CAD π∴∠=∠=， ABCABDADC SSS=+，12sin sin sin sin 23232323c b b c bc AD AD AD ππππ+∴=⋅+⋅=⋅， 333AD =23AD =. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，求解内角平分线长的关键是能够利用面积桥的方式构造出关于内角平分线长的方程.18．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，60BAD ∠=，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）连接1,ME B C ，可证得//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形，得到//MN DE ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接,AC BD 交于点O ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D BC ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ； （2）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， 则以O 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得：3A ⎫⎪⎪⎝⎭，132A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,14N ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()10,0,2AA ∴=，131,12A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,044MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA M 的法向量为()111,,n x y z =，则1111112031022n AA z n A M x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令11x =，则13y =10z =，()1,3,0n ∴=； 设平面1A MN 的法向量为()222,,m x y z =，则1222223102233044m A M x y z m MN x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令21y =，则23x 21z =-，()3,1,1m ∴=-；2315cos ,25m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，设二面角1A MA N --为θ，则210sin 1cos ,5m n θ=-<>=， 即二面角1A MA N --10【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．澳大利亚Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia ]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia ]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia ]在拉丁语中是[第八]的意思．如图设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ζ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2ξ=．（1）求概率()0P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案】（1）611；（2）分布列见解析，()911E ξ=. 【分析】（1）12条棱中任取两条共有212C 对，两条棱相交有246C 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有()0P ξ=，又两条棱平行有6对，可求出()1P ξ=，从而可用间接法求出()2P ξ=，进而可求分布列和数学期望.【详解】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱，所以共有246C 对相交棱，所以()24212366066116P C C ξ====； （2）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，()21261166611P C ξ∴====，()()()61421011111111P P P ξξξ∴==-=-==--=， 所以ξ的分布列为：()4901211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆()2212:104x y C b b+=>的短轴端点与抛物线()22:20C x py p =>的焦点重合，椭圆1C （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点．①求证：直线AB 经过一个定点；②若直线AB 与椭圆1C 交于M 、N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN △面积的最大值．【答案】（1）221:14x C y +=，22:4C x y =；（2）①证明见解析；②2. 【分析】（1）分析可知椭圆1C 的焦点在x 轴，利用椭圆1C 的离心率求出b 的值，可得出p 的值，由此可得出椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，利用导数求出直线PA 、PB 的方程，将点P 的坐标代入两直线方程，结合等式的结构可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过定点的坐标；②分析可知直线AB 过椭圆1C 的上顶点()0,1M ，可知当点N 为椭圆1C 的长轴的端点时，MDN △的面积最大，即可得解. 【详解】（1）抛物线2C 的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，椭圆1C 的短轴端点在y 轴上，所以，椭圆1C的离心率为e ==，可得1b =，且有12p b ==，得2p =，因此，椭圆1C 的标准方程为2214x y +=，抛物线2C 的标准方程为24x y =；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得12x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-， 同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-， 由于点(),1P t -为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为220tx y -+=，在直线AB 的方程中，令0x =，可得1y =，故直线AB 恒过定点()0,1； ②由①可知，直线AB 恒过椭圆1C 的上顶点()0,1，不妨设点()0,1M ，易知点()0,1D -，设点()00,N x y ，则02x ≤，则01122222DMN S DM x =⋅≤⨯⨯=△， 当且仅当02x =±时，等号成立，因此，MDN △面积的最大值为2. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21．已知函数()()ln 1sin f x a x x =+-．（1）若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将问题转化为()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1cos a x x ≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立；令()()1cos g x x x =+，利用导数可求得()min 02g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得a 的范围；（2）当1x e >-时，由()ln 1ln sin x e x +>≥可知()0f x >，将问题转化为证明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，利用导数可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，结合零点存在定理可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，由此得到结论. 【详解】（1）由题意得：()cos 1af x x x '=-+， 若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，()1cos a x x ∴≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()1cos g x x x =+，则()()cos 1sin g x x x x '=-+， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos 11tan g x x x x '=-+⎡⎤⎣⎦， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≥，11x +>，tan 1x >，()0g x '∴<， 又01sin 102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<，()g x ∴在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()1cos 0222g x g πππ⎛⎫⎛⎫∴≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 0a g x ∴≤=，即a 的取值范围为(],0-∞；（2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x =+-，则()1cos 1f x x x '=-+， 当1x e >-时，()ln 1ln 1sin x e x +>=≥，()0f x ∴>在()1,e -+∞上恒成立，∴只需证()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点；1e π-<，∴当,12x e π⎛-⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， ()0f x '∴>在,12e π⎛-⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11sin 10f e e -=-->， ()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()f x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>，直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点：（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设A ，B 是曲线C 上的两点，且6AOB π∠=，求22O A OB +的取值范围．【答案】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）44⎡-+⎣． 【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点求得2a =，设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线 C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ，计算1222ρρ+的取值范围．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则3222a a -= ，解得2a =， 如图，不妨设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则12cos ρθ=，22cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以12222222224cos 4 cos 6OA OA O OB B πρρθθ⎛⎫=+=+=++⎪⎝+ ⎭3322cos 2sin 2423cos 2226πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以π572,666ππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 所以当π206θ+=，即12πθ=-，22 O A OB +最大值是423+， 当π2π6θ+=，即1π5π2612πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22 O A OB +最小值是423-， 所以22 O A OB +的取值范围为423,423⎡⎤-+⎣⎦【点睛】思路点睛：解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解，在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12222222 O A O O OB B A ρρ=++=+． 23．已知函数()96363x xf x x ++-=+．（1）求函数()f x 的值域．（2）已知函数()f x 的最小值等于m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：．【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分别在(),3x ∈-∞-、23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭、21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭和1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭四种情况下，去掉绝对值符号得到()f x ，分别求得()f x 的范围，综合四种情况可得所求值域；（2）由（1）知3m =，配凑出()()()2229a b c +++++=，利用柯西不等式可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为{}3x x ≠-；当(),3x ∈-∞-时，()96361534215333x x x f x x x x --+-+===---++， 30x +<，4203x ∴<+，()15f x ∴>； 当23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()96361534215333x x x f x x x x --+---===-+++， 7033x <+<，42183x ∴>+，()3f x ∴>； 当21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()963639333x x x f x x x ++-+===++； 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()96631534215333x x x f x x x x ++-+===-+++， 732x +≥，420123x ∴<≤+，()315f x ∴≤<； 综上所述：()f x 的值域为[)3,+∞；（2）由（1）知：3m =，3a b c ∴++=，()()()2229a b c ∴+++++=， 由柯西不等式可得： ()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，即227≤（当且仅当a b c ==时取等号），≤【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的函数值域的求解、不等式的证明；证明不等式的关键是能够配凑出符合柯西不等式的形式，进而利用柯西不等式直接证明结论.。

曲靖一中高考复习质量监测卷七 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B B A A B D C B A A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案 12-或 5 28π3 (0]-∞，三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =； 令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =， 解得11a =，2d =，所以21n a n =-．…………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意知22(1)(1)(21)n n n n b a n =-=--，所以2220[(1)17][(1)1731][(1)4971][(1)(2191)(2201)]T =-++-++-++⋅⋅⋅+--+- 10961422781068420.2=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯= ……………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） m ，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，即基本事件总数为10，设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)， 所以3()10P A =，故事件A 的概率为310．……………………………………………（4分） （Ⅱ）由数据，求得1(101114128)115x =++++=，1(2325302616)245y =++++=，51()()45i i i i i x x y y =--=∑，521()20i i i x x =-=∑， 由公式求得459ˆ204b ==，93ˆˆ241144a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为9344y x =-．…………………………………………（8分） （Ⅲ）(325)X H ~，，， ∴326.55EX ⨯==………………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为2BC =，112CC BB ==，1π4BCC =∠， 在△1BCC 中，由余弦定理，得124222cos452C B =+-⨯⨯⨯︒=， 所以22211C B BC CC +=，即C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，BC 1⊂侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CBAB B =，所以C 1B ⊥平面ABC ．……………（6分）以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2，0，0)，C 1(0，0，2)，B 1(2-，0，2)， 1(022)C A =-，，，11111(2022)C E C B BB C B CC λλλλ=+=+=--，，， 设平面1AC E 的一个法向量为()n x y z =，，，则112202(22)0n C A y z n C E x z λλ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩，，令2z =，得2(1)12n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，又1(202)C C =-，，， 1222(1)2||4||52(1)12C C n d n λλλλ--===-++，解得12λ=或310λ=， ∴当12λ=或310λ=时，C 到平面1AC E 的距离为455．……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()T x y ，，则(33)A x y ，， 又6AB AC BC +=>，所以A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，从而有22331992x y +=（）（），（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，而显然直线PQ 不与x 轴重合，故设其方程为x ky m =+， 代入椭圆方程得222(2)210k y kmy m +++-=，M E ∵在椭圆内，212122221022km m y y y y k k --∆>+==++∴，且，， ()0||||MP MR PR MP MR +==又，∴，11()R x y -∴，，12122112()()NR QN y y k k y ky m n y ky m n x n x n-=⇔=⇔-+-=+---从而 212122()()02(1)2()0 1.ky y y y m n k m km m n mn ⇔++-=⇔---=⇒= …………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）22ln 1ln 1(01)(1)()(1)()(01)ln ln x x x f x x f x x x x--''∈+∞=>=-<<，，，，， ∴()(01)[e )(1e).f x +∞的单调区间：增区间为，，，；减区间为，…………………（4分） 22()(21)()0[()][()(1)]0f x m f x m m f x m f x m -+++=⇔--+=（Ⅱ）方程， ∴()() 1.f x m f x m ==+或()()(e)e f x f x f ==极小又由（Ⅰ）知的单调性及，22()(21)()04f x m f x m m -+++=而方程有个不同实数根，∴1e 0e (e 1e).m m m +><<⇔∈-，，…………………………………………………（8分） 11e sin e sin 2|ln ln |2ln xx y x y y x y x yαα⎛⎫⎛⎫>+>⇔+> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（Ⅲ）存在正实数，， min 11(1)e sin ()((1))e sin ()22x t f t t f t y αα⎛⎫⎛⎫=∈+∞+>∈+∞⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，则，11π5πe sin e sin 2π2π().2266k k k ααα⎛⎫⎛⎫⇔+>⇔>⇔∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）设l 上动点()M l ρθ，，与x 轴交于B ，则1OB =， 又在△OMB 中，1π3sin .2ππ32sin sin 33ρρθθ⎛⎫=⇒-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭………………………（5分） （Ⅱ）C 的普通方程是24y x =与l 的直角坐标方程33y x =-联立， 得234430y y --=，2=8∆，1816||1.333AB =+=∴………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）4()5|21|5521563f x x x x x x x ⇒+-⇒-+-⇔-≤≤≤≤≤≤， ∴其解集为46.3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵0a >，1(2)211()|21||1|(2)21(2)22a x x a g x x ax a x x a a x x ⎧-+⎪⎪⎪=+--=+-<⎨⎪⎪--<-⎪⎩，≥，，≤，，， 221a a ⎛⎤>-∞+ ⎥⎝⎦∴①当时，其值域是，； 0212a a ⎡⎫<<--+∞⎪⎢⎣⎭②当时，其值域是，； 2[22]a =-③当时，其值域是，.………………………………………………………（10分）。

云南省曲靖市第一中学2019届高考复习质量监测卷高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|0}N x x =≤，则集合{|1}x x ≥=（ ）A ．M NB ．M NC ．()R C M ND ．()R C M N2.函数212()log (1)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞-3.圆22(1)1x y +-=被直线0x y +=分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:14.设,m n 是空间两条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若,//m n αα⊂，则//n mB ．若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥C ．若,n n αβ⊥⊥，则//αβD ．若,m n αα⊂⊥，则m n ⊥5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈恒有(2)()(2)f x f x f -=+，当(0,1)x ∈时，2()f x x x =-，则3()2f =（ ） A ．34 B ．34- C ．14- D ．146.设实数(1,2)a ∈，关于x 的一元二次不等式222(32)3(2)0x a a x a a -++++<的解为（ ）A ．2(3,2)a a +B ．2(2,3)a a +C ．(3,4)D ．(3,6)7.某几何体的正视图和侧（左）视图都是边长为2的正方体，俯视图是扇形，体积为2π，该几何体的表面积为（ ）A ．84π+B ．44π+C ．82π+D ．42π+8.已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，则()f x 的值域为（ ）A ．[5,9]B ．21[5,]4C ．21[,9]4D ．[6,10] 9.已知ABC ∆是锐角三角形，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知直角坐标系xOy 中，点(1,1),(,)A M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩内的一个动点，则OA OM∙ 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112.已知()sin cos sin 2f x x x x =++，若,t R x R ∀∈∈，sin 21()a t a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．(-∞ B．1,)+∞ C．[ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 9tan 8π= . 14.已知数列{}n a 中，11a =，*1()n n na n n N a a +=∈-，则2016a = . 15.已知||3OA = ，||4OB = ，0OA OB ∙= ，22sin cos OC OA OB θθ=∙+∙ ，当||OC 取最小值时，OC = ，OA + OB .16.棱长为a 的正四面体中，给出下列命题：①正四面体的体积为324a V =；②正四面体的表面积为2S ；③内切球与外接球的表面积的比为1:9；④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值. 上述命题中真命题的序号为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设21,cos )222x x m =- ，(cos ,1)2x n = ，()f x m n =∙ ，ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()1,f A a =b 的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1，长方体''''ABCD A B C D -中，2AB BC a ==，'AA a =.（1）E 为棱'CC 上任一点，求证：平面''ACC A ⊥平面BDE ；（2）若E 为'CC 的中点，P 为''D C 的中点，求二面角P BD E --的余弦值.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(,)n n S 满足1()2x f x q +=-，且314S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A 是C 上的动点，且满足||AF 的最小值为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在椭圆C 上任取一点B ，使OA OB ⊥，求证：点O 到直线AB 的距离为定值.已知函数()ln()f x ex kx =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x ≤，求实数k 的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+ （*n N ∈且2n ≥）.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的极坐标方程为4ρ=，经过点(1,2)P 的直线l 的参数方程为12x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ∙的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||23|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x >的解集A ；（2）若关于x 的表达式()|1|f x a >-的解集B A ⊆，求实数a 的取值范围.云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测卷数学（理）试题参数一、选择题CDCAD BAABB CD二、填空题1 14. 2016 15.1619,252516.②③④ 三、解答题17.（1）21()cos cos 2222x x x f x m n =∙=+-cos 1122x x +=+-1cos sin()26x x x π=+=+ 由22262k x k πππππ-≤+≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-+k Z ∈. （2）∵()1f A =，∴sin()16A π+=， ∵7(,)666A πππ+∈，∴62A ππ+=，∴3A π=， ∴203B π<<. 由sin sin a b A B =sin b B=，2sin b B =，2(0,)3B π∈， ∴b 的取值范围是(0,2].18.（1）证明：∵ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∵'CC ⊥平面ABCD ，∴'BD CC ⊥.则(0,0,0)D ，(2,2,0)B a a ，1(0,2,)2E a a ，(0,,)P a a ， 设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z = ，∵(2,2,0)DB a a = ，1(0,2,)2DE a a = ，则00mDB m DE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ，即040x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,4y z =-=，∴(1,1,4)m =- ，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z = ，∴00n DB n DP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ，即00xy y z+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z =-=，∴(1,1,1)n =- ，∴cos ,||||m nm n m n ∙<>==.二面角P BD E --的余弦值为19.（1）由题意知：12n n S q +=-，1n =时，14a q =-；2n ≥时，12n n n n a S S -=-=.由314S =得，23(4)2214q -++=，∴2q =，∴1422a =-=.∴{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴*2()n n a n N =∈.（2）由（1）知：2n n a =，∴22log 2log 22n n n n n n b a a n ===⨯， ∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，①∴234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，②①-②得：2311112(12)22222222212n n n n n n n T n n n ++++--=++++-∙=-∙=--∙- ， ∴1(1)22n n T n +=-∙+.20.（1）解：根据题意有2a c c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解方程组得：2,a c =，∴21b =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）证明：当AB 的斜率不存在时，AB的方程为x =O 到AB的距离为d = 当AB 的斜率存在时，可设AB 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=， ∵22222(8)4(41)(44)16(14)0km k m k m ∆=-+-=-->，∴122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+， ∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，222222224484414141m km m k k km m k k k --=∙-∙+=+++， ∵OA OB ⊥， ∴22112212122544(,)(,)041m k OA OB x y x y x x y y k --∙=∙=+==+ ， ∴224(1)5m k =+， ∴点O 到直线AB ：0kx y m -+=的距离d ===， 故O 到AB 的距离为定值. 21. （Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()f x k x=-， （1）若0k >，1(0,)x k ∈时，'()0f x >，1(,)x k∈+∞时，'()0f x <， ()f x 的单调递增区间是1(0,)k ，单调递减区间是1(,)k+∞； （2）0k ≤时，'1()0f x k x=->恒成立，∴()f x 的单调递增区间是(0,)+∞， 综上（1）（2）知：0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；0k >时，()f x 的单调递增区间是1(0,)k ，单调递减区间是1(,)k+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：0k ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且x →+∞时，()f x →+∞（或(1)10f k =->），∴()0f x ≤恒成立是假命题；当0k >时，由（Ⅰ）知：1x k=是函数的最大值点， ∴max 11()()ln()1ln 0f x f e k k k==∙-=-≤， ∴1k ≥，故k 的取值范围是[1,)+∞.（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：1k =时，()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立， 且()f x 在(1,)+∞上单调递减，(1)0f =， ∴()(1)f x f <，即ln 1x x <-在[2,)+∞上恒成立. 令2x n =，则22ln 1n n <-，即2ln (1)(1)n n n <-+， ∴ln 112n n n -<+， ∴ln 2ln 3ln 1231(1)34122224n n n n n --+++<++++=+ ， 故ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+ （*n N ∈且2n ≥）. 22．解：（1）∵4ρ=，∴216ρ=，∴圆C 的标准方程为2216x y +=，由12x y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）消去参数t 得l的普通方程为10x +=. （2）12x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩可化为''1122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），将''1122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2216x y +=，得：'2'21(1)(2)162t ++=，即'2'22)110t t +-=，''1211t t =-，∴''12||||||11PA PB t t ∙==.23.（1）由题意得：124,213()4,22342,2x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则不等式()6f x >等价于12246x x ⎧<-⎪⎨⎪->⎩或32426x x ⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得：1x <-或2x >，∴不等式()6f x >的解集{|12}A x x x =<->或.（2）∵()|21||23||(21)(23)|4f x x x x x =++-≥+--=， ∴()f x 的值域为[4,)+∞，∴()|1|f x a >-的解集B φ≠.要B A ⊆，需|1|6a -≥，即16a -≥或16a -≤-， ∴7a ≥或5a ≤-，∴实数a 的取值范围是5a ≤-或7a ≥.。

曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+iim 1（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2.已知集合{}{}a y y B x y x A xln 2,1+==-==，且B C A R ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),[+∞eB ．],0(eC ．]1,(-∞D ．]1,0(3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积共9升，下面3节的容积共45升，则第五节的容积为（ ） A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ． 11升4.下表是y x ,的对应数据，由表中数据得线性回归方程为∧∧-=a x y 8.0.那么，当60=x 时，相应的∧y 为（ ）A ．38B ．43 C.48 D ．52 5.下列说法中正确的是（ ）A ．“b a >”是“b log a 2>2log ”的充要条件B ．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到的函数图象关于y 轴对称C.命题“在ABC ∆中，3π>A ，则23sin >A ”的逆否命题为真命题 D ．若数列{}n a 的前n 项和为n n S 2=，则数列{}n a 是等比数列6.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的倾斜角是直线012:=+-y x l 倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（ ） A ．35 B ．37 C. 45 D ．347.由5,3,2,1,0组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）A ．36个B ．42个 C.48个 D ．120个 8.阅读如图所示的程序框图，若输入2110=a ，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10 C.11 D ．129.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥++040122xy y x y x ，则y x z +=2的取值范围是（ ）A ．]52,2[-B ．]0,2[- C.]252[，- D ．]1,552[10.已知直线1l 是抛物线x y C 8:2=的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线02443:2=+-y x l 的距离之和的最小值为（ ）A ．524 B ．526 C.6 D ．532 11.函数)257sin()17sin(+-+=x x y 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C.2 D ．3 12.设定义在区间],[k k -上的函数x mx x f +-=11lg)(是奇函数，且)21()21(f f ≠-.若][x 表示不超过x 的最大整数，0x 是函数62ln )(-++=k x x x g 的零点，则=][0x （ ） A ．1 B ．1或2 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),1(),1,0(),2,1(m -===.若∥（2+，则实数=m ． 14.已知]1,1[,-∈b a ，则不等式022≥+-b ax x 在R x ∈上恒成立的概率为 ． 15.核算某项税率，需用公式)()71(*∈-=N n x K n.现已知K 的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当7003=x 时K 的值.若精确到001.0，其千分位上的数字应是 ．16.四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，2=AB ，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为π16的同一球面上，则=PA ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且A c b Ca cos )32()2sin 21(32-=-. （1）求角A 的大小；（2）若4,32==c b ，D 是BC 的中点，求AD 的长. 18. （本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图甲）和频率分布直方图（如图乙）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[，据此解答如下问题.（注：直方图中)60,50[与]100,90[对应的长方形的高度一样）（1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在)90,80[之间应抽取多少人？（2）现从分数在]100,80[之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在]100,90[之间 份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图.（1）求该几何体的体积V ； （2）证明：∥BD 平面PEC ；（3）求平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值. 20. （本小题满分12分）设非零向量,，规定：θ⊗（其中>=<,θ），21F F 、是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，点B A ,分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，若32=⊗，椭圆C 的长轴的长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于点N M ,，若7212=⊗，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分） 已知函数)1(24341ln )2(16)(f xx x f x f ++-'=. （1）求函数)(x f 的解析式和单调区间；（2）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C 的及坐标方程为：θρcos 4=，直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21233（t 为参数），直线l 与C 交于21,P P 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）已知)0,3(Q ，求Q P Q P 21-的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数11)(-++=x x x f .（1）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （2）在（1）的条件下，若正数b a ,满足m b a =+3，求ba a ++121的最小值.曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学参考答案一、选择题1-5:DACBB 6-10:ABDAC 11、12：DC 12.∵x mx x f +-=11lg )(是],[k k -上的奇函数可求得1±=m ，∵)21()21(f f ≠-，∴1=m ，ze11011<<-⇒>+-x x x ，∴)1,1(],[-⊆-k k 且],[21k k -∈±，∴121<-≤k ， ∵)0(021)(>>+='x xx g ，即)(x g 为),0(+∞上的增函数（若)(x g 有零点，则只有一个），∵03ln )3(,022ln )2(>+=<-+=k g k g ，∴函数)(x g 的零点)3,2(0∈x ，则2][0=x .二、填空题13.4- 14.3115.3 16.22 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，A C A B C A cos sin 3cos sin 2cos sin 3-=， 从而可得A B B A B C A cos sin 2sin 3,cos sin 2)sin(3==+.又B 为三角形的内角，所以0≠B sin ，于是23cos =A ，又A 为三角形内角，∴6A π=. （2）解法一：由余弦定理得：24cos 2222=⇒=-+=a A bc c b a ，又∵2222216)32(2c b a ==+=+，∴ABC ∆是直角三角形，2π=C ，∴1313222222=+=+=）（CD AC AD ，∴13=AD .解法二：∵)(21+=， ∴13)cos 2(41)(412222=++=+=b A bc c ，∴13=AD .18.解：（1）由茎叶图知分数在)60,50[的人数为4，)70,60[的人数为8，)80,70[的人数为10，由频率分布直方图知：)60,50[与]100,90[的人数都为4，故总人数为32100125.04=⨯，∴分数在)90,80[的人数为：64108432=----，∴成绩在)90,80[之间应抽：316326=⨯人.（2）∵分数在)90,80[的人数为6，分数在]100,90[的人数为4， ∴ξ的可能取值为：2,1,0，∵，，，152)2(158)1(31)0(21024210141621026=========C C P C C C P C C P ξξξ ∴ξ的分布列为∴515215130)(=⨯+⨯+⨯=ξE . 19.（1）解：由三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，四边形APEB 是直角梯形，⊥PA 平面ABCD ，⊥B C 平面APEB ，4,42====CB EB AB PA .连接AC ，∴CB S PA S V V V APEB ACD APED C ACD P ⋅+⋅=+=∆--3131 380)21312131=⋅⋅+⋅+⋅⋅=CB AB PA EB PA AD （. （2）证明：如图，取PC 的中点F ，连接BD 与AC 交于点M ，连接EF FM ，. ∴PA FM PA FM 21=，∥，∴EB FM EB FM =，∥，故四边形BMFE 为平行四边形，∴BM EF ∥，又⊂EF 平面PEC ，⊄BD 平面PEC ，∴∥BD 平面PEC.（3）解：如图，分别以BE BA BC ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系， 则)4,4,0(),0,4,0(),2,0,0(),0,0,4(p A E C ， ∴)0,4,0(=为平面PDA 的一个法向量.设平面PEC 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧=++-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,20,0z y x x z CP n ， 令1=x ，∴)2,11(-n ，=，∴66,cos -<， ∴平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值为66. 20.解：（1）由题意：242=⇒=a a ，3290sin ===⊗ab ab ，∴3=b ，∴所求椭圆C 为：13422=+y x .（2）①当直线l 为：0=y ，即在x 轴上时，72120180≠=⊗ 不符合题意； ②当直线l 不在x 轴上时，由（1）知2F 为)0,1(，设l 为：1+=my x ，将其代入椭圆C 的方程得：096)43(22=-++my x m ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221m y y m m y y ，∴431124336)43(364)2222222122121++=+++=-+=-m m m m m y y y y y y （，又OAB S ∆>=<⊗2,7212431122122221212=++=-=-⨯⨯⨯=m m y y y y OF ，解得：12=m 或18172-=m （舍去），即1±=m . 综上，直线l 的方程为：1-=x y 或1+-=x y .21.解：（1）)0(4341)2(16)(2>--'='x xx f x f ， ∴161)2(163412)2(16)2(='⇒--'='f f f ，∴21)1()1(243411ln )1()1(24341ln )(-=⇒++=⇒++-=f f -f f x x x x f ，∴)0(14341ln )(>+-=x -xx x x f ，∴22243443411)(x x x x x x f --=--='， 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得10<<x 或3>x ， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(，单调递减区间是),3(),1,0(+∞. （3）若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（1）可知，在)2,0(上，1=x 是函数)(x f 的极小值点，这个极小值点是唯一的极值点，故也是最小点，所以21)1()(min -==f x f ，]2,1[,42)(2∈-+-=x bx x x g ， 当1<b 时，52)1()(max -==b g x g ； 当21≤≤b 时，4)()(2max -==b b g x g ； 当2>b 时，84)2()(max -b g x g ==；问题等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<5221,1b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤≤421212b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥->84212b b ， 解得1<b 或2141≤≤b 或φ∉b ，即214≤b ，所以实数b 的取值范围是]214,(-∞. 22.解：（1）∵θρρθρcos cos 442=⇒=，由⎩⎨⎧=+=xy x θρρcos 222得x y x 422=+，即C 的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x ， 直线l 消去参数t 得：033=--y x .（2）将直线l 的参数方程代入x y x 422=+，得：0332=-+t t ， 设21,P P 的对应参数分别为21,t t ，∴3,32121-=-=+t t t t ， 而40)23(22<+-，即点)0,3(Q 在圆C 的内部， ∴3212121=+=-=-t t t t Q P Q P . 23.解：（1）由题意，不等式m x x ≤-++11有解，即M x x m =-++≥min )11(. ∵2)1()1(11=--+≥-++x x x x ，当且仅当110)1)(1(≤≤-⇒≤-+x x x 时取等号， ∴2=M .（2）由（1）得23=+b a ，∴)121)](2[21)121)(321121b a a b a a b a a b a b a a ++++=+++=++（（ 2)122(21)1221(21=+≥+++++=a b a b a a ， 当且仅当2122==⇒+=+b a a b a b a a 时取等号，故2)121(min =++ba a .。

云南省曲靖市第一中学2018届高三上学期高考复习质量监测卷（四）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则a ∈（ ）A ．{}2-B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,0,2}-2．在复平面内，复数z 满足5(1)1z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题为假命题的是（ ）A ．x R ∃∈，使得sin 2x x +=B ．“22a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件C ．若向量()1,1a =，0b =，则//a bD ．函数sin y x =，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ②若//αβ，m β⊂，则//m α；③若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 5．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知函数331x y a +=+（0a >且1a ≠）图象恒过的定点A 在角α的终边上，则tan2α=（ ）A ．247-B ．724-C ．247D ．7247．在ABC ∆中，若3122AD AB AC =-，且BD DC λ=，则λ=（ ）A ．12-B ．12C ．13- D ．138．一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）ABC ．侧面四个三角形都是直角三角形D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形9．已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．714-D ．1410．已知定义在非零实数集上的函数()f x 满足：()()0xf x f x -<'，且(sin 4)sin 4f a =，(ln 2)ln 2f b =，0.20.2(2)2f c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 11．设1m ，1n >，若4mn e =，则ln m t n =的最大值为（ ）A ．eB ．2eC ．3eD ．4e12．已知函数()sin f x x x =，[1,1]x ∈-，则不等式(1)()f x f x +>的解集为（ ） A ．1(,)2-+∞B ．1(,0]2-C ．1(,)2-∞D ．1[0,)2二、填空题13．若函数20lg 1,0()3,0a x x f x x t dt x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，且((10))8f f =，则a 的值为__________． 14．则其外接球的表面积为__________． 15．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第13行从左向右的第7个数为__________．16．点(,)P x y 的坐标满足约束条件20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若(1,1)m =，(1,1)n =-，且OP m n λμ=+（O 为坐标原点），则2λμλ+的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：1n n a a +>（*n N ∈），12a =，该数列的前三项分别加上0,0,2后成等比数列，且22log n n a b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若1n n n c a b =+-，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知222sin 2sin 322A B B C a c b +++=. （1）求证：,,a b c 成等差数列；（2）若3B π=，4b =，求S .19．如图，正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，////AC DG EF ，且2AD DE DG ===，1AC EF ==.（1）求证：,,,B C G F 四点共面；（2）求二面角E BC F --的余弦值.20．定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()()0x f x ωϕ+= cos 1x ω（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <.21．已知函数22()22ln 2f x x ax a x a =--+，2()ln (1)g x x g '=+，其中0x >，a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处切线l 的方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥. 22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 的原点O 和极坐标系的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数） （1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于,A B 两点，求AOB∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C相交于,A B 两点，求AB 的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()26f x x x =+-的最小值为a .（1）求a 的值；（2）求函数y =的最大值.参考答案1．D【解析】因为B A ⊆，所以{}{},1,1B =∅-，当0a =时，B =∅，符合题意，当{}1B =时，2a =，当{}1B =-时，2a =-，故选D.2．A【解析】∵()511z i +=-∴ 2111z i i i====-++ ∴1z i =+，故在第一象限，选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．D【解析】对于A，sin 2sin 3x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，x R ∃∈，使得sin 2x x =，正确；对于B ，22ln ln a b a b a b >⇔>⇐>，但a b >推不出ln ln a b >（真数大于零），故正确；对于C ，零向量与任意向量平行，正确；对于D ，显然函数的最大值为1，故值域不正确，错误，选D.4．C【详解】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C. 5．B【解析】∵()3214913f x x x x =++-， ∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵ 等比数列中2537a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.6．C【解析】∵ 331x y a +=+恒过点()3,4-∴ 44tan 33α==-- ∴ 22tan 24tan 21tan 7ααα==-，故选C. 7．C【解析】 ∵ ()11AD AB BD AB BC AB AC AB λλλλ=+=+=+-++ ∴112λλ=-+ 解得：13λ=-，故选C. 8．B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图可知，PA ⊥底面ABCD AB AD AD DC ⊥⊥，，，212PA AB BC CD AD =====，，，计算可知B 正确，故选B ．点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9．A【分析】直接利用向量的数量积，向量的模和向量的夹角运算求出结果.【详解】解：∵单位向量1e 与2e 的夹角为3π， ∴121cos 32e e π⋅==，∴()212121e e e e -=-=，∴向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为：()()()()221212121221211221222e e e e e e e e e e e e e e +⋅=---+⋅=+⋅-=-， 故选: A .【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模及向量的夹角运算的应用.10．A【解析】令()()f x g x x =，则2()()()0xf x f x g x x -='<'，所以函数是定义域上的减函数， ∵ 0.2sin 40ln 212<<<<∴0.2(sin 4)(ln 2)(2)g g g >>，即a b c >>，故选A.11．D【解析】两边取对数，得：ln ln ln t m =⋅ ∴ 2422ln ln (ln )(ln )ln ln ln ()4244m n mn e t m +=⋅≤===， 当且仅当2m n e ==时，取等号，∴ 4t e ≤，故选D.12．B【解析】∵ ()sin()()f x x x f x -=--=∴ ()sin f x x x =是偶函数∵()sin sin cos f x x x x x x =+'=，∴ 当10x ≥>时，()0f x '>，故()f x 在(0,1]上是增函数，又()f x 是偶函数，故在[1,0-）上是减函数，由()()1f x f x +>知|x+1|>||x ，解得12x >-，又由111-11x x -≤+≤⎧⎨≤≤⎩得10x -≤≤，所以102x -<≤，故选B. 13．2【解析】∵()()2330010(lg101)(0)3|8a a f f f f t dt t a =-=====⎰∴ 2a =，故填2.14．4π【详解】设正三棱锥的外接球半径为R ，，高为1 所以2221(1)R R =+-，解得1R =，∴ 外接球的表面积4S π=，故填4π.15．85【解析】由排列的规律可得，第1n -行结束的时候排了11231(1)2n n n ++++-=-个数.所以第13行从左向右的第7个数是113(131)7852⨯⨯-+=，故填85. 16．5【解析】∵(11)(11)m n ==-，，，，由()()OP m n x y ，，λμλμλμ=+⇒=+-，∴将x λμ=+，y λ=μ-，代入20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，得10400λλμλμ-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，，，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得μλ的最大值为3，∴22λμμλλ+=+的最大值为5． 17．（1）2n a n =，2nn b =；（2）2122n n ++-.【解析】试题分析：（1）设其公差为d ，前三项分别加上002，，后成等比数列，利用等比中项可求出d ，写出{}n a 通项公式，再根据22log n n a b =.写出{}n b 的通项公式；（2）221nn c n =+-，利用分组求和，即可解决.试题解析：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，由题意0d >，由12a =，22a d =+，322a d =+，分别加上002，，后成等比数列， ∴()()22242d d +=+，∵0d >，∴2d =， ∴()2122n a n n =+-⨯=，又22log n n a b =，∴2log n b n =，即2nn b =． （2）由（1）得221nn c n =+-，∴()()()()123221421621221nn T n =+-++-++-+⋯++-()()2324622222n n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()()21222212n n n n -+=+--2122n n +=+-．18．（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用余弦定理求出ac ，再根据三角形面积公式即可求解. 试题解析：（1）证明：由题意：22ππ2sin 2sin 322C Aa cb --+=， ∴222cos2cos 322C Aa cb +=， 由正弦定理得222sin cos2sin cos 3sin 22C A A C B +=， 即()()sin 1cos sin 1cos 3sin A C C A B +++=， ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=， 即()sin sin sin 3sin A C A C B +++=， ∵()sin sin A C B +=，∴sin sin 2sin A C B +=，即2a c b +=，∴a b c ，，成等差数列． （2）由余弦定理得22π2cos 163a c ac +-=， ∴()2316a c ac +-=， 又由（1）得8a c +=， ∴16ac =，则1sin 2S ac B == 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19．（1）证明见解析；（2）6. 【解析】试题分析：（1）取DG 的中点M ，连接FM AM ，，利用平行四边形可证明BF AM ，AM CG ，根据平行的传递性，可得BF CG BF CG ，=，从而四边形BFGC 是平行四边形，问题得证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出. 试题解析：（1）证明：方法1：如图，取DG 的中点M ，连接FM AM ，， ∵在正方形ABED 中，AB DE ，AB DE =， 在直角梯形EFGD 中，FMDE ，FM DE =，∴AB FM ，AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形， ∴BFAM BF AM =，，∵在直角梯形ADGC 中，AC MG AC MG ，=，即四边形AMGC 是平行四边形， ∴AMCG AM CG =，，由上得BF CG BF CG ，=，即四边形BFGC 是平行四边形， ∴B C G F ，，，四点共面． 方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，易证：AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则()()()()()002202012200210(020A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，）∵()()012012BF CG ，，，，，=-=-，∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形，故G B C F ，，，四点共面． （2）解：设平面BFGC 的法向量为()111m x y z ，，=， ∵()210FG =-，，，则11112020BF m y z FG m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，令12y =，则()121m =，，， 设平面BCE 的法向量为()222n x y z =，，，且()()210002BC EB =-=，，，，，， 则2222020BC n x y EB n z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，， 令21x =，则()120n ，，=， ∴设二面角E BC F --的平面角的大小为θ，则11cos m n m n θ⋅⨯+===． 点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析. 20．（1）π5πππ1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由行列式得到()f x 解析式，根据周期计算ω，根据平移后是奇函数计算ϕ，根据解析式求单调区间即可；（2）根据2n S n =求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n 项和，即可证出结论. 试题解析：（1）解：由题意：()()()sin 1cos 0sin f x x x x ωϕωωϕ=+⨯-⨯=+，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()()sin 2f x x ϕ=+，∴()f x 的图象向右平移π3个单位后得π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此函数为奇函数，则2ππ3k k Z ϕ-+=∈，，∵π2ϕ<，∴π3ϕ=-， ∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N+≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=， ∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 21．（1）210x y --=；（2）12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在()1,+∞上大于等于零恒成立，分离参数即可求出a 的取值范围；（3）写出()()()F x f x g x =+，求导数，利用导数求其最小值即可证明.试题解析：（1）解：当0a =时，()2f x x =，∴()()212f x x f =⇒'='，此时切点为()11，， ∴l 的方程为()121210y x x y -=-⇒--=．（2）解：∵()2222ln 2f x x ax a x a =--+，函数()f x 在区间()1+∞，上单调递增， ∴()22222220a x ax af x x a x x--=--=≥'在区间()1+∞，上恒成立， ∴21x a x ≤+在()1x ∈+∞，上恒成立，则()2min11x a x x ⎛⎫≤∈+∞ ⎪+⎝⎭，，， 令()21x M x x =+，则()()()()222221211x x x x x M x x x +-+==++'，当()1x ∈+∞，时，()0M x '>， ∴()()21112x M x M x =>=+，∴12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，． （3）证明：∵()2ln x g x x ='，∴()2ln1101g ='=，则()2ln g x x =， ∴()()222222ln 22ln ln 22ln 2x x F x x ax a x x a a x x a ⎡⎤+=--++=-++⎢⎥⎣⎦，令()()222ln ln 2x xP a a x x a +=-++， 则()()()2222222ln ln ln ln ln ln 222244x x x x x x x x x x x x P a a a --++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln Q x x x =-，则()111x Q x x x'-=-=， 显然()Q x 在区间()01，上单调递减，在区间[)1+∞，上单调递增，则()()min 11Q x Q ==，∴()14P a ≥，则()11242F x ≥⨯=． 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22．(1)45;(2) 【解析】试题分析:(1)先消去参数写出曲线C 在直角坐标系下的普通方程,再根据极坐标与普通方程互化公式写出极坐标方程, 分别代入π4θ=和π4θ=-，求出228||5OA OB ==，又π2AOB ∠=，可求出AOB ∆的面积；(2) 将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,可得关于t 的一元二次方程,写出韦达定理,由弦长12AB t t =-代入即可. 试题解析:（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2214x y +=，将其化为极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，分别代入π4θ=和π4θ=-，得228||5OA OB ==， ∵π2AOB ∠=，∴AOB 的面积14·25S OA OB ==．（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=，即1212655t t t t +=-=-，∴12AB t t =-===． 23．(1) 3a =;(2)5. 【解析】试题分析:(1) 方法1：将函数()f x 按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a 的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a 值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件. 试题解析:（Ⅰ）方法1：∵()36026603363x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=-+<≤⎨⎪->⎩，，，，，， ∴()f x 在(]0-∞，上是减函数，在(]03，上是减函数，在()3+∞，上是增函数， 则()()min 33f x f ==， ∴3a =．方法2：∵()2633x x x x x +-=+-+- ()3333303x x x x ≥--+-=+-≥+=，当且仅当()30330x x x x ⎧-≤⇒=⎨-=⎩，时取等号， ∴3a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =[]34，，且0y >， 由柯西不等式可得：y ==5≤=，当且仅当=[]843425x =∈，时，函数取最大值5．。

云南省曲靖市第一中学2018届高三高考复习质量监测卷（四）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，当时，，符合题意，当时，，当时，，故选D.2. 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】∵∴∴，故在第一象限，选A.3. 下列命题为假命题的是（）A. ，使得B. “”是“”的必要不充分条件C. 若向量，，则D. 函数，的值域为【答案】D【解析】对于A，，当时，，使得，正确；对于B，，但推不出（真数大于零），故正确；对于C，零向量与任意向量平行，正确；对于D，显然函数的最大值为1，故值域不正确，错误，选D.4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【解析】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A、B选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5. 在等比数列中，是函数的极值点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴由可知，∵等比数列中且∴，故选B.6. 已知函数（且）图象恒过的定点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵ 恒过点∴∴，故选C.7. 在中，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...∴解得：，故选C.8. 一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）A. 最长的棱长为B. 该四棱锥的体积为C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形【答案】B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图可知，底面计算可知B正确，故选B．点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵单位向量与的夹角为∴∴，∴ 向量在向量方向上的投影为：，故选A.10. 已知定义在非零实数集上的函数满足：，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，所以函数是定义域上的减函数，∵∴，即，故选A.11. 设，，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】两边取对数，得：∴，当且仅当时，取等号，∴，故选D.12. 已知函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴是偶函数∵，∴ 当时，，故在上是增函数，又是偶函数，故在上是减函数，由知，解得，又由得，所以，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数，且，则的值为__________．【答案】【解析】∵∴ ，故填.14. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________．【答案】【解析】设正三棱锥的外接球半径为R，因为球心到四个顶点的距离相等，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为1所以，解得，∴外接球的表面积，故填.15. 将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第行从左向右的第个数为__________．【答案】【解析】由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数.所以第13行从左向右的第7个数是，故填16. 点的坐标满足约束条件，若，，且（为坐标原点），则的最大值为__________．【答案】【解析】∵，由，∴将，，代入得画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得的最大值为，∴的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足：（），，该数列的前三项分别加上后成等比数列，且.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）设其公差为d，前三项分别加上后成等比数列，利用等比中项可求出d，写出通项公式，再根据.写出的通项公式；（2），利用分组求和，即可解决.试题解析：（1）设为等差数列的公差，由题意，由，，，分别加上后成等比数列，∴，∵，∴，∴，又，∴，即．（2）由（1）得，∴．18. 在中，角的对边分别为，面积为，已知.（1）求证：成等差数列；（2）若，，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求解.试题解析：（1）证明：由题意：，∴，由正弦定理得，即，∴，即，∵，∴，即，∴成等差数列．（2）由余弦定理得，∴，又由（1）得，∴，则．点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19. 如图，正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，，且，.（1）求证：四点共面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，利用平行四边形可证明，，根据平行的传递性，可得，从而四边形是平行四边形，问题得证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出.试题解析：（1）证明：方法1：如图，取的中点，连接，∵在正方形中，，，在直角梯形中，，，∴，，即四边形是平行四边形，∴，∵在直角梯形中，，即四边形是平行四边形，∴，由上得，即四边形是平行四边形，∴四点共面．方法2：由正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，易证：两两垂直，建立如图所示的坐标系，则∵，∴，即四边形是平行四边形，故四点共面．（2）解：设平面的法向量为，∵，则令，则，设平面的法向量为，且，则令，则，∴设二面角的平面角的大小为，则．点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.20. 定义行列式运算：，若函数（，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数的单调增区间；（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由行列式得到解析式，根据周期计算，根据平移后是奇函数计算，根据解析式求单调区间即可；（2）根据求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n项和，即可证出结论.试题解析：（1）解：由题意：，∵，∴，∴的图象向右平移个单位后得，此函数为奇函数，则，∵，∴，∴，由可得，∴的单调增区间为．（2）证明：由（Ⅰ）得，∴，①当时，；②当时，，而，∴，则，∴．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．21. 已知函数，，其中，.（1）当时，求在点处切线的方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）记，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在上大于等于零恒成立，分离参数即可求出a的取值范围；（3）写出，求导数，利用导数求其最小值即可证明.试题解析：（1）解：当时，，∴，此时切点为，∴的方程为．（2）解：∵，函数在区间上单调递增，∴在区间上恒成立，∴在上恒成立，则，令，则，当时，，∴，∴．（3）证明：∵，∴，则，∴，令，则，令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，∴，则．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数）（1）在极坐标系下，曲线与射线和射线分别交于两点，求的面积；（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:(1)先消去参数写出曲线在直角坐标系下的普通方程,再根据极坐标与普通方程互化公式写出极坐标方程, 分别代入和，求出，又，可求出的面积；(2)将的参数方程代入曲线的普通方程,可得关于t的一元二次方程,写出韦达定理,由弦长代入即可.试题解析:（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，∴的面积．（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，即，∴．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:(1)方法1：将函数按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件.试题解析:（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．。

曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}2B x xx =-=，且B A ⊆，则a 的值为（ ）．A. 1B. 1- C. 1± D. 2【答案】B 【解析】【分析】解二次方程化简集合B ，再由集合的包含关系求得a ，进而利用元素的互异性即可得解.【详解】因为{}{}200,1B x x x =-==且BA ⊆，则集合A 中必含元素0，1，所以21a =或1a =，得1a =±，根据集合中元素的互异性可知：1a =-．故选：B ．2. 已知221813iiz +=，则z 虚部为（ ）．A. 13- B. 13i- C. 13D. 18-【答案】C 【解析】【分析】应用复数运算法则化简式子求z ，根据i z a b =+求出i z a b =-即可知z 的共轭复数，求出z 的虚部即可.【详解】4i 1n =，所以224522i i i i 1⨯===⋅-，1813i z =--，1813i z =-+，所以z 的虚部为13.故选：C .3.πcos()3αα=-，则tan 2α=（ ）．A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.的πcos()3αα=-1cos2αα=+1cos2αα=，可得tanα=，由正切的倍角公式可得tan2α==故选：D．4. 已知F是双曲线2213xy-=的左焦点，()1,3M，P是双曲线右支上的一动点，则PF PM+的最小值为（）．A.B.C. +D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线定义得到2PF PF a'-=，进而根据PM PF MF'+≥'，即可求解【详解】设双曲线的右焦点为F'，由2213xy-=可知a=2c=，则()2,0F'，因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：2PF PF a'-==所以PF PM PF PM+=++'，因为PF PM MF+'≥'，当且仅当F'，P，M三点共线时，达到最小值MF'，因为()1,3M，()2,0F'，所以MF'=，即PF PM+的最小值为MF+='故选：C．5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．A.37B.47C.15D.45【答案】A 【解析】【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．6. 过点()0,2P 作圆22:430C x x y-++=的两条切线，设切点为A ，B，则切点弦AB 的长度为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先求PC 以及切线长，再根据等面积法即可得结果.【详解】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知PC =C 的半径1r =，所以切线长PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为1212PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：12PACB S PC AB ==⨯⨯，所以AB =故选：B ．7. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C A =，a ，b ，c 成等差数列，则cos C =（ ）．A.18B.34C. 12-D.45【答案】A【解析】【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.【详解】因为2C A =，所以π3B A =-．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b a c =+．根据正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即()2sin 3sin sin A A C =+，展开得：2sin 2cos 2cos 2sin sin sin A A A A A C +=+，进一步得：()()sin 22cos 1sin 12cos 2A A A A -=-，因为sin 0A ≠，可得28cos 2cos 30A A --=，又易知A 为锐角，所以3cos 4A =，则231cos 2148C ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A ．8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，及()()g x f x '=，若()12f x -，()2g x +均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．A. ()10f = B. ()g x 的周期为2C. ()()13f f -= D. ()()02g g =【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】因为()12f x -是偶函数，则()()1212f x f x -=+，即()f x 关于1x =对称，对()()1212f x f x -=+两边同时求导可得：()()212212f x f x --=+''，即()()12120g x g x -++=，所以()g x 关于()1,0对称，又因为()2g x +是偶函数可得()()22g x g x +=-，即()g x 关于2x =对称．从而得()g x 的周期为4．所以()f x 的周期也为4．对于选项A ，因为若()f x 满足题意，则()f x c +也满足题意．故()f x 的值不确定，所以A 错；对于选项B ， ()g x 的周期为4，所以B 错；对于选项C ， ()f x 的周期也为4，所以()()13f f -=，所以C 对；对于选项D ，()g x 关于()1,0对称，所以()()02g g =-，所以D 错．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知x ，y 都是正数，且22x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A. xy 的最大值为12B.12x y +的最小值为92C. 224x y +的最小值为4D.+的最大值为2【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式可对A ，C 、D 判断；利用基本不等式“1”的应用可对B 判断；【详解】对A ：22x y +=≥可得12xy ≤，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故A 选项正确；对B ：由22x y +=，得12xy +=，所以()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，故1292x y +≥，当且仅当23x y ==时成立，故B 选项正确；对C ：()2222444x y x xy y +=++=，由A 知12xy ≤，所以2214444422x y xy +=-≥-⨯=，仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故C 选项错误；对D ：由A 知12xy ≤，所以22224x y +=++=+≤+=，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时成立，故D 选项正确．故选：ABD ．10. 已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线C 的准线与x 轴的交点为G ．则下列说法正确的是（ ）A. 124x x = B. 当8AB =时，直线l 的斜率为1±C. GF 始终平分AGB ∠D. ()min 8AGB S = 【答案】BC 【解析】【分析】设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A ，通过弦长公式可判断B ，通过0AG BG k k =+可判断C ，由三角形面积公式可判断D.【详解】显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x ny =+，联立直线与抛物线得2440y ny --=，则124y y =-，所以221212116y y x x ==，所以A 选项错误；又因为()212124448AB x x p n y y n =++=++=+=，可得21n =，即11n k==±，所以1k =±，所以B 选项正确；即证0AG BG k k =+，即()()()12121212221212121212122288011222424ny y y y y y y y n nx x ny ny n y y n y y n y y n y y ++-++=+===++++++++++，所以C 选项正确；由上述知：12AGB S AB d =⋅ ，已知直线方程为：10x ny --=，则d =，所以()214442AGB S n =+=≥ ，当且仅当0n =时成立，所以()min 4AGB S = ，所以D 选项错误．故选：BC ．11. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π3AB =，则下列说法正确的是（ ）．A.2ω=，π3ϕ=-B. ()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 5π12x =-是()f x 的一条对称轴 D. y x =-是曲线()f x 的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】由函数的图象可确定ω，ϕ的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.【详解】设11,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,2B x ⎛⎫⎪⎝⎭，则21π3x x -=．因为()112sin x ωϕ+=，()212sin x ωϕ+=,所以1π2π6x k ωϕ+=+，25π2π6x k ωϕ+=+，Z k ∈，所以()212π3x x ωϕωϕ+-+=，即()212π3x x ω-=，即2ω=．又因为2π2πsin 033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为下降零点，所以2ππ2π3k ωϕ+=+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，故取π3ϕ=-．故()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以A 选项正确；当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2π2,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，显然不是单调增区间，所以B 选项错误；将5π12x =-代入方程得()5ππ7πsin 2sin 11236f x -⎛⎫⎛⎫=⨯-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不是对称轴，所以C 选项错误；令()π2cos 213f x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭得ππ3x k =+或πx k =，取点0,⎛ ⎝得其中一条切线为y x =-，所以D 选项正确．故选:AD ．12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台ABCD A B C D -''''．如图所示，过B '作底面ABCD 的垂线，垂足为G ．记B BG α'∠=，B BC γ∠'=，GBC θ∠=，面BB C C ''与面ABCD 所成角为β，面BB C C ''与面BB G'所成角为x ，B C a ''=，BC b =，B G h '=，则（ ）A. 正四棱台ABCD A B C D -''''体积为()2213h a b ab ++B. tan 2tan βα=C. sin sin sin αβγ=D cos cos cos cos sin sin x θαγαγ-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A 选项；作出面BB C C ''与面ABCD 的二面角β，分别写出tan ,tan βα的表达式，即可判断B 选项；根据B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．得到sin sin sin BB B H BB αγβ'''==，即可判断C 选项；作出面BB C C ''与面BB G '的二面角，通过余弦定理即可判断D 选项.【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：(()221133V h S S h a b ab =+=++下上台，所以A 正确；对于B ，过G 点作BC 边的垂线交BC 于H点，的.因为GH BC ⊥，B G '⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以B G BC '⊥，又,HG B G '⊂面B HG '，所以BC⊥面B HG '，所以B HG '∠就为面BB C C ''与面ABCD 所成角的二面角β，则tan B H BB α'='，tan B G HG β'==tan tan βα=．所以B 错误；对于C ，因为B G '⊥面ABCD ，BC ⊥面B HG '，所以B GB ' ，B GH ' ，B HB ' ，BHG 均为直角三角形．所以sin sin sin BB B H BB αγβ'''==,即sin sin sin αβγ=．所以C 正确；对于D ，过H 点作BB '的垂线，交BB '于I ，再在平面BB G '内过I 作BB '的垂线交BG 于J ．易知此时面BB C C ''与面BB G '所成角的二面角就为HIJ x ∠=．设BJ m =，则sin IJ m α=，cos sin cos m IH αγγ=．cos sin cos IH m BH αγγ==，22222222cos cos cos 2cos 2cos cos m m JH BJ BH BJ BH m ααθθγγ=+-⋅=+-，由余弦定理可知：222cos 2IJ IH JH x IJ IH+-=⋅，222222222222cos sin cos 2cos cos sin cos cos cos 2sin cos sin cos m m m m m m αγααθαγγγααγγ+--+=，222222sin cos cos sin cos cos 2cos cos cos 2sin cos sin cos αγαγγααθγααγγ+--+=，2cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin sin αθαγθαγααγαγ--==，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量()2,2a b += ，()1,3a b -= ，则22a b -= __________．【答案】8【解析】【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.【详解】()()2221238a b a b a b -=+⋅-=⨯+⨯=．故答案为：8.14. 已知等差数列{}n a 中，19a =-，33a =-．记()121,2,3,n n T a a a n == ，则数列{}n T 中的最小项为__________．【答案】162-【解析】【分析】先求出数列的通项公式，求出n T ，观察可得答案.【详解】因为等差数列{}n a ，所以公差3132a a d -==，即()913312n a n n =-+-⨯=-．由于19a =-，26a =-，33a =-，40a =，所以19T =-，254T =，3162T =-，450n T T T ==== ，所以()3min 162n T T ==-．故答案为：162-15. 若函数()πsin 3y x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，则实数ω的值可以是__________（写出一个满足题意的ω即可）．【答案】3或4（只写一个即可）【解析】【分析】根据π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 求得ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合已知条件图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰好有两条对称轴，求得关于ω的不等式解出ω范围，因ω*∈N 确定ω的值.【详解】因为π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，则ππππ,3323x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为需要包含两条相邻的对称轴，因为π3在区间内，则有3πππ5π2232ω≤+<，即71333ω≤<，所以3ω=或4．故答案为：3或4（只写一个即可）16. 已知函数()22e 18xf x a x =-+，其中0a >且1a ≠．若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()1,11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，()0f x '=即ln e x a a x =，令()ln x h x a a =，()e g x x =，分1a >和01a <<两种情况讨论，根据()h x 与()g x 有两个交点，求出()h x 过原点的切线，比较()h x 过原点的切线的斜率与()g x 斜率，得出关于两斜率的不等式求解a 即可.【详解】对函数()22e 18xf x a x =-+求导得：()()2ln 2e 2ln e xxf x a a x a a x =-=-'，因为()f x 存在两个极值点，所以()f x '有两个不同的变号零点．令()0f x '=，有 ln e x a a x =，令()ln xh x a a =，()e g x x =，所以()h x 与()g x 有两个交点；当1a >时，()ln xh x a a =，()2ln xh x a a '=，设过原点的直线与()ln xh x a a =的切点坐标为()00,ln xx a a ，切线斜率为02ln x k a a =，所以切线方程为：()0020ln ln xxy a a a a x x -=-，将原点坐标带入切线方程得01ln x a=．此时切线的斜率为：122ln ln eln ak aa a ==，现在需要ln e xa a x =有两个交点，即2eln e k a =<，因为1a >，有ln 0a >，所以0ln 1a <<，所以1e a <<；同理知当01a <<时，ln 0a <， 2eln e k a =<， 即1ln 0a -<<，所以11ea <<．综上知：a 的取值范围为()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：()1,11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，5A B C +=，()3sin sin B C A -=，2AB =．（1）求ABC 的外接圆半径R ；（2）求sin A ．【答案】（1）2R =（2【解析】【分析】（1）根据内角和求出C ，由正弦定理即可得结果；（2）通过两角和与差的正弦公式可得tan B ，即得sin B ，cos B ，最后根据()sin sin A B C =+即可得结果.【小问1详解】因为5A B C +=，πA B C ++=，所以π6C =．又因为2AB c ==，所以根据正弦定理得：24sin cR C==，所以2R =．【小问2详解】因为()()3sin sin sin B C A B C -==+，展开可得：sin cos 2cos sin B C B C =，即tan B =，所以sin B =cos B =因为πA B C ++=，所以()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，且//AD BC ，AB AD ⊥，22PA AB BC AD ====，E 为PB 边上的一点，满足2BE EP =．（1）求证：直线//PD 面ACE ；（2）F 为线段BC 的中点，求直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于G ，再连接EG ，证明出AGD CGB △∽△，可得出BG BEDG EP=，可证明出//PD AG ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PF 与平面ACE 所成角的余弦值.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于G ，再连接EG ．因为//AD BC ，则DAG BCG ∠=∠，ADG CBG ∠=∠，则AGD CGB △∽△，所以，2BG BCDG AD ==，又因为2BE EP = ，则2BEEP =，所以，BG BE DG EP=，所以，//PD AG ，因为PD ⊄平面ACE ，AG ⊂平面ACE ，因此，//PD 平面ACE .【小问2详解】解：由题可得：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()0,0,2P ，24,0,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2,0C ，因为F 为线段BC 的中点，则()2,1,0F ，所以，24,0,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,2,0AC =．设面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则2202433m AC x y m AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，可得()2,2,1m =--，又因为()2,1,2PF =-，设直线PF 与平面ACE 所成角为θ，则44sin cos ,339PF m PF m PF m θ⋅====⨯⋅，则cos θ===，因此，直线PF 与平面ACE19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<∈N 条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．【答案】19. 分布列见解析，()65E X = 20. 07a =【解析】【分析】（1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率，23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的公式可以求出分布列期望.（2）根据已知条件求出()P A 的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合010a <<且a *∈N ，比较()6P ，()7P 大小确定a 值.【小问1详解】由题可得：X 0=，1，2，3，可得：每次捉到红鲤鱼的概率为42105p ==．易知23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．分布列如表所示：X123()P X 2712554125361258125所以()26355E X np ==⨯=．【小问2详解】每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为10a，则捉到黑鲤鱼的概率为110a -．所以()()223233C 11010101000a a P A a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中010a <<且a *∈N ，令()3210h a a a =-+，则()2320h a a a '=-+，()0h a '=解得0a =或203a =，故在200,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0h a '>，()h a 为增函数，在20,103⎛⎫⎪⎝⎭上()0h a '<，()h a 为减函数，所以()max 203h a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又因为010a <<且a *∈N ，所以验证()546125P =，()44171000P =，所以()()max 7P A P =，所以07a =，综上所述：事件A 发生的概率最大时07a =.20. 已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．（1）若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．【答案】（1）n a n =； （2）5353T =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差d 即可求出通项公式.（2）利用等差数列通项列式，求出1,n n b b +的关系，利用构造法求出数列{}n b 的通项，再借助分组求和即得.【小问1详解】由数列{}n a 是等差数列，22n n a a =，得()()()()1112121221a n d a n d a n d +-=+-=+-，则11d a ==，所以数列{}n a 的通项公式为：()11n a n n =+-=．【小问2详解】因为数列{}n a 是等差数列，且满足13n n b b a a +=，则()()()()1111131331n n n a b d a b d a b d ++-=+-=+-，又13a d =，则化简得：134n n b b +=+，于是()1232n n b b ++=+，由11b a a =，得11b =，因此数列{}2n b +是以3为首项，3为公比的等比数列，则23nn b +=，即32nn b =-，所以()553131035313T -=-=-.21. 已知抛物线(2:20O x py p =>，其顶点在坐标原点，直线1y =与抛物线交于M ，N 两点，且OM ON ⊥．（1）求抛物线O 的方程．（2）已知()22:21C x y +-= ，1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中12A A ，13A A 均与C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）2x y = （2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）先由题意求得,M N 的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得p ，由此得解；（2）充分利用()21,2,3i i x y i ==，得到直线12A A 与13A A 的方程，利用与圆相切的性质同构出直线23A A 的方程，从而得解.【小问1详解】因为1y =与抛物线相交，联立212y x py =⎧⎨=⎩，解得1y x =⎧⎪⎨=⎪⎩()M，)N．因为OM ON ⊥，所以210OM ON p ⋅=-+= ，所以21p =，则抛物线的方程为2x y =．【小问2详解】由题易知直线12A A ，13A A ，23A A 斜率一定存在，设()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，则()21,2,3i i x y i ==，则直线12A A 的方程为：()211121y y y y x x x x --=--，即()()1211y y x x x x -=+-，即()21120x x x y x x +--=，因为()22:21C x y +-= 的圆心为()0,2C ，半径为1r =，因为直线12A A 与圆C1=，平方化简得：2222121212230x x x x x x --++=，看成关于2x ，2y 为变量的式子得：()121211230y y x x y -++-=，同理得直线13A A 与圆C 相切，化简式子后得：()131311230y y x x y -++-=，所以可以同构出直线23A A 的方程为：()1111230y y x x y -++-=，则所以圆心()0,2C 到直线23A A 的距离为：11111y d y +==+，此时圆心C 到直线23A A 的距离为定值，定值为1.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线23A A 的方程，从而得解.22. 已知函数()e x ax f x =和ln ()x g x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【答案】（1）1a = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；（2）设()()h x f x b =-，由（1）确定10eb <<，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得y b =与()y f x =的图象有两个交点，同理得y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合()(ln )g x f x =可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.【小问1详解】()f x 定义域是(,)-∞+∞，()g x 的定义域是(0,)+∞，因为()()()211ln ,e xa x xf xg x ax''--==，当a<0时，()01f x x '<⇒<,()01f x x '>⇒>,()00e g x x '<⇒<<,()0e g x x '>⇒>,则()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞单调递增，不存在最大值，()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞单调递增，也不存在最大值；同理知当0a >时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，所以()f x 有极大值()1eaf =，即()f x 的最大值，()g x 有极大值()1e eg a =，即()g x 最大值，所以1e ea a =，即1a =；【小问2详解】由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0g x >，因此只有10eb <<才可能满足题意，记()exx h x b =-，且10e b <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00eh b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=，设()()m x x ϕ'=，则()e 2x m x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增，所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211(e 0bb bϕ=->，11e bb b <又1110ebb h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，的第21页/共21页其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内，同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x x x x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e x x =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，324,,x x x 成等比数列.【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系()(ln )g x f x =找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.的。

2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.2．若复数z 满足()113z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由题意可得13121iz i i+===-+-，12z i =--，则z =得解.【详解】()113z i i -=+可得13(13)(1)121(1)(1)i i i z i i i i +++===-+--+， 所以12z i =--z ==，故选：A 3．411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为6，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．54C ．74D ．94【答案】B【分析】利用多项式乘法运算法则及排列组合思想即可求解. 【详解】解：由题意，411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为344411C a C ⨯⨯+⨯， 所以3444116C a C ⨯⨯+⨯=，即416a +=， 所以54a =， 故选：B.4．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A ．22440x y x y +--= B ．22440x y x y +++= C ．22330x y x y +++= D ．22220x y x y +--=【答案】A【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r = ∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且86a =，则11a 的为（ ） A ．-1 B ．-3C ．-5D ．-7【答案】B【分析】由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得312q =-，可求得11a ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，因为10a ≠，0q ≠，且210q q ++>，所以312q =-，又86a =，故311816()32a a q ==⨯-=-． 故选： B.6．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且9AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．16B ．4C ．82D ．76【答案】 D【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P ，由数量积的坐标运算可表示出PB PC ⋅，利用基本不等式可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，1,0ABt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AC t =，()()19,00,1,9AP t t t t ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即()1,9P ，11,9PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,9PC t =--，111981829t t B t PC t P ⎛⎫∴⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，0t >，119296t t t t∴+≥⋅=（当且仅当19t t =，即13t =时取等号），()82676PB PC ∴⋅≤-=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 为11，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【分析】按照程序框图运行程序，直到满足5x ≤可代入21y x =-，由此确定输出值. 【详解】按照程序框图运行程序，输入11x =，不满足5x ≤，循环；1156x =-=，不满足5x ≤，循环；651x =-=，满足5x ≤，则2111y =⨯-=，输出1y =.故选：A.8．已知a ，b 是空间两条不同的直线，已知α，β是空间两个不同的平面，对于如下四个命题：①若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，a b ⊥，则//αβ； ③若a α⊥，//b β，//a b ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④【答案】D【分析】由平行关系和垂直关系的相关定理依次判断各个选项可知①③④正确；由反例可知②错误. 【详解】对于①，//a b ，a α⊥，b α∴⊥，又b β⊥，//αβ∴，①正确；对于②，在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，若11A B a =，1BB b =，平面ABCD α=，平面11ADD A β=， 则满足//a α，//b β，a b ⊥，此时αβ⊥，②错误； 对于③，a α⊥，//ab ，b α∴⊥，又//b β，则在β中必存在直线//c b ，c α∴⊥，又c β⊂，αβ∴⊥，③正确； 对于④，a α⊥，b β⊥，,a b ∴分别为,αβ的法向量，又αβ⊥，a ∴与b 所成角为90，即a b ⊥，④正确. 故选：D.9．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得对函数()f x 定义域内任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”，若()22ln f x x x x =--，()3g x ax =-+．若()g x 为函数()f x在区间()0,∞+上的一个“线性覆盖函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],2-∞ C ．(],4-∞ D ．(],6-∞【答案】C【分析】由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，从而将问题转化为求函数的最值． 【详解】解：由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，等价于min ()a h x . 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x'+-=+-=， 由()0h x '<得01x <<，由()0h x '>得1x >， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时()h x 取得最小值()h 14=， 所以4a ，即a 的取值范围为(],4-∞． 故选：C ．【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）a ≥ f (x )恒成立⇔ a ≥ f (x )max ；（2）a ≤ f (x )恒成立⇔a ≤ f (x )min . 10．已知双曲线()2222:104x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】D【分析】根据切线长相等可得线段长的等量关系，结合双曲线定义可知1222MF MF PQ a -==，由此求得a ，结合2c =可得所求离心率.【详解】设2MPF 内切圆与12,MF MF 分别切于点,S T ，由切线长相等知：MS MT =，PS PQ =，22QF TF =，由对称性知：12PF PF =， 由双曲线定义得：12122232MF MF PF PS QF PQ PS PQ a -=+-=+===， 3a ∴=2242c a a +-=，C ∴的离心率23c e a ==. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果.11．设曲线() xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2- D ．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果. 【详解】()x f x ae '=，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.12．下列五个命题：① ln 72<；②ln p e >>>；③<④33ππ<；⑤33e e <．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】令()ln xf x x=，利用导数可求得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；将所比较的式子转化为()f x 的函数值的大小关系的比较，根据函数单调性可确定()f x 函数值的大小关系，化简得到所比较的式子的大小关系. 【详解】令()ln x f x x =，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；对于①，02e <<，()2ff ∴>ln 22>，2ln 7<=，①错误；对于②，0e p >>>，ff ∴<<，ln p ==，②正确；对于③，114e <<，()4f f∴<，即ln 42ln2ln 2442==<，2<ln ln11<，11∴<<③正确；对于④，3e π<<，()()3ff π∴<，即ln ln 33ππ<，3ln ln 3ππ∴<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ∴<，④错误； 对于⑤，3e <，()()3f e f ∴>，即ln ln 33e e >，3ln ln 3e e ∴>， 即3ln ln3e e >，33e e ∴>，⑤正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件21021010x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则()0z ax by a b =+>>取最大值4时，41a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】由约束条件可得可行域，当z 取最大值时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当a zy x b b=-+过()1,1A 时z 最大，利用()411414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得41a b+的最小值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当()0z ax by a b =+>>时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大， 0a b >>，1a b∴-<-，则由图形可知：当a zy x b b =-+过A 时，在y 轴截距最大，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，max 4z a b ∴=+=， ()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∴（当且仅当4b a a b =，即823a b ==时取等号），41a b ∴+的最小值为94.故答案为：94. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】由题得321211a a a =-=-=，432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-， 6542(1)1a a a =-=---=-, 7651(2)1a a a =-=---=, 8761(1)2a a a =-=--=,所以数列的周期为6，126+++0a a a =，2019=6336+3⨯，所以22019131214S a a a =++=++=. 故答案为：4【点睛】关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期. 15．如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．【答案】362【分析】由球的体积可确定其半径，根据正四棱柱外接球半径与底面外接圆半径和高之间关系可构造方程，求得2362h a =-根据侧面积公式可将侧面积S 表示为关于a 的函数，借助于基本不等式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得：3R =；正四棱柱底面正方形外接圆半径221222r a a a =+=，又2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2221922h R r a ∴=-=-，解得：2362h a =- ∴正四棱柱侧面积()2224436216362S ah a a a a ==-=-，()22222236223623242a a a a ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭（当且仅当222362a a =-，即3a =时取等号），8324362S ∴≤⨯= 即正四棱柱侧面积的最大值为362. 故答案为：362.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是将所求内容表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数值域的求解方法或基本不等式求得最值.16．已知函数()()12cossin 02262xx f x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点可结合周期确定01ω<≤，同时确定6x πω+的范围；可确定,266πππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭位于[]2,2k k πππ+或[]2,22k k ππππ++之间，由此构造不等式组求得结果. 【详解】()12cossin cos cos sin 226262x x x f x ωωπωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21coscos 2222xxx ωωω=+-1cos sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ()f x 在(),2ππ内没有零点，2ππππω∴-=≤，可知01ω<≤， 当(),2x ∈ππ时，,2666x πππωπωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()26226k k Z k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪∴∈⎨⎪+≤+⎪⎩或()262226k k Z k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：()152612k k k Z ω-≤≤+∈或()5112612k k k Z ω+≤≤+∈； 又01ω<≤，5012ω∴<≤或511612ω≤≤，即ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过函数在区间内没有零点，得到区间长度小于半个周期，并通过整体对应的方式确定区间端点值所满足的条件.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且有()cos cos sin 0A c B b C a A ++=．（1）求A ；（2）设AD 是ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程2640x x -+=的两根，求线段AD 的长度． 【答案】（1）23A π=；（2）23AD =.【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理已知等式求得tan A ，由此确定A 的取值； （2）由韦达定理可得,b c bc +，利用面积桥的方式可构造方程求得AD . 【详解】（1）由正弦定理得：()23cos sin cos sin cos sin 0A C B B C A ++=，即()23cos sin sin 0A B C A ++=，又()()sin sin sin B C A A π+=-=，23sin cos sin A A A ∴-=，又()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 3cos A A ∴=-，tan 3A ∴=-，又()0,A π∈，23A π∴=； （2）,b c ∵为方程2640x x -+=的两根，6b c ∴+=，4bc =，由（1）知：23A π=，3BAD CAD π∴∠=∠=， ABCABDADC SSS=+，12sin sin sin sin 23232323c b b c bc AD AD AD ππππ+∴=⋅+⋅=⋅， 333AD =23AD =. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，求解内角平分线长的关键是能够利用面积桥的方式构造出关于内角平分线长的方程.18．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，60BAD ∠=，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）连接1,ME B C ，可证得//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形，得到//MN DE ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接,AC BD 交于点O ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D BC ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ； （2）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， 则以O 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得：3A ⎫⎪⎪⎝⎭，132A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,14N ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()10,0,2AA ∴=，131,12A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,044MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA M 的法向量为()111,,n x y z =，则1111112031022n AA z n A M x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令11x =，则13y =10z =，()1,3,0n ∴=； 设平面1A MN 的法向量为()222,,m x y z =，则1222223102233044m A M x y z m MN x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令21y =，则23x 21z =-，()3,1,1m ∴=-；2315cos ,25m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，设二面角1A MA N --为θ，则210sin 1cos ,5m n θ=-<>=， 即二面角1A MA N --10【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．澳大利亚Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia ]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia ]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia ]在拉丁语中是[第八]的意思．如图设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ζ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2ξ=．（1）求概率()0P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案】（1）611；（2）分布列见解析，()911E ξ=. 【分析】（1）12条棱中任取两条共有212C 对，两条棱相交有246C 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有()0P ξ=，又两条棱平行有6对，可求出()1P ξ=，从而可用间接法求出()2P ξ=，进而可求分布列和数学期望.【详解】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱，所以共有246C 对相交棱，所以()24212366066116P C C ξ====； （2）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，()21261166611P C ξ∴====，()()()61421011111111P P P ξξξ∴==-=-==--=， 所以ξ的分布列为：()4901211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆()2212:104x y C b b+=>的短轴端点与抛物线()22:20C x py p =>的焦点重合，椭圆1C （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点．①求证：直线AB 经过一个定点；②若直线AB 与椭圆1C 交于M 、N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN △面积的最大值．【答案】（1）221:14x C y +=，22:4C x y =；（2）①证明见解析；②2. 【分析】（1）分析可知椭圆1C 的焦点在x 轴，利用椭圆1C 的离心率求出b 的值，可得出p 的值，由此可得出椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，利用导数求出直线PA 、PB 的方程，将点P 的坐标代入两直线方程，结合等式的结构可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过定点的坐标；②分析可知直线AB 过椭圆1C 的上顶点()0,1M ，可知当点N 为椭圆1C 的长轴的端点时，MDN △的面积最大，即可得解. 【详解】（1）抛物线2C 的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，椭圆1C 的短轴端点在y 轴上，所以，椭圆1C的离心率为e ==，可得1b =，且有12p b ==，得2p =，因此，椭圆1C 的标准方程为2214x y +=，抛物线2C 的标准方程为24x y =；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得12x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-， 同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-， 由于点(),1P t -为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为220tx y -+=，在直线AB 的方程中，令0x =，可得1y =，故直线AB 恒过定点()0,1； ②由①可知，直线AB 恒过椭圆1C 的上顶点()0,1，不妨设点()0,1M ，易知点()0,1D -，设点()00,N x y ，则02x ≤，则01122222DMN S DM x =⋅≤⨯⨯=△， 当且仅当02x =±时，等号成立，因此，MDN △面积的最大值为2. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21．已知函数()()ln 1sin f x a x x =+-．（1）若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将问题转化为()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1cos a x x ≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立；令()()1cos g x x x =+，利用导数可求得()min 02g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得a 的范围；（2）当1x e >-时，由()ln 1ln sin x e x +>≥可知()0f x >，将问题转化为证明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，利用导数可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，结合零点存在定理可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，由此得到结论. 【详解】（1）由题意得：()cos 1af x x x '=-+， 若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，()1cos a x x ∴≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()1cos g x x x =+，则()()cos 1sin g x x x x '=-+， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos 11tan g x x x x '=-+⎡⎤⎣⎦， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≥，11x +>，tan 1x >，()0g x '∴<， 又01sin 102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<，()g x ∴在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()1cos 0222g x g πππ⎛⎫⎛⎫∴≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 0a g x ∴≤=，即a 的取值范围为(],0-∞；（2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x =+-，则()1cos 1f x x x '=-+， 当1x e >-时，()ln 1ln 1sin x e x +>=≥，()0f x ∴>在()1,e -+∞上恒成立，∴只需证()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点；1e π-<，∴当,12x e π⎛-⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， ()0f x '∴>在,12e π⎛-⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11sin 10f e e -=-->， ()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()f x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>，直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点：（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设A ，B 是曲线C 上的两点，且6AOB π∠=，求22O A OB +的取值范围．【答案】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）44⎡-+⎣． 【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点求得2a =，设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线 C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ，计算1222ρρ+的取值范围．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则3222a a -= ，解得2a =， 如图，不妨设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则12cos ρθ=，22cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以12222222224cos 4 cos 6OA OA O OB B πρρθθ⎛⎫=+=+=++⎪⎝+ ⎭3322cos 2sin 2423cos 2226πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以π572,666ππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 所以当π206θ+=，即12πθ=-，22 O A OB +最大值是423+， 当π2π6θ+=，即1π5π2612πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22 O A OB +最小值是423-， 所以22 O A OB +的取值范围为423,423⎡⎤-+⎣⎦【点睛】思路点睛：解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解，在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12222222 O A O O OB B A ρρ=++=+． 23．已知函数()96363x xf x x ++-=+．（1）求函数()f x 的值域．（2）已知函数()f x 的最小值等于m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：．【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分别在(),3x ∈-∞-、23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭、21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭和1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭四种情况下，去掉绝对值符号得到()f x ，分别求得()f x 的范围，综合四种情况可得所求值域；（2）由（1）知3m =，配凑出()()()2229a b c +++++=，利用柯西不等式可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为{}3x x ≠-；当(),3x ∈-∞-时，()96361534215333x x x f x x x x --+-+===---++， 30x +<，4203x ∴<+，()15f x ∴>； 当23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()96361534215333x x x f x x x x --+---===-+++， 7033x <+<，42183x ∴>+，()3f x ∴>； 当21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()963639333x x x f x x x ++-+===++； 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()96631534215333x x x f x x x x ++-+===-+++， 732x +≥，420123x ∴<≤+，()315f x ∴≤<； 综上所述：()f x 的值域为[)3,+∞；（2）由（1）知：3m =，3a b c ∴++=，()()()2229a b c ∴+++++=， 由柯西不等式可得： ()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，即227≤（当且仅当a b c ==时取等号），≤【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的函数值域的求解、不等式的证明；证明不等式的关键是能够配凑出符合柯西不等式的形式，进而利用柯西不等式直接证明结论.。