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关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。
极限的性质和极限存在性的证明方法文章内容极限是微积分中非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一特定点的趋近情况。
通过研究函数的极限，我们可以揭示函数的特性和行为，从而在实际问题中应用这些性质。
本文将介绍极限的性质及其存在性的证明方法。
1. 极限的性质1.1 保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的两侧也有定义，并且函数在该点的左侧小于等于右侧。
证明：假设函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且为 L，即lim┬(x→a)f(x) = L。
设ε > 0，存在δ₁ > 0，当 0 < |x - a| < δ₁时，有 |f(x) - L| < ε。
因此，当 a - δ₁ < x < a 时，有f(x) < L + ε，而当 a < x < a + δ₁时，有 f(x) > L - ε。
因此函数在 a 点的两侧也有定义，并且左侧小于等于右侧。
1.2 唯一性：如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
证明：假设极限lim┬(x→a)f(x) 同时存在且等于 L₁和 L₂。
设ε > 0，存在δ > 0，当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由于极限存在性可知，我们可以找到某个 N₁，使得当n > N₁时，有 |x - a| < δ₁，从而 |f(x) - L₁| < ε。
同理，我们可以找到另一个 N₂，使得当 n > N₂时，有 |x - a| < δ₂，从而 |f(x) -L₂| < ε。
取 N = max(N₁, N₂)，即可得到当 n > N 时，有 |f(x) -L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由此可知，L₁ = L₂，即极限是唯一的。
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。
本文将介绍几种常用的证明极限的方法。
一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。
对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。
数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。
夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。
其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。
然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。
例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。
首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。
又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。
二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。
对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。
函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。
![用定义证明函数极限方法总结[1]](https://uimg.taocdn.com/a5e2356a50e2524de4187ea8.webp)
用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式lim ()x af x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节不同。
方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。
方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x a h ε-<，从而得()h δε=。
部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。
用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞=，方法：方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得()A h ε=。
方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x h ε>，从而得()A h ε=。
部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。
平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。
例1 证明：2lim(23)7x x →+=。
证明：0ε∀>，要使：(23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022x ε<-<，取2εδ=，即可。
例2 证明：22112lim 213x x x x →-=--。
分析：因为，2211212213213321x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制011x <-<，即02x <<，才容易放大。
函数极限epsilondelta函数极限的 epsilon-delta 定义是一种严格的数学表述方式，用来说明函数在一些点处的极限行为。
该定义可以帮助我们准确地确定函数在其中一点的极限，并且提供了一种方法来证明极限存在性。
首先，我们来回顾一下函数极限的定义。
给定一个函数f(x)，我们说函数f在x=a处的极限为L，如果对于给定的任意正数ε，都存在一个正数δ，使得当x的取值在(a-δ,a+δ)之间时，f(x)的取值都在(L-ε,L+ε)之间。
这个定义实际上表示了以下的思想：不论我们想要多么接近L，只要x足够接近a，那么f(x)就会足够接近L。
如果我们能够证明这个定义成立，那么我们就可以说函数f在x=a处的极限为L。
下面我们来具体解释 epsilon-delta 定义。
首先，我们选择任意一个正数ε，它表示我们想要将函数 f(x) 与 L 之间的差值控制在多小的范围内。
接下来，我们需要找到一个正数δ，它表示当 x 与 a 之间的距离小于δ 时，函数 f(x) 与 L 之间的差值也小于ε。
为了找到这个正数δ，我们可以通过分析函数f(x)的性质来寻找一些常用的方法。
一般情况下，我们需要运用一些数学技巧或者已知的极限的性质来推导出相应的δ。
这可能需要一些代数计算、化简、变形等等，具体根据问题选择合适的方法。
一旦找到了这个正数δ，我们可以说函数f在x=a处的极限为L，因为不论我们要求多么精确或者多么接近L，只要选择一个足够小的δ，都能够满足要求。
为了更加清晰地说明 epsilon-delta 定义，我们现在来举一个具体的例子。
考虑函数 f(x) = 2x+1，在 x=2 处的极限。
我们想要证明函数f 在 x=2 处的极限为 5给定任意的正数ε，我们需要找到一个正数δ，使得当x与2之间的距离小于δ时，函数f(x)与5之间的差值小于ε。
根据函数f(x)的定义，我们可以得到f(x)=2x+1我们将x与2之间的距离表示为，x-2，函数f(x)与5之间的差值表示为，f(x)-5、我们可以进行一系列的代数计算来找到合适的δ值。
习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
(3)42
4
lim 22-=+--→x x x ;
(4)21
241lim
3
2
1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1
|3|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ31
=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .
(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5
1
|2|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ5
1
=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .
(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2
4
2x x , 只须ε<--|)2(|x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(2
42x x , 所以424
lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21
(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使
ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21
(|0x 时, 有
ε<-+-212413x x , 所以21241lim 32
1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2
121lim
3
3=+∞
→x x x ; (2)0sin lim
=+∞
→x
x
x .
证明 (1)分析
3
3
333
3||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使
ε<-
+21213
3x x , 只须ε<3|
|21
x , 即3
21
||ε
>
x .
证明 因为∀ε >0, ∃3
21
ε
=
X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x .
(2)分析 x
x
x x
x 1|sin |0sin ≤=
-, 要使
ε<-0sin x x
, 只须
ε<x
1, 即2
1
ε
>
x .
证明 因为∀ε>0, ∃2
1
ε=
X , 当x >X 时, 有
ε<-0sin x
x
, 所以0sin lim
=+∞→x x
x .
3. 当x →2时, y =x 2→
4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？
解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要
0002.05
001
.0|2|=<
-x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13
12
2→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?
解 要使
01.03
413
1222<+=
-+-x x x , 只397301
.04
||=->
x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.
6. 求,)(x x x f = x
x x |
|)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.
证明 因为
11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x
x f ,
11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x
x f ,
)(lim )(lim 0
x f x f x x +→→=-,
所以极限)(lim 0
x f x →存在.
因为
1lim ||lim )(lim 00
-=-==--
-→→→x x
x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00
===++
+→→→x
x
x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0
x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0
x x ϕ→不存在.
7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞
→)(lim .
证明 因为A x f x =-∞
→)(lim , A x f x =+∞
→)(lim , 所以∀ε>0,
∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .
取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有
|f (x )-A |<ε .
因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有
|f (x )-A |<ε .
这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .
取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有
| f (x )-A |<ε ,
即f (x )→A (x →x 0).
9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .
证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.
这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。
