复变函数考试要求与知识点
- 格式:doc
- 大小:103.50 KB
- 文档页数:4
复变函数考试题型与基本要求
考试题型:
一、单选题(每题3分,共15分)
二、填空题(每题3分,共15分)
三、计算题(每题7分,共42分)
四、解答题(每题7分,共28分)
第一章、 复数与复变函数(作为基础内容后面应用)
1、熟练掌握复数的定义及三种表示法;
2、熟练掌握复数的一些相关概念及性质(例如模、辐角与主辐角,复数的共轭等);
3、熟练掌握复数的基本运算(四则运算、乘幂和方根);
4、熟悉复平面上几种曲线的表示法:
(1)圆周方程R a z C =-||:
(2)圆的方程R a z K <-||:
(3)曲线的参数方程:i t y t x t z z )()()(+==,βα≤≤t
⇔实分析中参数方程)()
(t y y t x x ==,βα≤≤t
(4)复平面上连接点1z 和2z 的直线段方程为()t z z z z 121-+=,10≤≤t
5、了解复变函数的极限定义与计算方法(对于解析函数可用洛比达法则)
第二章、解析函数(约33分)
1、深刻理解函数可微与解析的定义和关系
2、熟练掌握复变函数的导数计算公式
3、熟悉柯西—黎曼方程形式
4、熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件(主要是充分条件)
5、熟悉初等解析函数z e ,z sin ,z cos 的定义形式及性质(尤其要注意和实分
析的区别)
6、熟练掌握多值函数Lnz,n z的定义及计算(注意辐角)
7、掌握函数n z
(分支点的判断方法
P)
第三章、复变函数的积分(约24分)
1、深刻理解复积分的定义
2、熟练掌握复积分的计算方法
(1)参数方程法
(2)化为实分析中第二型曲线积分
(3)利用柯西积分公式
(4)利用无穷可微性定理
(5)利用复合闭路原理
(6)利用柯西留数定理(较方便)
3、熟练掌握判断二元实函数为调和函数的方法,并能由)
(y
x
v,使
,
,
(y
x
u求) ,
(
(
)
)
=解析
(+
,
v
x
y
i
f)
y
x
z
u
(1)利用偏微分方程的方法(较简单,分两次求不定积分)
(2)利用线分析取折线的方法(类似于数分中路径无关性时原函数的求法)第四章、解析函数的幂级数表示法(作为基础内容后面应用)1、熟练掌握幂级数中收敛半径和收敛圆的求法(注意圆心不在原点时的情形怎
么处理)
2、熟记几类初等函数的展开式及收敛范围(间接展开时经常用到,同时能掌握
由定理4.16求收敛半径的方法)
3、掌握解析函数零点定义及判断方法:
(1)定义法(2)定理4.17
第五章、解析函数的洛朗展式与孤立奇点(约17分)
1、熟练掌握解析函数在圆环域及孤立奇点去心邻域内的洛朗展式(考题中会给
出具体的范围)(尽量不用级数乘积或和的表达式,需要写出具体式子)2、熟练掌握奇点类型的判断,包括无穷远点,极点写出其阶数(需要写出过程)
第六章、留数理论及其应用(约20分)
1、理解留数的定义及留数定理
2、熟练掌握有限奇点处留数的计算(重点是极点)
(1)a z =为函数)(z f 的一阶极点时())(lim Re z f a z s a
z a z -=→=,具体有 ①a z z z f -=)
()(ϕ,)(Re a s a
z ϕ==; ②)
()()(z h z g z f =,)()(Re a h a g s a z '== (2)a z =为函数)(z f 的可去奇点时0Re ==a
z s (3)a z =为函数)(z f 的本质奇点时1Re -==C s a
z 3、利用留数计算第三类积分,即dx e x Q x P I imx ⎰+∞
∞-=)()( (注意此积分包含两个实积分,21I I I +=,mxdx x Q x P I cos )()(1⎰+∞
∞-=,
mxdx x Q x P I sin )()(2⎰+∞
∞-=,考试中一般只要求计算对应的实部或虚部) 4、了解辐角原理的内容及应用(借助零点和极点个数求函数沿周线的辐角变化)
5、理解并能熟练运用鲁歇定理判断方程根的个数及范围
6、了解对数留数定义及引理6.4内容。