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中科大考研自动控制理论内部讲义四(19-24)

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(整理)自动控制原理讲义

(整理)自动控制原理讲义

自动控制原理：以自动控制系统为对象，学习研究从各类控制系统所抽象出来的，具有共性的规律（组成原理，数学模型，各种分析方法及基本设计方法）。

抽象性、综合性较强，用较多的数学工具解决应用问题。

第一章1.1 引言1.1.1 基本概念（1）自动控制：不需要人直接参与，而使被控量自动的按预定规律变化的过程，叫自动控制。

①不需要人直接参与；②被控量按预定规律变化。

（2）自动控制系统：为实现某一控制目标所需要的所有物理部件的有机组合体①实体；②有机组合1.1.2 自动控制技术及应用自动控制应用极为广泛，在工业、国防、航空航天、交通、农业、经济管理、以及人们的日常生活，处处可见。

1.1.3 自动控制理论的发展 一般可分为三个阶段：（1）第一阶段。

时间为本世纪40～60年代，称为“经典控制理论”时期。

三大分析方法:时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法.（2）第二阶段。

时间为本世纪60～70年代，称为“现代控制理论”时期。

（3）第三阶段。

时间为本世纪70年代末至今。

70年代末，控制理论向着“智能控制”方向发展。

（1）被控对象（2）被控量（被调参数，输出量）（3）给定量（参考输入量，给定信号）（4）扰动量（扰动输入量，扰动信号，干扰量）（5）测量信号（6）偏差信号（详见课本）1.2 自动控制技术中的基本控制方式系统的基本控制方式按有无反馈，即按结构分为三大类：开环控制、闭环控制、复合控制。

1.2.1 开环控制系统 (1)定义开环控制是一种最简单的控制方式，在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。

示意图：优点：结构简单、调整方便、成本低缺点：控制精度低、对扰动没有控制能力。

用于输出精度要求低的场合。

若出现扰动，只能靠人工操作，使输出达到期望值1.2.2 闭环控制系统——重点控制装置与被控对象之间既有正向作用，又有反向联系的控制过程，也称为反馈控制①系统的输出参与控制，系统结构图构成回路②依靠偏差进行控制的系统，只要偏差存在，就有控制作用，其结果试图使偏差减小 ③控制精度高④对系统内部除反馈通道和给定通道外的一切扰动都有抑制作用 ⑤引起振荡1.2.3 复合控制系统将开环控制和闭环控制系统结合在一起，构成复合控制系统。

自动控制原理考研复习资料

自动控制原理考研复习资料

5
图 1-8
位置随动系统方框图 。
第二章自控系统的数学模型
本章讲述的内容很多 , 牵扯到数学和物理系统的一些理论知识 , 有些需要 进一步回顾 , 有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描 述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。学习和复习好这些基 础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。 1、基本要求 （1）确理解数字模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静 态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。 （2）了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。 （3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，运动模态与 特征根的关系，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。 （4）会用 MATLAB 方法进行部分方式展开。对低阶的微分方程，能用 部分分式展开法或留数法公式进行简单计算。 （5）正确理传递函数的定义、性质和意义，特别对传递函数微观结构的 分析要准确掌握。 （6）正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数，闭环传递函 数， 前向传递函数的定义， 并对重要传递函数如： 控制输入下闭环传递函数， 扰动输入下闭环传递数函数，误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练 掌握。 （7）掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练 地掌握等效变换代数法则， 简化图形结构， 并能用梅逊公式求系统传递函数。 （8）正确理解两种数学模型之间的对应关系，两种数学图型之间对应关 系，以及模型和图形之间的对应关系，利用以上知识，熟练地将它们进行相 互转换。 2、内容提要及小结 本章主要介绍数学模型的建立方法，作为线性系统数学模型的形式，介 绍了两种解析式和两种图解法，对于每一种型式的基本概念，基本建立方法 及运算，用以下提要方式表示出来。

中科大版--现代控制系统(最新版)精品电子教案第四章反馈控制系统特性

中科大版--现代控制系统(最新版)精品电子教案第四章反馈控制系统特性
自动控制原理
中国科学技术大学 工业自动化研究所
第四章
反馈控制系统特性
目录
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 引论 误差信号分析 控制系统对参数变化的灵敏度 反馈控制系统中的扰动信号 瞬态响应的控制 稳态误差 反馈的代价 设计实例 应用控制设计软件分析控制系统特性 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统 总结
4.2 误差信号分析
4.2 误差信号分析 E s R s Y s G s 1 R s Td s 1 Gc s G s 1 Gc s G s Gc s G s N s 1 Gc s G s 定义回路增益loop gain：L s Gc s G s
4.2 误差信号分析
GcG 1 G E R Td N 1 GcG 1 GcG 1 GcG 1 G L R Td N 1 L 1 L 1 L 1、为减弱扰动Td s 对跟踪误差E s 的影响，在扰动频带内 L j Gc j G j 1 当G s 给定时，要求设计控制器使 Gc j 1 2、为抑制噪声N s 对跟踪误差E s 的影响，在噪声频带内 L j Gc j G j 1 当G s 给定时，要求设计控制器使 Gc j 1
4.3 控制系统对参数变化的灵敏度
被控过程G(s) 受到环境变化、元部件老化、 过程参数真实值未知或时变等因素的影响 开环系统中，这些误差和变化直接导致输出 变化、无法精确跟踪 闭环系统能感知由于过程变化引起的输出变 化，并试图修正控制器输出的控制量，从而 改变系统的输出量 控制系统对于参数变化的灵敏度非常重要 闭环反馈控制系统的主要优点是，它能够降 低系统对被控过程的参数变化的灵敏度

精编自动控制原理讲义资料

精编自动控制原理讲义资料

自动控制原理：以自动控制系统为对象，学习研究从各类控制系统所抽象出来的，具有共性的规律（组成原理，数学模型，各种分析方法及基本设计方法）。

抽象性、综合性较强，用较多的数学工具解决应用问题。

第一章1.1 引言1.1.1 基本概念（1）自动控制：不需要人直接参与，而使被控量自动的按预定规律变化的过程，叫自动控制。

①不需要人直接参与；②被控量按预定规律变化。

（2）自动控制系统：为实现某一控制目标所需要的所有物理部件的有机组合体①实体；②有机组合1.1.2 自动控制技术及应用自动控制应用极为广泛，在工业、国防、航空航天、交通、农业、经济管理、以及人们的日常生活，处处可见。

1.1.3 自动控制理论的发展 一般可分为三个阶段：（1）第一阶段。

时间为本世纪40～60年代，称为“经典控制理论”时期。

三大分析方法:时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法.（2）第二阶段。

时间为本世纪60～70年代，称为“现代控制理论”时期。

（3）第三阶段。

时间为本世纪70年代末至今。

70年代末，控制理论向着“智能控制”方向发展。

（1）被控对象（2）被控量（被调参数，输出量）（3）给定量（参考输入量，给定信号）（4）扰动量（扰动输入量，扰动信号，干扰量）（5）测量信号（6）偏差信号（详见课本）1.2 自动控制技术中的基本控制方式系统的基本控制方式按有无反馈，即按结构分为三大类：开环控制、闭环控制、复合控制。

1.2.1 开环控制系统 (1)定义开环控制是一种最简单的控制方式，在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。

示意图：优点：结构简单、调整方便、成本低缺点：控制精度低、对扰动没有控制能力。

用于输出精度要求低的场合。

若出现扰动，只能靠人工操作，使输出达到期望值1.2.2 闭环控制系统——重点控制装置与被控对象之间既有正向作用，又有反向联系的控制过程，也称为反馈控制①系统的输出参与控制，系统结构图构成回路②依靠偏差进行控制的系统，只要偏差存在，就有控制作用，其结果试图使偏差减小 ③控制精度高④对系统内部除反馈通道和给定通道外的一切扰动都有抑制作用 ⑤引起振荡1.2.3 复合控制系统将开环控制和闭环控制系统结合在一起，构成复合控制系统。

自动控制原理24 24页PPT文档

自动控制原理24 24页PPT文档

-
1
1 uo(s)
R 2 I2(s) C 2 s
为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个
可能的变换过程如下：
C2s
ui (s) -
1 I1(s) - 1 u (s)
R1
I(s) C1s
1 R2C2s 1
uo(s) ①
ui (s) -
9/8/2019
-1
R1
R1C2s
1
u(s)
C1s
1 R2C2s 1
9/8/2019
20Leabharlann 动输入作用下的闭环系统的传递函数（二）扰动作用下的闭环系统：
此时R(s)=0,结构图如下：
N (s)
E(s)
+
G1(s)
G2 (s)
-
B(s) H (s)
输出对扰动的传递函数为：
C(s)
N(s)C N((ss))1G G 21(G s)2H
输出为：C(s) G2 N(s) 1G1G2H
u f (s)
Kf
- (s)
在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表 示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模 型，是复域的数学模型。
9/8/2019
5
结构图的等效变换
二、结构图的等效变换： [定义]：在结构图上进行数学方程的运算。 [类型]：①环节的合并；
--串联 --并联 --反馈连接 ②信号分支点或相加点的移动。 [原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。
①信号相加点的移动：
把相加点从环节的输入端移到输出端
X1(s)
G(s) Y (s)
X2(s)
X1(s) G(s) X2(s) N (s)

自动控制理论课件

自动控制理论课件
于期望值。
自动控制系统定义： 是一个带有反馈装置的动力学系统。系统能自动而连
续地测量被控制量，并求出偏差，进而根据偏差的大小 和正负极性进行控制，而控制的目的是力图减小或消除 所存在的偏差。
自动控制系统：为了实现各种复杂的 控制任务，首先要将被控对象和控制装置 按照一定的方式连接起来，组成一个有机 整体，这就是自动控制系统。
3、随动控制系统（或称伺服系统）
这类系统的特点是输入信号是一个未知函数， 要求输出量跟随给定量变化。如雷达天线跟踪系 统，当被跟踪目标位置未知时属于这类系统。随 动系统是指参考输入量随时间任意变化的系统。 其任务是要求输出量以一定的精度和速度跟踪参 考输入量，跟踪的速度和精度是随动系统的两项 主要性能指标。
应用场合：
1. 控制量的变化规律可以预知。 2. 可能出现的干扰可以抑制。 3. 被控量很难测量。
应用较为广泛，如家电、加热炉、车床等等。
闭环控制
控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用， 而且还有反向联系. 闭环控制又称为反馈控制或按偏差控制。
例 转速负反馈直流电动机调速系统
给系定统电组压成：
反直馈流电电压机
控制系统的组成
比较
r(t) 元件 + e(t)
串联
+
输入 偏差 校正元件
放大元件
信号 - 信号
-
执行元件
扰动
控制对象 C(t)
输 出
主 反 馈
并联校正元件
局部反馈
信
号
测量元件
主反馈
典型自动控制系统方块图
测量反馈元件——用以测量被控量并将其转换成 与输入量同一物理量后，再反馈到输入端以作比 较。
比较元件——用来比较输人信号与反馈信号。

自动控制原理讲义

自动控制原理讲义

第六讲例：解: (1) 求A 阵的特征值及特征向量： 由0λ=I -A ，有又由：11()λ-=I A v 0，可求得再求λ2=-1的一个广义特征向量： 而33()λ-=I A v 0 (2) 求变换后的A 、B 、C 阵：于是，可得110010002-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦~-1A =Q AQ[]010000102301100u y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦•x =x +=x12312λλλ==-=111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1v 2()λ-=-21I A v v 101⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2v 3124⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦v []123111102114⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q =v v v 25216339121-⎡⎤⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-1Q 291319⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦~-1B =Q B []111=~C =CQ特殊情况：若A 阵为Companion matrix ，且λ1为m 次重根（仅有一个独立特征向量），其余n-m 特征值互异，则四、状态方程的共轭模态形 1、目的为把具有复数特征值的矩阵化简，又避免在矩阵中出现复数，以便在计算机上计算，最常用的办法是把状态方程化为模态型； 2、模态矩阵的构成 设系统矩阵A 的特征值为： A 阵的模态矩阵即为：3、化A 为模态形的变换矩阵的求取： 其中：v σ, v ω是A 的对应于特征值λ1的特征向量的实部和虚部 例：将矩阵A 化为共轭模态形。

01256⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A解：由A 的特征方程，有求对应于λ1的特征向量，有11()λ-=I A v 01111111222222211111221111111111111211111111................2!(1)!..........m m n n n n n d d d d d m d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q 21....n m n m n n m λλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12,j j λσωλσω=+ =-σωωσ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦J []σω=P vv 2det()6250λλλ-=++=I A 123434j j λλ∴=-+ =--11103434j j ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦v解出：故变换矩阵P 即为 即可求得矩阵A 的模态形为2-5 离散系统的状态空间表达式SISO 线性定常离散系统的高阶差分方程为:对应的脉冲传递函数为:注意到以下对应关系：因而以上关于连续系统的讨论均可用于离散系统。

自动控制原理讲义

自动控制原理讲义

第二十一讲设f (x )对x i (i=1,2,..n)是可微的，故系统的Jacobian 矩阵为Krasovskii 定义：则如果Q (x )是负定的，那么平衡状态x e =0是渐近稳定的。

系统的Lyapunov 函数为:而且，如果‖x ‖→∞,有v (x )→∞，那么x e =0是大范围渐近稳定的。

证：故有即Q (x )是负定的，则 也是负定的； 另外，对任一非零n 维向量x ，有1111212.........().........n T n n n n f f f x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂==⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦fJ x x ()()()T =+Q x J x J x ()()()T T V ∙∙==x x x f x f x ()d dt ∙∂==∂f x f x J(x)f(x)x '()()()()()()()T T TV ∙∙∙⎡⎤==+⎣⎦x f x f x f x f x f x f x '()()()()()()()T T TV ∙∙∙⎡⎤==+⎣⎦x f x f x f x f x f x f x []()()()()()()()()()()()()()()()()()()()TT T T T T TT =+=+⎡⎤=+⎣⎦=J x f x f x f x J x f x f x J x f x f x J x f x f x J x J x f x f x Q x f x ()T T T T T T⎡⎤=+=+⎣⎦x Q x x x J (x)J(x)x x J (x)x x J(x)x 2T T T T⎡⎤=+=⎣⎦x J(x)x x J(x)x x J(x)x这表明如果Q (x )负定，则J (x )负定。

因此若x≠0，则J (x )≠0，也即说明x≠0，f (x ) ≠0:即V (x )是正定的。

中科大自动控制理论内部讲义二 (09-16)

中科大自动控制理论内部讲义二 (09-16)

第三讲：时域分析重点：掌握二阶系统的性能分析，以及高阶系统转化为低阶系统的思想。

用前面的知识分析系统的性能：稳定性、瞬态性能、稳态性能，分析方法分为时域和频域两种方法，本讲主要讲述时域分析方法。

一、典型输入信号（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ）0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ），当输入作用具有周期性变化时。

二、脉冲响应函数()()()Y s G s R s = ←---→ ()()*()y t g t r t = 脉冲响应函数时系统传递函数的拉普拉斯反变换，故线性时不变系统的传递函数和脉冲响应函数所包含的信息是相同的；它和传递函数一样可以表征系统的动态特性，可以用它求出系统对任意输入信号的输出响应，并有脉冲响应函数求出系统的传递函数。

三、一阶系统（第9课时开始）用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。

++（a ） 电路图（b ）方块图（c ）等效方块图当初使条件为零时，其传递函数为 11)()()(+==TS s R s C s φ更一般的可以写成：()()()1C s Ks R s TS φ==+，K 为稳态增益。

下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。

当初使条件为零时，分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。

（1）单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为Ss R 1)(=， 所以)111(11)()()(+-=⋅+==TS S K S TS K s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得)1()(Tte K t c --= 0≥t响应曲线在0≥t 时的斜率为T 1，如果系统输出响应的速度恒为T1，则只要t ＝T 时，输出c(t)就能达到其终值。

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第六讲 控制系统的状态空间分析与综合经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入—单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。

但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。

复域分析法对于控制过程来说是间接的。

现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变﹑非线性﹑多输入-多输出系统的问题。

现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。

它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。

随着控制系统的高性能发展，最优控制﹑最佳滤波﹑系统辨识﹑自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。

在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。

它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

第0节 必要的数学基础集和线性空间 基和基底变换向量范数、内积和格兰姆矩阵 线性变换及其矩阵表达式和范数 线性变换结构和线性代数方程组 特征值、特征向量和约当标准型 矩阵多项式和矩阵函数第一节 控制系统的状态空间描述一、状态空间的基本概念 1． 状态和状态变量表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。

一个用n 阶微分方程式描述的系统，就有n 个独立变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。

因此，可以说该系统的状态变量就是n 阶系统的n 个独立变量。

状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。

状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竟还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈﹑改善性能的要求。

状态变量的一般记号为)(,)(),(21t x t x t x n 。

2． 状态向量把描述系统状态的n 个状态变量)(,)(),(21t x t x t x n 看作向量)(t x 的分量，则向量)(t x 称为n 维状态向量，记作﹕⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t n x 或[]T n t x t x t x t )(,),(),()(21 =x3． 状态空间以n 个状态变量作为坐标轴所构成n 维空间称为状态空间。

系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。

随着时间的推移，)(t x 将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。

4． 状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。

由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。

对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。

尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。

用图6-1所示的C L R --网络说明如何用状态变量描述这一系统。

图6-1 C L R --电路此系统有两个独立储能元件，即电容C 和电感L ，故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。

状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压c u 有关，电感的储能与流经它的电流i 有关，故通常就以c u 和i 作为此系统的两个状态变量。

根据电工学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程式﹕u u Ri dtdiL i dtdu Cc c=++=亦即 u Li L R u L ii Cuc c 111+--== （6-1）设状态变量i x u x c ==21,，则该系统的状态方程为u Lx L R x L xx Cx11121221+--==写成向量矩阵形式为u L x x L R LC x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101102121 （6-2a ） 简记为bu Ax x+=式中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=L L R L C x x 10,110,21b A x 若改选c u 和c u作为两个状态变量，即令c c u x u x ==21,，则该系统的状态方程为u LCx L R x LC xx x1121221+--==即u LC x x L R LCx x⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101102121 （6-2b ） 比较式（6-2a ）和式（6-2b ），显然，同一系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。

5． 输出方程系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为输出方程。

输出量由系统任务确定或给定。

如在图6-1系统中，指定c u x =1作为输出，输出一般用y 表示，则有c u y = （6-3） 或 1x y =式（6-3）就是图6-1系统的输出方程，它的矩阵表示式为 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y 或 cx y =6． 状态空间表达式状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。

由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。

设单输入—单输出线性定常连续系统，其状态变量为)(,)(),(21t x t x t x n ，则状态方程的一般形式为u b x a x a x a xu b x a x a x a xu b x a x a x a xn n nn n n n n n n n ++++=++++=++++=2211222221212112121111 （6-4）输出方程则有如下形式n n x c x c x c y +++= 2211 （6-5） 用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n nn n n n n n x x x c c c b b b x x x a a a a a a a a a x x x2121212121222211121121y u简写为cxy bu Ax x=+= （6-6）式中，x 为n 维状态变量；A 为系统内部状态的联系，称为系统矩阵或系数矩阵，为n n ⨯方阵；b 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，为1⨯n 的列阵；c 为n ⨯1输出矩阵。

对于一个具有r 个输入﹑m 个输出的复杂系统，此时的状态方程变为r nr n n n nn n n n r r n n r r n n u b u b u b x a x a x a xu b u b u b x a x a x a xu b u b u b x a x a x a x+++++++=+++++++=+++++++=22112211222212122221212121211112121111至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的直接传递，因而有如下的一般形式：rmr m m n mn m m m rr n n rr n n u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y +++++++=+++++++=+++++++=22112211222212122221212121211112121111因而多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量形式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r mr m m r r n mn m m n n m r nr n n r r n nn n n n n n u u u d d d d d d d d d x x x c c c c c c c c c y y y u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a x x x212122221112112121222211121121212122221112112121222211121121 （6-7）简写为DuCx y Bu Ax x+=+=式中，x 和A 与单输入—单输出系统相同，分别为n 维状态矢量和n n ⨯系数矩阵；u 为r 维输入（或控制）矢量；y 为m 维输出矢量；B 为r n ⨯控制矩阵；C 为n m ⨯输出矩阵；D 为r m ⨯直接传递输入矩阵，也称为关联矩阵。

二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立从元件或系统所遵循的物理定律来建立其微分方程，继而选择有关物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式，这是建立实际元件或系统状态空间表达式的实用方法。

系统可以用结构图或微分方程来表示，下面分别介绍从系统结构图和微分方程出发建立状态空间表达式的方法。

1．由系统结构图出发建立状态空间表达式这种方法首先将系统结构图中的各个环节变换成模拟结构图。

为了简便，这里用结构图代替模拟计算机的详细模拟图。

即将结构图中各个环节变换为仅由积分器、加法器、比例器和一些带箭头的线段组成的图形。

其次，将每一个积分器的输出选作一个状态变量i x ，则其输入为i x；然后由模拟结构图直接写出系统的状态方程和输出方程。

下面举例说明。

[例6-1] 系统结构图如图6-2a 所示，输入为u ，输出为y 。

试求其状态空间表达式。

解 图6-2a 所示系统中，有一个含有零点的环节，先将其展开成部分分式，即ps pz p s z s +-+=++1，从而得到图6-2b 所示的等效结构图，其模拟结构图如图6-2c 所示。

从图可得知1313313113122211)()(x y u p z px x K p z xu K x K x K K x x K ax x=-+---=++-=+-=写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32113213131232100100)(00x x x y u p z K x x x p K p z K K K K a x x x(a )(b )(c )图6-2 例6-1 系统结构图及模拟结构图2．由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式的方法。