2020高考物理一轮复习第四章第2讲平抛运动的规律及应用学案解析版

配餐作业平抛运动►►见学生用书P329A组·基础巩固题1．从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体(不计空气阻力)，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组()A．h＝30 m，v0＝10 m/sB．h＝30 m，v0＝30 m/sC．h＝50 m，v0＝30 m/sD．h＝50 m，v0＝10 m/s解析根据平抛运动竖直方向v2y＝2gh，tanθ＝v yv0＝2ghv0，由此可知当h最大，v0最小时的夹角最大，D项正确。

答案D2．(2017·江苏)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为()A．t B.2 2tC.t2 D.t4解析两球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，始终在同一水平面上，根据x＝v A t＋v B t知，当两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t2，所以C项正确，A、B、D项错误。

答案C3．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标。

设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2，则()A．v1＝v2B．v1＞v2C．t1＝t2D．t1＞t2解析根据平抛运动的规律h＝12gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1＞t2，所以C项错误，D项正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝v t，可得v1＜v2，故A、B项错误。

答案D4．(多选)如图所示，三个小球从同一高度处的O处分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O 在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。

若不计空气阻力，则下列说法正确的是()A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5B．三个小球下落的时间相同C．三个小球落地的速度相同D．三个小球落地的位移相同解析三个小球的高度相等，则根据h＝12gt2知，平抛运动的时间相等，水平位移之比为1∶3∶5，则根据x＝v0t得，初速度之比为1∶3∶5，故A 、B 项正确；小球落地时的竖直方向上的分速度相等，落地时的速度v ＝v 20＋2gh ，初速度不等，则落地的速度不等，故C 项错误；小球落地时的位移s ＝x 2＋h 2，水平位移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故D 项错误。

第2节　平抛运动素养提升基础知识一、平抛运动基础过关 紧扣教材·自主落实1.定义:以一定的初速度沿 抛出的物体只在 作用下的运动.水平方向重力2.性质:平抛运动是加速度为g的 曲线运动,其运动轨迹是 .匀变速抛物线3.研究方法:平抛运动通常分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动.如图所示.匀速直线自由落体4.基本规律(1)位移关系(2)速度关系gt 0gtv二、斜抛运动1.定义:将物体以初速度v 0沿斜向上方或斜向下方抛出,物体只在 作用下的运动.2.性质:加速度为 的匀变速曲线运动,轨迹是 .3.研究方法:斜抛运动可以看做水平方向的 运动和竖直方向的 运动的合运动.重力重力加速度g 抛物线匀速直线匀变速直线(1)只要在某高处把物体水平抛出的运动一定是平抛运动.( )过关巧练×1.思考判断(2)做平抛运动的物体初速度越大,水平位移越大.( )(3)平抛运动的受力是恒力.( )(4)不论是平抛运动还是斜抛运动都是匀变速曲线运动.( )×√√2.物体做平抛运动时,下列描述物体速度变化量大小Δv随时间t变化的图像,D可能正确的是( )解析:根据平抛运动的规律Δv=gt,可得Δv与t成正比,Δv与t的关系图线是一条过原点的倾斜的直线,选项D正确.3. “套圈圈”是老少皆宜的游戏,如图,大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1,v2抛出铁圈,都能套中地面上同一目标.设铁圈在空中运动时间分别为t1,t2,则( )A.v1=v2B.v1>v2C.t1=t2D.t1>t2D考点研析 核心探究·重难突破考点一　平抛运动基本规律的应用1.运动时间2.水平位移3.速度改变量做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向竖直向下,如图所示.4.两个重要推论(1)做平抛运动的物体任一位置的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图中OC的中点.(2)做平抛运动的物体在任一位置处,速度方向与水平方向的夹角θ和位移与水平方向的夹角α的关系为tan θ=2tan α.5.三类常见的多物体平抛运动(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出,则两物体始终在同一高度,二者间距只取决于两物体的水平分运动.(2)若两物体同时从不同高度抛出,则两物体高度差始终与抛出点高度差相同,二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定.(3)若两物体从同一点先后抛出,两物体竖直高度差随时间均匀增大,二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.【典例1】 (2019·浙江台州模拟)(多选)如图所示,a,b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出,其平抛运动轨迹的交点为P, 则以下说法正确的是( )A.a,b两球同时落地B.b球先落地C.a,b两球在P点相遇D.无论两球初速度大小多大,两球总不能相遇BD　【针对训练】 在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出,B不计空气阻力,则小球在随后的运动中( )A.速度和加速度的方向都在不断变化B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小C.在相等的时间间隔内,速率的改变量相等D.在相等的时间间隔内,动能的改变量相等考点二　与斜面有关的平抛运动问题【典例2】 (多选)如图所示,固定斜面PO,QO与水平面MN的夹角均为45°,现由A点分别以v1,v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点),不计空气阻力,其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点,飞行时间为t,以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点,且B,C在同一水平面上,则( )ACD〚审题指导〛(1) 小球恰能垂直于QO落于C点,则此时小球速度方向与斜面垂直.(2)画出两个小球的水平分位移和竖直分位移,利用几何知识确定出两小球各分位移之间的关系.方法技巧斜面上的平抛运动的分析方法除要运用平抛运动的位移和速度的分解规律外,还要充分利用斜面倾角,找出斜面倾角同分位移与合位移的关系, 或找出斜面倾角同分速度与合速度的关系,从而使问题得到顺利解决.1.[斜面上的平抛运动](2019·贵州贵阳一中月考)如图(甲)是研究小球在斜面上做平抛运动的示意图,每次都以相同的初速度从斜面顶点水平抛出小球,并逐渐改变斜面与水平面之间的夹角,获得不同的射程x,最后作出了如图(乙)所示的x-tan θ图像,g取10 m/s2.由图(乙)可知,小球在斜面顶端水平抛出时的初速度大小等于( )C题组训练A.1 m/sB.1.414 m/sC.2 m/sD.5 m/s2.[对着斜面的平抛运动](多选)若一攻击机沿水平方向匀速飞行,到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹,并垂直击中山坡上的目标A.如图所示.已知A点高度为h,山坡倾角为θ,由此可算出( )ABCA.攻击机的飞行高度B.攻击机的飞行速度C.炸弹的飞行时间D.炸弹的质量考点三　平抛运动中的临界问题解决平抛运动临界问题的要点(1)明确平抛运动的基本性质及公式.(2)确定临界状态.(3)画出临界轨迹——在轨迹示意图上寻找几何关系.【典例3】 (2016·浙江卷,23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示.P是一个微粒源,能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置,离P点的水平距离为L,上端A与P点的高度差也为h.(1)若微粒打在探测屏AB的中点,求微粒在空中飞行的时间;(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围;(3)若打在探测屏A,B两点的微粒的动能相等,求L与h的关系.〚运动过程图示〛题后反思空间临界状态的确定方法(1)平抛运动一定要和实际情况相结合.题目中,最小初速度的微粒打在B 点,最大初速度的微粒打在A点.(2)不同的临界状态下水平分位移与竖直分位移是不同的,要利用空间位置关系分别求出.题组训练1.[位移分解求临界]如图所示,一圆柱形容器高、底部直径均为L,球到容器左侧的水平距离也是L,一可视为质点的小球离地高为2L,现将小球水平抛出,要使小球直接落在容器底部,重力加速度为g,小球抛出的初速度v的大小范围为A(空气阻力不计)( )2.[速度分解求临界](2019·湖北重点中学摸底)如图所示,挡板ON与竖直方=8 m/s 向夹角θ = 53°放置.一小球(可视为质点)从O点正下方的P点以v的初速度水平抛出,小球运动过程中恰好不与挡板碰撞(小球轨迹所在平面与挡板垂直).已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,取重力加速度g=10 m/s2,求O,P间的距离.答案:1.8 m素养提升 学科素养·演练提升核心素养【思维拓展】 生活中的平抛运动问题平抛运动与日常生活紧密联系,如乒乓球、足球、排球等运动模型,飞镖、射击、飞机投弹模型等.这些模型经常受到边界条件的制约,如网球是否触网或越界、飞镖是否能中靶心、飞机投弹是否能命中目标等.解题的关键在于能准确地运用平抛运动规律分析对应的运动特征.A.击球点的高度与网高度之比为2∶1B.乒乓球在网左右两侧运动时间之比为2∶1C.乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2D.乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2D类型一　乒乓球的平抛运动问题类型二　足球的平抛运动问题示例2】(2015·浙江卷,17)如图所示为足球球门,球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起,将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点).球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动(足球可看成质点,忽略空气阻B力),则( )类型三　网球的平抛运动问题【示例3】 一位网球运动员以拍击球,使网球沿水平方向飞出.第一只球飞,落在自己一方场地B点后,弹跳起来,刚好擦网而过,落在出时的初速度为v1,直接擦网而过,对方场地的A点处.如图所示,第二只球飞出时的初速度为v2也落在A点处.设球与地面碰撞时没有能量损失,且不计空气阻力,求:(1)网球两次飞出时的初速度之比v1∶v2;解析:(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动,由平抛运动的规律可知,两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的.由题意知水平射程之比为x1∶x2=1∶3,故平抛运动的初速度之比为v1∶v2=1∶3.答案:(1)1∶3　(2)运动员击球点的高度H、网高h之比H∶h.答案:(2)4∶3高考模拟AA.2倍B.4倍C.6倍D.8倍解析:甲、乙两球的运动轨迹如图所示,两球的位移方向相同,根据末速度方向与位移方向的关系可知,两球末速度方向也相同,在速度的矢量三角形中,末速度比值等于初速度比值,故A正确.2.(2017·全国Ⅰ卷,15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网,速度较小的球没C有越过球网;其原因是( )A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大3.(2017·江苏卷,2) 如图所示,A,B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间t在空中相遇,若两球的抛出速度都变为原来的2倍,则两球从抛出到相遇经过的时间为( )C。

物理一轮复习 4.2 平抛运动的规律及应用学案 新人教版必修2【考纲知识梳理】一、平抛运动的定义和性质1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。

2、运动性质：①水平方向:以初速度v 0做匀速直线运动.②竖直方向:以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动,即自由落体运动. ③平抛运动是加速度为重力加速度(a=g)的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.二、研究平抛运动的方法1、通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．2、 平抛运动规律：（从抛出点开始计时）（1）.速度规律： V X =V 0V Y =gt（2）.位移规律： X=v 0tY=221gt （3）.平抛运动时间t 与水平射程X平抛运动时间t 由高度Y 决定，与初速度无关；水平射程X 由初速度和高度共同决定三、斜拋运动及其研究方法1．定义：将物体以v 沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

2．斜抛运动的处理方法：斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直抛体运动的合运动【要点名师透析】一、对平抛运动规律的进一步理解1、飞行的时间和水平射程（1）落地时间由竖直方向分运动决定：由221gt h=得：ght2=（2）水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：ghvt vx2==2、速度的变化规律（1）平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度v0夹角θa的正切值为位移s与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。

（2）平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：221tan2xssgtvgt=⇒==α（3）平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下（与g同向）。

任意相同时间内的Δv都相同（包括大小、方向），如右图。

2020届一轮复习人教版平抛运动的规律及应用(2) 学案考点一平抛运动的基本规律1．抛体运动定义：以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受□01重力作用，这时的运动叫做抛体运动。

2．平抛运动(1)□02重力作用下的运动。

(2)性质：平抛运动是加速度为g的□03匀加速曲线运动，其运动轨迹是□04抛物线。

(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿□05水平方向；只受□06重力作用。

(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的□07匀速直线运动和竖直方向的□08自由落体运动。

3．平抛运动规律：如图所示，以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则：(1)□09匀速直线运动，速度v x＝□10v0，位移x＝□11v0t。

(2)□12自由落体运动，速度v y＝□13gt，位移y＝□1412gt2。

(3)合运动①合速度v＝v2x＋v2y，方向与水平方向夹角为α，则ta nα＝v yv0＝□15gtv0。

②合位移x合＝x2＋y2，方向与水平方向夹角为θ，则ta nθ＝yx＝□16gt2v0。

4．平抛运动的规律应用(1)飞行时间：由t＝□172hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。

(2)水平射程：x＝v0t＝□18v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。

(3)落地速度v＝v2x＋v2y＝□19v20＋2gh，以α表示落地速度与x轴正方向的夹角，有ta nα＝v yv x＝□202ghv0，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。

(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的□21中点，如图乙中A点和B点所示。

抛体运动(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。

(×)(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。

(×)(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。

(×)(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。

( √)(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。

(√)(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。

(√)突破点(一) 平抛运动的规律1．基本规律(1)速度关系(2)位移关系2．实用结论(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。

[题点全练]1.(2019·南通调研)如图所示，某同学以不同的初速度将篮球从同一位置抛出，篮球两次抛出后均垂直撞在竖直墙上，图中曲线为篮球第一次运动的轨迹，O为撞击点，篮球第二次抛出后与墙的撞击点在O点正下方。

忽略空气阻力。

下列说法正确的是( )A．篮球在空中运动的时间相等B．篮球第一次撞墙时的速度较小C．篮球第一次抛出时速度的竖直分量较小D．篮球第一次抛出时的初速度较小解析：选B 将篮球的运动反向处理，即可视为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；水平射程相等，由x＝v0t得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，第一次撞墙时的速度较小，故B正确；第二次运动时间较短，则由v y＝gt可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C错误；根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，故D错误。

2.[多选](2019·扬州模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上。

第2讲 平抛运动[考试标准]知识内容考试要求说明平抛运动d1.不要求推导合运动的轨迹方程．2.不要求计算与平抛运动有关的相遇问题．3.不要求定量计算有关斜抛运动的问题.平抛运动 1．定义将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．平抛运动的研究方法将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成． 4．基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2.(3)合速度：v ＝v x 2＋v y 2，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gtv 0.(4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt2v 0.(5)角度关系：tan θ＝2tan α.自测1 (多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图1所示．不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为( )图1A．减小初速度，抛出点高度不变B．增大初速度，抛出点高度不变C．初速度大小不变，降低抛出点高度D．初速度大小不变，提高抛出点高度答案AC自测2从高度为h处以水平速度v 0抛出一个物体，要使该物体的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组()A．h＝30 m，v0＝10 m/sB．h＝30 m，v0＝30 m/sC．h＝50 m，v0＝30 m/sD．h＝50 m，v0＝10 m/s答案D自测3如图2所示为高度差h 1＝0.2 m的AB、CD两个水平面，在AB面的上方与竖直面BC的水平距离x＝1.0 m处，小物体以水平速度v＝2.0 m/s抛出，抛出点距AB面的高度h2＝2.0 m，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2.则小物体()图2A．落在平面AB上B．落在平面CD上C．落在竖直面BC上D．落在C点答案B命题点一平抛运动的基本规律1．飞行时间：由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．2．水平射程：x＝v0t＝v02hg，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．3．落地速度：v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0，即落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关． 4．重要推论：做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点．例1 (2017·浙江4月选考·13)图3中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B 点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD 的半径R ＝2.0 m ，直径BD 水平且与轨道AB 处在同一竖直面内，小孔P 和圆心O 连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P 点圆弧切线方向射入小孔P 就能进入下一关．为了能通关，弹射器离B 点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)( )图3A ．0.15 m,4 3 m/sB ．1.50 m,4 3 m/sC ．0.15 m,2 6 m/sD ．1.50 m,2 6 m/s答案 A解析 如图所示，OE ＝OP cos 37°＝2.0×0.8 m ＝1.6 m ，PE ＝OP sin 37°＝2.0×0.6 m ＝1.2 m ，平抛运动的水平位移为：x ＝BO ＋OE ＝3.6 m ， 即：v 0t ＝3.6 m ，OF ＝NE ＝NP －1.2 m ＝y －1.2 m ， GF ＝MN 2－OE ＝x2－1.6 m ，而OFGF ＝tan 37°＝y －1.2 m x2－1.6 m ， 解得：y ＝38x ＝38×3.6 m ＝1.35 m ，所以弹射器离B 点的高度为h ＝MB ＝y －PE ＝1.35 m －1.2 m ＝0.15 m ， 又v y v x ＝tan 37°，即gt v 0＝34，v 0t ＝3.6 m ， 代入数据解得：v 0＝4 3 m/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．变式1 (多选)如图4所示，将一小球从空中A 点以水平速度v 0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v 0的速度经过B 点，不计空气阻力，则小球从A 到B (重力加速度为g )( )图4A ．下落高度为3v 022gB ．经过的时间为3v 0gC ．速度增量为v 0，方向竖直向下D ．运动方向改变的角度为60° 答案 AD解析 小球经过B 点时竖直分速度v y ＝(2v 0)2－v 02＝3v 0，由v y ＝gt 得t ＝3v 0g，故B 错误；根据运动学公式得：h ＝12gt 2，则h ＝3v 022g ，故A 正确；速度增量为Δv ＝gt ＝3v 0，方向竖直向下，故C 错误；小球经过B 点时速度方向与水平方向夹角的正切值tan α＝v yv 0＝3，α＝60°，即运动方向改变的角度为60°，故D 正确．变式2 如图5所示，x 轴在水平地面上，y 轴在竖直方向．图中画出了从y 轴上不同位置沿x 轴正向水平抛出的三个质量相等的小球a 、b 和c 的运动轨迹．小球a 从(0,2L )抛出，落在(2L,0)处；小球b 、c 从(0，L )抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是( )图5A ．b 的初速度是a 的初速度的2倍B ．b 的初速度是a 的初速度的2倍C ．b 的动能增量是c 的动能增量的2倍D ．a 的动能增量是c 的动能增量的2倍 答案 B解析 a 、b 的水平位移相同，但时间不同， 根据t ＝2h g 可知t a t b ＝21， 根据v 0＝x t 可知v 0b v 0a ＝21，故A 错误，B 正确；b 、c 的竖直位移相同，根据动能定理ΔE k ＝mgh 可知，b 的动能增量等于c 的动能增量，选项C 错误；a 的竖直位移是c 的2倍，根据动能定理可知，a 的动能增量等于c 的动能增量的2倍，选项D 错误．变式3 如图6所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h ，足球做平抛运动(足球可看成质点)，则( )图6A ．足球位移的大小x ＝L 24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝g 2h (L 24＋s 2) C ．足球末速度的大小v ＝g 2h (L 24＋s 2)＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s答案 B解析 足球位移大小为 x ＝(L2)2＋s 2＋h 2＝L 24＋s 2＋h 2，A 项错误；根据平抛运动规律有：h ＝12gt 2，L 24＋s 2＝v 0t ， 解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 项正确； 根据动能定理可得mgh ＝12m v 2－12m v 02解得v ＝v 02＋2gh ＝g 2h (L 24＋s 2)＋2gh ，C 项错误； 足球初速度方向与球门线夹角的正切值tan θ＝s L 2＝2sL ，D 项错误．命题点二 有约束条件的平抛运动模型 模型1 对着竖直墙壁平抛如图6所示，水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t ＝dv 0.图6例2 如图7所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A 与竖直墙壁成53°角，飞镖B 与竖直墙壁成37°角，两者相距为d .假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图7答案24d 7解析 由题意可知，飞镖A 、B 从同一点做平抛运动，其落点速度方向的反向延长线的交点C 为水平位移的中点，如图所示，设飞镖的水平位移为x ，根据几何关系得： y A ＝x 2tan 37°＝3x 8，y B ＝x 2tan 53°＝2x 3又已知y B －y A ＝d解得x ＝24d 7，即射出点离墙壁的水平距离为24d 7.变式4 (多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸a 、b 、c ，在墙上留下的弹痕如图8所示，已知Oa ＝ab ＝bc ，则a 、b 、c 三颗弹丸(不计空气阻力)( )图8A ．初速度之比是6∶3∶2B ．初速度之比是1∶2∶3C ．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3D ．从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶2 答案 AC解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知t a ∶t b ∶t c＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可得v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt ，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误． 模型2 斜面上的平抛问题 1．顺着斜面平抛(如图9)图9方法：分解位移．x ＝v 0t ， y ＝12gt 2， tan θ＝y x ，可求得t ＝2v 0tan θg .2．对着斜面平抛(如图10)图10方法：分解速度． v x ＝v 0， v y ＝gt ， tan θ＝v 0v y ＝v 0gt ，可求得t ＝v 0g tan θ.例3 (多选)如图11所示，在斜面顶端a 处以速度v a 水平抛出一小球，经过时间t a 恰好落在斜面底端P 处；今在P 点正上方与a 等高的b 处以速度v b 水平抛出另一小球，经过时间t b 恰好落在斜面的中点Q 处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )图11A ．v a ＝2v bB ．v a ＝2v bC ．t a ＝2t bD ．t a ＝2t b答案 BD解析 b 球落在斜面的中点，知a 、b 两球下降的高度之比为2∶1，根据h ＝12gt 2知，t ＝2h g，则时间之比为t at b ＝2，即t a ＝2t b .因为a 、b 两球水平位移之比为2∶1，则由x ＝v 0t ，得v a＝2v b ，故B 、D 正确，A 、C 错误．变式5 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造的一个特殊跳台．一名运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得一定的速度后从A 点水平飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B 点着陆，如图12所示．已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v 0＝20 m /s ，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，则运动员(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )图12A ．在空中飞行的时间为4 sB ．在空中飞行的时间为3 sC ．在空中飞行的平均速度为20 m/sD ．在空中飞行的平均速度为50 m/s 答案 B解析 A 、B 间距离就是整个平抛过程中运动员的位移，则有水平方向：x ＝v 0t ，竖直方向：h ＝12gt 2，两式结合有tan 37°＝h x ＝12gt2v 0t ＝gt 2v 0，解得t ＝3 s ，选项A 错误，B 正确；平均速度v ＝s t ＝x t cos 37°＝25 m/s ，选项C 、D 错误． 变式6 如图13所示，以10 m /s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为30°的斜面上，则物体在空中飞行的时间是(g 取10 m/s 2)( )图13A.33 s B.233s C. 3 s D ．2 s 答案 C解析 速度分解图如图所示，由几何关系可知v y ＝v 0tan 30°＝10 3 m/s ，由v y ＝gt ，得t ＝ 3 s.命题点三 平抛运动的临界问题1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件．2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来．例4 如图14所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，竖直墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P 点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v 水平抛出， 要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2.则可以实现上述要求的速度大小是( )图14A ．2 m /sB ．4 m/sC ．8 m /sD ．10 m/s 答案 B解析 小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v 最大．此时有：L ＝v max t 1，h ＝12gt 12代入数据解得：v max ＝7 m/s小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v 最小， 则有：L ＋d ＝v min t 2，H ＋h ＝12gt 22，代入数据解得：v min ＝3 m /s ，故v 的取值范围是 3 m/s ＜v ＜7 m/s ，故B 正确，A 、C 、D 错误．变式7 如图15所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(围墙厚度忽略不计)图15(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．答案(1)5 m/s≤v0≤13 m/s(2)5 5 m/s解析(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移：L＋x ＝v01t1小球的竖直位移：H＝12gt12解以上两式得v01＝(L＋x)g2H＝13 m/s设小球恰好越过围墙顶端时的水平初速度为v02，则此过程中小球的水平位移：L＝v02t2小球的竖直位移：H－h＝12gt22解以上两式得：v02＝Lg2(H－h)＝5 m/s小球离开屋顶时速度v0的大小为5 m/s≤v0≤13 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙顶端落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v y2＝2gH又有：v min＝v022＋v y2解得：v min＝5 5 m/s.1．可以近似地认为：在地面附近，物体所受的重力是不变的．不计空气阻力，关于在地面附近的抛体运动，下列说法正确的是()A．所有的抛体运动都是直线运动B．所有的抛体运动都是曲线运动C．所有的抛体运动都是匀变速运动D ．有一些抛体的运动是变加速运动 答案 C解析 所有在地面附近做抛体运动的物体都只受重力，加速度恒定不变，选项C 正确． 2．从距离地面h 处水平抛出一小球，落地时小球速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列结论中正确的是( ) A ．小球初速度为2gh tan θ B ．小球着地速度大小为2gh sin θC ．若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍D ．若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ 答案 B3．农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选．在同一风力作用下，谷种和瘪谷(空壳)都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图1所示．若不计空气阻力，对这一现象，下列分析正确的是( )图1A ．谷种和瘪谷从飞出洞口到落地的时间不相同B ．谷种和瘪谷从洞口飞出时的速度大小相同C ．M 处是瘪谷，N 处为谷种D ．M 处是谷种，N 处为瘪谷 答案 D解析 由h ＝12gt 2知落地时间相同，又x ＝v 0t 得初速度不同，谷种从洞口飞出时的速度小，位移小，落在M 处，瘪谷速度大，落在N 处，故D 正确．4.(2018·温州市期末)公园里，经常可以看到大人和小孩都喜欢玩的一种游戏——“套圈”，如图2所示是“套圈”游戏的场景．某小孩和大人分别水平抛出圆环，大人抛出圆环时的高度大于小孩抛出时的高度，结果恰好都套中前方同一物体，假设圆环的水平位移相同．如果不计空气阻力，圆环的运动可以视为平抛运动，则下列说法正确的是( )图2A．大人和小孩抛出的圆环发生的位移相等B．大人抛出圆环的加速度小于小孩抛出圆环的加速度C．大人和小孩抛出的圆环在空中飞行的时间相等D．大人抛出圆环的初速度小于小孩抛出圆环的初速度答案D解析大人和小孩抛出的圆环发生的水平位移相等，竖直位移不同，所以大人和小孩抛出的圆环发生的位移不相等，故A错误；圆环做平抛运动，加速度a＝g，所以大人、小孩抛出的圆环的加速度相等，故B错误；平抛运动的时间由下落高度决定，可知大人抛出的圆环运动时间较长，故C错误；大人抛出的圆环运动时间较长，如果要让大人与小孩抛出的圆环的水平位移相等，则大人要以较小的初速度抛出圆环，故D正确．5．从离地面高为h处以水平速度v0抛出一个物体，不计空气阻力，要使物体落地时速度方向与水平地面的夹角最大，则h与v0的取值应为下列的()A．h＝15 m，v0＝5 m/sB．h＝15 m，v0＝8 m/sC．h＝30 m，v0＝10 m/sD．h＝40 m，v0＝10 m/s答案A解析被抛出后物体在水平方向上做匀速直线运动：v＝v0，竖直方向上做自由落体运动：vy 2＝2gh，落地时速度方向与地面夹角的正切值为tan α＝v yv0＝2ghv0，所以h越大，初速度v0越小，物体落地时速度方向与地面的夹角越大，故A正确，B、C、D错误．6．某同学将一篮球斜向上抛出，篮球恰好垂直击中篮板反弹后进入篮筐，忽略空气阻力，若抛射点远离篮板方向水平移动一小段距离，仍使篮球垂直击中篮板相同位置，且球击中篮板前不会与篮筐相撞，则下列方案可行的是()A．增大抛射速度，同时减小抛射角B．减小抛射速度，同时减小抛射角C．增大抛射角，同时减小抛出速度D．增大抛射角，同时增大抛出速度答案A解析应用逆向思维，把篮球的运动看成平抛运动，由于竖直高度不变，水平位移增大，篮球从抛射点到篮板的时间t＝2hg不变，竖直分速度v y＝2gh不变，水平方向由x＝v x t知x增大，v x增大，抛射速度v＝v x2＋v y2增大，与水平方向的夹角的正切值tan θ＝v y vx减小，故θ减小，可知A正确．7．“楚秀园”是淮安市一座旅游综合性公园，园内娱乐设施齐全，2017年6月1日，某同学在公园内玩掷飞镖游戏时，从同一位置先后以速度v A和v B将飞镖水平掷出，依次落在靶盘上的A、B两点，如图3乙所示，飞镖在空中运动的时间分别为t A和t B.忽略阻力作用，则()图3A．v A<v B，t A<t B B．v A<v B，t A>t BC．v A>v B，t A<t B D．v A>v B，t A>t B答案C8.(2018·杭州市五校联考)在同一竖直线上的不同高度分别沿同一方向水平抛出两个小球A 和B，两球在空中相遇，其运动轨迹如图4所示，不计空气阻力，下列说法正确的是()图4A．相遇时A球速度一定大于B球B．相遇时A球速度一定小于B球C．相遇时A球速度的水平分量一定等于B球速度的水平分量D．相遇时A球速度的竖直分量一定大于B球速度的竖直分量答案D解析根据t＝2hg，v y＝gt，h A>h B，x＝v x t，知t A>t B，v yA>v yB，v xA<v xB，选项D正确．9.(2019届温州市质检)在2016年11月27日的杭州大火中，消防人员为挽回人民财产做出了巨大贡献，如图5所示，一消防员站在屋顶利用高压水枪向大楼的竖直墙面喷水，假设高压水枪水平放置，不计空气阻力，若水经过高压水枪喷口时的速度加倍，则( )图5A ．水到达竖直墙面的速度不变B ．水在墙面上的落点与高压水枪口的高度差减半C ．水在墙面上的落点和高压水枪口的连线与竖直方向的夹角的正切值加倍D ．水在空中的运动时间减半 答案 D解析 根据x ＝v 0t ，v 0加倍，水平位移不变，水在空中的运动时间减半，故D 正确；v 0加倍前后，水到达竖直墙壁的速度与水平方向的夹角分别为α、β，则tan α＝v yv 0，tan β＝12vy 2v 0＝v y 4v 0，故A 错误；根据h ＝12gt 2知，水在墙面上的落点与高压水枪口的高度差为原来的14，故B 错误；设水在墙面上的落点和高压水枪口的连线与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝xy ，x 不变，y 减为原来的14，则tan θ为原来的4倍，故C 错误．10.(2018·湖州市、衢州市、丽水市期末)如图6为利用稳定的细水柱显示平抛运动轨迹的装置．已知圆柱形饮料瓶的底面积为S ，每秒钟瓶中水位下降Δh ，形成的部分水柱末端P 离出水口的水平距离为x 时，竖直距离为h ，重力加速度为g ，则(所有物理量均用国际单位)( )图6A ．为防止漏水，A 处管口应该堵住B ．为保证水柱稳定，瓶中的水应少一些C ．出水口的截面积数值大小约为S Δhx 2h g D ．出水口的截面积数值大小约为S Δh g答案 C解析 左侧竖直管上端与空气相通，A 处水的压强始终等于大气压，不受瓶内水面高低的影响，因此，在水面降到A 处以前的一段时间内，可以得到稳定的细水柱，故A 、B 错误；根据题意可知水流离开管口做平抛运动，设初速度为v ，竖直方向下落的时间为：t ＝2h g，则有：v ＝xt＝xg2h，圆柱形饮料瓶的底面积为S ，每秒钟瓶中水位下降Δh ，则有：S Δh ＝v S ′，解得出水口的截面积数值大小约为S Δhx2hg，故C 正确，D 错误．11.如图7所示，薄半球壳ACB 的水平直径为AB ，C 为最低点，半径为R .一个小球从A 点以速度v 0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是( )图7A ．只要v 0足够大，小球可以击中B 点B ．v 0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C ．v 0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D ．无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上 答案 D解析 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v 0再大也不可能击中B 点，A 错误；v 0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A 点的连线与AB 的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB 的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B 、C 错误，D 正确．12.如图8所示，一长为2L 的木板，倾斜放置，倾角为45°，今有一弹性小球，从与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板夹角相等，欲使小球一次碰撞后恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平距离为(不计空气阻力)( )图8A.12LB.13L C.14L D.15L 答案 D解析 由于小球释放位置与木板上端等高，设小球释放位置距木板上端的水平距离为x ，小球与木板碰撞前有v 2＝2gx ，小球与木板碰撞后做平抛运动，则水平方向上有L －x ＝v t ，竖直方向上有L －x ＝12gt 2，由以上三式联立解得x ＝15L ，故D 正确．13.如图9所示，斜面体ABC 固定在水平地面上，斜面的高AB 为 2 m ，倾角为θ＝37°，且D 是斜面的中点，在A 点和D 点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C 点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )图9A.34 mB.23 mC.22 mD.43 m 答案 D解析 设斜面的高AB 为h ，落地点到C 点的距离为x ，则由几何关系及平抛运动规律有h tan θ＋x 2h g ＝h 2tan θ＋x hg，解得x ＝43 m ，选项D 正确．14.(2016·浙江高考·23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图10所示．P 是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .图10(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 答案 (1)3h g (2)L2gh≤v ≤L g2h(3)L ＝22h 解析 (1)对打在AB 中点的微粒有32h ＝12gt 2解得t ＝3h g(2)对打在B 点的微粒有v 1＝L t 1，2h ＝12gt 12解得v 1＝L2g h同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝Lg 2h则能被屏探测到的微粒的初速度范围为L2gh≤v ≤L g 2h(3)由能量关系可得12m v 22＋mgh ＝12m v 12＋2mgh则L ＝22h .15．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，如图11所示，设球台长2L 、中间球网高度为h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(重力加速度为g )图11(1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台上的P 1点(如图实线所示)，求P 1点距O 点的距离x 1.(2)若球从O 点正上方以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P 2点(如图虚线所示)，求v 2的大小．(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3点，求发球点距O 点的高度h 3. 答案 (1)v 12h 1g (2)L 2g 2h (3)43h 解析 (1)如图甲所示，根据平抛规律得：h 1＝12gt 12，x 1＝v 1t 1联立解得：x 1＝v 12h 1g. (2)根据平抛规律得：h 2＝12gt 22，x 2＝v 2t 2且由题意知h 2＝h ，2x 2＝L ，联立解得v 2＝L2g 2h. (3)如图乙所示，得：h 3＝12gt 32，x 3＝v 3t 3且3x 3＝2L设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t ，水平距离为s ，有h 3－h ＝12gt 2，s ＝v 3t由几何关系得：x3＋s＝L，联立解得：h3＝43h.。

第2讲平抛运动的规律及应用板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】抛体运动Ⅱ1．平抛运动(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下(不考虑空气阻力)的运动。

(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

(3)条件①v0≠0，且沿水平方向。

②只受重力作用。

2．斜抛运动(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

【知识点2】抛体运动的基本规律1．平抛运动(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

(2)基本规律(如图所示)①速度关系②位移关系③轨迹方程：y＝g2v20x2。

2．类平抛运动的分析所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做曲线运动。

(1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

(2)运动特点：沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。

板块二考点细研·悟法培优考点1平抛运动的基本规律[深化理解]1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。

其推导过程为tanθ＝v yv x＝gt2v0t＝yx2。

(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。

如图乙所示。

其推导过程为tanθ＝v yv0＝gt·tv0·t＝2yx＝2tanα。

例1(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。

图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。

不计空气阻力，则()A．a的飞行时间比b的长B．b和c的飞行时间相同C．a的水平初速度比b的小D．b的水平初速度比c的大(1)平抛的时间取决于什么？提示：取决于高度。

第2节抛体运动知识点一| 平抛运动的基本规律1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。

4．研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

5．基本规律(1)位移关系(2)速度关系[判断正误](1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

(×)(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。

(3)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。

1．平抛运动速度改变量物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

2．平抛运动的两个主要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A 2。

推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v y v 0＝2y Ax A →x B ＝x A 2 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。

推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v y v 0＝gtv 0tan α＝y x ＝gt2v 0→tan θ＝2tan α [典例] (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g 。

下列说法正确的是()A ．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小AD [如图所示。

由tan θ＝gtv 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，选项A 正确；由tan α＝y x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0＝12tan θ可知，α≠θ2，选项B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2y g ，与小球初速度无关，选项C 错误；由tan θ＝gt v 0可知，v 0越大，θ越小，选项D 正确。

第2讲 抛体运动的规律及应用考点1 平抛运动的基本规律1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即x B＝x A 2.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ.(多选)“嫦娥五号”探月卫星的成功发射，标志着我国航天又迈上了一个新台阶．将来我国宇航员还会乘坐探月卫星登上月球，如图所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的闪光照片的一部分．已知照片上小方格代表的实际边长为a，闪光周期为T，据此可知()A．月球上的重力加速度为a T2B．小球平抛的初速度为3a TC．照片上A点一定是平抛的起始位置D ．小球运动到D 点时速度大小为6aT [审题指导] (1)图中各点间的时间间隔相等，为等时间段；竖直方向上满足Δy ＝gT 2.(2)计算小球在第1个T 时间内竖直方向位移可判断A 点是不是初始位置．【解析】 由闪光照片可知，小球竖直方向位移差为Δy ＝2a ，由Δy ＝gT 2可得月球上的重力加速度g ＝2aT2，选项A 错误；由小球在水平方向做匀速直线运动可得3a ＝v 0T ，解得v 0＝3aT ，选项B 正确；小球在平抛出后第1个T 时间内竖直方向位移y 1＝12gT 2＝12×2aT 2×T 2＝a ，所以照片上A 点一定是平抛的起始位置，选项C 正确；小球运动到D 点时竖直速度v y ＝g ·3T ＝2aT 2·3T ＝6a T ，水平速度为v 0＝3a T ，小球运动到D 点时速度大小为v ＝v 20＋v 2y ＝35a T ，选项D 错误．【答案】 BC分解思想在平抛运动中的应用(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度．(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．1．(2019·浙江嘉兴模拟)电影《速度与激情8》中有一个精彩情节：反派为了让多姆获得核弹发射箱，通过远程控制让汽车从高楼中水平飞出，落在街面地上．设某车飞出时高约为16.2 m ，街道宽度为27 m ，则该汽车从顶楼坠落时速度不会超过(D)A．8 m/s B．10 m/s C．13 m/s D．15 m/s解析：汽车竖直方向做自由落体运动，下落时间为t＝2hg＝2×16.210s＝1.8 s，汽车水平方向做匀速直线运动，街道宽度为27 m，所以水平速度最大为v x max＝dt＝271.8m/s＝15 m/s，故只有选项D正确．2．如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是(D)A．只要v0足够大，小球可以击中B点B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上解析：小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tanθ＝2tanφ可知，小球落在球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度的反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的．A、B、C错误，D正确．3．(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(AC)A．初速度之比是63 2B．初速度之比是12 3C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是12 3D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是63 2解析：水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa Ob Oc＝123，由h＝12gt2可知tat b t c＝123，由水平方向x＝v0t可得v a v b v c＝11213＝632，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是123，故选项C正确，D错误．考点2与斜面有关的平抛运动1．与斜面有关的平抛运动有两种模型(1)物体从空中抛出落在斜面上．(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．解答时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系是解题的关键．2．两种模型对比解：如图，tan 故2＝解：如图，y 而联立得t (2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍[审题指导] 落在同一斜面上的做平抛运动的两小球最终位移方向相同，只要最终位移方向相同，末速度方向一定相同．【解析】 甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A 正确．【答案】 A(2019·山东济南模拟)如图所示，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在底端A 正上方与顶端等高处的E 点以速度v 0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D 点，重力加速度为g ，则( )A．小球在空中飞行时间为v0 gB．小球落到斜面上时的速度大小为v0 cosαC．小球的位移方向垂直于ACD．CD与DA的比值为12tan2α[审题指导]关键词：垂直落到D点．方法：分解末速度．【解析】将小球在D点的速度进行分解，水平方向的分速度v1等于平抛运动的初速度v0，即v1＝v0，落到斜面上时的速度v＝v0sinα，竖直方向的分速度v2＝v0tanα，则小球在空中飞行时间t＝v2g＝v0g tanα.由图可知平抛运动的位移方向不垂直AC.D、A间水平距离为x水平＝v0t，故DA＝v0tcosα；C、D间竖直距离为x竖直＝12v2t，故CD＝v2t2sinα，得CDDA＝12tan2α.【答案】 D与斜面有关的平抛运动模型的2点技巧(1)在解答该类问题时，首先运用平抛运动的位移和速度规律并将位移或速度分解．(2)充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．4．如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v 0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t 0.现用不同的初速度v 从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t 随v 变化的函数关系( C )解析：当小球落在斜面上时，则有：tan θ＝12gt 2v t ＝gt2v ，解得t ＝2v tan θg ，故t 与速度v 成正比；当小球落在地面上时，根据h ＝12gt 2得t ＝2h g ，故运动时间不变，可知t 与v 的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线，故C 正确，A 、B 、D 错误．5．(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，空气阻力不计，则下列说法中正确的是(AB )A ．若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0g tan θB ．若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0g tan θC ．若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0g tan θD ．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t ＝2v 0tan θg解析：小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝x y ＝2v 0gt ，即t ＝2v 0g tan θ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝v 0gt ，即t ＝v 0g tan θ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg ，C 错误．学习至此，请完成课时作业12。

第2讲 平抛运动[基础知识·填一填][知识点1] 平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿 水平方向 抛出，物体只在 重力 作用下(不考虑空气阻力)的运动．2．性质加速度为重力加速度g 的 匀变速曲线 运动，运动轨迹是抛物线． 3．基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做 匀速直线 运动，速度v x ＝ v 0 ，位移x ＝ v 0t . (2)竖直方向：做 自由落体 运动，速度v y ＝ gt ，位移y ＝ 12gt 2.(3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝ gt v 0. (4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝ gt2v 0. 4．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 中点 ，如图中A 点和B 点所示．(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向夹角为θ，则tan α＝ 2tan_θ .判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．(×) (2)平抛运动的速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．(×) (3)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同．(√) (4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动时间越长．(×)(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度越大，落地速度越大．(√)[知识点2] 斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.,[教材挖掘·做一做]1．(人教版必修2 P9例1改编)如图，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )A．v0越大，运动员在空中运动时间越长B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大C．运动员落地速度与高度h无关D．运动员落地位置与v0无关答案：B2.(人教版必修 2 P10“做一做”改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的有( )A．两球的质量应相等B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动答案：BC3．(人教版必修2 P12第1题改编)静止的城市绿化洒水车，由横截面积为S的水龙头喷嘴水平喷出水流，水流从射出喷嘴到落地经历的时间为t，水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为θ，忽略空气阻力，重力加速度为g，以下说法正确的是( ) A．水流射出喷嘴的速度大小为gt tan θB ．空中水柱的水量为Sgt 22tan θC ．水流落地时位移大小为gt 22cos θD ．水流落地时的速度大小为2gt cos θ解析：B [水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为θ，则有tan θ＝12gt 2v 0t，解得v 0＝gt2tan θ，t ＝2v 0tan θg ，故A 错误；空中水柱的水量Q ＝Sv 0t ＝Sgt22tan θ，故B 正确；水流落地时，竖直方向位移h ＝12gt 2，根据几何关系得，水流落地时位移大小s ＝h sin θ＝gt 22sin θ，故C 错误；水流落地时，竖直方向速度v y ＝gt ，则水流落地时的速度v ＝v 20＋v 2y＝gt2tan θ·1＋4tan 2θ，故D 错误．]考点一 平抛运动的基本规律[考点解读]1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，所以落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示．[典例赏析][典例1] (2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( )A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大[解析] C [由题意知，速度大的先过球网，即同样的时间，速度大的水平位移大，或者同样的水平距离，速度大的用时少，故C 正确；A 、B 、D 错误．]“化曲为直”思想在抛体运动中的应用1．根据等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动，在这两个方向上分别求解．2．运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等．[题组巩固]1．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )A ．速度和加速度的方向都在不断改变B ．速度与加速度方向之间的夹角一直减小C ．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等D ．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等解析：B [由于不计空气阻力，小球只受重力作用，故加速度为g ，小球做平抛运动，速度的方向不断变化，在任意一段时间内速度的变化量Δv ＝g Δt ，如图，选项A 错误；设某时刻速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝v 0v y ＝v 0gt，随着时间t 的变大，tan θ变小，选项B 正确；由图可以看出，在相等的时间间隔内，速度的改变量Δv 相等，但速率的改变量v 3－v 2≠v 2－v 1≠v 1－v 0，故选项C 错误；在竖直方向上位移h ＝12gt 2，可知小球在相同的时间内下落的高度不同，根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，所以选项D 错误．]2．(多选)如图为自动喷水装置的示意图．喷头高度为H ，喷水速度为v ，若要增大喷洒距离L ，下列方法中可行的有( )A ．减小喷水的速度vB ．增大喷水的速度vC ．减小喷头的高度HD ．增大喷头的高度H解析：BD [根据H ＝12gt 2得t ＝2Hg，则喷洒的距离L ＝vt ＝v2Hg，则增大喷水的速度，增大喷头的高度可以增大喷洒距离，故B 、D 正确，A 、C 错误．]3.(2019·北京东城区模拟)“东方－2018”是中俄战略级联合军演，于2018年9月11日开练．如图所示，在联合军事演习中，离地面H 高处的飞机以水平对地速度v 1发射一颗炸弹轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程视为竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为x ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足( )A ．v 1＝H x v 2B ．v 1＝v 2x HC ．v 1＝x Hv 2D ．v 1＝v 2解析：C [炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置．设此位置距地面的高度为h ，则x ＝v 1t ，h ＝v 2t －12gt 2，H －h ＝12gt 2，由以上各式联立解得v 1＝xHv 2，故C 正确．]考点二 多体平抛运动问题[考点解读]1．两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处．即轨迹相交是物体相遇的必要条件．2．若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度．3．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同． 4．若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大．[典例赏析][典例2] (2017·江苏卷)如图所示，A 、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )A ．t B.22t C.t2D.t4[解析] C [设第一次抛出时A 球速度为v 1，B 球速度为v 2，则A 、B 间水平距离x ＝(v 1＋v 2)t .第二次两球速度为第一次的2倍，但水平距离不变，则x ＝2(v 1＋v 2)T ，联立得T ＝t /2，所以C 正确．A 、B 、D 错误．][母题探究][探究1] 两物体从不同高度抛出落在同一位置的平抛如图所示，A 、B 两个小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出，结果它们同时落在地面上的同一点C ，已知A 离地面的高度是B 离地面高度的2倍，则A 、B 两个球的初速度之比为v A ∶v B 为( )A ．1∶2B ．2∶1 C.2∶1D.2∶2解析：D [由于A 、B 两球离地面的高度之比为2∶1，由t ＝2hg可知，它们落地所用的时间之比为2∶1，由于它们的水平位移x 相同，由v ＝x t可知，初速度之比为1∶2＝2∶2，D 项正确．][探究2] 物体从同一高度下落到不同高度的平抛如图所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落到a 、b 、c 三点，则三个物体运动的初速度v a 、v b 、v c 的关系和三个物体运动的时间t a 、t b 、t c 的关系是( )A ．v a ＞v b ＞v c ，t a ＞t b ＞t cB ．v a ＜v b ＜v c ，t a ＝t b ＝t cC ．v a ＜v b ＜v c ，t a ＞t b ＞t cD ．v a ＞v b ＞v c ，t a ＜t b ＜t c解析：C [三个平抛运动竖直方向都为自由落体运动，由h ＝12gt 2可知，a 的运动时间最长，c 的运动时间最短；由水平方向为匀速直线运动可知c 的初速度最大，a 的初速度最小，C 正确．][探究3] 多体从不同高度落在不同位置的平抛(多选)如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )A ．a 的飞行时间比b 的长B ．b 和c 的飞行时间相同C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大解析：BD [三个小球a 、b 和c 水平抛出以后都做平抛运动，根据平抛运动规律可得：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，所以t ＝2yg，由y b ＝y c ＞y a ，得t b ＝t c ＞t a ，选项A 错，B 对；又根据v 0＝xg2y，因为y b ＞y a ，x b ＜x a ，y b ＝y c ，x b ＞x c ，故v a ＞v b ，v b ＞v c ，选项C 错误，D 对．] 考点三 平抛运动的临界问题[考点解读]1．确定在临界状态下所对应的临界条件，一般平抛运动过哪个点，限定了平抛运动的位移；平抛运动切入某个轨道，限定了速度方向．2．利用分解位移或分解速度的方法解决问题．3．确定研究过程，一般从平抛运动的抛出点开始计算问题比较简单．[典例赏析][典例3] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12 g6h <v <L 1g 6hB.L 14 g h <v < (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h <v <12(4L 21＋L 22)g6hD.L 14g h <v <12 (4L 21＋L 22)g6h[审题指导] (1)审关键词：①发射机安装于台面左侧边缘的中点．②能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球．(2)思路分析：①乒乓球落在右侧台面的台角处时，速度取最大值．②乒乓球沿正前方且恰好擦网而过时，速度取最小值．[解析] D [乒乓球做平抛运动，落到右侧台面上时经历的时间t 1满足3h ＝12gt 21.当v取最大值时其水平位移最大，落点应在右侧台面的台角处，有v max t 1＝L 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222，解得v max ＝12(4L 21＋L 22)g6h；当v 取最小值时其水平位移最小，发射方向沿正前方且恰好擦网而过，此时有3h －h ＝12gt 22，L 12＝v min t 2，解得v min ＝L 14gh，故D 正确．] 处理平抛运动中的临界问题要抓住两点1．找出临界状态对应的临界条件．2．要用分解速度或分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．[母题探究][探究1] 如图所示，排球场总长为18 m ，设球网高度为2 m ，运动员站在离网3 m 的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2)(1)设击球点在3 m 线正上方高度为2.5 m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在3 m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3 m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5 m ，根据位移关系x ＝vt ，y ＝12gt 2，可得v ＝x g2y，代入数据可得v1＝310 m/s，即所求击球速度的下限．设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入上面的速度公式v＝x g2y，可求得v2＝12 2 m/s，即所求击球速度的上限．欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足310 m/s＜v＜12 2 m/s.(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示设此时排球的初速度为v，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝(h3－2) m，代入速度公式v＝x g2y可得v＝35h3－2；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x g2y可得v＝125h3两式联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．答案：(1)310 m/s＜v＜12 2 m/s (2)2.13 m[探究2] 对称法分析临界问题抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1.(2)若球从O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图虚线所示)，求v 2的大小．(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3点，求发球点距O 点的高度h 3.解析：(1)如图甲所示，根据平抛规律得：h 1＝12gt 21，x 1＝v 1t 1，联立解得：x 1＝v 12h 1g(2)根据平抛规律得：h 2＝12gt 22，x 2＝v 2t 2且h 2＝h,2x 2＝L ，联立解得v 2＝L2g 2h. (3)如图乙所示，得h 3＝12gt 23，x 3＝v 3t 3且3x 3＝2L设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t ，水平距离为s ，有h 3－h ＝12gt 2 s ＝v 3t由几何关系得：x 3＋s ＝L ，解得：h 3＝43h .答案：(1)v 12h 1g (2)L2g 2h (3)43h物理模型(四) 常见平抛运动的模型[模型阐述]1．模型一：半圆内的平抛运动(如图甲)由半径和几何关系制约时间t ：h ＝12gt 2R ＋ R 2－h 2＝v 0t联立两方程可求t .甲2．模型二：斜面上的平抛运动 (1)顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg乙(2)对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度v x ＝v 0 v y ＝gttan θ＝v 0v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ丙3．模型三：对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．t ＝d v 0丁 [典例赏析][典例] (2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平拋出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍[审题指导] (1)平抛运动是曲线运动，轨迹为抛物线，可以分解为竖直方向上的自由落体运动(满足h ＝12gt 2和v y ＝gt )和水平方向上的匀速直线运动(满足x ＝v 0t )．(2)根据动能定理或速度分解，找出小球落到斜面上的速度v 与抛出时的速度v 0的关系．(3)根据速度关系，得出甲、乙两个小球落到斜面上时的速度之比． [解析] A [小球做平抛运动，其运动轨迹如图所示．设斜面的倾角为θ.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，x ＝v 0t ，h ＝12gt 2，由图中几何关系，可得tan θ＝h x ，解得：t ＝2v 0tan θg； 从抛出到落到斜面上，由动能定理可得：mgh ＝12mv ′2－12mv 20，可得：v ′＝v 20＋2gh ＝1＋4tan 2θ·v 0，则v 甲′v 乙′＝v 0甲v 0乙＝v v 2＝21，选项A 正确．]1．解决与斜面关联的平抛运动问题时，首先明确是已知速度方向还是已知位移方向与斜面的夹角，再确定与水平方向的夹角，最后对速度或位移进行分解．2．与圆形装置关联的平抛运动的求解方法与此类似．[题组巩固]1．(多选)如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )A ．1 m/sB ．2 m/sC ．3 m/sD ．4 m/s解析：AD [由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示：第一种可能：小球落在半圆左侧v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s第二种可能：小球落在半圆右侧v 0t ＝R ＋R 2－h 2＝1.6 m ，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确．]2．(多选)如图所示，小球a 从倾角为θ＝60°的固定粗糙斜面顶端以速度v 1沿斜面恰好匀速下滑，同时将另一小球b 在斜面底端正上方与a 球等高处以速度v 2水平抛出，两球恰在斜面中点P 相遇，则下列说法正确的是( )A ．v 1∶v 2＝2∶1B ．v 1∶v 2＝1∶1C ．若小球b 以2v 2水平抛出，则两小球仍能相遇D ．若小球b 以2v 2水平抛出，则b 球落在斜面上时，a 球在b 球的右下方解析：AD [两球在P 点相遇，知两球的水平位移相等，有v 1t sin 30°＝v 2t ，解得v 1∶v 2＝2∶1，A 对，B 错；若小球b 以2v 2水平抛出，如图所示，若没有斜面，将落在B 点与P 点等高，可知将落在斜面上的A 点，由于a 、b 两球在水平方向上做匀速直线运动，可知a 球落在A 点的时间小于b 球落在A 点的时间，所以b 球落在斜面上时，a 球在b 球的右下方，C 错，D 对．]3．如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O 点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O 与A 在同一高度，小球的水平初速度分别是v 1、v 2、v 3，打在挡板上的位置分别是B 、C 、D ，且AB ∶BC ∶CD ＝1∶3∶5，则v 1、v 2、v 3之间的正确关系是( )A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1B ．v 1∶v 2∶v 3＝5∶3∶1C ．v 1∶v 2∶v 3＝6∶3∶2D ．v 1∶v 2∶v 3＝9∶4∶1解析：C [平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由AB ∶BC ∶CD ＝1∶3∶5可知，以速度v 1、v 2、v 3水平抛出的小球，从抛出到打到挡板上的时间分别为t 、2t 、3t .由v 1＝x t ，v 2＝x 2t ，v 3＝x 3t 可得：v 1∶v 2∶v 3＝x t ∶x 2t ∶x3t ＝6∶3∶2，C 正确．]。

专题4.2 平抛运动1.掌握平抛运动的特点和性质。

2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题。

知识点一平抛运动的基本规律1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。

4．研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

5．基本规律(1)位移关系(2)速度关系6. 平抛运动的两个主要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A2。

推导：⎭⎬⎫tan θ＝y A x A －x Btan θ＝v yv 0＝2yAxA→x B＝x A2 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。

推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α知识点二、斜拋运动1．定义：将物体以初速度v 0沿斜向上方或斜向下方拋出，物体只在重力作用下的运动。

2．性质：加速度为重力加速度g 的匀变速运动，轨迹是拋物线。

3．研究方法：斜拋运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上拋运动的合运动。

4．与斜面有关的平拋运动常见的两种模型斜面规律 方法 总结水平：v x ＝v 0 竖直：v y ＝gt合速度：v ＝v 2x ＋v 2y分解 速度分解速度，构建速度三角形．利用斜面倾角为θ这个约束条件可得tan θ＝v 0v y水平：x ＝v 0t 竖直：y ＝12gt 2合位移：s ＝x 2＋y 2分解 位移分解位移，构建位移三角形．利用斜面倾角为θ这个约束条件可得tan θ＝yx ，可求得t 、x 、y考点一 平抛运动的基本规律【典例1】 (2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。