江苏省苏州市2019-2020学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研卷数学试题(pdf版,含解析)

2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3} B ．{2，4} C ．{1，2} D ．{3，4}2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21x af x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．210．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 ．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = ．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += ，函数()y f x =的最小值为 ．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3}B ．{2，4}C ．{1，2}D ．{3，4}【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4}，则集合{1A =，3}， 则{2U C A =，4}． 故选：B ．2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞【解答】解：由40x ->， 得4x <． ∴函数()f x =的定义域是：(,4)-∞．故选：A ．3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：0.80331a =>=，33log 0.8log 10b =<=，300(0.8)0.81c <=<=， b c a ∴<<．故选：D ．4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【解答】解：点(3,4)P 在角α的终边上，5r ∴==， ∴4cos()sin 25y r παα+=-=-=-． 故选：D ．5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．【解答】解：2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…211()log 122f ∴=-，111[()](1)323f f f -=-==．故选：B ．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan tan(())tan()C A B A B π=-+=-+= 又(0,180)C ∈︒︒， 故30C =︒， 故选：A ．7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-【解答】解：2AB DC =，35DE AB AD λ=-，325DC DA λ=+，由向量共线定理可知，3215λ+=， 则15λ=， 故选：A ．8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2【解答】解：()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”， 则存在实数m ，(2)f m f =（2）()f m ，得221521m m a a a =++，令2mt =， 故225(21)5(1)211m m t a t ++==++，令25(1)()1t g t t +=+，0t >，()g t '=当1)t ∈时，()g t 递增；当1t ∈，)+∞时，()g t 递减；故5()1)1)2max g t g =-===， 故选：D ．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．10．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =【解答】解：1||y x =在(0,)+∞上为减函数，不符合题意， ||y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意，23y x =和||x y e =为偶函数，且在在(0,)+∞上为增函数，故选：BD ．11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-【解答】解：1(1,2)e =-，2(2,1)e =，∴向量11221(a e e λλλ=+=-，122)(2λλ+，2)λ，21(2λλ=-，122)λλ+，若使120λλ<成立，(1,0)a =，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =，则2120λλ-=，不满足题意， (1,0)a =-，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =-，则2120λλ-=，不满足题意，故选：AC ．12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=【解答】解：因为函数()f x 过点(3π，1)2， 所以1sin()23πω=+∅，所以236k ππωπ+∅=+，或5236k ππωπ+∅=+， 又因为在区间(,)126ππ上单调，所以2612T ππ-…，解得6T π…，26ππω…，所以12ω…，若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递增，则2222362k k k πππππωππ-+<+∅=+<+，()k Z ∈当0k =时，36ππω+∅=，若2ω=，则2π∅=-，若6ω=，则116π∅=-． 当1k =时，236ππωπ+∅=+，若6ω=，则6π∅=．若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递减，则532222362k k k πππππωππ+<+∅=+<+，()k Z ∈ 当0k =时，536ππω+∅=， 若2ω=，则6π∅=， 若6ω=，则76π∅=-． 当1k =时，5236ππωπ+∅=+， 若6ω=，则56π∅=， 故ω，∅可能取的值为2ω=，2π∅=-；6ω=，则6π∅=；6ω=，则56π∅=． 故选：BCD ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 (6,1) ． 【解答】解：设(,)C x y ，(2,3)A -，(8,3)B ，2AC CB =，(2x ∴-，3)2(8y x +=-，3)(162y x -=-，62)y -，∴2162362x x y y -=-⎧⎨+=-⎩，解得6x =，1y =，∴点C 的坐标为(6,1)．故答案为：(6,1)．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = 2 ． 【解答】解：函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，且n 为整数，f （2）50=-<，f （3）10=>，f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(2,3)， 故2n =， 故答案为：2．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 【解答】解：由25(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，得42sin cos 9αα=-，所以2413(sin cos )12sin cos 199αααα-=-=+=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，所以sin cos αα-，与s i n c o s αα+=联立得，sin α=cos α=，所以sin tan cos ααα===故答案为：． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += 5 ，函数()y f x =的最小值为 ．【解答】解：由题意可知，0x =与1x =是函数的零点，22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，20x ax b ∴++=的根为4，3，7a ∴=-，12b =，则5a b +=，函数22432()()(712)81912y f x x x x x x x x x ==--+=-+-．则32()42438122(2)(22f x x x x x x x '=-+-=--+-．①令()0f x '=，解得2x =，或2x =，或2x =；②令()0f x '<，解得2x <22x <<；③令()0f x '>，解得22x <<，或2x >+．()f x ∴在(,2-∞上单调递减，在(22)上单调递增，在(2,2上单调递减，在(2+)+∞上单调递增，在2x =处取得极大值，在2x =与2x =处取得极小值．65(24f -=-，5(24f =-． ∴函数()y f x =的最小值为54-．故答案为：5，54-．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）3a =时，{|13}A x x =-<<，且{|04}B x x =<<， (0,3)AB ∴=； （2）AB A =，B A ∴⊆，①2a a >-，即1a >时，{|2}A x a x a =-<<，则204a a -⎧⎨⎩……，解得4a …；②2a a <-，即1a <时，{|2}A x a x a =<<-，则024a a ⎧⎨-⎩……，解得2a -…；③2a a =-，即1a =时，A =∅，不满足B A ⊆，这种情况不存在； ∴综上得，a 的取值范围为(-∞，2][4-，)+∞．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．【解答】解：已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==，故sin α=，同理sin β， （1）131334323cos()cos cos sin sin 14798αβαβαβ+=-=-=-； （2）由1336491cos()cos cos sin sin 9898982αβαβαβ-=+=+==，又锐角α，β，且cos cos αβ>，所以αβ<，故(2παβ-∈-，0)，故3παβ-=-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．【解答】解：（1）D 为线段BC 中点，且2AB =，4AC =，∴22111()()()(164)6222AD BC AB AC AC AB AC AB =+-=-=⨯-=； （2）E 为线段AD 中点，∴EB ED DB =+1122AD CB =+ 11()()42AB AC AB AC =++- 3144AB AC =-， EC ED DC =+1122AD BC =+ 11()()42AB AC AC AB =++- 3144AC AB =-， ∴3131()()4444EB EC AB AC AC AB =-- 2253381616AB AC AB AC =-- 513324416821616=⨯⨯⨯-⨯-⨯ 54=-．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．【解答】解：（1）H 关于t 的函数关系式为()sin()H t A t B ωϕ=++， 由9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得40A =，50B =；又0t =时，(0)40sin 5010H ϕ=+=，解得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-；又30T =，所以223015T πππω===； 所以摩天轮转动一周的解析式为 ()40sin()50152H t t ππ=-+；（2）令()30H t =，得40sin()5030152t ππ-+=，即1sin()1522t ππ-=-，所以1cos 152t π=， 解得153t ππ=，或5153t ππ=， 解得5t =，或25t =；所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米；（3）由题意知，游客甲距离地面高度解析式为4050152y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，游客乙距离地面高度解析式为40501532y sin t πππ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦乙；则14040401515321515153h y y cost cos t cos t t cos t πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙甲； 令153t πππ+=，解得10t =，此时h y y =-乙甲取得最大值为40；所以两人距离地面的高度差h 的最大值为40米．。

江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则AB ＝ ．2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ．3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．5．如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 ．第4题 第5题 第9题6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）7．在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．8．若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x ＋3y 的最大值为 ．9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4πcm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P向圆O ：222x y +=作切线PA （切点为A ），满足POPA ，则实数m 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12y =与函数()sin()6f x x πω=+(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，…，若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为 ．12．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为 ．13．已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 ． 第12题14．已知函数2()4825x exx e f x x x x⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程2()f x 23()20a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，﹣1)． （1）当a ∥b 时，求tan2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，且x ∈(0，2π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 16．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACC 1A 1； （2）若DE ⊥AB ，求证：AB ⊥B 1C ．17．（本题满分14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB ＝23π，OB ＝百米)，荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在AB 上(C 与A ，B 不重合)，在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC ＝θ，蜂果区的面积为S(平方百米)．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．18．（本题满分16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0) 上的点(1，2)的上辅点为(1．（1）求椭圆E 的方程； （2）若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设12311112462n n T S S S S n=++++++++(N n *∈)．①若123T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 20．（本题满分16分）已知函数ln ()a xf x x+=(a ∈R)． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当a ∈(0，12)时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足11x +211x a．。

苏州市2019—2020学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2020．7一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为16 B. 20D C..40 36.A ππππ2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃吸”和“其他垃圾”四人类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是A ．20B ．40C ．60D ．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为1112. B.C.D.201055A 4．在同一平面直角坐标系中，两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为13，都是白子的概率为215，则取出的2粒颜色不同的概率为1178A.B.C.5D 31.5516．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 上靠近B 的三等分点，点F 是棱CC 1的中点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为A ．8B ．12C ．18D ．207．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B ︒=，且△ABC 的面积为3，则b 的取值范围是A. [2,6)B. [2,6)C. [2,6)D. [4,6)8．在平面立角坐标系xOy 中，两圆12,O O 均过点（3，0），它们的圆心分别为12(,0),(,0)x x ，满足121123x x +=，若两圆与y 轴正半轴分别交于12(0,),(0,)y y ，则12y y 的值为A ．2B ．6C ．9D ．与12,x x 的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ） A ．2π B ．3π C ．πD ．4π 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2B ．3C ．33+ D ．13+3．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =，32=AD ，132AA =，则异面直线1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6πB.4π C.3π D.3π或23π 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=u u u r u u u r，则k =（ ） A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或75．已知当x θ=时函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值，则sin 22cos 2sin 22cos 2θθθθ+=-（ ）A ．-5B ．5C ．15 D ．15-6．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．327．函数()1()2xf x =在区间[]2,2-上的最小值是( )A.14-B.14C.4-D.48．已知矩形ABCD 中，，，则=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设0.22a =，20.2b =，0.2log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA.{}123,4，， B.{}123，， C.{}234，， D.{}134，， 11．已知函数,记,则A ．B ．9C ．D ．12．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π二、填空题13．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2P A P A ⊥，则实数ca的取值范围是___． 14．已知,αβ是两个不同平面，直线αl ⊄，给出下面三个论断： ①//l α ②l β⊥ ③αβ⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_______.15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．16．已知实数,x y 满足10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是____，满足条件的实数,x y 构成的平面区域的面积等于____． 三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 18．已知函数()4cos cos 323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．19．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .20．(1)已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知tan 3α=，计算 4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值.21．从某校高一年级随机抽取n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表： 组号 分组频数 频率 1 2 0.04 2 0.20 3 a 4 b 50.16（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a ，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是（a ，0b >）．（1）当1a =，2b =时，求曲线C 围成的区域的面积；（2）若直线l ：1x y +=与曲线C 交于x 轴上方的两点M ，N ，且，求点到直线l 距离的最小值．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D C B D D A AC13512c a +<<14．①②⇒③（答案不唯一，或②③⇒①）15．18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 16．2； 三、解答题17．(1) 3B π=;(2).18．(1) ()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) ⎡⎣ 19．（1）a n ＝12n +.（2）T n ＝2n－1. 20．（1）35-；（2）5721．（1）50（2）略（3）0.46 22．(1)4；(2)．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设函数()()()210lg 0x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()220f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,22)B ．(22,3⎤⎦C ．(3,4)D ．(224)，2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．已知△ABC 的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC u u u v u u u v u u u v v++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A.1:1:1B.3:23:2C.3:2:1D.3:1:24．已知函数1ln ,01()ln ,1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩，若函数()()g x a f x x =⋅-在(0.16]上有三个零点，则a 的最大值为（ ）A.2ln 2 B.ln 22C.4ln 2 D.ln 24 5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．926．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B ⋂=ð( ) A ．{}2,3 B ．{}1,4,5C ．{}4,5D ．{}1,57．若tan 13θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．458．已知集合{}21,M a =，{}1,P a =--，若M P ⋃有三个元素，则M P ⋂=（ ）A.{0,1}B.{1,0}-C.{0}D.{}1-9．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式2yx m 3m 4+<-有解，则实数m 的取值范围( ) A ．()1,4- B ．()(),14,∞∞--⋃+ C ．()4,1-D ．()(),03,∞∞-⋃+10．设，满足约束条件，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知集合，则（ ） A ． B ． C ． D ．12．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（ ）A ．B ．2C ．D ．4二、填空题13．角α的终边经过点(3,4)P -，则cos()2πα-=_____.14．已知函数33,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1()2f a =，则实数a = ______.15．在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ． 16．在ABC △中，已知6a =3b =，3B π=，则角C =__________．三、解答题 17．已知1tan 3α=，0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(Ⅰ)求()tan πα+的值； (Ⅱ)求sin 2cos 5cos sin αααα+-的值18．已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-.( I ) 求(0),(3)f f 的值；(II) 当810x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；(III) 设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.19．已知函数2()2cos 2222x x x f x =．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 20．已知点，，点P 为曲线C 上任意一点且满足（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴交于,M N 两点，点R 是曲线C 上异于,M N 的任意一点，直线分别交直线l ：3y =于点，试问y 轴上是否存在一个定点S ，使得？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数1a ，2a ，4a ，7a ，…构成等差数列{}n b ，n S 是{}n b 的前n 项和，且11==1b a ，5=15S（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=+++L ，对任意*n N ∈，求n T 及n T 的最大值． 22．已知函数22()23sin sin()cos sin 2f x x x x x π=++-(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移ϕ(0ϕ>)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称．求ϕ的最小值 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B C C B D C B B AD13．4514．3log 2-或3 15． 16．512π 三、解答题 17．（Ⅰ）13（Ⅱ）1218．（I ）()()300,32f f ==-；（II ）max min ()4,()5f x f x ==-；（III ）当()1,0m ∈- 时，函数()g x 最多有4个零点.19．（Ⅰ）2π；（Ⅱ）212--． 20．（1）221x y +=；（2）存在点S 使得成立.21．(1) 50160a =(2) 2(1)(21)n n T n n =++,()max 13n T =.22．(1) [6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈．（2）6π.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B ．如果向量a 0b ⋅=r r ，则a b ⊥r r ；C ．在ABC △中，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量a b +rr 与a b -r r 可以作为平面ABC 内的一组基底；D ．若a r ，b r都是单位向量，则a b =r r .2．已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，给出下列四个结论： ①函数()f x 满足()()f x f x π+=； ②函数()f x 图象关于直线8x π=对称；③函数()f x 满足()34f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ④函数()f x 在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调增函数； 其中正确结论的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43．设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D.()()f x f x +-是偶函数4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A.4SB.5SC.6SD.7S6．在△ABC 中，c A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为A ．4π B ．π C ．2π D ．4π 7．设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是( )A.11a b< B.22ac bc <C.b a a b> D.22a ab b >>8．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．()20-， B ．()42-， C ．()()20-∞-⋃+∞，， D ．()()42，，-∞-⋃+∞ 9．已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）是定义域为R 的奇函数，且当2x =时，()f x 取得最大值2，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=…（ ）A.2+B.2-C.2±D.010．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（ ） A ．59B ．49C ．35D ．2511．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）.A ． 2寸B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸12．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36 B ．18C ．D ．二、填空题13．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示.则()f x 的解析式为______．14．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为__________．15．若直线0x y m ++=上存在点P 可作圆:O 221x y +=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，且60APB ︒∠=，则实数m 的取值范围为 ．16．已知等比数列{}n a 的递增数列，且2510a a =，()2125n n n a a a +++=则数列{}n a 的通项公式n a =________.三、解答题17．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -的体积为239时，求BG BE 的值．18．已知向量()(),3,2,4a b λ==-v v（1）若()2a b b +⊥r r r，求λ；（2）若4λ=，求向量a r 在b r方向上的投影.19．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．20．如图，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ⊥平面ABC ，且AE=1，又平面BCD ⊥平面ABC ，且BD=CD ，BD ⊥CD ．（1）求证：AE ∥平面BCD ； （2）求证：平面BDE ⊥平面CDE ． 21．已知函数f （x ）=sin +cos ，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期，并求函数f （x ）在x ∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间； （2）函数f （x ）=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f （x ）的图象． 22．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元? (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元.写出函数的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D A C B D B A D BC13．()23sin 510f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14．2sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭15．16．2n 三、解答题17．（1）略；（2）13. 18．（1）11λ= （2）25a b v v ⋅=19．（1）117{|1}x x -+-<≤；（2）[1,1]-． 20．（1）证明略；（2）证明略21．（1）函数f （x ）在x ∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，]．（2）略22．（1）550;（2）;（3）6000，,110002019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ）A ．10πB ．12πC ．16πD ．18π2．已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ）A ．<1aB ．1a ≥C ．1b ≤D ．1b ≥3．已知函数()31()2x f x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 4．设奇函数()f x 在()0+∞，上为单调递减函数，且()20f =，则不等式()()3205f x f x x --≤的解集为 ( ) A ．[)(]2002-⋃，， B ．][)202⎡-⋃+∞⎣，， C ．][()22-∞-⋃+∞，， D ．(](]202-∞-⋃，， 5．若命题“2000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A.][(),12,-∞-⋃+∞B.()(),12,-∞-⋃+∞ C .[]1,2-D.()1,2- 6．105031050tan tan tan tan ︒+︒+︒︒= （ ）A ．2B ．3C ．2D ．17．已知向量()1,2a =-r ， ()1,b λ=r ，若a b ⊥r r ，则+2a b r r 与a r 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 8．已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是 A ． B ． C ． D ．9．已知两个不同的平面αβ，和两条不重合的直线m n ，，有下列四个命题：①若//,m n m α⊥，则n α⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥；③若,,m m n n αβ⊥⊂∥，则αβ⊥；④若,m n ααβ⋂=P ，则m n P .其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．有如下命题：①函数中有两个在上是减函数；②函数有两个零点；③若则其中正确的个数为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．3010D ．22 12．300240sin tan ︒+︒的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．132-+ D ．132+ 二、填空题13．已知函数，若有解，则m 的取值范围是______．14．将函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上的所有点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到函数y=f （x ）的图象，再将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则4g π⎛⎫ ⎪⎝⎭=______． 15．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则（1）图象C 关于直线1112x π=对称；（2）图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；（3）函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；（4）由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ，以上结论中正确的序号是__________． 16．设2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，则实数m 的值为________.三、解答题17．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？18．已知圆C 经过()()3,3,2,2P Q --两点，且圆心C 在x 轴上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l PQ P ，且l 截y 轴所得纵截距为5，求直线l 截圆C 所得线段AB 的长度．19．对于函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点.（1）当1a =，2b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围；（3）当1a =，2b =时，函数()f x 在2(]0,x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围.20．已知函数()1m f x x x =+-． ()1当4m =时，判断()f x 在[)2,+∞上的单调性并用定义证明；()2若对任意11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2log 0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围． 21．已知x ∈[－3π，23π]， （1）求函数y ＝cosx 的值域； （2）求函数y ＝－3sin 2x －4cosx ＋4的值域．22．已知四边形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直，AD DC ⊥，//AB DC ，12AB AD DC ==.（1）证明：BC ⊥平面BDE ；（2）M 为线段AD 上的点，且12AM MD =，N 是线段DE 上一点，且12DN NE =，求证：//MN 平面BCE .【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A A A C B D D D DC B 13．14．215．①②16．4三、解答题17．（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 18．(1) 2211)3(x y ++＝(2) ||5AB = 19．（1）1-和3；（2）1101352a m ；（）<<<≤ 20．（1）略；（2）[)2,+∞21．（1）[－12，1]（2）[－13，154] 22．（1）略；（2）略。

2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．已知角，那么的终边在（ ）563α=︒αA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．α203︒α【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．563=360+203α=︒︒︒180203270︒<︒<︒α故选：C ．2．命题“”的否定为（ ）22,4x x ∀≥≥A ．“”B ．“”22,4x x ∀≤≥2002,4x x ∃<<C ．“”D ．“”22,4x x ∀≥<20024x x ∃≥<,【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，主要是否定结论而不是否定条件，故的否定为22,4x x ∀≥≥20024x x ∃≥<,故选：D3．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）ππA ．B ．C ．2D ．12π2π【答案】B【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，r α则，解得.21π2πr r αα⎧=⎪⎨⎪=⎩π2,2r α==故选：B4．已知，，则“”是“”成立的（ ）αR β∈αβ=sin sin αβ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“”，则“”必成立；αβ=sin sin αβ=但是“”，未必有“”，例如.sin sin αβ=αβ=0,αβπ==所以“”是“”成立的充分不必要条件.αβ=sin sin αβ=故选：A.5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin y x =|sin |y x =cos 2y x =tan y x=【答案】B【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.【详解】的最小正周期是，不符合题意.sin y x =2π在区间上单调递增，不符合题意.tan y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭对于，，cos 2y x =ππ,π22π2x x <<<<所以在区间上单调递增，不符合题意.cos 2y x =π,π2⎛⎫⎪⎝⎭对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，sin y x=sin y x=π且在区间上单调递减，B 选项正确.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭故选：B6．已知A ，集合，若，则实数a 的取值范围()f x ={12}B x ax =∈<<R ∣B A ⊆是（ ）A ．B ．C ．D ．[2,1]-[1,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】A ，()f x =所以，210x -≥所以或，1x ≥1x ≤-①当时，,0a ={102}B x x =∈<<=∅R ∣满足，B A ⊆所以符合题意；0a =②当时，0a >，12{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或，11a ≥21a ≤-所以或（舍）01a <≤2a ≤-③当时，0<a ，21{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或（舍），11a ≤-21a ≥，10a -≤<综上所述，，[1,1]a ∈-故选：B.7．三个数， 之间的大小关系为（ ）220.81log 1.41a b ==，0.312c =A ．B ．b a c <<a b c <<C ．D ．a c b <<b<c<a【答案】A【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.1,12【详解】由题意，即，220.810.80.640.5a =>=>112a <<，即，221log 1.41log 2b =<=102b <<，0.310221c =>=综上：c a b >>故选：A8．已知函数，若函数有两个零点，则实数a 的取值范1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩()()2g x f x =-围是（ ）A ．B ．C ．D ．21log 3a -<≤21log 3a -≤<23log 34a -≤<23log 34a -<≤【答案】D 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =有两个零点求得的取值范围.()()2g x f x =-a 【详解】函数有两个零点，()()2g x f x =-即有两个不相等的实数根，()2f x =即与的图象有两个交点.()y f x =2y =画出、和的图象如下图所示，()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =由解得，设.212x-=2log 3x =()2log 3,2B 由解得，设.()12log 12x +=34x =-3,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于函数，1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.()y f x =2y =23log 34a -<≤故选：D二、多选题9．设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的一个函数{}*2,A x x k k ==∈N ∣*B =N 的有（ ）A ．B ．C ．D ．12y x =2log y x =2xy =2y x =【答案】ACD【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N∣*1,2y x k k ==∈N 即任意，都有唯一的与之对应，所以A 正确；x A ∈y B ∈对于B ，存在，，所以B 错误；6x A =∈2log 6y B =∉对于C ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2xy B =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以C 正确；x A ∈y B ∈对于D ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2y xB =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以D 正确；x A ∈y B ∈故选:ACD.10．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．B ．的定义域为7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．在区间上单调递增D ．若，则的最小值为()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭()()1212,f x f x x x =≠12x x -π【答案】BC【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π,Z 32x k k -≠+∈即函数的定义域为,故选项正确;()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣B 7π7πππ=tan tan 12412343π3ππ7ππ=tan tan tan 42366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,故选项错误;7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 当,则在区间上单调递增, 故选项正确;πππππ,,2,123323x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭C 因为的周期,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2T =所以若，则的最小值为,故选项错误;()()1212,f x f x x x =≠12x x -π2D 故选: .BC 11．若a ，b 均为正数，且满足，则（ ）24a b +=A ．的最大值为2B ．的最小值为4ab 11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．的最小值是6D ．的最小值为4aa b +22a b +165【答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，，211222222a b ab a b +⎛⎫=⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立，A 选项正确.22a b ==B 选项，111b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但由解得，不满足，4≥=1b a ab ab a b ===1a b ==24a b +=所以等号不成立，所以B 选项错误.C 选项，，42224a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=当且仅当时等号成立，所以C 选项错误.4,3b a a b a b ===D 选项，，()222224251616a a a a ab =+-=-++所以当，时，168255a -=-=⨯16442455b a =-=-=取得最小值，D 选项正确.22a b +64816516162555⨯-⨯+=故选：AD12．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，x y a =0a >1a ≠log a y x =0a >1a ≠它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ）e 2x x +=ln 2x x +=1x 2x A ．B ．C ．D ．122x x +=211x x ->1122e ln x x x x =1212ln e x x x x =【答案】ABC【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 图像即可判断各选项.【详解】由方程和可化为和，e 2xx +=ln 2x x +=e 2x x =-+ln 2x x =-+即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称，e xy =ln y x =y x =如图所示，点、关于点对称，，且，A B C 12012x x <<<<()1,1C 所以，故A 正确；122x x +=因为，所以，1213e 222>-+=110x 2<<又，所以，故B 正确；212x x =-211112221x x x x x -=--=->由和它们的图像关于直线对称，所以，，e x y =ln y x =y x =12e xx =21ln x x =所以，故C 正确；1122e ln x x x x =对于D ，由，则，即，与矛盾，故D 错误.1212ln e x x x x =2211x x x x =12x x =12012x x <<<<故选：ABC.三、填空题13．求值：__________．22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+=⎪⎝⎭【答案】1【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】()22222333515lg 2lg 28lg lg 222222-⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎝⎭()2335lg 442lg 5244lg1012⨯⎛⎫=⨯-+=⨯-+== ⎪⎝⎭故答案为：114．已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数()f x (0,)+∞__________．()=f x 【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，2()f x x -=(0,)+∞所以函数满足题意.2()f x x -=故答案为：.2x -15．已知，则__________．1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】225-【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结sin cos αα⋅sin cos αα-果.【详解】由得：1sin cos 5αα+=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=解得：；12sin cos 25αα⋅=-由得：12sin cos 25αα=-()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα-=-+=-=又因为,且,所以即(0,π)α∈12sin cos 25αα⋅=-sin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以7sin cos 5αα-=则(sin 1)(cos 1)sin co 1272sin cos 1521255s αααααα-+=⋅+=-+-=---故答案为：.225-四、双空题16．我们知道，设函数的定义域为I ，如果对任意，都有，且()f x x I ∈,a x I a x I +∈-∈，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数()()2f a x f a x b ++-=()y f x =(,)P a b 的图象关于点成中心对称图形，则实数c 的值为__________；若3()2e 1x cf x x =-++(0,1)，则实数t 的取值范围是__________．()2(56)2f t f t -++>【答案】 2()(),16,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意可得即可求出c 的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，()()2f x f x +-=并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.()2(56)2f t f t -++>【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，3()2e 1x cf x x =-++(0,1)所以，()()2f x f x +-=即，33222e 1e 1x x c c x x --+++=++即，所以，(e 1)2e 1x xc +=+2c =所以在定义域上单调递减，32()2e 1xf x x =-++R 令，32()()121e 1x g x f x x =-=-+-+因为函数的图象关于点成中心对称，()f x (0,1)所以的图象关于对称，()g x (0,0)且单调递减，32()()121e 1x g xf x x =-=-+-+因为，即，()2(56)2f t f t -++>()21(56)1f t f t -->-++即，也即，2()(56)g t g t ->-+2()(56)g t g t ->--所以则解得或，256t t -<--2560t t -++<1t <-6t >故实数t 的取值范围是.()(),16,-∞-⋃+∞五、解答题17．设集合．{}22216,05x x A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)若，；M =N A B ⋂(2)若，．M =R (),A B A B R 【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.,A B A B ⋂（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【详解】（1），所以，所以.422162x ≤≤=14x ≤≤{}14A x M x =∈≤≤∣，解得，所以.()()202505x x x x -<⇔--<-25x <<{}|25B x x =<<若，则，所以.M =N {}1,2,3,4A ={}3,4A B = （2）或，{|2B x x =≤R }5x ≥若，则，M =R {}|14A x x =≤≤所以.{}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R18．已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求；α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1)512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.()f x ()f α（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1）πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭，()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯若角的终边过点，则，α(12,5)P -5tan 12α=-所以.()5tan 12f αα=-=（2）若，()tan 2,tan 2f ααα=-==-所以；sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++-22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+.224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y （单位：万元）是销售利润x （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．；B ．；C ．．(0)y kx b k =+> 1.5(0)xy k b k =⋅+>2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】(1)模型C,理由见解析(2)①210万元; ②不会.【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭的增长速度解释.【详解】（1）模型A ．，因为，所以匀速增长，(0)y kx b k =+>0k >模型B ．，因为，先慢后快增长，1.5(0)xy k b k =⋅+>0k >模型C ．，因为，先快后慢增长，2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k 0k >所以模型C 最符合题意.（2）因为销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元，所以，即，2log 20k n +=0k n +=又因为销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元，所以，即，2log 43k n +=23k n +=由解得，所以，023k n k n +=⎧⎨+=⎩33k n =⎧⎨=-⎩23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y ①如果总奖金不少于9万元，即，23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭即，即，解得，2log 2415x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭21615x +≥210x ≥所以至少应完成销售利润210万元.②设，即，23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭2log 211515x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭因为与有交点，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+()0,1且增长速度比慢，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以当时，恒在的下方，0x >2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以无解，2log 211515x x⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20．已知函数的图象经过点．()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<5π,38⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求在区间上的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)记关于x 的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x n 的值，并求的值．1231222n n x x x x x -+++++【答案】(1)最大值为，最小值为3(2)，.4n =12π【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<()3sin(2)4f x x π=+根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦24x π+（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n 的值和π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =的值.123422x x x x +++【详解】（1）将代入，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<得，即，533sin 4πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭53242k ππϕπ+=+解得，，因为，所以，24k ϕπ=+π0πϕ<<4πϕ=所以，()3sin(2)4f x x π=+当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52444x πππ≤+≤所以，所以，sin(2)14x π≤+≤3sin(234x π≤+≤所以在区间上的最大值为，最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3（2）因为，所以，π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3sin 22824x π⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即，，2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =由余弦函数性质可知，在上有4个解，2cos 3x =25π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即，，，4n =122x x π+=234x x π+=346x x π+=累加可得，.12342212x x x x π+++=21．已知为奇函数．24()1x af x x +=+(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；()f x (0,)+∞(2)若关于x 的方程有8个不同的解，求实数m 的取值范围．22()(21)|()|0f x m f x m -++=【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析.()f x (0,1)(1,)+∞(2)11(0,(,2)22 【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.(0)0f =a (2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的()()(2()1)0f x m f x --=()f x m 取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以24()1x a f x x +=+R (0)01af ==0a =，24()1xf x x =+当时，，，所以函数为奇函数.0a =24()1x f x x =+24()()1x f x f x x --==-+24()1xf x x =+则在单调递增，在上单调递减.24()1xf x x =+(0,1)(1,)+∞证明如下：，且12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <，()22121212121222221212444444()()111(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++，()()()()()()()()1221211221222212124411111x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-----⎣⎦==++++当时，，，，所以，即12,(0,1)x x ∈1210x x -<210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x -<，所以函数在上单调递增；12()()f x f x <24()1xf x x =+(0,1)当时，，，，所以，即12,(1,)x x ∈+∞1210x x ->210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x ->，所以函数在上单调递减.12()()f x f x >24()1xf x x =+(1,)+∞（2）因为，则，即22()(21)|()|0f x m f x m -++=22()(21)|()|0f x m f x m -++=，()()(2()1)0f x m f x --=解得或，因为有4个解，1()2f x =()f x m=1()2f x =要使关于x 的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，22()(21)|()|0f x m f x m -++=()f x m =如图所示，根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且0x >max ()(1)2f x f ==m 02m <<，综上，的取值范围是.12m ≠m 11(0,(,2)22 22．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．()f x ()g x R ()()2xf xg x +=(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)若函数在上的值域为，求正实数a 的值；2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞(3)证明：对任意实数k ，曲线与曲线总存在公共点．()()f x y g x =12y kx =+【答案】(1)，()222x xf x --=()222x x g x -+=(2)2a =(3)证明见详解【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.a （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数()f x ()g x R 所以，又因为①，()()()(),f x f x g x g x -=--=()()2xf xg x +=所以②，()()()()2xf xg x f x g x --+-=-+=有①②可知， ，.()222x x g x -+=()222x xf x --=（2）令，由（1）知，，()(2)()g x a F x f x -⋅=()()()22222222x x x xa F x --+--⋅=又因为，令，所以x ∈R 22x xt -=-Rt ∈所以，()()222222222222222x x xx t at t at a --+-+-+-⋅=-=函数在上的值域为，2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞所以，故,()1,2F x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭[)221,t at -+∈+∞当时，得，又因为，所以2a t =2214a -+=0a >2a =（3）由（1）知，所以2222()4121()4141x x x xx x xf x yg x ---====-+-++与曲线总存在公共点，()()f x y g x =12y kx =+即在有实数根，令，210412x kx +-=+(),-∞+∞()21412x k G x x +=-+当时，易知为函数的零点，0k =4log 3x =()G x 当时，易知函数在单调递减，0k <()21412xk G x x +=-+(),-∞+∞又因为，，由零点存在性定理可知:()1002G =>()11010G k =-<,使得成立.()00,1x ∃∈()00G x =当时，，0k >()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=又因为，，所以.()1002G =>223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知:,使得成立.12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()10G x =故对任意实数函数在有零点.k ()21412x k G x x +=-+(),-∞+∞即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.k ()()f x y g x =12y kx =+。

高一数学参考答案 第1页 共5页苏州市2019~2020学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学参考答案 2020.7 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 题号 1 2 3 4 5 678答案 B B C D D B A C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9 10 11 12答案 BCD AB AC BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．40 14．15．16．17π；94π 四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）证：（1）因为在ABC △中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，所以MN 是ABC △中的中位线，所以MN AB ∥， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分 因为AB ⊄平面1A MN ，MN ⊂平面1A MN ，所以AB ∥平面A 1MN ． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分 （2）证明：连结A 1C ，因为四边形11A ACC 是菱形，160A AC ∠=︒，所以1A AC △是等边三角形，因为N 为AC 的中点，所以1A N AC ⊥，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分 因为ABC △中，AB AC ⊥，由（1）已证MN AB ∥，所以MN AC ⊥，因为1A N MN ⊂，平面1A MN ，1A N MN N = ，所以AC ⊥平面1A MN ， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分 因为AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A ACC ⊥平面1A MN ． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为(11)(11)P Q --，，，，所以PQ 中点坐标为(00)，，PQ 的斜率为1-， 所以PQ 的中垂线方程为y x =， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分 联立20x x y y ⎧⎨=⎩+-=，，得(11)C ，， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分 设圆C 的半径为r ，则||2r CP ===，故所求圆C 的方程为224()(1)1x y --+=． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分（2）当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，圆心C 到直线l 的距离1d =，高一数学参考答案 第2页 共5页此时AB ==，满足题意； ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，则圆心C 到直线l的距离d =，所以224+=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分 解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分 综上，直线l 的方程为0x =或334y x =-+． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 19.（本小题满分12分）解：（1）由前三组的数据得1126x y ==，， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分31()14i i i xx y y =--=∑，321(8i i x x =-=∑， 所以121()()7=4()n i i i n i i x x y y b xx ==--=-∑∑ ， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分 77272611444a y x =-=-⨯=． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分 所以y 关于x 的线性回归方程为 72744y x =+． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分 （2）由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为 72744y x =+． 当12x =时， 72711112444y =⨯+=，2111|426|-≤， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分 当8x =时，727838444y =⨯+=，20283||4-≤． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分 所以（1）中所得的线性回归方程72744y x =+是可靠的． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 20．（本小题满分12分）解：（1）若选择条件①，得cos 1c A b==>，不符合题意； 若选择条件②，由余弦定理知22222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，化简得a b =，所以4a b +=<，不符合题意； 若选择条件③，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 1分高一数学参考答案 第3页 共5页所以22230a b c +-=，所以222316610a c b =-=-=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分所以222cos 22b c a A bc +-===， 因为(0)A ∈π，，所以4A π=．ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分 （2）由（1）知222cos 25b a c C ab +-===， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分 因为(0)C ∈π，，所以sin 5C ==．所以333sin sin()sin cos cos sin 444CAD C C C πππ∠=-=-= ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分 在△ACD 中，因为sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，所以sin sin 5AC CAD CD ADC ⋅∠===∠． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）因为DE AB ⊥，所以1DE BD DE A D ⊥⊥，， 所以1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角， 因为二面角1A DE B --为直二面角， 所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥． 如图，以1{}DB DE DA ，，为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，因为△ABC 是边长为3的等边三角形，且1AD =，DE AB ⊥，所以22BD DE AE ===，，所以1CE =，则各点的坐标为11()()(001)(0)2020200B E A C ，，，，，，，，，， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分所以111(1)(201)22A C A B =-=- ，，，，，． 设平面1A BC 的法向量为1()x y z =，，n ，则111100A C A B ⋅=⋅= ，n n ,即102x y z -=，20x z -=，令1z =，则12x y ==，高一数学参考答案 第4页 共5页所以11(1)2=n 是平面1A BC 的一个法向量， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分 因为平面1A BD 的法向量2(010)=，，n ， 所以1212121cos ||||4⋅<>==⋅，n n n n n n ，由图形可知，二面角1C A B D --的余弦值为14． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分 （2）设1(02)A P a a =≤≤，则点P 坐标为(0122a -，，，所以1(1)2222a CP =--- ，，．因为直线CP 与平面1A BC 所成的角为60︒，所以111sin 60|cos |||||a CP CP CP ⋅︒=<>==⋅ ，n n n ， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分 解得83a =或165a =， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分 因为02a ≤≤，所以a 无解，所以线段1A E 上不存在P ，使直线CP 与平面1A BC 所成的角为60︒． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当直线l 过圆心点O 1时，1||4O P ===，所以3a =（负舍）． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分（2）法一：因为OP 与圆O 相切，所以直线l 的方程为009x x y y +=，且22009x y +=.所以圆心O 1到直线l的距离00|349|3x y d +-==， 记0034z x y =+，则直线00340x y z +-=与圆22009x y +=有公共点，所以圆心(00)，到直线340x y z +-=的距离'3d =，所以1515z -≤≤，所以当15z =-时，max 8d =，此时弦长||AB 最短． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分由002200341509x y x y ++=⎧⎨+=⎩，，解得0095125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以直线l 的方程为34150x y ++=． ꞏꞏꞏ 7分 法二：过1O 作1O M AB ⊥，则M 为弦AB 的中点. 设1||d O M =， 当1||O M 最长时，弦长||AB 最短．高一数学参考答案 第5页 共5页 因为11||||||8d O P OO OP +=≤≤，当且仅当1O O P ，，三点共线时，取得最大值， .... ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分 此时1OO AB ⊥．因为143OO k =，所以直线1OO 的方程为43y x =． 由22439y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，， 解得912(55P --，（正舍）， 所以直线l 的方程为34150x y ++=． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分（3）因为||1||3AP BP =，所以设||AP t =，则||3BP t =，所以||4AB t =， 所以22(2)100d t +=， ①（i ）如图，当1O O ，在直线AB 同侧时， 222||25(3)t MP d ==--， ②由①②得6d =或2d =．当6d =时，直线AB 可看作是圆229x y +=与圆22(3)(4)36x y -+-=的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P 有2个． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分 当2d =时，直线AB 可看作是圆229x y +=与圆22(3)(4)4x y -+-=的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P 有2个． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分（ii ）如图，当1O O ，在直线AB 异侧时，222||25(3)t MP d ==-+， ③ 由①③得6d =-或2d =-（舍），满足条件的P 点不存在． 综上，满足条件的点P 共有4个． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分附：当6d =时，6d ==，即00|349|18x y +-=．由2200009|349|18x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，解得(30)P -，或2172()2525P -，． 当2d =时，2d ==，即00|349|6x y +-=．由2200009|349|6x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，解得P或P 或912(,)55P （舍去）．。

江苏省苏州市2020年阳光指标学业水平调研卷数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。

)1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A . x+2=3B . x+y=1C . x -2x-3=0D . x + =12. 某班有6个学习小组，每个小组的人数分别为5、6、5、4、7、5，这组数据的中位数是( )A . 5B . 6C . 5.5D . 4.53. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，若DE=2，则BC 的长度为( )A . 2B . 3C . 4D . 54. 如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为( )A . πB . πC . 3πD . π5. 二次函数y=x -2x 图像的顶点坐标是( )A . (1，1)B . (-1，1)C . (1，-1)D . (-1，-1)6. 关于x 的一元二次方程式ax -2ax-b=0有一个实数根x=1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是( )A . △>0B . △=0C . △<0D . 无法确定7. 如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点B'，AB'与CD相交于点F ，若AB=3，sin ∠CAB= ，则D F 的长度是（） A . 1 B . 2 C . D . 38. 在如图所示的正方形网格中，⊙O 的内接△ABC 的顶点均为格点，则tanA 的值为( )A .B .C .D .9. 如图，已知⊙O 的弦AB=8，以AB 为一边作正方形ABCD ，CD 边与⊙O 相切，切点为E ，则⊙O 半径为（ ）2222A . 10B . 8C . 6D . 510. 如图，已知二次函数y=mx -4mx+3m(m>0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若CA 平分∠OCB，则m 的值为( ) A . B . C . D .二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。

江苏省苏州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线l经过第一、三、四象限，其倾斜角为α，斜率为k，则（）A . ksinα>0B . ksinα≥0C . kcosα<0D . kcosα≤02. （2分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A . 8-B . 8-C . 8-2D .3. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 过点（﹣2，5）且垂直于直线2x﹣4y+15=0的直线方程为（）A . 2x+y﹣1=0B . 2x+y﹣5=0C . x+2y﹣5=0D . x﹣2y+7=04. （2分） (2015高二上·新疆期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（）A . 120°B . 90°C . 60°D . 30°5. （2分） (2016高二下·新疆期中) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A . 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB . 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC . 若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥nD . 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β6. （2分） (2019高二上·遵义期中) 如果直线与直线互相平行，那么的值等于（）A . -2B .C . -D . 27. （2分）若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A . 倍B . 2倍C . 倍D . 倍8. （2分）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 相切或相交9. （2分） (2018高一上·广东期末) 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·厦门期中) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=3B . （x+2）2+（y﹣1）2=3C . （x﹣2）2+（y+1）2=9D . （x+2）2+（y﹣1）2=311. （2分） (2018高二上·台州月考) 已知定点，点在圆上运动，是线段上的中点，则点的轨迹方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·穆棱期末) 圆上到直线的距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1 ， P关于坐标平面xOz的对称点为P2 ，则|P1P2|=________14. （1分）一个扇形的面积是1cm2 ，它的周长为4cm，则其中心角弧度数为115. （1分） (2016高二上·襄阳期中) 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为________①平行②相交③异面④垂直．16. （1分）(2019高三上·吉林月考) 直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）(2016·江西模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE= BB1 ， C1F= CC1 ．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设 = ，求λ的值．18. （10分） (2016高一下·桃江开学考) 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB边上的中线所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）若点A关于直线l的对称点为D，求△BCD的面积．19. （10分） (2019高三上·宁德月考) 如图，矩形平面，且，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求几何体的体积.20. （5分）(2018·茂名模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为a ，在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．21. （5分） (2017高二下·桃江期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1 ，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在线段A1B1上运动．（Ⅰ）求证：PN⊥AM；（Ⅱ）试确定点P的位置，使直线PN和平面ABC所成的角最大．22. （5分）(2017·齐河模拟) 已知椭圆C：经过点，左右焦点分别为F1、F2 ，圆x2+y2=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点⑴试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．⑵记△QF2M的面积为S1 ，△OF2N的面积为S2 ，令S=S1+S2 ，求S的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、21-1、22-1、。

2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．已知角563α=︒，那么α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到α的终边与203︒的终边相同，从而得到α的终边所在象限． 【详解】因为563=360+203α=︒︒︒，又180203270︒<︒<︒，所以α的终边在第三象限． 故选：C ．2．命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（ ） A ．“22,4x x ∀≤≥” B ．“2002,4x x ∃<<”C ．“22,4x x ∀≥<”D ．“20024x x ∃≥<,”【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，主要是否定结论而不是否定条件，故22,4x x ∀≥≥的否定为20024x x ∃≥<,故选：D3．已知一个面积为π的扇形所对的弧长为π，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．12B ．π2C ．2D ．π【答案】B【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α， 则21π2πr r αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得π2,2r α==.故选：B4．已知α，R β∈，则“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】若“αβ=”，则“sin sin αβ=”必成立； 但是“sin sin αβ=”，未必有“αβ=”，例如0,αβπ==. 所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件. 故选：A.5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．|sin |y x =C ．cos 2y x =D ．tan y x =【答案】B【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项. 【详解】sin y x =的最小正周期是2π，不符合题意. tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意.对于cos 2y x =，ππ,π22π2x x <<<<， 所以cos 2y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意.对于sin y x =，画出图象如下图所示，由图可知sin y x =的最小正周期为π， 且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，B 选项正确.故选：B6．已知2()1f x x =-A ，集合{12}B x ax =∈<<R∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x A ， 所以210x -≥， 所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣, 满足B A ⊆， 所以0a =符合题意； ②当0a >时， 12{}B x x a a=∈<<R ∣，所以若B A ⊆， 则有11a≥或21a ≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍） ③当0<a 时，21{}B x x a a=∈<<R ∣，所以若B A ⊆， 则有11a≤-或21a ≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-， 故选：B.7．三个数220.81log 1.41a b ==，， 0.312c =之间的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】A【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值1,12，求解即可.【详解】由题意220.810.80.640.5a =>=>，即112a <<，221log 1.41log 2b =<，即102b <<，0.310221c =>=， 综上：c a b >> 故选：A8．已知函数1221,()log (1),1x x a f x x x a ⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩，若函数()()2g x f x =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21log 3a -<≤ B ．21log 3a -≤<C ．23log 34a -≤<D ．23log 34a -<≤【答案】D【分析】画出()211xy x =->-、()()12log 11y x x =+>-和2y =的图象，结合图象以及函数()()2g x f x =-有两个零点求得a 的取值范围.【详解】函数()()2g x f x =-有两个零点， 即()2f x =有两个不相等的实数根， 即()y f x =与2y =的图象有两个交点.画出()211xy x =->-、()()12log 11y x x =+>-和2y =的图象如下图所示，由212x -=解得2log 3x =，设()2log 3,2B . 由()12log 12x +=解得34x =-，设3,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.对于函数1221,()log (1),1x x af x x x a ⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩，要使()y f x =与2y =的图象有两个交点，结合图象可知，23log 34a -<≤.故选：D二、多选题9．设集合{}*2,A xx k k ==∈N ∣，集合*B =N ，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的一个函数的有（ ）A ．12y x =B ．2log y x =C ．2x y =D ．2y x【答案】ACD【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A ，任意{}*2,x A xx k k ∈==∈N ∣，*1,2y x k k ==∈N ， 即任意x A ∈，都有唯一的y B ∈与之对应，所以A 正确； 对于B ，存在6x A =∈，2log 6y B =∉，所以B 错误； 对于C ，任意{}*2,x A xx k k ∈==∈N ∣，2x y B =∈， 即任意x A ∈，都有唯一的y B ∈与之对应，所以C 正确； 对于D ，任意{}*2,x A xx k k ∈==∈N ∣，2y x B =∈， 即任意x A ∈，都有唯一的y B ∈与之对应，所以D 正确； 故选:ACD.10．已知函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的有（ ）A ．7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()f x 的定义域为π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．()f x 在区间ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若()()1212,f x f x x x =≠，则12x x -的最小值为π【答案】BC【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可. 【详解】已知函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,函数的定义域为ππ2π,Z 32x k k -≠+∈,即函数()f x 的定义域为π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣,故B 选项正确; 7π7πππ=tan tan 12412343π3ππ7ππ=tan tan tan 42366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 选项错误;当πππππ,,2,123323x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 在区间ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增, 故C 选项正确;因为π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期π2T =,所以若()()1212,f x f x x x =≠，则12x x -的最小值为π2,故D 选项错误;故选: BC .11．若a ，b 均为正数，且满足24a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为2 B ．11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4C ．4aa b+的最小值是6D ．22a b +的最小值为165【答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，211222222a b ab a b +⎛⎫=⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b ==时等号成立，A 选项正确. B 选项，111b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4≥=，但由1b a ab ab a b ===解得1a b ==，不满足24a b +=， 所以等号不成立，所以B 选项错误.C选项，42224a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当4,3b a a b a b ===时等号成立，所以C 选项错误.D 选项，()222224251616a a a a a b =+-=-++， 所以当168255a -=-=⨯，16442455b a =-=-=时， 22a b +取得最小值64816516162555⨯-⨯+=，D 选项正确. 故选：AD12．已知指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程e 2x x +=与ln 2x x +=的解分别为1x ，2x ，则（ ） A ．122x x += B ．211x x ->C ．1122e ln x x x x =D ．1212ln e x x x x = 【答案】ABC【分析】由题意可得，直线2y x =-+与两函数e x y =和ln y x =的交点横坐标分别为1x 、2x ，结合图像即可判断各选项.【详解】由方程e 2x x +=和ln 2x x +=可化为e 2x x =-+和ln 2x x =-+， 即直线2y x =-+与两函数e x y =和ln y x =的交点横坐标分别为1x 、2x ， 由于e x y =和ln y x =互为反函数，则它们的图像关于直线y x =对称，如图所示，点A 、B 关于点C 对称，12012x x <<<<，且()1,1C ， 所以122x x +=，故A 正确；因为1213e 222>-+=，所以110x 2<<，又212x x =-，所以211112221x x x x x -=--=->，故B 正确；由e x y =和ln y x =它们的图像关于直线y x =对称，所以12e xx =，21ln x x =，所以1122e ln xx x x =，故C 正确；对于D ，由1212ln e x x x x =，则2211x x x x =，即12x x =，与12012x x <<<<矛盾，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．求值：22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】1【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】()22222333515lg 2lg 28lg lg 222222-⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎝⎭()2335lg 442lg 5244lg1012⨯⎛⎫=⨯-+=⨯-+== ⎪⎝⎭故答案为：114．已知幂函数()f x 满足：①是偶函数；②在区间(0,)+∞上单调递减，请写出一个这样的函数()=f x __________．【答案】2x -(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数2()f x x -=为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减， 所以函数2()f x x -=满足题意. 故答案为：2x -.15．已知1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈，则(sin 1)(cos 1)αα-+=__________．【答案】225-【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得sin cos αα⋅,再求sin cos αα-,进而运算求得结果.【详解】由1sin cos 5αα+=得：()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=， 解得：12sin cos 25αα⋅=-； 由12sin cos 25αα=-得：()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα-=-+=-=又因为(0,π)α∈,且12sin cos 25αα⋅=-,所以sin 0,cos 0αα><即sin cos 0αα-> 所以7sin cos 5αα-=则(sin 1)(cos 1)sin co 1272sin cos 1521255s αααααα-+=⋅+=-+-=--- 故答案为：225-.四、双空题16．我们知道，设函数()f x 的定义域为I ，如果对任意x I ∈，都有,a x I a x I +∈-∈，且()()2f a x f a x b ++-=，那么函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形．若函数3()2e 1x cf x x =-++的图象关于点(0,1)成中心对称图形，则实数c 的值为__________；若()2(56)2f t f t -++>，则实数t 的取值范围是__________．【答案】 2 ()(),16,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意可得()()2f x f x +-=即可求出c 的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得()2(56)2f t f t -++>，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.【详解】因为函数3()2e 1x cf x x =-++的图象关于点(0,1)成中心对称图形， 所以()()2f x f x +-=，即33222e 1e 1x x c c x x --+++=++， 即(e 1)2e 1x xc +=+，所以2c =， 所以32()2e 1xf x x =-++在定义域R 上单调递减， 令32()()121e 1x g x f x x =-=-+-+， 因为函数()f x 的图象关于点(0,1)成中心对称， 所以()g x 的图象关于(0,0)对称，且32()()121e 1xg x f x x =-=-+-+单调递减， 因为()2(56)2f t f t -++>，即()21(56)1f t f t -->-++，即2()(56)g t g t ->-+，也即2()(56)g t g t ->--， 所以256t t -<--则2560t t -++<解得1t <-或6t >， 故实数t 的取值范围是()(),16,-∞-⋃+∞.五、解答题17．设集合{}22216,05x x A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣． (1)若M =N ，A B ⋂； (2)若M =R ，(),A B AB R．【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋂. （2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【详解】（1）422162x ≤≤=，所以14x ≤≤，所以{}14A x M x =∈≤≤∣.()()202505x x x x -<⇔--<-，解得25x <<，所以{}|25B x x =<<. 若M =N ，则{}1,2,3,4A =，所以{}3,4A B =. （2）{|2B x x =≤R 或}5x ≥， 若M =R ，则{}|14A x x =≤≤， 所以{}(){}5|12|1,AB x x A B x x =≤⋃=≤<≤R.18．已知πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭．(1)若角α的终边过点(12,5)P -，求()f α； (2)若()2f α=，分别求sin cos sin cos αααα-+和24sin 3sin cos ααα-的值．【答案】(1)512(2)sin cos 3sin cos αααα-=+，2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简()f x ，根据三角函数的定义求得()f α. （2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1）πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ ()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯，若角α的终边过点(12,5)P -，则5tan 12α=-， 所以()5tan 12f αα=-=. （2）若()tan 2,tan 2f ααα=-==-， 所以sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++-；22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+ 224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++. 19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y （单位：万元）是销售利润x （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．(0)y kx b k =+>；B ． 1.5(0)x y k b k =⋅+>；C ．2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k ．(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】(1)模型C,理由见解析 (2)①210万元; ②不会.【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭解对数不等式求解，②即23log 23155x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，结合函数图象的增长速度解释.【详解】（1）模型A ．(0)y kx b k =+>，因为0k >，所以匀速增长， 模型B ． 1.5(0)x y k b k =⋅+>，因为0k >，先慢后快增长， 模型C ．2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k ，因为0k >，先快后慢增长，所以模型C 最符合题意.（2）因为销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元， 所以2log 20k n +=，即0k n +=，又因为销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元， 所以2log 43k n +=，即23k n +=，由023k n k n +=⎧⎨+=⎩解得33k n =⎧⎨=-⎩，所以23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y ，①如果总奖金不少于9万元，即23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，即2log 2415x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即21615x +≥，解得210x ≥，所以至少应完成销售利润210万元.②设23log 23155x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即2log 211515x x⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，因为2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与115x y =+有交点()0,1，且2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭增长速度比115x y =+慢，所以当0x >时，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒在115x y =+的下方，所以2log 211515x x⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭无解，所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20．已知函数()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象经过点5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)记关于x 的方程π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解从小到大依次为12,,,n x x x ，试确定正整数n的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．【答案】(1)最大值为3，最小值为； (2)4n =，12π.【分析】（1）将5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，求出函数的解析式()3sin(2)4f x x π=+，根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出24x π+的范围，即可求出函数的最大值和最小值；（2）由方程π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得2cos 3x =，利用余弦函数的性质，可求得n 的值和123422x x x x +++的值.【详解】（1）将5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，得533sin 4πϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即53242k ππϕπ+=+， 解得，24k ϕπ=+π，因为0πϕ<<，所以4πϕ=，所以()3sin(2)4f x x π=+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52444x πππ≤+≤，所以2sin(2)124x π-≤+≤，所以323sin(2)324x π-≤+≤， 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为322-；（2）因为π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π3sin 22824x π⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos 3x =，由余弦函数性质可知，2cos 3x =在25π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有4个解， 所以4n =，即122x x π+=，234x x π+=，346x x π+=， 累加可得，12342212x x x x π+++=. 21．已知24()1x af x x +=+为奇函数． (1)判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并证明你的判断；(2)若关于x 的方程22()(21)|()|0f x m f x m -++=有8个不同的解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减；证明见解析. (2)11(0,)(,2)22【分析】(1)根据奇函数的性质(0)0f =可求得a 的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性. (2)将已知方程因式分解得，()()(2()1)0f x m f x --=，作出()f x 的图像，数形结合即可得到m 的取值范围.【详解】（1）因为函数24()1x a f x x +=+为奇函数，且定义域为R ，则(0)01af ==，解得0a =，所以24()1xf x x =+， 当0a =时，24()1x f x x =+，24()()1x f x f x x --==-+，所以函数24()1xf x x =+为奇函数.则24()1xf x x =+在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，()22121212121222221212444444()()111(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++ ()()()()()()()()1221211221222212124411111x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-----⎣⎦==++++，当12,(0,1)x x ∈时，1210x x -<，210x x ->，()22121(1)0x x ++>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数24()1xf x x =+在(0,1)上单调递增； 当12,(1,)x x ∈+∞时，1210x x ->，210x x ->，()22121(1)0x x ++>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数24()1xf x x =+在(1,)+∞上单调递减. （2）因为22()(21)|()|0f x m f x m -++=，则22()(21)|()|0f x m f x m -++=，即()()(2()1)0f x m f x --=，解得1()2f x =或()f x m =，因为1()2f x =有4个解，要使关于x 的方程22()(21)|()|0f x m f x m -++=有8个不同的解，则()f x m =有4个不同的解，如图所示，根据第一问函数单调性可知，当0x >时，max ()(1)2f x f ==，所以m 的取值范围是02m <<且12m ≠，综上，m 的取值范围是11(0,)(,2)22.22．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=． (1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若函数2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅在R 上的值域为[1,)-+∞，求正实数a 的值；(3)证明：对任意实数k ，曲线()()f x y g x =与曲线12y kx =+总存在公共点． 【答案】(1)()222x xf x --=，()222x xg x -+=(2)2a = (3)证明见详解【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得a 的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）()f x ，()g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数 所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，又因为()()2x f x g x +=①，所以()()()()2xf xg x f x g x --+-=-+=②，有①②可知，()222x x g x -+=，()222x xf x --=. （2）令()(2)()g x a F x f x -⋅=，由（1）知，()()()22222222x x x x a F x --+--⋅=，又因为x ∈R ，令22x x t -=-，所以R t ∈ 所以()()222222222222222x x x x t at t at a --+-+-+-⋅=-=， 函数2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅在R 上的值域为[1,)-+∞， 所以()1,2F x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，故[)221,t at -+∈+∞,当2a t =时，得2214a -+=，又因为0a >，所以2a =（3）由（1）知，所以2222()4121()4141x x x x x x x f x y g x ---====-+-++ ()()f x y g x =与曲线12y kx =+总存在公共点， 即210412xkx +-=+在(),-∞+∞有实数根，令()21412x k G x x +=-+， 当0k =时，易知4log 3x =为函数()G x 的零点， 当0k <时，易知函数()21412x k G x x +=-+在(),-∞+∞单调递减， 又因为()1002G =>，()11010G k =-<，由零点存在性定理可知:()00,1x ∃∈,使得()00G x =成立.当0k >时，()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=， 又因为()1002G =>，223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.由零点存在性定理可知:12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭,使得()10G x =成立.故对任意实数k函数()21 412 xkG xx+=-+在(),-∞+∞有零点.即对任意实数k曲线()()f xyg x=与曲线12y kx=+总存在公共点.。