平面区域问题
1 平面区域的确定
1．1 不等式的区域
我们把满足不等式F(x，y)＞0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)＞0的区域．对于不等式F(x，y)＞0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平面分成若干个区域G1，G2，…．
在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)＞0的区域的并集，即为原不等式的区域．
为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算
F(x，y)的值．
例如，求x2＞2y2＋1的区域．
先画出x2=2y2＋1的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分)．
1．2 不等式组的区域
我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不等式组的区域．
不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集．为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域．
例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的区域．
首先作出两直线y－x＋1=0与2x－y－3＝0的图象(图2)，它们将平面分成四个部分．为确定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的区域，可以用两种方法．
不等式y－x＋1＞0可化为y＞x－1，表示直线y－x＋1=0的“上方”；同样，2x－y－3＞0表示直线2x－y－3=0的“下方”．所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区域Ⅰ，不等式组(2)表示区域Ⅲ．故本题所表示的区域为将Ⅰ、Ⅲ两部分合并而成的区域．
方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域Ⅰ内选点(4，4)，区域Ⅱ内选点(0，0)，区域Ⅲ内选点(0，－2)，区域Ⅳ内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合条件的区域范围．
对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域．
集合A={z||z－1|≤1}表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B
图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)．
学生解题时，常将A∩B表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区域的存在．
2 平面区域问题例举
2．1 平面区域的单纯性题型
这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性问题．
例1 已知三个集合M，N，P，M＝{(x，y)| |x|＋|y|＜1}，N={(x，y)|
求集合M，N，P三者的关系．
解如图4，集合M表示四边形ABCD内部，集合N表示椭圆内区域，集合
解作直线l1∶3x－2y－2＝0，l2∶x＋4y＋4=0；l3∶2x＋y－6＝0(图5)．在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域(如图5中三角形内区域)．此三角形区域内的整数点为(2，1)，(1，0)，(2，0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，即原不等式组的整数解．
2．2 含参变量的平面区域问题
对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方程或不等式，再转化为2．1类问题求解．
b所满足的条件，并求出点(a，b)的存在范围．
解方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在xoy坐标系中第一象限的部分(图6)．
方程组有两相异解，即曲线(1)，(2)在第一象限有两个不同的交点．以y=1－x代入(2)中，得(a＋b)x2－2bx＋b－1=0．
Δ=4b2－4(a＋b)(b－1)＞0，即ab－a－b＜0．
a，b所满足的条件是ab－a－b＜0(a＞1，b＞1)．
不等式(a－1)(b－1)＜1(a＞1，b＞1)表示位于双曲线(a－1)(b－1)=1的“外部”且满足a＞1，b＞1的点所构成区域．图7中的阴影部分，就是点(a，b)的存在范围．
例4 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y=na＋b，n∈Z}，B={(x，y)|x＝m，y=3m2＋15，m∈Z}，C={(x，y)|x2＋y2≤144}是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使
(2)(a，b)∈C同时成立．(1985年高考试题)
解A={(x，y)|x=n，y=na＋b，n∈Z}为直线y=ax＋b(其中a，b为参数)上横坐标取整数的点，B={(x，y)|x=m，y=3m2＋15，m∈Z}为抛物线y=3x2+15
Δ=a2＋12b－180≥0，(1)
为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a2＋12b－180≥0的区域，再
例5 已知方程x2＋px＋q＝0有两实数根α和β，且α2＋β2＝1，求p和q的范围．
解建立直角坐标系，适合p2－4q≥0的p，q的值是图9中阴影部分(含曲线)的点的坐标．因为α2＋β2=1，即(α＋β)2－2αβ=1．所以p2＝2q＋1．而适合等式p2=2q＋1的p和q的值为抛物线p2＝2q＋1上点的坐标，由图9可知，所求p和q的范围即为抛物线p2＝2q＋1上A，B 两点间的一段弧上的点的坐标的集合．
解此类问题时，要注意隐含条件的挖掘(如本题中α，β是二次方程两个实根，即判别式“p2－4q≥0”)．忽视了此条件，可能会导致变量取值范围的扩大．
2．3 利用图形区域，求变量组合式的范围
对于这类问题，可首先求出满足题设条件的平面区域，然后就求其最大值的式子x＋2y构造几何意义，从几何角度上给出解答．
例7 在坐标平面内有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2－x这个不等式组确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1所确定，t的取值范围是0≤t≤1．设函数z＝13x＋6y，其中x，y满足(x，y)∈M∩N，求z的最大值．
解首先作出区域M如图11(1)中的阴影部分(含边界)所示，区域N 是坐标平面内带形区域(含边界)，如图11(2)中的阴影部分所示．
因为0≤t≤1，所以M∩N的区域不固定，但M∩N区域的全体即为区域
13·2＋6·0＝26．若根据题意构造出的平面区域是可变化的，则应就它的变动情况进行分类，然后才能如例7那样作出讨论．
例8 已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的范围．
建立直角坐标系(图12)，横坐标表示为a，纵坐标表示为c，则不等式组表示区域为平行四边形EFGH区域(图12中的阴影部分含边界)．现作直线系9a－c＝m，－m表示直线系在c轴上的截距，当直线系通过E(0，1)与G(3，7)时，m取得最小值与最大值，即－20≤m≤1．
∴－1≤9a－c≤20．
这是一道有一定难度的关于二元一次不等式组表示区域的最大(小)值题．学生解题错误较多，例如将双联不等式组当作方程解出a与c的取值范围(双联不等式)，然后求9a－c的范围，使求解区域扩大了，而若作出区域，直接在给定区域内讨论9a－c的范围，便可避免扩大范围的错误．
以上列举了平面区域问题的三种基本类型，中学数学中所见到的主要就是这些类型．其他有关平面区域问题，也大都可以转化为以上类型予以解决．所以理解并掌握这三种基本类型题的解题方法与解题规律，是解决平面区域问题的关键．