量子力学填空题-31题

模拟试题Planck的量子假说揭示了微观粒子_____特性，Einstein的光量子假说揭示了光的_____性。

Bohr的氢原子理论解决了经典电磁理论和原子的_____之间的矛盾，解决了原子_____起源问题。

Planck的量子假说揭示了微观粒子特性，Einstein的光量子假说揭示了光的性。

量子力学中表示力学量的算符必须是算符，以保证它的本征值为。

对于一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是当中的某一个，测量结果一般说来是不确定的，除非体系处于,测量结果的不确定性来源于。

两个力学的第一个惊人之举即引入了概念，以概率的特征全面描述微观粒子的运动状态。

它一般具有、、的标准条件厄米算符的性质之一为，其本征值为, 其本征函数组成。

坐标和动量满足的对易关系式为，它们满足的测不准关系式为。

微观粒子的决定其运动状态遵从概率性统计规律。

两个力学量算符对易是两个力学量同时具有确定值的条件。

两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 。

坐标和动量满足的对易关系式为 ，它们满足的测不准关系式为 。

写出含时间的薛定谔方程表达式。

在z S ˆ表象中写出z y x S S S ˆ,ˆ,ˆ的矩阵表示 试述量子力学的态叠加原理。

写出力学量算符∧F 的本征方程。

写出德布罗意关系式.写出两电子自旋单态和三重态的波函数。

写出力学量算符∧F 的本征方程.写出偶极跃迁中角动量量子数和磁量子数的选择定则。

写出泡利矩阵),,(z y x σσσ的表达式。

对易关系式[]?,=y x p L1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。

二 填空题pton 效应证实了 。

2.Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 。

3.Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 。

4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 。

5.黑体辐射和光电效应揭示了 。

6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有 。

7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。

8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长是 。

9.玻恩对波函数的统计解释是 。

10.一粒子用波函数Φ(,) r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。

11.描写粒子同一状态的波函数有 个 。

12.态迭加原理的内容是 。

13.一粒子由波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i px dp =-∞∞⎰12π 描写，则c p t (,)= 。

14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。

15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。

16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。

17.几率连续性方程是由 导出的。

18.几率连续性方程的数学表达式为 。

19.几率流密度矢量的定义式是 。

20.空间V 的边界曲面是S ，w 和 J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则⎰⎰⋅-=∂∂V SS d J dV t w 的物理意义是 。

21.量子力学中的质量守恒定律是 。

22.量子力学中的电荷守恒定律是 。

23.波函数应满足的三个标准条件是 。

24.定态波函数的定义式是 。

25.粒子在势场U r () 中运动，则粒子的哈密顿算符为 。

26.束缚态的定义是 。

27.线性谐振子的零点能为 。

28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。

29.当体系处于力学量算符 F的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。

30.表示力学量的算符都是 。

31.厄密算符的本征值必为 。

量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。

1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。

1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。

正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。

1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。

1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；(2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；(3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；(4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。

1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。

波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ211时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ，其简并度是_______________。

量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。

这是量子力学的基本原理之一。

波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。

6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。

8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。

即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。

9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。

10.i ；ˆxi L ；0。

11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。

自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。

实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。

量子力学填空题-31题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March一、填空题1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是。

10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。

| x |> a
_______________，其宇称是_________，相应的能量是_______________，粒子的第三激发
态波函数是__________________，其宇称是_____，相应的能级是_____________，粒子出现
几率最大的位置是___________________。假定在 t=0 时刻，粒子的状态可以用波函数
(f)单值性指的是描述体系状态的波函数是确定的，唯一的 (g)单值性指的是：波函数是坐标和时间的单值函数
二、填空题
1． ___________________________________________________称为隧道效应，它是微观粒 子具有_________________的表现。 2．一维谐振子的第一激发态波函数是__________________________其宇称是__________
关系是 Ψ(rr, t) ＝_______________， Ψ(pr, t) =_______________。
5．处于球谐函数 Yl,m(θ,φ)=Y5,−2(θ,φ)状态的粒子，其轨道角动量平方的测量值是
；
轨道角动量在 z 轴方向的取值是
，轨道角动量在 x 轴方向的可能测量值
是
，Δlx⋅Δly＝
ψ
=
C1
cos
πx 2a
+
C2
sin
2πx a
来描写(其中
C1
和
C2
是常数)，则粒子处于基态的几率是
________ ， 该 波 函 数 ______ （ 是 、 否 ） 定 态 ， 为 什 么 ？ 因 为
_________________________________________；该波函数的宇称是_______，粒子的能量平

第一章 量子力学基础和原子结构一、填空题1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。

2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。

3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道，第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。

(1)原子势能较低的是______，(2) 原子的电离能较高的是____。

4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s 电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。

_____________。

5、对氢原子 1s 态：(1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值(2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值；(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。

6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV ， He +(气态)的电离能为 _______ eV 。

二、选择题1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值?（A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：12、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域?（A）X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m）（C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理?（A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是（A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为6、粒子处于定态意味着（A）粒子处于概率最大的状态（B）粒子处于势能为0的状态（C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态（D ）粒子处于静止状态7、下列函数中22dxd ，dx d 的共同的本征函数是8、已知一维势箱中一个自由电子处在)/sin(/2)(l x n l x πψ=态)0(l x ≤≤，则该电子出现在2/l 和4/3l 间的概率为9、由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是：A 可取任一整数B 与势箱宽度一起决定节点数C 能量与n 2成正比D 对应于可能的简并态10、立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为 A 5，20 B 6，6 C 5，11 D 6，17三、简答题1、对在二维方势箱中的9个电子，画出其基态电子排布图。

∂ ∂x i
+
∂ ∂y j
+
∂ ∂z k
的三分量算符亦两两对易。
9
ˆ ˆ= x 80. 求坐标算符 r ˆi+ˆ xj +ˆ xk = xi+y j +z k 与动量算符 P = p ˆx i+ˆ py j +ˆ pz k = −i
∂ ∂x i
+
∂ ∂y j
+
∂ ∂z k
的三分量算符对易关系．
10
14. 能量、 角动量平方、 角动量 z 分量；2
+ 1)
2
、 m 。
15. ∆l = l − l = ±1, ∆m = m − m = 0, ±1, ∆s = 0。 16. L = mvr = n , n = 1, 2, · · · 。
2 17. Ek = 1 2 µvm = hν − W0 。 ∗ ∗ 18. Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)dΩ = Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin θdθdϕ, 2 Rnl (r)r2 dr。
， 在半径为 r， 厚度为 dr 的球壳内粒子出现的几率为
19. A2 = I ， I 为单位矩阵， 则算符 A 的本征值为 20. 自由粒子体系，
。 。
守恒；中心力场中运动的粒子
守恒。
21. 力学量算符应满足的两个性质是 22. 厄密算符的本征函数具有
和 。
。
23. 设 c(p, t) 为动量表象下的归一化波函数， 则 |c(p, t)|2 dp 的物理意义为
。
34. 原子跃迁的选择定则为 35. 自旋角动量与自旋磁矩的关系为 36. S 为自旋算符，则 S 2

波函数为（ ）。
34． 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中
一维线性谐振子的波函数为=（
（0，0，3/5，
0，-4/5，0,…） ）。 35． 斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在
任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）。 36． =（ ），=（ ）。 37． =（ 0 ），[]=（ 0 ）。 38． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 39． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 40． 在表象中，，则在状态中，=（ ）。 41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两
于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。
24． 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互
（ 正交 ）。
25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量
算符的本征函数组成（ 完全 ）系。
26． 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在
表象中=（ ）。
27． 如果[]=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的
对应的本征为： ， （2）
17．设，[]=1，为的本征态，对应的本征值为。求证：也是的本征 态，并求出对应的本征值。 解： ，
所以，也是的本征态，对应的本征值为（） 18．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子的动量处于内的几率。
（提示：） 解：
= = 内的几率为 19．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子在动量表象中的波函数。（ 提示：）
解：设当时，.
代入
得
.
.
8．证明力学量算符的本征值必为实数。
解：
设
在中
令
得
9．证明：力学量在任意态中的平均值为实数。 解： 设已归一化，则

()一. 选择题[ D ]1.（基础训练1）在加热黑体过程中，其最大单色辐出度（单色辐射本领）对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ，则其辐射出射度（总辐射本领）增大为原来的 (A) 2倍． (B) 4倍． (C) 8倍． (D) 16倍． ［ ］提示: 由维恩位移定律：T m λ=b ，∴m λ∝T1，即1221m m T T λλ=又由斯特藩-玻耳兹曼定律，总辐射出射度：0400()()M T M T d T λλσ∞==⎰444022140112()0.8()()16()0.4M T T M T T λλ∴==== [ D ]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为：(A) 2 E K ． (B) 2h ν - E K ． (C) h ν - E K ． (D) h ν + E K ．提示: 根据爱因斯坦光电效应方程：2012m h mv A ν=+， 式中h ν为入射光光子能量，0A 为金属逸出功，212m mv 为逸出光电子的最大初动能，即E K 。

所以有：0k h E A ν=+及'02K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。

[ C ]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是(A) 1.5 eV ． (B) 3.4 eV ． (C) 10.2 eV ． (D) 13.6 eV ．提示: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系：211(1R n νλ==-最长波长的谱线，相应于2n =，至少应向基态氢原子提供的能量12E E h -=ν，又因为26.13neV E n -=，所以l h E E h -=ν=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2216.1326.13eV eV =10.2 eV[ C ]4.（基础训练6）根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为 (A) 5/4． (B) 5/3． (C) 5/2． (D) 5． ［ ］ 提示: 玻尔轨道角动量L n =，第一激发态2n =，52:5:2L L ∴=[ D ]5.（自测提高2）当照射光的波长从4000 Å变到3000 Å时，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将： ［ ］ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)(A) 减小0.56 V ． (B) 减小0.34 V ． (C) 增大0.165 V ． (D) 增大1.035 V ．提示: 由爱因斯坦光电效应方程：2012m h mv A ν=+，其中，212a m eU mv =，可得：0a ch eU A λ=+， 1.035a a hc U U V e λλλλ'-'-=='[ D ]6.（自测提高6）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 Å，则U 约为 (A) 150 V ． (B) 330 V ． (C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ ］提示:212mv eU =，德布罗意波长：h h p mv λ==，2()9422h U V meλ∴== 二. 填空题1.（基础训练12）光子波长为λ，则其能量=chλ；动量的大小 =h λ；质量=hc λ．2.（基础训练13）在X 射线散射实验中，散射角为φ 1 = 45°和φ 2 =60°的散射光波长改变量之比∆λ1：∆λ2 =__0.586___．提示: 00(1cos )hm cλλλϕ∆=-=-，1212:(1cos ):(1cos )λλϕϕ∆∆=--3. （基础训练16）在光电效应实验中，测得某金属的遏止电压|U a |与入射光频率ν的关系曲线如图所示，由此可知该金属的红限频率ν0=14510⨯Hz ；逸出功A =__2__eV ．提示: 由爱因斯坦光电效应方程：2012m h mv A ν=+，其中，212a m eU mv =，可得：0a h eU A ν=+，红限频率：00A hν=，对应最大初动能为零，即加速电压为零时的频率，逸出功：34142000 6.631051033.1510 2.07A h J eVν--==⨯⨯⨯=⨯=|U a | (V)ν (×1014 Hz)-25104. （基础训练19）在B =1.25×10-2 T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是___129.9810m -⨯___．提示: mv BqR = ，129.9810h h h m p mv BqRλ-====⨯ 5. （自测提高11）已知基态氢原子的能量为－13.6 eV ，当基态氢原子被 12.09 eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加到玻尔半径的___9___倍．提示: 1n h E E ν=-213.6(13.6)eV n=---，解得3n =，轨道半径2119n r n r r == 6. （自测提高14）氢原子基态的电离能是 __13.6__eV ．电离能为+0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n =__5__ 的轨道上运动．提示: 电离能是指电子从基态激发到自由状态所需的能量.∴氢原子基态的电离能E =1E E -∞=2213.613.613.61eV eVeV ⎛⎫---= ⎪∞⎝⎭E =n E E -∞ 即 +0.544 eV=26.13neV三. 计算题1. （基础训练21）波长为λ0 = 0.500 Å的X 射线被静止的自由电子所散射，若散射线的波长变为λ = 0.522 Å，试求反冲电子的动能E K ．解: 根据能量守恒：2200h m c h mc νν+=+ ∴反冲电子获得动能：202c m mc E K -=ννh h -=0λλchch-=0J 161068.1-⨯=2.（自测提高20）质量为m e 的电子被电势差U 12 = 100 kV 的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长．若不用相对论计算，则相对误差是多少？(电子静止质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)解: 考虑相对论效应，则动能22c m mc E e K -==12eU ，221cu m m e -=21⎪⎭⎫ ⎝⎛-===c u u m h mu h p h e λ＝)2(21212c m eU eU hc e +＝3.71m 1210-⨯若不用相对论计算，则221u m e =12eU ， u m h p h e =='λ=122eU m h e =3.88m 1210-⨯ 相对误差： λλλ-'＝4.6﹪3. （自测提高21）氢原子发射一条波长为λ =4340 Å的光谱线．试问该谱线属于哪一谱线系？氢原子是从哪个能级跃迁到哪个能级辐射出该光谱线的？(里德伯常量R =1.097×107 m -1 )解: 由里德伯公式：22111()R k nνλ==-，由已知：22111()0.21R k n λ=-= 当2,5k n ==时，22111()0.2125R λ=-=，所以该谱线属于巴尔末系。

一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。

实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ]A.随散射角的增加而增大B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ]A.定域的波包B.疏密波C.球面波D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A. B.C. D.6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A. B.15C.10D.1507.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为C.和（是常数）描写的是同一个状态D.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，表示A.在方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳中找到粒子的几率C.在点找到粒子的几率D.在点附近，体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是A.B.C.D.11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔A.和势阱宽度成正比B.和势阱宽度成反比C.和粒子质量成正比D.随量子数增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量A.增大为原来的四倍B.增大为原来的两倍C.减小为原来的四分之一D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为，若令，则波函数形如，其中满足为使时，有限，则值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态，式中、是常数，则在此状态下，测量力学量和，下列结论中正确的是A. 测量有确定值，测量也有确定值B. 测量有确定值，测量没有确定值C. 测量和都没有确定值D. 测量没有确定值，测量有确定值15. 若、是厄密算符，则下列结论中正确的是A. 仍然是厄密算符B. 仍然是厄密算符C. 是对易的D. 、的本征函数是实函数16.一质量为的粒子禁闭在边长为的立方体内，粒子的能量， 、、=1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于，其中、为实常数，为谐振子的第个归一化本征函数，则A. B. C. D.18. 球谐函数，其中是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数和的奇偶性，下列说法正确的是A. 、都是奇函数B. 、都是偶函数C. 是奇函数，是偶函数D. 是奇函数，是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是其中A.构成连续谱，构成分立谱B.构成连续谱，构成分立谱C.构成连续谱，构成分立谱D.构成连续谱，构成分立谱21.氢原子的径向波函数中的是A.拉格朗日函数B.拉普拉斯函数C.缔合勒盖尔函数D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A. B. C. D.23.氢原子核外电子的角分布（即径向附近立体角内找到粒子的几率）A.与有关B.与有关，与无关C.与有关，与无关D.与、皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。

一 选择题 (共48分)1. (本题 3分)(1817) 所谓“黑体”是指的这样的一种物体，即 (A) 不能反射任何可见光的物体． (B) 不能发射任何电磁辐射的物体．(C) 能够全部吸收外来的任何电磁辐射的物体．(D) 完全不透明的物体． ［ ］2. (本题 3分)(4403) 绝对黑体是这样一种物体，它(A) 不能吸收也不能发射任何电磁幅射． (B) 不能反射也不能发射任何电磁辐射． (C) 不能发射但能全部吸收任何电磁辐射．(D) 不能反射但可以全部吸收任何电磁辐射． ［ ］3. (本题 3分)(4404) 下面四个图中，哪一个正确反映黑体单色辐出度M B λ(T )随λ 和T 的变化关系，已知T 2> T 1．［ ］4. (本题 3分)(5810) 把表面洁净的紫铜块、黑铁块和铝块放入同一恒温炉膛中达到热平衡．炉中这三块金属对红光的辐出度（单色辐射本领）和吸收比（单色吸收率）之比依次用M 1 / a 1、M 2 / a 2和M 3 / a 3表示，则有(A) 11a M > 22a M > 33a M ． (B) 22a M > 11a M> 33a M ．(C) 33a M > 22a M > 11a M ． (D) 11a M = 22a M= 33a M ． ［ ］5. (本题 3分)(1821) 黑体的温度T 升高一倍，它的辐射出射度（总发射本领）增加(A) 1倍． (B) 3倍．(C) 7倍． (D) 15倍． ［ ］6. (本题 3分)(4406) 在加热黑体过程中，其最大单色辐出度（单色辐射本领）对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ，则其辐射出射度（总辐射本领）增大为原来的 (A) 2倍． (B) 4倍．(C) 8倍． (D) 16倍． ［ ］在加热黑体过程中，其最大单色辐出度（单色辐射本领）对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ，则其辐射出射度（总辐射本领）增大为原来的 (A) 2倍． (B) 4倍．(C) 8倍． (D) 16倍． ［ ］8. (本题 3分)(4985) 普朗克量子假说是为解释(A) 光电效应实验规律而提出来的． (B) X 射线散射的实验规律而提出来的． (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的．(D) 原子光谱的规律性而提出来的． ［ ］9. (本题 3分)(4528) 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ．应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为 (A) )/(2ma =． (B) )2/(22ma =．(C) )2/(2ma =． (D) )2/(2ma =． ［ ］10. (本题 3分)(4205) 粒子在一维无限深方势阱中运动．下图为粒子处于某一能态上的波函数ψ(x )的曲线．粒子出现概率最大的位置为(A) a / 2．(B) a / 6，5 a / 6．(C) a / 6，a / 2，5 a / 6．(D) 0，a / 3，2 a / 3，a ． ［ ］xaa31a 32ψ(x )O11. (本题 3分)(1903) 一矩形势垒如图所示，设U 0和d 都不很大．在Ⅰ区中向右运动的能量为E 的微观粒子，(A) 如果E > U 0，可全部穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区(B) 如果E < U 0，都将受到x = 0处势垒壁的反射，不可能进入Ⅱ区．(C) 如果E < U 0，都不可能穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区．(D) 如果E ﹤U 0，有一定概率穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区． ［］粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，则对于能量为 E > U 0 向右运动的粒子， (A) 在x < 0区域，只有粒子沿x 轴正向运动的波函数；在x > 0区域，波函数为零．(B) 在x < 0和x > 0区域都只有粒子沿x 轴正向运动的 波函数．(C) 在x <0区域既有粒子沿x 轴正向运动的波函数，也有沿x 轴负方向运 动的波函数；在x >0区域只有粒子沿x 轴正向运动的波函数．(D) 在x <0和x >0两个区域内都有粒子沿x 轴正向和负向运动的波函数． ［ ］x OU (x )U 013. (本题 3分)(5815) 粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x <a ，x > a 三个区域发现粒子的概率，则有(A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0．(D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ［ ］x OU (x )Ua14. (本题 3分)(4993) 量子力学得出，频率为ν 的线性谐振子，其能量只能为 (A) E = h ν．(B) E = nh ν， (n = 0，1，2，3……)． (C) E = n 21h ν，( n = 0，1，2，3……)．(D) νh n E )21(+=， (n = 0，1，2，3……)． [ ]15. (本题 3分)(4216) 根据量子力学原理，氢原子中，电子绕核运动的动量矩L 的最小值为(A) 0． (B) =． (C) 2/=． (D) =2． ［ ］16. (本题 3分)(5710) 若氢原子中的电子处于主量子数n = 3的能级，则电子轨道角动量L 和轨道角动量在外磁场方向的分量L z 可能取的值分别为(A) ==L ，=2，=3； ===32,,0±±±=，z L ． (B) 0=L ，=2，=6； ==2,,0±±=z L ． (C) 0=L ，=，=2； ==2,,0±±=z L ．(D) =2=L ，=6，=12；===32,,0±±±=，z L ． ［ ］二填空题 (共98分)17. (本题 3分)(1818)用文字叙述热辐射的基尔霍夫定律的内容是：__________________________ ___________________________________________________________．18. (本题 3分)(1822)用文字叙述黑体辐射的斯特藩─玻尔兹曼定律的内容是：______________ ______________________________________________________________．19. (本题 3分)(1823)用文字叙述黑体辐射的维恩位移定律的内容是：_____________________ ________________________________________________________________．20. (本题 3分)(1824)一100 W的白炽灯泡的灯丝表面积为5.3×10-5 m2．若将点燃的灯丝看成是黑体，可估算出它的工作温度为___________________ ．（斯特藩─玻尔兹曼定律常数σ = 5.67×10-8 W/m2·K4）21. (本题 3分)(1826)天狼星辐射波谱的峰值波长为0.29 μm，若将它看成是黑体，则由维恩位移定律可以估算出它的表面温度为_________________．（维恩位移定律常数b = 2.897×10-3 m·K）22. (本题 3分)(4407)测量星球表面温度的方法之一，是把星球看作绝对黑体而测定其最大单色辐出度的波长λm，现测得太阳的λm1 = 0.55 μm，北极星的λm2 = 0.35 μm，则太阳表面温度T1与北极星表面温度T2之比T1:T2=__________________________．23. (本题 3分)(4408)当绝对黑体的温度从27℃升到 327℃时，其辐射出射度（总辐射本领）增加为原来的____________________________________倍．24. (本题 3分)(4507)某一恒星的表面温度为6000 K，若视作绝对黑体，则其单色辐出度为最大值的波长为_____________________　．（维恩定律常数b = 2.897×10-3 m·K ）地球卫星测得太阳单色辐出度的峰值在0.565µm 处，若把太阳看作是绝对黑体，则太阳表面的温度约为____________________K ．（维恩位移定律常数b = 2.897×10-3m ·K ）26. (本题 3分)(5368) 若太阳（看成黑体）的半径由R 增为2 R ，温度由T 增为2 T ，则其总辐射功率为原来的____________倍．27. (本题 5分)(4986) 普朗克的量子假说是为了解释_______________________的实验规律而提出来的．它的基本思想是______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．28. (本题 3分)(4988) 普朗克公式 1)]/(exp[2)(52−π=−T k hc hc T M B λλλ中，)(T M B λ[也可写作),(0T e λ]的物理意义是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．29. (本题 5分)(5235) 波长为0.400μm 的平面光波朝x 轴正向传播．若波长的相对不确定量Δλ / λ=10-6，则光子动量数值的不确定量 Δp x =_________________________________，而光子坐标的最小不确定量　Δx =__________________________． （普朗克常量 h ≈ 6.63×10-34 J ·s ）30. (本题 5分)(4204) 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为a x a x π=3sin 2)(ψ ( 0 < x < a ), 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ___________________．量子力学中的隧道效应是指_________________________________________________________________________________________________________．这种效应是微观粒子_____________________________的表现．32. (本题 4分)(4991) 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数____________．（填入：变大、变小或不变）33. (本题 4分)(4992) 隧道效应是微观粒子具有______________性的必然表现，已被大量实验所证实．原子核的______________衰变，就是隧道效应的典型例证．34. (本题 4分)(1904) 频率为ν 的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：____________________________________，其中最低的量子态能量为__________________，称为“零点能”．35. (本题 4分)(4994) 按照普朗克能量子假说，频率为ν 的谐振子的能量只能为____________；而从量子力学得出，谐振子的能量只能为__________________________．36. (本题 4分)(5816) 按照量子力学，一维线性谐振子的能量是量子化的，能级公式是__________________________________________________，量子力学的结果与普朗克引入量子化概念时关于谐振子的能量假设的不同点是______________________________________________________．37. (本题 3分)(4217) 根据量子力学原理，当氢原子中电子的动量矩=6=L 时，L 在外磁场方向上的投影L z 可取的值分别为___________________________．量子力学得出：若氢原子处于主量子数n = 4的状态，则其轨道角动量（动量矩）可能取的值（用ћ表示）分别为_______________________________；对应于l = 3的状态，氢原子的角动量在外磁场方向的投影可能取的值分别为____________________________________．39. (本题 4分)(5817)按照量子力学计算：(1)氢原子中处于主量子数n = 3能级的电子，轨道动量矩可能取的值分别为______________________________________=．(2) 若氢原子中电子的轨道动量矩为=12，则其在外磁场方向的投影可能取的值分别为__________________________________________=．40. (本题 4分)(1907)原子序数Z = 6的碳原子，它在基态的电子组态为__________________；原子序数Z = 14的硅原子，它在基态的电子组态为______________________．41. (本题 4分)(4999)当原子（包括多电子原子）受激发发光时，它们发射的原子光谱中光学光谱对应于______________电子的跃迁，X光谱对应于__________电子的跃迁．42. (本题 3分)(8038)为了表征原子的电子结构，常把电子所分布的壳层符号及壳层上电子的数目组合起来称为电子组态．那么，对于原子序数Z = 20的钙原子，当它处于基态时其电子组态应表示为______________________________________．43. (本题 3分)(8039)有一种原子，在基态时n = 1和n = 2的主壳层都填满电子，3s次壳层也填满电子，而3p壳层只填充一半．这种原子的原子序数是________．三计算题 (共143分)44. (本题 5分)(1828)某黑体在加热过程中，其单色辐出度的峰值波长由0.69 μm变化到0.50 μm，问其辐射出射度增加为多少倍？恒星表面可看作黑体．测得北极星辐射波谱的峰值波长λm =350nm(1nm=10−9m)，试估算它的表面温度及单位面积的辐射功率．（b = 2.897×10-3 m·K，σ = 5.67×10-8 W/(m2·K4)）46. (本题 5分)(1830)一黑体在某一温度时的辐射出射度为 5.7×104 W/m2，试求该温度下辐射波谱的峰值波长λ．m（b = 2.897×10-3 m·K, σ = 5.67×10-8 W/(m2·K4)）47. (本题 5分)(1831)已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103 W/m2．(1) 求太阳辐射的总功率．(2) 把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．（地球与太阳的平均距离为1.5×108 km，太阳的半径为6.76×105 km，σ= 5.67×10-8 W/(m2·K4)）48. (本题 5分)(1831)已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103 W/m2．(1) 求太阳辐射的总功率．(2) 把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．（地球与太阳的平均距离为1.5×108 km，太阳的半径为6.76×105 km，σ= 5.67×10-8 W/(m2·K4)）49. (本题 5分)(4409)用辐射高温计测得炼钢炉口的辐射出射度为22.8 W·cm-2，试求炉内温度．（斯特藩常量σ = 5.67×10-8 W/(m2·K4)）50. (本题 5分)(5707)若一空腔辐射器的小孔的单位面积上辐射出的功率为M = 20 W/cm2求空腔内的温度T和单色辐出度极大值所对应的波长λm．（斯特藩──玻尔兹曼常数σ = 5.67×10-8 W/(m2·K4)，维恩位移定律中的常量b = 2.897×10-3 m·K ）51. (本题 5分)(1832)对于动能是1 KeV的电子，要确定其某一时刻的位置和动量，如果位置限制在10-10 m范围内，试估算其动量不确定量的百分比．= 9.11×10-31 kg )( h = 6.63×10-34 J·s，me52. (本题 5分)(1832)对于动能是1 KeV的电子，要确定其某一时刻的位置和动量，如果位置限制在10-10 m范围内，试估算其动量不确定量的百分比．= 9.11×10-31 kg )( h = 6.63×10-34 J·s，me对于动能是1 KeV 的电子，要确定其某一时刻的位置和动量，如果位置限制在10-10 m 范围内，试估算其动量不确定量的百分比． ( h = 6.63×10-34 J ·s ，m e = 9.11×10-31 kg )54. (本题 5分)(1833) 一质量为m 的微观粒子被约束在长度为L 的一维线段上，试根据不确定关系式估算该粒子所具有的最小能量值，并由此计算在直径为10-14m 的核内质子或中子的最小能量．(h = 6.63×10-34 J ·s ，m p = 1.67×10-27kg)55. (本题10分)(1834) 一电子处于原子某能态的时间为10-8s ，计算该能态的能量的最小不确定量．设电子从上述能态跃迁到基态所对应的光子能量为3.39 eV ，试确定所辐射的光子的波长及此波长的最小不确定量．( h = 6.63×10-34J ·s )56. (本题 5分)(4989) 利用不确定关系式 Δx Δp x ≥h ，估算在直径为d = 10-14m 的核内的质子最小动能的数量级．（质子的质量m =1.67×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ）57. (本题10分)(5709) 动量为p K的原子射线垂直通过一个缝宽可以调节的狭缝S ，与狭缝相距D 处有一接收屏C ，如图．试根据不确定关系式求狭缝宽度a 等于多大时接收屏上的痕迹宽度可达到最小．58. (本题 5分)(1901) 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数x an A x n π=sin )(ψ ( n = 1, 2, 3, …)的归一化形式．式中a 为势阱宽度．59. (本题 5分)(1902) 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为a x n a x n π=sin 2)(ψ ， n = 1, 2, 3, … 试计算n = 1时，在 x 1 = a /4 →x 2 = 3a /4 区间找到粒子的概率．60. (本题 8分)(4775) 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。

量子力学期末考试辅导一、简答题1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。

能级分立。

非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。

能级分立。

2. 简并、简并度。

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。

把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。

解：()⎰∞Ω=022,,dr r r d P ϕθψ 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。

解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin5. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解： ()⎰Ω=adr r r d P 022,,ϕθψ6. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

解：()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ7. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

解：!2,)()(2/22n A x H eA x nn n x n n ⋅==-πααψα,2,1,0,21=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n E n ω8. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ 9. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

23．设氢原子的状态为，求： （1）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几 率； （2）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。 解： .
(1) 能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; (2) =
3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做 的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式） 为（ ）和（ ）。
4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为=（ ）， （ ）。 5． 动量算符的归一化本征态（ ），（ ）。 6． t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函
数，则（ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（ ），几率
流密度=（ ）。 8． 设描写粒子的状态，是（ 粒子的几率密度 ），在中的
平均值为=（ ）。 9． 波函数和是描写（ 同一 ）状态，中的称为（ 相因子
），不影响波函数的归一化，因为（ ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指
（无穷远处波函数为零）的状态。 11． 是定态的条件是（ ），这时几率密度和（ 几率密度 ）
二、计算、证明题
1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能 级和归一化波函数.
解：当 当 令得
，
2．一粒子在一维势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数 （准确解）。 解： 令则
3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一 化）。 { 提示：在态中 } 解： 当 当 令得
立。
23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属
于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。

对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

________________________________________________________________．
20. (本题 3分)(1824)
一 100 W 的白炽灯泡的灯丝表面积为 5.3×10-5 m2．若将点燃的灯丝看成是
黑体，可估算出它的工作温度为___________________ ． （斯特藩─玻尔兹曼定律常数σ = 5.67×10-8 W/m2·K4）
________________________________________________________________．这种
效应是微观粒子_____________________________的表现．
32. (本题 4分)(4991)
根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯 穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数____________．（填入：变大、变 小或不变）
一矩形势垒如图所示，设 U0 和 d 都不很大．在Ⅰ区中向
U(x)
右运动的能量为 E 的微观粒子， (A) 如果 E > U0，可全部穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区
U0 ⅠⅡⅢ
(B) 如果 E < U0，都将受到 x = 0 处势垒壁的反射，不可
Od
x
能进入Ⅱ区．
(C) 如果 E < U0，都不可能穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区． (D) 如果 E﹤U0，有一定概率穿透势垒Ⅱ进入Ⅲ区．
普朗克的量子假说是为了解释_______________________的实验规律而提出
来的．它的基本思想是_________________________________________________
_____________________________________________________________________