直线中的最值问题专题练习

中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.【例题2】(2018江西)如图，AB是。

的弦，AB=5,点C是。

上的一个动点，且NACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .C【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )A.最大值为2B.最小值为2C.最大值为-D.最大值为°3 3 2 22.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。

3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为04.（2018云南）如图，MN是。

的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.C5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。

中考最值问题解题策略垂线段最短在最值问题中的应用模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值围是_______________。

2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．3. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．模型二“胡不归”问题基本模型：两定一动，动点在定直线上问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使22AP＋BP 最小．解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将22AP转化为PE，使得22AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”找到最小值的位置．4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP＋PC的最小值是( )A BOMA. 3B.332 C. 3 D.3325. 如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB的长．6、如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC ， DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．ABOP x y C DABOxy C图6-2-47．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（）8．如图6－2－6，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A 、B 是第一象限横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝513探究：如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．拓展如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值围．AB CD图6-2-5图6-2-6C对称性质在最值问题中的应用模型一两点一线类型1 异侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．问题解决：结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．类型2 同侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．问题解决：结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．类型3 同侧差最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．问题解决：结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.类型4 同侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，则|PA－PB|的最大值为线段AB 的长．类型5 异侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时，则y的值为________．3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．A BCDPEAB CDPNAC BDEP图6-1-1③图6-1-1④图6-1-1⑤4、如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .5、如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为 .7.（1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 . （2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，C图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 .M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .8.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB上的动点，则△PQR 周长的最小值是 . （2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x (x <0)上，点P 、Q分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.A .y ＝xB .y ＝x ＋1C .y ＝x ＋2D .y ＝x ＋3（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，C BP 图6-1-3②图6-1-3③ABOPRQab 图6-1-4①图6-1-59. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝a 上找一点MMN ⊥a 且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ A .6 B .8 C .10 D .1210、如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分 别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的围：__________________．11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是____________________． 12．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．13．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P 是x 轴上使得︱PA －PB ︱的值最大的点，OP ＝__________________.14．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1,0)、C (0,4)两点，与x 轴交于另一点B ．⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．模型二 一点两线类型1 一定点与两条直线上两动点问题问题：点P 在∠AOB 的部，在OB 上找一点D ，在OA 上找一点C ，使得△PCD 周长最小．图6-1-14图6-1-15图6-1-13③问题解决：结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长．类型2 两定点与两条直线上两动点问题问题：点P、Q在∠AOB的部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小．问题解决：结论：将问题转化为类型1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q ’长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋PQ的值．1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．模块四“小虫爬行问题”A′B′C′D′例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面 周长为18cm ，在杯离杯底4cm 的点C 处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为多少cm ?【规律】“一点一点外要用轴对称.” 练习：1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只A（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .（3）6－1－7③,圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .A .20B .10C .14D .无法确定（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到部的点M 的最短距离等于 . 2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？模块五 折叠最值【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合图6-1-7④图6-1-7 ③图6-1-7②图6－1－8A C ′ 蚂蚁蜜蜂A D ′情推理能力.方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.1、如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N 分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值围是 .【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N 到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .模块六圆中最长弦是直径解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它．1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小值是_________________．2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．模块七、求两正数和的最小值[9]解法：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2(a、b为正数)，则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2即m＋n≥2m＝n时等号成立．这是高中两个最重要的不等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．1、阅读理解：对任意实数a，b，∵（2≥0，∴a－b≥0，∴a＋b≥a＝b时，等号成立．根据上述容，回答下列问题：⑴若m＞0，只有m＝____时m＋1m有最小值______________；⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋2n有最小值_____________；图6－1－9图6－1－11B′A′D′C′P′QA′图6-3-2图6-3-1⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋22x有最小值___________________; 2、如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B不重合的任意一点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥并指出等号成立时的条件．3、如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲线y ＝12x(x ＞0)上任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．4、公式：对于任意正数a 、b ，总有a ＋b ≥，并且只有当a ＝b 时，等号成立．直接应用或变形应用⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝1x（x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.⑵已知函数y ＝x ＋ax(a ＞0，x ＞0)，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________．⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1)2＋4，当x ＞－1时，求21yy 的最小值，并指出相应的x 的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？模块八 二次函数最值解法归一：“二次整数ax 2＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a ,b ,c 为常数，且a ≠0） 1、 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________; ⑵二次函数y ＝－x 2＋6x 的最大值是______________________． 2、如图6－6－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是B图6-4-1DEBC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），C （5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.4、如图6－6－3，把一边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．图6-6-2 图6-6-3模块九 几何探究最值类[8]1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）． 路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则l 12＝AC 2＝AB 2＋2BDC l 22＝(AB ＋BC )2，将AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC 长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：l 12＝AC 2＝ ；l 22＝(AB ＋BC )2＝ ； l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ,高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 12＝AC 2＝ ；路线2：l 22＝(AB ＋BC )2＝ ；∵l 12 l 22，∴l 1 l 2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.2、在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点)；图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2,且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).观察与计算（1）在方案一中，d 1＝ km (用含a 的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路C图6-7-1①图6-7-1②沿AB 剪开 摊平图6-7-2①图6-7-2②图6-7-2③P计算，d 2＝ km (用含a 的式子表示). 探索归纳：（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；②当a ＝6时比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；（2）请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 3、（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A与 重合，点B与 重合.探究与发现（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？ 创新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；′图6-7-4②图6-7-4①B C ′′ 图6-7-3⑤图6-7-4B 图6-7-3④BB A B ′’′ ’′图6-7-3① 图6-7-3②图6-7-3③（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.。

当y 9 时, | PA |2 | PB |2 最小 10 此时P(9 , 9 ) 5 10
例2、已知定点 A( 0, 3 )，动点 B 在直线 1：
y = 1 上，动点C 在直线 2：y = －1 上，且
∠BAC = ，求△ ABC 面积的最小值。
2
解：设 B ( a , 1 )、C ( b , －1 )
在直线 ：3x －y －1 = 0 上求一点 M，
(1) 使| | MA | －| MB | | 为最大；
y
分析：先求B关于 的对称点B1
B (0, •
4)
M
由图知：A、B1、M三点共线
•B1(3,3) 且 M 在线段AB1的延长线上
• A(4,1) 时，| | MA | －| MB | | 最大
o
例1、已知直线
y=
1 2
x
和两定点
A(1,
1),
B(2,
2)
在此直线上取一点 P，使 | PA | 2 + | PB | 2 最小，
求点P的坐标。
解：设 P ( x, y )，则 y 1 x 2
又 |PA|2+|PB|2 =(x－1)2+(y－1)2 +(x－2)2+(y－2)2
10( y 9 )2 19 10 10
5
3、点 A ( 1 , 3 )、B ( 5 , －2 ) ，在 x 轴上选一 点 P，求 P 点的坐标： (1) 使 | | PA | －| PB | | 最大； (2) 使 | PA | + | PB | 最小。
4、在直线 y = x + 2 上，求与直线 3x－4y +8= 0
和直线 3x －y －1 = 0 的距离的平方和为最小的

直线专题：与直线有关的最值问题一、距离公式 1、点到点的距离公式平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：()()22121212=-+-PP x x y y 2、点到直线的距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离0022++=+Ax By Cd A B3、直线到直线的距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：1222-=+C C d A B二、点关于直线的对称1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c（2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 三、线段和与差的最值问题解题思路1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.题型一 两点间距离最值问题【例1】设()()()()2222R 1111a b a b a b ∈-+-++++，，的最小值为_______.【答案】22【解析】从几何意义看，()()2211a b -+-()()2211a b +++()a b ，到点()11，和()11，--距离的和， 其最小值为()1,1和()11，--两点间的距离2 故答案为：22【变式1-1】已知x ，y ∈R ，()()222211S x y x y =++-+S 的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．4D 2【答案】B【解析】()()222211S x y x y =++-+P (x ，y )到点A (－1，0)与点B (1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：PA PB AB+≥，当点P 在线段AB 上时，等号成立， 所以S 取得最小值为2．故选：B【变式1-2】已知实数x ，y 22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-______. 【答案】22【解析】如图所示，设点(0,0)O ，(,)A x y ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-||||||||OA AD AB AC =+++. 因为||||||2OA AC OC +≥=||||||2AB AD BD +≥=所以||||||||22OA AD AB AC +++≥A 是OC 与BD 的交点时等号成立）． 22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-22 故答案为：22【变式1-3】已知点(,)P x y 为直线0x y -=上的动点，2222(2)(4)(2)(1)m x y x y -+-++-m 的最小值为（ ）A ．5B ．6C 37D 39【答案】C【解析】2222(2)(4)(2)(1)m x y x y -+-++-(,)P x y 到点(2,4)B 和点(2,1)A -的距离之和．因为点(2,4)B 关于直线0x y -=的对称点为(4,2)B '，所以m 的最小值为点(4,2)B '与点(2,1)A -之间的距离，即22min (42)(21)37m AB '=+-==+ 此时点P 为AB 与y x =的交点.故选：C【变式1-4】直线1:20l x my --=与直线2:20l mx y ++=交于点Q ，m 是实数，O 为坐标原点，则OQ 的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4 【答案】B【解析】因为1:20l x my --=与2:20l mx y ++=的交点坐标为222222,11m m Q m m ---⎛⎫⎪++⎝⎭所以()()222222281222222111m m m OQ m m m +---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+， 当0m =时， max 22OQ = 所以OQ 的最大值是2 B.题型二 点到直线的距离最值问题【例2】已知直线l 经过2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，则点A (5,0)到l 的距离的最大值为________． 10【解析】联立方程25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()2,1，直线l 经过点()2,1B ， 则点A (5,0)到l 的距离的最大值为AB 的长， 且()()22520110AB =-+-.【变式2-1】若点(,)P x y 在直线20x y +=上，则点P 到坐标原点的最小距离为（ ） A ．22 B 2 C ．1 D ．12 【答案】C【解析】由题意得：点(,)P x y 在直线20x y +=上，则点P 到坐标原点的最小距离为原点到直线20x y +的距离， 即212d -=，故选：C【变式2-2】设实数x ，y 满足4x y +=22222x y x y +-++ ） A 2 B ．4 C ．22 D ．8 【答案】C()()222222222212111x y x y x x y y x y +-++=-++++=-++22222x y x y +-++4x y +=上的点与点()1,1-的距离， 所以最小值为221142211d --=+故选：C.【变式2-3】设直线:3260+-=l x y ，(),P m n 为直线l 上动点，则()221m n -+的最小值为（ ）A ．913 B ．313 C 313 D 13【答案】A【解析】()221m n -+表示点(),P m n 到点1,0A 距离的平方，该距离的最小值为点1,0A 到直线l 361313-=则()221m n -+的最小值为913. 故选：A.【变式2-4】已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（ ）A ．12 B 2C ．14D 3【答案】A【解析】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10x y --=的距离22d == 所以()2,2的最小值为212d =．故选：A题型三 线段和的最值问题【例3】已知点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，则||||AP PB +的最小值为（ ）A ．6B 41C 17D ．52【答案】B【解析】点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，点B 关系x 轴的对称点为(5,2)B '-，22(||||)||(51)(23)41min AP PB AB ∴+='-+--.故选：B.【变式3-1】已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC+的最小值为（ ）A ．213B ．9C 74D ．10 【答案】C【解析】依题意，若()2,4B 关于直线1y x =+的对称点(,)B m n '，∴41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩， ∴(3,3)B '，连接AB '交直线1y x =+于点C '，连接BC '，如图，在直线1y x =+上任取点C ，连接,,AC BC B C '， 显然，直线1y x =+垂直平分线段BB '，则有||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+， 当且仅当点C 与C '重合时取等号， ∴22min ()||(43)(83)74AC BC AB '+=--+-AC BC + 74故选：C【变式3-2】设10x y -+=，求222261034430229d x y x y x y x y ++-++--+_______. 293【解析】222261034430229d x y x y x y x y =++-++--+2222(3)(5)(2)(15)x y x y ++--+-，即d 可看作点()3,5A -和()2,15B到直线10x y -+=上的点(),x y 的距离之和， 作()3,5A -关于直线10x y -+=对称的点()00,A x y '，由题意得0000351022513x y y x -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得004,2x y =⎧⎨=-⎩故()4,2A '-，则22min (42)(215)293d A B '=-+--=.【变式3-3】已知点M ，N 分别在直线1l ：0x y +=与直线2l ：30x y +-=，且1MN l ⊥，点()1,3P --，71,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PM QN +|的最小值为（ ） A 15B 15C 13D ．33【答案】C【解析】设(),M t t -，则直线MN 的方程为,2y t x t y x t +=-=-，由23232,3022y x t t t N x y =-⎧+-⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩， 所以PM QN +()()()()22221321t t t t ++--+-设()()(),,1,3,2,1A t t B C -，()()()()22221321t t t t ++--+-y x =上的点A 与,B C 连线的距离之和，()()()()22221321t t t t ++--+-223213BC +.故选：C【变式3-4】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,0A 处出发，河岸线所在直线的方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A 27B ．5C 15D 29【答案】D【解析】由()2,0B -关于3x y +=的对称点为(,)x y ，所以232212x yy x -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得35x y =⎧⎨=⎩，即对称点为(3,5)，又1,0A所以“将军饮马”22(31)529-+ 故选：D题型四 线段差的最值问题【例】已知点()，()2，在x 轴上找一点P 使AP BP -最大，则P 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．17,05⎛⎫⎪⎝⎭C ．()5,0D ．()13,0【答案】D【解析】如下图所示：作点B 关于x 轴的对称点()5,2B '，由对称性可知BP B P '=，则AP BP AP B P ='--.当A 、B '、P 三点不共线时，由三角形三边关系得B A A P B P '-'<； 当A 、B '、P 三点共线时，B A A P B P '-'=.所以，B A A P B P '-'≤，当且仅当A 、B '、P 三点共线时，等号成立， 此时，直线AB '的斜率为321154k -==--， 直线AB '的方程为()1314y x -=--，即4130x y +-=， 在直线AB '的方程中，令0y =，解得13x =，即点()13,0P . 故选：D.【变式4-1】直线2360x y +-=分别交x 轴和y 于点,A B ，P 为直线y x =上一点，则PA PB -的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】依题意可知()()3,0,0,2A B ，()0,2B 关于直线y x =的对称点为()2,0C ，PB PC =，即求PA PB PA PC -=-的最大值，PA PC AC -≤，当,,A C P 三点共线，即P 与原点重合时，PA PC -取得最大值为1， 也即PA PB -的最大值是1. 故选：A【变式4-2】已知点(4,1)A ，(0,4)B ，直线:310l x y --=，点P 为直线l 上一点，则||||||PB PA -的最大值为________． 5【解析】如图，作B 关于l 的对称点B '，设(,)B a b '，则4310224310a b b a +⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩，所以(3,3)B '．因为B '与B 关于l 对称，所以||PB PB ='，所以22||||||||||||(43)(13)5PA PB PA PB AB -=-≤=-+-'=' 当且仅当P 为AB '与l 的交点时取等号． 所以||||||PB PA -5【变式4-3】已知点R 在直线10x y -+=上，()1,3M ，()3,1N -，则RM RN -的最大值为（ ） A 5 B 7 C 10 D ．25【答案】C【解析】设点()1,3M 关于直线10x y -+=的对称点为(),M x y '，则311131022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴()2,2M '，又()3,1N -，∴10RM RN RM RN M N ''-=-≤故选：C.。

第一篇 热点、难点突破篇专题17直线与圆及相关的最值问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q 在圆C ：22430x x y -++=上，点P 在直线y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．1CD ．22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆221:460O x y y +--=与圆222:680x y O x y +-+=公共弦长为（ ）A BC ．D ．3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线2:4C y x =的准线被圆225x y +=所截得的弦长为（ ）A ．1 BC ．D ．44．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点()0,4A 的直线l 与曲线22(2)1x y +-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎣⎦5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（ ）AB C ．1 D 6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若CA CB AB +=，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2二、多选题8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（ ） A．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28三、填空题9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆22:280M x y x +--=，点A 、B 在圆M 上，且(0,2)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________．10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆C ：229x y +=，直线l ：y kx =+k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为________.【冲刺提升】一、单选题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足MA =，又点M 在曲线y MO =（ ）A B ．C ．D2．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C ．(][) ,21,-∞-⋃+∞ D ．[)()2,11,---+∞ 3．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知圆C ：()()22114x y -+-=，直线:220,l x y M ++=为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线,MA MB ，切点为A ，B ，则CM AB ⋅最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．44．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（ ）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、多选题5．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）过点()0,1P 的直线l 与圆()22:19C x y -+=交于,A B两点，,M N 是圆C 上的两点，且MN = ）A ．AB 的最小值为B ．ABC 面积的最大值为92C ．+PM PN 的最小值为2D．PM PN ⋅的最大值为56．（2022·安徽黄山·统考一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 围成的图形的周长是B ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过4C ．曲线C 围成的图形的面积是4(π2)+D．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则4317m n --的最小值是10-7．（2023秋·江苏·高三统考期末）过直线:25l x y +=上一点P 作圆22:1O x y +=的切线,切点分别为,A B ,则（ ）A ．若直线AB l ∥,则ABB ．cos APB ∠的最小值为35C ．直线AB 过定点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段AB 的中点D 三、填空题 8．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知圆C 经过两点()0,5A ，()3,6B ，且圆心在直线270x y +-=上，则圆C 的方程为______.9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若圆2260x y x ++=与圆2222160x y my m +-+-=外离，则实数m 的取值范围是______.10．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知函数2()e e x x f x -=-，所有满足()()0f a f b +=的点(,)a b 中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆C 与圆22:220P x y x y +++=相外切，则圆C 的标准方程可以是__________.(写出一个满足题意的方程即可)四、解答题12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．。

专题02史上最全直线的最值问题【题型归纳目录】题型一：“距离之和”型的最值问题 题型二：“距离之差”型的最值问题 题型三：“距离乘积”型的最值问题 题型四：“截距之和”型的最值问题 题型五：“周长”型的最值问题 题型六：“面积”型的最值问题 题型七：“平行线间距离”型的最值问题 题型八：“距离的平方和”型的最值问题 题型九：“点到直线距离”型的最值问题 题型十：“斜率”型的最值问题 【典型例题】题型一：“距离之和”型的最值问题例1．直线2360x y +-=分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y x =-上的一点，要使||||PA PB +最小，则点P 的坐标是()A ．(1,1)-B ．(0,0)C ．(1,1)-D ．1(2，1)2-例2．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的最大值是()A ．2B ．．3D ．2例3．已知直线:310l x y --=及点(4,1)A ，(0,4)B ，(2,0)C ． （1）试在l 上求一点P ，使||||AP CP +最小； （2）试在l 上求一点Q ，使||||AQ BQ -最大． 例4．直线:310l x y --=，在l 上求一点P ，使得． （1）P 到(4,1)A 和(0,4)B 的距离之差的绝对值最大； （2）P 到(4,1)A ，(3,4)C 的距离之和最小．例5．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若()2,1A 、()1,2B 、()()0,R C y y ∈，则AC BC +的最小值是______．例6．（2022·宁夏·银川二中高一期中）平面直角坐标系内有四个定点A （-1，0），B （1，0），C （2，3），D （-2，6），在四边形ABCD 内求一点P ，使PA PB PC PD +++取得最小值时P 的坐标为_________． 例7．（2022·江苏·高二）已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________．例8．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,3)A ､(5,2)B ，点P 在x 轴上，则AP PB +的最小值为___________．题型二：“距离之差”型的最值问题例9．已知点(3,5)A -，(2,15)B 直线:3440l x y -+=． （1）在l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使||QA QB -的值最大．例10．已知直线:280l x y -+=和两点(2,0)A ，(2,4)B --． （1）在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +最小； （2）在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -最大．例11．（1）已知两点(3,3)A -，(5,1)B ，直线:l y x =，在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +最小． （2）已知两点(3,3)A -，(5,1)B ，直线:l y x =，在直线l 上求一点P ，使||||||PA PB -最大． 例12．已知两点(2,3)A 、(4,1)B ，直线:220l x y +-=，在直线l 上求一点P ． （1）使||||PA PB +最小； （2）使||||PA PB -最大．例13．已知直线:310l x y --=及点(4,1)A ，(0,4)B ，(2,0)C ． （1）试在l 上求一点P ，使||||AP CP +最小，并求这个最小值； （2）试在l 上求一点Q ，使||||||AQ BQ -最大，并求这个最大值．题型三：“距离乘积”型的最值问题例14．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点． （1）当||||OA OB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； （2）当||||PA PB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程． 例15．过点(2,1)P 作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． （1）当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．例16．直线l 过点(2,3)P 且分别与x 、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为原点．（1）当||||OA OB ⋅取最小时，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．例17．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是()A ．3B ．4C ．5D ．6例18．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当||||MA MB ⋅取得最小值时，直线l 的方程为．题型四：“截距之和”型的最值问题例19．过点(1,4)P 作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．例20．直线l 经过点(1,9)P ，且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l 的方程为． 例21．若直线(0,0)ax by ab a b +=>>过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为() A ．1B ．2C ．4D ．8例22．若直线(0,0)ax by ab a b +=>>过点(1,4)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为() A ．1B ．4C ．9D ．16 例23．若直线:1(0,0)x yl a b a b+=>>经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为()A ．．3+D ．3+题型五：“周长”型的最值问题例24．（2022·重庆第二外国语学校高二阶段练习）已知在平面直角坐标系中直线l 恒过定点（2，1）．与x 正半轴y 正半轴分别相交A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 周长的最小值是_____________． 例25．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点()4,2A ，动点M N ､分别在直线y x =和0y =上运动，则AMN 的周长取最小值时点N 的坐标为__________．例26．（2022·江苏·高二）已知点(1,4)A --，试在y 轴和直线y x =上各取一点B 、C ，使ABC 的周长最小．（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）例27．已知点(3,1)A ，在直线0x y -=和0y =上分别有点M 和N 使AMN ∆的周长最短，求点M 、N 的坐标．例28．已知点(3,5)M ，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆的周长最小．例29．在直角坐标系中，已知(2,1)M 和直线:0L x y -=，试在直线L 上找一点P ，在X 轴上找一点Q ，使三角形MPQ 的周长最小，最小值为． 题型六：“面积”型的最值问题例30．过点(2,1)P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．例31．已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值． 例32．已知直线:(1)()l y m x m m R =-+∈．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角[,]43ππα∈，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程． 例33．已知直线:1()4x y l m R m m+=∈-． （1）若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；（2）若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最大值及此时直线l 的方程．例34．已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点M ． （Ⅰ）若l 经过点(5,0)A ，求l 的方程；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO ∆面积最小的直线l 若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．例35．已知直线1:224l ax y a -=-，222:224l x a y a +=+，当02a <<时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a =．例36．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1(1)2C ．1(1]3D ．11[,)32题型七：“平行线间距离”型的最值问题例37．已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的例38．已知1l ，2l 是分别经过(2,1)A ，(0,2)B 两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是．例39．直线1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,1)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 间的距离最大时，直线1l 的方程是()A ．230x y +-=B ．30x y --=C ．230x y ++=D ．30x y -+= 题型八：“距离的平方和”型的最值问题例40．已知光线通过点(2,3)A ，经直线:10l x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ． （1）求反射光线所在的方程；（2）在直线l 上求一点P ，使PA PB =；（3）若点Q 在直线l 上运动，求22QA QB +的最小值．例41．已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： （1）当||OA 十||OB 取得最小值时，直线l 的方程； （2）当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．例42．已知三点(1,2)P ，(2,1)Q ，(3,2)R ，过原点作一直线，使得点P ，Q ，R 到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．例43．（2022·江苏·高二）已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（）A ．14B ．12CD ．1316题型九：“点到直线距离”型的最值问题例44．（2022·江苏·高二）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________．例45．（2022·江苏·高二）直线:3250l x y -+=，(,)P m n 为直线l 上动点，则22(1)m n ++的最小值为___________．例46．（2022·上海虹口·高二期末）已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=________．例47．（2022·江苏盐城·高二期末）已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最A ．12B C ．14D 例48．已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点． （1）若点(5,0)A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）求点(5,0)A 到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．例49．已知(1,2)A ，直线l 经过直线250x y +-=与直线20x y -=的交点P ． （1）若直线l 与直线3250x y ++=平行，求直线l 的方程； （2）当点A 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．例50．若点(,)m n 在直线43100x y +-=上，则22m n +的最小值是．例51．已知动直线0:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m 且(4,0)Q 到动直线0l 的最大距离为3，则122a c+的最小值为() A ．92B ．94C ．1D ．9 题型十：“斜率”型的最值问题例52．直线2cos 30([,])63x y ππαα--=∈的倾斜角的取值范围是()A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]43ππD ．2[,]43ππ例53．设直线l 的斜率为k ，且1k <，则直线l 的倾斜角α的取值范围是() A ．2[0,](,)43πππB ．3[0,)[,)64πππC ．2[,)43ππD ．3(,]34ππ例54．已知(1,0)A -，(0,3)B ，若直线:210l ax y a ++-=上存在点P ，满足||||||PA PB AB +=，则l 的倾斜角的取值范围是()A ．3[0,][,)44πππB ．3[,]44ππC ．5[0,][,)66πππD ．5[,]66ππ例55．若直线:l y kx =-2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．[,)63ππB ．[,]62ππC ．(,)32ππD ．。

与直线相关的最值问题浅析(一) 距离之和/差型的最值问题 a)两点在直线同侧【例题1】 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大． 解析：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)． b)两点在直线两侧【例题2】 已知点(4,1)A ，(0,4)B ，直线:310l x y --= (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |－|PB |最大，并求出最大值；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |+|P A ||最小，并求出最小值． 解析：（1）如图，作B 关于l 的对称点B '，设(,)B a b '则4310223(4)0a b a b +⎧⋅--=⎪⎨⎪+-=⎩， 求得33a b =⎧⎨=⎩，所以(3,3)B 'P由于B '与B 关于l 对称，所以有PB PB '= 所以PA PB PA PB '-=-根据三角形的两边之差小于第三边，有PA PB AB ''-≤=（当且仅当P 为AB '与l 的交点时取等号，求得(2,5)P ）PA PB -≤（2）易知直线AB 与直线l 相交时，交点为P ，此时（||P B |+|P A ||）min =|AB |=5【巩固1】 直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|P A ′|＋|PB |最小，即|P A |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|P A |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)(二) 距离乘积型的最值问题【例题3】 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1. |MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1 ＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.【例题4】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.解析：由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0， 即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直， 当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5.【巩固2】 过点()1,2 P 做直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于 A 、B 两点（1（2解析：（1）x +2y -4=0; (2)x +y -3=0截距之和型的最值问题【例题5】 若直线a x ＋b y ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为解析：∵直线a x ＋b y ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.【巩固3】 过点()4,1P 做直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程 解析：周长型的最值问题【例题6】 已知点A (3,1),在直线y=x 和y=0上分别找一点M 和N ,使△AMN 的周长最短,最短周长为解析：设点A 关于直线y=x 的对称点为B (x 1,y 1),依题意可得解得即B (1,3),同样可得点A 关于y=0的对称点C (3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|, 当且仅当B ,M ,N ,C 共线时,△AMN 的周长最短,即|BC|==2.【巩固4】 点()5,3M ,在直线l ：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆周长最小(三) 面积型的最值问题【例题7】 过点(2,1)P 作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使AOB ∆的面积最小时的直线l 的方程。

一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。

三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

直线中的最值问题基础卷一．选择题：1．设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cos α+y sin α=2的最大距离是 （A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）22．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为 （A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）23．已知两点P (cos α, sin α), Q (cos β, sin β)，则|PQ |的最大值为 （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=05．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为 （A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|PA |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)二．填空题：7．已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||PA |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .8．当2x +3y －7=0 (－1≤x ≤2)时，4x －5y 的最大、最小值分别为 .9．函数y 的最小值为 .10．给定三点A (0, 6), B (0, 2), C (x , 0)，当x <0且∠BCA 最大时, x = .提高卷一．选择题：1．在直线y=－2上有一点P，它到点A(－3, 1)和点B(5, －1)的距离之和最小，则点P的坐标为（A）(1, －2) （B）(3, －2) （C）(194, －2) （D）(9,－2)2．对于两条直线l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0，下列说法中不正确的是（A）若A1B2－A2B1=0，则l1// l2（B）若l1// l2，则A1B2－A2B1=0（C）若A1A2+B1B2=0，则l1⊥l2（D）若l1⊥l2，则A1A2+B1B2=03．已知三点A(3, 4), M(4, －2), N(－2, 2)，则过点A且与M, N等距离的直线的方程是（A）2x+3y－18=0 （B）2x－y－2=0（C）3x－2y+18=0或x+2y+2=0 （D）2x+3y－18=0或2x－y－2=04．在△ABC中，lgsin A, lgsin B, lgsin C成等差数列，则两直线x sin2A+y sin A=a, x sin2B+y sin C=c的位置关系是（A）平行（B）重合（C）垂直（D）相交但不垂直5．已知点A(3, 0), B(0, 4)，动点P(x, y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（A）125（B）14449（C）3 （D）4二．填空题：6．从点P(3, －2)发出的光线，经过直线l1: x－y－2=0反射，若反射光线恰好通过点Q(5, 1)，则光线l所在的直线方程是 .7．若x+y+1=0的最小值为 .8．直线l在x轴上的截距是1，又有两点A(－2, －1), B(4, 5)到l的距离相等，则l的方程为 .9．过点P(2, 1)的直线分别交x轴、y轴的正半轴于A, B两点，当|PA|·|PB|取最小值时，直线l的方程为 .三．解答题：10．某糖果公司的一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用(管理费、房租、还贷款、维修等)，它生产一千克糖果的成本是10元，而销售价是一千克15元，试问：每天应当生产并售出多少糖果，才能使收支平衡？即它的盈亏平衡点是多少？综合练习卷一．选择题：1．已知A (－1, 1), B (1, 1)，在直线x －y －2=0上求一点P ，使它与A , B 的连线所夹的角最大，则点P 的坐标和最大角分别为（A ）(－1, 1), 4π （B ）(1, －1), 43π （C ）(1, －1), 4π （D ）(－1, 1), 43π 2．已知直线l : y =4x 和点P (6, 4)，在直线l 上有一点Q ，使过P , Q 的直线与直线l 及x 轴在第一象限内围成的三角形面积最小，则点Q 坐标为 （A ）(2, 8) （B ）(8, 2) （C ）(3, 7) （D ）(7, 3)3．已知三点P (1, 2), Q (2, 1), R (3, 2)，过原点O 作一直线，使得P , Q , R 到此直线的距离的平方和最小，则此直线方程为（A ）y =(－x （B ）y =(－1x（C ）y =x （D ）yx 4．过点M (4, 6)且互相垂直的两直线l 1, l 2分别交x 轴、y 轴于A , B 两点，若线段AB 的中点为P ，O 为原点，则|OP |最小时，点P 的坐标为（A ）(2, 3) （B ）(3, 2) （C ）(2, －3) （D ）(－3, 2)5．集合A ={点斜式表示的直线}，B ={斜截式表示的直线}，C ={两点式表示的直线}，D ={截距式表示的直线}，则间的关系是（A ）A =B =C =D （B ）A ÝB ÝC ÝD （C ）A =B , C =D （D ）A =B ÝC ÝD 6．已知两点A (8, 6), B (－4, 0)，在直线3x －y +2=0上有一点P ，使得P 到A , B 的距离之差最大，则点P 坐标为（A ）(－4, 10) （B ）(4, －10) （C ）(－4, －10) （D ）(－10, －4)二．填空题：7．已知两点A (－2, －2), B (1, 3)，直线l 1和l 2分别绕点A , B 旋转，且l 1//l 2，则这两条平行直线间的距离的取值范围是 .8．已知三条直线l 1: 4x +y －4=0, l 2: mx +y =0, l 3: 2x －3my －4=0不能构成三角形，则m 的值为 .9．已知定点A (0, 3)，动点B 在直线l 1: y =1上，动点C 在直线l 2: y =－1上，且∠BAC =90°，则△ABC 面积的最小值为 .10．有两直线ax －2y －2a +4=0和2x －(1－a 2)y －2－2a 2=0，当a 在区间(0, 2)内变化时，直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值为 .三．解答题：11．在呼伦贝尔大草原的公路旁，某镇北偏西60°且距离该镇30km 处的A 村和在该镇东北50km 的B 村，随着改革开放要在公路旁修一车站C ，从C 站向A 村和B 村修公路，问C 站修在公路的什么地方可使费用最省？12．如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A , B ，试在x 轴的正半轴(坐标原点除外) 上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

直线中的最值问题1. 已知:定点)1,0(A ,点B 在直线0=+y x 上运动,求|AB |的最小值,及此时点B 标.2. 求点P (-1,3)到直线)2(:-=x k y l 的距离的最大值,及此时的k 值.3. 分别过点)2,6(A 和)1,3(B --作互相平行的两直线,求这两平行直线见距离的最大值.4. 已知:在直线01543=-+y x 上运动,求22ba +的最小值.5. 已知矩形中ABCD ,)4,4(A -)7,5(D 中心E 在第一象限到y 轴的距离为1,动点),(P y x 沿矩形的一边BC 运动时,求xy的取值范围.6. 已知实数0>a ,满足直线022=++y x a 与直线01)1(2=-+-y a bx 互相垂直,求ab 的最小值.7. 已知:点)1,4(A -和点)2,8(B ,动点),(P y x 在直线01:=--y x l 上运动,求|PB ||PA |+的最小值.8.ABC ?中,点)5,4(A ,点B 在022=+-y x 上,点C 在0=y 上,求ABC ?的周长的最小值.9. 直线l 过点)1,2(M ,且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于点A 、B ,O 为坐标原点;(1) 当ABC ?的面积最小时,求直线l 的方程; (2) 当|MB ||MA |?取最小时,求直线l 的方程.10. 如图所示,设过点)8,6(C 互相垂直的两条直线1l 和2l ,分别交x 轴和y 轴于A 、B ,求: (1) 线段AB 的中点M 的轨迹方程; (2) |MC |的最小值.拓展练习:直线l 过点)4,6(P 与x 轴交于A ,与04=-y x 交于B ,当ABC ?的面积最小时,求B 的坐标.相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的 点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关 于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P， 则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图 ，图3为该长方体的表面展开 图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的 最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通 过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时， 点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)

中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。

中考专题最值问题（五）最大值两定一动1．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为．2．已知A（0，2）、B（4，4）、P（a，0）为x轴上一个动点，|AP﹣BP|的最大值，此时a＝．3．已知点A（1，5），点B（3，﹣2）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．4．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（2，3），若要在x轴上找一点P，使|AP﹣BP|最长，则点P的坐标为．直接写出|AP﹣BP|的取值范围．5．已知：点A（﹣6，0），B（10，8），C（0，8）D（16，0），若Q为直线AB上一点，求出|QC﹣QD|的取值范围．中考专题最值问题（五）参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．【解答】解：设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A（1，5），B（3，1）代入得：，解得：k＝﹣2，b＝7，即直线AB的解析式是y＝﹣2x+7，把y＝0代入得：﹣2x+7＝0，x＝，即M的坐标是（，0），故答案为（，0）．2．【解答】解：如图，过A（0，2）、B（4，4）作直线AB交x轴与P，则|AP﹣BP|的值最大，|AP﹣BP|＝AB，∴AB＝＝2，∴|AP﹣BP|的最大值是2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+2，当y＝0时，即x+2＝0，∴x＝﹣4，∴P（﹣4，0），∴a＝﹣4，故答案为：2，﹣4．3．【解答】解：作A关于x轴的对称点E，连接EB，延长EB交x轴于M，连接AM，则此时AM﹣BM的值最大，∵A（1，5），∴E（1，﹣5），设直线EB的解析式是y＝kx+b，把E（1，﹣5）和B（3，﹣2）代入得：，解得：k＝，b＝﹣，即直线EB的解析式是y＝x﹣，把y＝0代入得：x﹣＝0，x＝，即M的坐标是（，0），故答案为（，0）．4．【解答】解：如图所示：∵点A与点A′关于x轴对称，A（﹣1，﹣1），∴A′（﹣1，1）．设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B与点A′的坐标代入得：，解得：∴直线BA′的解析式为y＝．将y＝0代入得：＝0．解得：x＝﹣2.5．∴点P的坐标为（﹣2.5，0）．故答案为：（﹣2.5，0）．5．0≤|QC﹣QD|≤12。

线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。

2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC ＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是 ．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．10、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为11、如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是 ．12、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF ＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ．14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为 ．2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC⊥，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为B解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQ BC⊥交AC于点P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），易知△BCF是等边三角形，∴BP+PQ的最小值为2．2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2，∴GN ＝GM+MN＝MN+MF＝+2＝．∴MN+MF的最小值为．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．解：由题意得：AD＝CD，DE＝FC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠FDC，∴∠APD＝90°，即：相当于点P始终在以AD为直径的圆上，取AD的中点Q，当Q、P、C三点共线时，PC最小，PC＝CQ﹣PQ＝﹣3＝3﹣3．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C ′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.解：在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，∴∠CAD＝∠FAE，在△DAC和△EAF 中，，∴△DAC≌△EAF（SAS），∴∠ACD＝∠AFE ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠AFE＝90°，∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，当CE⊥EF时，CE有最小值，∴CE的最小值＝CF ＝．6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是 ．解：如图所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∴A′E′＝＝2，∴四边形AEPQ的周长最小值＝2+2．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM （SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC ＝，∴OD ＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF ≥．故选：D．8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H ＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM ＝BM，设BM＝x，则AM＝CM ＝x，∴AB＝x +x＝3+，解得：x ＝，∴BM ＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE 中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y +﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE ＝（y +﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y ）×（y +﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．10、（2019•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．11、（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是．解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°∴AD＝AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM 中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．12、（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）A．2B．3C．D ．解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF ＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵F A＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH ＝＝2，∴AE+AF的最小值2，故选：A13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OF＝＝3，∴EF＝3﹣3，故PD+PE的长度最小值为3﹣3，14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC ＝2，∴BC＝，S△ABC ＝AB•AC ＝BC•AF，∴1×2＝3AF，AF＝，∴AA'＝2AF＝，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC ，∴，∴，∴A'E ＝，即AD+DE 的最小值是；故选：B．15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE 中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE ∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为．解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CE＝CK，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG＝∠EFG＝15°，∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H重合时，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK＝CD＝2，∴CH＝KH＝，∴CG的最小值为.。

专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．122．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠13．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.7．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．112．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．613．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）A B ．C ．D ．14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或316．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．425．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.26．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()3,232．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B ．40x +=C ．50x +=D ．0x =考点6：线点对称34．（2021·江西·上高二中高二期中（文））已知直线l ：33y x =+.（1）求点()4,5P 关于直线l 的对称点坐标；（2）求直线l 关于点()4,5P 对称的直线方程.35．（2021·江苏连云港·高二期中）已知直线l 经过两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点()1,0对称，求直线m 的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3280x y ++=垂直；②在y 轴上的截距为12．36．（2021·四川·邻水实验学校高二期中（理））已知直线:2310l x y -+=，点(1,2)A --．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 对称的直线m '的方程；(3)直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程．37．（2021·北京·北理工附中高二期中）点()1,2P 在直线l 上，直线1l 与l 关于点()0,1对称，则一定在直线1l 上的点为（）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭38．（2021·全国·高二期中）与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（）A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+=D ．3450x y --=39．（2021·北京市平谷区第五中学高二期中）直线y ＝4x ﹣5关于点P （2，1）对称的直线方程是（）A ．y ＝4x +5B ．y ＝4x ﹣5C ．y ＝4x ﹣9D ．y ＝4x +9考点7：线线对称40．（2021·北京市八一中学高二期中）已知直线l 与直线21y x =+关于x 轴对称，则直线l 的一般方程为___________.41．（2021·全国·高二期中）直线3450x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为________.42．（2021·四川成都·高二期中（文））直线2y －x ＋1＝0关于y －x ＝0对称的直线方程是（）A ．y －2x －1＝0B ．y ＋2x －1＝0C ．.y ＋2x ＋1＝0D ．2y ＋x ＋1＝043．（2021·山西·高二期中）直线220x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．240x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．240x y +-=44．（2021·全国·高二期中）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（）A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=45．（多选题）（2021·广东·广州市第七中学高二期中）下列说法正确的是（）A ．截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示B ．方程20()x my m +-=∈R 能表示平行y 轴的直线C ．过点(1,2)P 引直线l ，使点3(2,)A -，(4,5)B 到它的距离相等，则这条直线l 的方程为420x y --=D ．直线3450x y -+=关于直线0x y +=的对称的直线方程为4350x y -+=考点8：两线段和与差的最值问题46．（2021·吉林长春·高二期中）已知点M ，N 分别在直线1l ：0x y +=与直线2l ：30x y +-=，且1MN l ⊥，点()1,3P --，71,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PM QN +|的最小值为（）A 152B C D ．47．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（文））著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(,)M x y 与点(,)N a b 的距离，结合上述观点，可得()f x =的最小值为（）A ．5BC D ．248．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）已知点()1,2A ，()2,3B -，直线:l y x =，在直线l 上找一点P 使得PA PB +最小，则这个最小值为（）A B ．C D49．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知(0,2),(3,1)A B -，点P 为x 轴上一动点，则PA PB -的最大值是（）A B ．C ．D 50．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））直线2360x y +-=分别交x 轴和y 于点,A B ，P 为直线y x =上一点，则PA PB -的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．451．（2021·全国·高二期中）已知,x y R ∈，则()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．14B ．22C ．12D ．1252．（2021·贵州黔西·高二期中（理））已知实数a ，b 满足4230a b -+=，则的最小值为___________.53．（2021·辽宁实验中学高二期中）若x ∈R ___________.54．（2021·广东实验中学高二期中）若,x y R ∈的最小值为___________.55．（2021·河南·高二期中（理））函数y =____________．56．（2021·上海交大附中高二期中）已知点()10,2A -，()5,7B ．若在x 轴上存在一点P ，使PA PB -最小，则点P 的坐标为________．57．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中）求函数()f x 58．（2021·江苏连云港·高二期中）若不等式m +对于任意的实数,x y 恒成立，则m 的最大值是________，此时x y +=________．。

．
A 落在 BC 边上的 A′处， P、Q 分别在 AB、AD 边
【分析】 本题关键在于找到两个极端，即 BA′取最大或最小值时，点 P 或 Q 的位置．经实验不难发现，分 别求出点 P 与 B 重合时， BA′取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时， BA′的最小值 1．所以可求点 A′在 BC 边上 移动的最大距离为 2． 【解答】 解：当点 P 与 B 重合时， BA ′取最大值是 3， 当点 Q 与 D 重合时（如图） ，由勾股定理得 A′C=4 ，此时 BA ′取最小值为 1． 则点 A′在 BC 边上移动的最大距离为 3﹣ 1=2 ． 故答案为： 2
．
3
【分析】 如图，经分析、探究，只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时， PD 最小；根据勾股定理求出 BD 的长度，问题即可解决． 【解答】 解：如图， ∵当点 P 落在梯形的内部时，∠ P=∠ A=90°， ∴四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形， ∴只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时， PD 最小， 此时 E 与点 B 重合； 由题意得： PE =AB =8， 由勾股定理得： BD 2=82+62=80 ，
【题后思考】 本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知
“两点之间线段最短 ”是解答此题的关键．
4．动手操作：在矩形纸片 ABCD 中， AB=3， AD =5．如图所示，折叠纸片，使点
折痕为 PQ，当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定点
上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为
1
1
1
1
∵ S△ ADP = S 正方形 ABCD = ， S△ABP+ S△ACP =S△ ABC= S 正方形 ABCD = ，