f(1)］2 ( n 1 ) 1 ( n 1 ) 2 n 2 2 n 2 n f ( 3 )
+f(1)=［2(n-12 )+2］+［2(n-2)+2］+…+［2×1+2］ (3)236. +2=
答案 6
【例5】已知a>0且f(logax)=a2a1(x
【例1】（2008·山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 2 008 . 分析 首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待 求和式的规律. 解析 ∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233, ∴f(x)=4log2x+233, ∴f(2)+f(4)+…+f(28) =4(1+2+…+8)+233×8 =2 008.
探究拓展 当题设中，f(x)解析式未明确，而由 条
件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式，
这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含
于其中，备考中要注意体会与掌握.
变式训练1 已知函数f(x)>0,对任意x,y有
f(x+y)≤2f(x)·f(y)和f(x+y)=f 2(x)+f 2(y),则 f(2 ) f(4 ) f(2 0)0 f( 4 2 0)0 f( 6 2 0)0 1 8 004 f(1 ) f(3 ) f(2 0)0f( 3 2 0)0f( 5 2 0)07 .
（2）证明 设x1>x2>0,∵f(mn)=f(m)+f(n),
∴f(x1)-f(x2)=f
(x1 x
x ) 2
f
(x ) 2
2
f
(
x 1
)
f (x
)
f
(x
)
f
(
x 1
).
x
2
2
x
2
2
x
x
0,
x 1
1.
1
2
x
2
f
(
x 1
)
0,即
f
(
x
)
f (x
).
x
1
2
2
∴f（x）在（0,+∞）上是减函数.
5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识 和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提 供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建 设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考 查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意 识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践 能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江 苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体 现.
（3）解 f(m 2 n )f(m 2 n )f (m 2 n )2 , f(m2 n)1 2f(m2 n)2.
又 f (m) f (n) 1 f (mn),
2
2
故只需比较(m n)2与mn的大小. 2
(m
n )2
mn(当且仅当m
【例4】定义在（0，+∞）上的函数f(x)，对于任意
的m,n∈(0,+∞)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立， 且
当x>1时，f(x)<0.
（1）求f(1)的值；
（2）求证：f(fm (x)n在)与 （f0(,m +)∞)f上(n)是减函数；
（3）比较 2
2 的大小.
分析 赋值法求出f(1）=0,单调性的证明紧扣条 件,依靠定义完成.比较大小可根据单调性作出结 论.
∴f(x)为奇函数.
设x1,x2∈R,且x1<x2,则
f(x1)f(x2)a2a1(ax1ax1)(ax2ax2)
a (ax1ax2)1( 1 ).
a21
a a x
x
1
2
当a>1时，a2-1>0,ax1ax20,
∴f(x1)<f(x2); 当0<a<1时，a2-1<0,a x 1 a x 2 0 , f( x 1 ) f( x 2 ). ∴当a>0且a≠1时，f(x)是增函数.
解析 2 f(x)f(y)≥f(x+y)=f 2(x)+f 2(y)
f (x) 1
［f(x)-f(y)］2≤0 f(x)=f(y) f (y)
要求的值为1 004.
【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R) 是
偶函数，且它的值域为（-∞，4］，则该函数的
解析式f（x）=
3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高 考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、 周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点 与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融 合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域， 还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以 及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数 的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在 研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.
变式训练3 设f(x）定义如下面数表，{xn}满足
x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2 010
的
1
值为
.
x
1
2
3
4
5
f(x) 4
1
3
5
2
解析 ∵x0=5,∴x1=f(x0)=f(5)=2, x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1, 可见数列{xn}周期为4，∴x2 010=x2=1.
a≠1); ②f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为 f(x)=logax(a>0, 且a≠1); ③④ ff((xx)+ y)f=(fy()x )+2ff((yx) 2 ，y其)f背(x景 2函y)数其 ,为f(背 x)=kx景 ; 函数 f(x)cox.s
f(x+y)
变式训练4 定义在R上的函数f(x)满足
这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的 “任
意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”
变式训练2 （2008·北京）已知函数 f(x)=x
3
+ax2+3bx+c (b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数， 求
a,c的值. 解 因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数, 所以,对任意的x∈R,g(-x)=-g(x), 即f(-x)-2=-f(x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所所以以 -xca3+a2xa2,-3cbx2+.c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
注意考查清楚目标区间包含多少周期. 解 （1） 由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5). 而f(5)≠0 f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函数.
又f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0.
从而知函数y=f(x)不是奇函数.
故函数y=f(x）是非奇非偶函数. (2) ff((7 2 x x)) ff((7 2 x x)) , ff((x x)) ff((1 4 4xx)), f(4x)f(1 4x)f(x)f(x1)0, 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f（3）=f（1）=0， ∴f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0. 故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根， 从 而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，
1). x
a≠1,
（1）求f(x)；
（2）判断f(x)的奇偶性和单调性；
（3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1-
m)+f(1-m2)<0,求m的集合M.
分析 (1)换元法求f(x).(2)依奇偶性和单调性的
定义来解.(3)若将不等式具体化将是十分麻烦
的，紧扣性质解题，可使过程优化.
解 （1）令t=logax,则x=at.
4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法. 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试 卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题， 解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和 综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材. 备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想 方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载 体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与 方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对 图象与图象变换的理解与应用.
=f(x)+f(y)+2xy (x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)=
.
解析 令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2 n f(n+1)-f(n)=2n+ 2 f(n)=［f(n)-f(n-1)］+ ［f(n1)-f(n-2)］+［f(n-2)-f(n-3)］+…+［f(2)-
（3）当x∈(-1,1)时，有
1 1 m 1 , 0 m 2 , 1 1 m 2 1 2 m 2 且 m 0 0 m 2 .
由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2). ∵f(x)为奇函数, ∴f(1-m)<f(m2-1).又f(x)为增函数， ∴1-m<m2-1,即m2+m-2>0. 解得m>1或m<-2. 综上所述，可知1<m< 2 , 所以集合M={m|1<m<2 }. 探究的展 (1)求函数解析式是一项基本功，多不 会单独考察，而是融于大题之中，是处理后面各 小题的基础，务必掌握好.
