2020年广西桂林十八中高考数学第十次适应性试卷(文科)(7月份)

2020年广西桂林十八中高考数学第十次适应性试卷(文科)(7月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|−3<x<3}，则∁U A=()A. (−3,3)B. [−3,3]C. (−∞,−3)∪(3,+∞)D. (−∞,−3]∪[3,+∞)2.若复数z=a−i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=()A. −12B. 12C. −2D. 23.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=()A. 20B. 35C. 45D. 904.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()A. B.C. D.5.以双曲线x28−y2=1右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为A. (x+3)2+y2=1B. (x−3)2+y2=1C. (x−3)2+y2=8D. (x+3)2+y2=86.已知sinα=13，则cos2α=()A. 79B. −79C. ±79D. 4√297. 若a =log 332,b =ln 12,c =0.6−0.2，则a,b,c 的大小关系为( )A. c >b >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >c >b8. 设等边△ABC 边长为6，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −6√21B. 6√21C. −18D. 189. 函数y =2xlnx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 如图是函数f(x)=Acos(2x +φ)(A >0,0≤φ≤π)图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a,b]，若f(x 1)=f(x 2)，有f (x 1+x 2)=√3，则( )A. f(x)在区间(−π12,5π12)上是增函数 B. f(x)在区间(−π12,5π12)上是减函数 C. f(x)在区间(π6,2π3)上是增函数 D. f(x)在区间(π6,2π3)上是减函数11. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈[0,1)时，f (x )=log 2(x +1)，则f (2020)=( )A. 1B. −1C. 0D. log 2312. 已知函数f(x)=x 2+x +alnx(x +1)在定义域内只有一个极值点，则非零实数a 的取值范围是( )A. (0,18)B. (0,18]C. [18,+∞)D. (−∞,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=−e x lnx在点(l,f(1))处的切线方程是______．14.下表是某厂2020年1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据由散点图可知，用水量y与其份x之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是ŷ=b̂x+1.75，预测2020年6月份该厂的用水量为_________百吨．15.已知数列{a n}满足a1=7，a n+1−a n=2n，则a n的最小值为________．n+116.已知边长为6的等边△ABC的三个顶点都在球O的表面上，O为球心，且OA与平面ABC所成的角为45°，则球O的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=√2，PB=3，E为CD上一点，EC=3，DE=1．(1)证明：BE⊥平面PBC；(2)求三棱锥B−PAC的体积．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A+csin C−√2asin C=bsin B．(1)求B；(2)若A=75°，b=2，求a，c．19.从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表(甲组优秀，乙组一般)：(1)试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；(2)①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机抽取3人，用ξ，表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：20.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，一点M(0,√22)满足线段MF的中点在抛物线C 上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．21.已知函数f(x)=x3+3ax2，x∈R，其中x∈R．(1)若a=−1，求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值．22.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2,π3)，圆心C为直线ρsin(θ−π3)=−√3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−1|+|2x+4|．(1)求不等式f(x)≥5的解集；(2)若m>1，n>1，求证：f(mn)−|2mn+4|>|n−m|．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：U=R，A={x|−3<x<3}；∴∁U A=(−∞,−3]∪[3,+∞)．故选：D．进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集的运算．2.答案：A解析：解：∵z=a−i2−i =(a−i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a+15+a−25i为纯虚数，∴{2a+1=0a−2≠0，解得a=−12．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=9(a1+a9)2，即可求得结果．解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=9(a1+a9)2=9×102=45．故选：C．4.答案：B解析：本题考查了几何体的三视图，属于基础题．相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案． 解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)． ∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形． 故选B ．5.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质以及圆的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程． 根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的右焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式分析可得右焦点到渐近线的距离d ，即可得要求圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析可得答案． 解：根据题意，双曲线C ：x 28−y 2=1，其焦点在x 轴上，且a =2√3，b =1，则c =3，则双曲线的右焦点坐标为(3,0)，渐近线方程为y =±√24x ，即√2x ±4y =0，则右焦点到渐近线的距离d =√2|√2+16=1，则要求圆的圆心为(3,0)，半径r =1， 则要求圆的方程为(x −3)2+y 2=1， 故选B ．6.答案：A解析：解：∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79． 故选：A ．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．本题考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解． 解：0=log 31<a =log 332<log 33=1， b =ln 12<ln1=0，c =0.6−0.2>0.60=1， ∴c >a >b ． 故选：B ．8.答案：C解析：解：∵等边△ABC 边长为6，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1(1BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(13×36−36−23×6×6×12)=−18．故选：C ．根据题意得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用数量积求解即可． 本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题，关键是分解向量．9.答案：D解析：本题考查函数图象的作法，属于较易题.根据函数的性质排除即可． 解：∵lnx ≠0，∴x >0且x ≠1，当0<x <1时，lnx <0，此时y <0，排除B ，C。

2020年广西桂林十八中中考数学适应性试卷1.−2020的绝对值是()A. −2020B. 2020C. −12020D. 120202.下列数字中，是轴对称图形的是()A. 3B. 4C. 5D. 63.李明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜索到与之相关的结果条数为11600000，这个数用科学记数法表示为()A. 11.6×106B. 0.116×108C. 1.16×107D. 1.16×1084.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. (a3)2=a5C. (a⋅b)2=a2⋅b2D. √a+√b=√a+b5.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是()A. 2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cmC. 3cm，4cm，5cmD. 4cm，5cm，6cm6.已知a，b满足方程组{3a+2b=42a+3b=6，则a+b的值为()A. 2B. 4C. −2D. −47.已知关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c=()A. 4B. 2C. 1D. −48.下列事件属于必然事件的是()A. 打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B. 一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题C. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D. 在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数9.如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧AB⏜上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为()A. 60°B. 50°C. 45°D. 40°10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是()A. EH=HGB. 四边形EFGH是平行四边形C. AC⊥BDD. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=2上，顶点B在反比例函数xy=6上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的x面积为()A. 4B. 4.5C. 5D. 5.512.如图，Rt△ABC中，∠ABD=90°，AD=5，BD=3，以AB为直径的⊙O交AD于点C，设弦AC的中点为E，若点P为边AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为()A. 2B. 32C. 2或3225D. 2或253213.数轴上表示−3的点到原点的距离是______．14.因式分解：m2−25=______ ．15.为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的课外阅读读书量进行了统计，结果如下(单位：本)：5，5，3，3，6，6，6，5，4，6，则这组数据的中位数是______ ．16.将函数y=3x的图象向下平移2个单位，所得函数图象的解析式为______．17.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，过AB的中点E分别作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F.将四边形CDEF沿着CA方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t秒，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分的面积为S.当6<t<12时，S关于t 的函数关系为______ ．18.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF=1，AE，BF交于点P，连接PD，则△APD的面积为______ ．19.计算：(3.14−π)0+|√2−1|−2cos45°+(−1)2020．20.先化简，再求值：aa2−a ⋅a2−1a+1−aa−1，其中a=3．21.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．(1)求证：△ABE≌△DBE；(2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．22.为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，我市某中学采用随机抽样调查的方式，对部分学生就“校园安全知识”进行了调查测试，并根据调查测试的结果进行统计分析，绘制出了如下两幅尚不完整的统计图：(1)接受调查测试的学生共有______ 人，条形统计图中m的值为______ ；(2)若该中学共有学生3000人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数约有______ 人；(3)若从抽样调查测试中对“校园安全知识”达到“非常了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加全市“校园安全知识”竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．23.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗总金额为5500元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共24棵，总费用不超过500元，问有哪几种可能的购买方案？24.如图，两座建筑物AB，CD的水平距离BC为50m，从A点测得D点的俯角∠MAD为42°，测得C点的俯角∠MAC为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度.(结果保留小数点后一位，√2≈1.414，√3≈1.732，sin42°≈0.6690，tan42°≈0.9004)25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是直线OD上⊙O外的一点，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)若BC=4，tan∠AFP=1，求直径AB的长．2(3)在(2)的条下，求四边形ABCP的面积．26.如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(−1,0)．(1)求抛物线的函数表达式．(2)点P为抛物线的对称轴上的一点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．(3)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方的图象，得到的新图象记为曲线w.当直线y=t与曲线w恒有四个交点时，从左到右依次记交点为D、E，F，G，求以EF为直径的圆恰好与x轴相切时t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|=2020，故选：B．根据绝对值的定义直接解答．本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】A【解析】解：A、“3”是轴对称图形，故本选项符合题意；B、“4”不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、“5”不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、“6”不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】C【解析】解：11600000用科学记数法表示为1.16×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=a6，不符合题意；C、原式=a2b2，符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：C．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A.2+3>4，能构成三角形，不合题意；B.1+2=3，不能构成三角形，符合题意；C.4+3>5，能构成三角形，不合题意；D.4+5>6，能构成三角形，不合题意．故选B．6.【答案】A【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．根据方程组两方程相加求出所求即可．【解答】解：{3a+2b=4 ①2a+3b=6 ②，①+②得：5a+5b=10，则a+b=2，故选：A．7.【答案】A【解析】解：∵方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，∴△=(−4)2−4×1×c=16−4c=0，解得：c=4．故选：A．根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；B、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，是随机事件，不合题意；C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；D、在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数，是随机事件，不合题意．故选：C．直接利用必然事件、随机事件的定义分析得出答案．此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．9.【答案】D【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，∴∠C=1∠AOB=40°．2故选：D．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】B【解析】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB=2，AD=4，∴EH=12AD=2，HG=12CD=12AB=1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=12AD=12BC=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF//AB，∴△OEF∽△OAB，∴S△OEFS△OAB =(EFAB)2=14，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】A【解析】解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB//OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD(HL)，根据系数k的几何意义，S矩形BDOE=6，S△AOE=1，∴四边形OABC的面积=6−1−1=4，故选：A．根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性．12.【答案】C【解析】解：∵∠ABD=90°，AD=5，BD=3，∴AB=√AD2−BD2=√52−32=4，当∠AEP=90°时，∵AE=EC，∴EP经过圆心O，∴AP=AO=2；当∠APE=90°时，则EP//BD，∴APAB =AEAD，∵DB2=CD⋅AD，∴CD=BD2AD =325=1.8，∴AC=AD−CD=5−1.8=3.2，∴AE=1.6，∴AP4=1.65，∴AP=1.28=3225．综上AP的长为2和3225．故选：C．由△ABD是直角三角形可得DB2=CD⋅AD，根据勾股定理求得AB，即可求得AE，然后分两种情况求得AP的长即可．本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，平行线的判定和性质，分类讨论是解题的关键．13.【答案】3【解析】解：在数轴上表示−3的点与原点的距离是|−3|=3．故答案为：3．表示−3的点与原点的距离是−3的绝对值．本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关键．14.【答案】(m+5)(m−5)【解析】解：原式=(m+5)(m−5)，故答案为：(m+5)(m−5)原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15.【答案】5【解析】解：从小到大排列此数据为：3，3，4，5，5，5，6，6，6，6，处在第5和第6位两个数的平均数为中位数，故中位数是5．故答案为：5．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)．16.【答案】y=3x−2【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=3x的图象向下平移2个单位所得函数的解析式为y=3x−2．故答案为：y=3x−2．根据“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．17.【答案】S=524(12−t)2【解析】解：当6<t<12时，点C′在线段DA上，点D′在DA的延长线上，如图所示：∵DD′=t，C′D′=DA=6，∴C′A=12−t，∵tan∠BAC=BCAC =GC′C′A=512，∴GC′=512(12−t)，∴S阴影部分=12C′A⋅GC′=12×(12−t)×512(12−t)=524(12−t)2，即S=524(12−t)2，故答案为：S=524(12−t)2．画出当6<t<12时相应的图形，再根据平移的速度和时间表示重合部分的直角三角形的两条直角边，再根据三角形的面积公式得出答案．本题考查函数关系式，由6<t<12，得出相应条件下的图形，再表示出重合部分的边长是解决问题的关键．18.【答案】8120【解析】解：如图，过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠C=90°，在△ABE和△BCF中，{AB=BC∠ABE=∠C BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABP=90°，∴∠BAE+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BF，∴∠APB=∠FPA=90°，∵正方形ABCD的边长为3，BE=CF=1，∴AE=√AB2+BE2=√32+12=√10，∴cos∠BAP=APAB =ABAE，即AP3=√10，∴AP=9√1010，∵PH⊥AD，∴sin∠PAH=sin∠BEA，即PHAP = ABAE，∴9√1010=√10，∴PH=2710，∴△APD的面积为：12×AD⋅PH=12×3×2710=8120．故答案为：8120．过点P作PH⊥AD于点H，根据正方形的性质证明△ABE≌△BCF，可得AP⊥BF，根据勾股定理可得AE的长，根据锐角三角函数求出AP，根据sin∠PAH=sin∠BEA，求出PH的长，进而可得结论．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．19.【答案】解：原式=1+√2−1−2×√22+1=1+√2−1−√2+1=1．【解析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=aa(a−1)⋅(a+1)(a−1)a+1−aa−1=1−aa−1=a−1a−1−aa−1=−1a−1，当a=3时，原式=−13−1=−12．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a=3代入计算即可得出答案．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．21.【答案】(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE，在△ABE和△DBE中，{AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE，∴△ABE≌△DBE(SAS)；(2)解：∵∠A=100°，∠C=50°，∴∠ABC=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°，在△ABE中，∠AEB=180°−∠A−∠ABE=180°−100°−15°=65°．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．(1)由角平分线定义得出∠ABE=∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；(2)由三角形内角和定理得出∠ABC=30°，由角平分线定义得出∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．22.【答案】60 9 1750【解析】解：(1)接受调查测试的学生共有30÷50%=60(人)，条形统计图中m的值为60−(5+30+16)=9，故答案为：60、9；(2)估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为3000×30+560=1750(人)，故答案为：1750．(3)画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为1220=35．(1)由基本了解的有30人，占50%，可求得接受调查测试的学生数，继继而求得不了解的人数，继而补全条形统计图；(2)利用样本估计总体的方法，即可求得答案；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23.【答案】解：(1)设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，依题意得：{2x −y =4030x +20y =5500， 解得：{x =90y =140． 答：购买甲种树苗90棵，乙种树苗140棵．(2)设再次购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗(24−m)棵，依题意得：30m +20(24−m)≤500，解得：m ≤2．又∵m 为非负整数，∴m 可以为0，1，2，∴共有3种购买方案，方案1：购买24棵乙种树苗；方案2：购买1棵甲种树苗，23棵乙种树苗；方案3：购买2棵甲种树苗，22棵乙种树苗．【解析】(1)设购买甲种树苗x 棵，乙种树苗y 棵，根据“购买乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗总金额为5500元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设再次购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗(24−m)棵，根据总价=单价×数量结合总费用不超过500元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再结合m为非负整数，即可得出各购买方案．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】解：延长CD，交AM于点E，可得DE⊥AE，得矩形AECB，∴AE=BC=50(m)，在Rt△AED中，∠EAD=42°，AE=50(m)，∴DE=AE⋅tan42°≈50×0.9004=45.02(m)，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=50(m)，∴AB=50√3≈86.6m，∴CD=EC−ED=AB−DE=50√3−45.02≈41.6(m)．答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为86.6m和41.6m．【解析】延长CD，交AM于点E，可得DE⊥AE，根据锐角三角函数即可求出结果．本题考查解直角三角形的应用−俯角仰角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．25.【答案】(1)证明：如图，连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC =∠OCB ，∵∠PCA =∠ABC ，∴∠PCA =∠OCB ，∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACO +∠OCB =90°，∴∠ACO +∠PCA =90°，即∠PCO =90°，∵OC 是圆O 的半径，∴PC 是圆O 的切线．(2)∵D 是AC 中点，∴OD ⊥AC ，∵tan∠AFP =12， ∴设AD =a ，则DF =2a ，OD =12BC =2，OA =OF =2a −2，在直角三角形ADO 中，OD 2+AD 2=AO 2，即22+a 2=(2a −2)2，∴a 1=83，a 2=0(舍去)，∴AB =2OA =2(2a −2)=203． (3)解：∵AD =83，∴AC =2AD =163，CD =AD =83， ∵∠PCA =∠ABC ，∠PDC =∠ACB =90°，∴△PCD∽△ABC ，∴PD AC =CD BC ，即PD 163=834， ∴PD =329，∵BC =4，AC =2AD =163， ∴S △ABC =12BC ⋅AC =12×4×163=323， ∴S △PAC =12AC ⋅PD =12×163×329=25627，∴S 四边形ABCP =S △ABC +S △PAC =323+25627=54427．【解析】(1)连接OC ，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO =90°，然后由切线的判定定理可得结论；(2)根据切线的性质及三角函数得tan∠AFP =12，设AD =a ，则DF =2a ，OD =12BC =2，OA =OF =2a −2，利用勾股定理得方程求解即可；(3)根据相似三角形的判定与性质可得PD =329，再由面积的和差关系可得问题的答案．此题考查的是圆的综合题目，掌握圆的性质定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数是解决此题关键．26.【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴是直线x =2，且过点A(−1,0)， ∴{− b 2=21−b +c =0，解得{ b =−4c =−5， ∴抛物线的函数解析式为y =x 2−4x −5；(2)如图，点A 与点B 关于对称轴直线x =2对称，连接BC ，交抛物线对称轴于点P ，连接PA ，即点P 为所求点，此时PA +PC =PB +PC =BC 的值最小，∵抛物线的函数解析式为y =x 2−4x −5，令y =0，则0=x 2−4x −5，解得x 1=−1，x 2=5，令x =0，则=−5，∴点B 的坐标为(5,0)，点C 的坐标为(0,−5)，∴直线BC 的函数解析式为y =x −5，当x =2时，y =−3，∴P 点的坐标为(2,−3)；(3)y =x 2−4x −5=(x −2)2−9，则x 轴下方部分沿x 轴向上翻折后，得到的部分函数解析式为y =−(x −2)2+9=−x 2+4x +5(−1≤x ≤5)，其顶点为(2,9)，∵新图像与直线y =t 恒有四个交点，∴0<t <9，联立{ y =t y =−x 2+4x +5， 解得x 1=2+√9−t ，x 2=2−√9−t ，∴EF =2√9− t ，当以EF 为直径的圆恰好与x 轴相切时，12EF =t ，即√9− t =t ，第21页，共21页 解得t 1=−1+√372，t 2=−1−√372(舍去)， ∴t 的值为−1+√372． 【解析】(1)抛物线对称轴x =−b 2a =2，所以可得b 的值，把A 代入抛物线解析式可求出C 的值，即可得抛物线的解析式；(2)连接A 与B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于点P ，此时P 为所求，由解析式可求B 、C 的坐标，即可得B 、C 两点的直线解析式，点P 的横坐标为2，代入BC 的解析式可得纵坐标；(3)翻折后画出图像，由图像知−1≤x ≤5时，图像y =−x 2+4x +5，顶点坐标为(2,9)，由图像得：0<t <9，在−1≤x ≤5时，联立y =t 和y =−x 2+4x +5得E 、F 的横坐标，即可求直径EF 的长，图与x 轴相切，列等量关系即可求t 的值．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质，圆形的翻折等，画出图形合理分析是解题的关键．。

2020届广西桂林十八中高三第十次适应性（7月份）考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，UA =（ ）A ．{}2,7B ．{}1,2,7C ．{}2,7,8D ．{}1,2,7,8【答案】A【解析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得UA .【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以UA ={}2,7.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C【解析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（ ） A ．7B ．10C ．63D ．18【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合等差中项性质即可得到答案. 【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 所以311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+， 所以111133252814a d a a d a d +-++=+=， 所以147a d +=，即57a =， 所以1995()99632a a S a +⨯===..故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，属于基础题.4． “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B.【考点】1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.5．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．()2223x y -+= B ．()2223x y ++= C ．()2221x y -+= D ．()2211x y ++=【答案】A【解析】根据题意右焦点为圆心求得圆心,又与双曲线C 的渐近线相切求得半径r =进而得到方程. 【详解】根据题意,双曲线22:13y C x -=,其焦点在x 轴上,且1a =,b =则2c =,则双曲线的右焦点坐标为()2,0,渐近线方程为y =,0y ±=,则右焦点到渐近线的距离d==则要求圆的圆心为()2,0,半径r =则要求圆的方程为()2223x y -+=, 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的方程与双曲线的基本量求解,属于基础题型.6．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C【解析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-.故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 7．若33log 2a =，1ln 2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】B【解析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解. 【详解】00.233313lnln1log 10log log 30.610.622b ac -=<==<=<==<=； c a b ∴>>.故选：B 【点睛】本题考查指对数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知在边长为3的等边ABC ∆中，12BD DC =，则AD AC ⋅=（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．－6【答案】A【解析】转化1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅,利用数量积的定义即得解. 【详解】1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅13AB AC B AC C =⋅+⋅1||||cos ||||cos 3AB AC A AC C BC =⋅+⋅11133336232=⋅⋅+⋅⋅⋅=故选：A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9．函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可. 【详解】解：由ln 0x ≠得，0x >且1x ≠，当01x <<时，ln 0x <此0y <时，排除B,C函数的导数'2212ln 22ln 2()(ln )(ln )x x x x f x x x -⋅-==，由'()0f x >得ln 1x >，即x e >时函数单调递增，由'()0f x <得ln 1x <且1x ≠，即01x <<或1x e <<时函数单调递减，故选：D 【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题. 10．如图是函数()sin(2)()2f x A x πϕϕ=+图象的一部分，对不同的1x ，2[x a ∈，]b ，若12()()f x f x =，有12()3f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数 【答案】C【解析】由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象特征，求得2a b πϕ+=-，再根据12()2sin ()3f a b f x x ϕ+==+=ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据正弦函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由函数()sin(2)()2f x A x πϕϕ=+图象的一部分， 可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， 12a b x x ∴+=+.由五点法作图可得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，2a b πϕ∴+=-.再根据12()2sin(2)2sin ()3f a b f x x πϕϕϕ+=-+==+=可得sin 2ϕ=， 3πϕ∴=，()2sin(2)3f x x π=+.在5(,)1212ππ-上，2(32x ππ+∈-，)2π， 故()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数， 故选：C. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题.11．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）A ．()21,23k k ++，k Z ∈B ．()21,21k k -+，k Z ∈C ．()41,43k k ++，k Z ∈D ．()41,41k k -+，k Z ∈【答案】C【解析】先根据已知求得()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称，再求[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，根据对称性，在一个周期[]0,4x ∈时，()2f x >的解集为()1,3；再利用周期性推广到x ∈R 时，得不等式的解集.【详解】∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=， 所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称， 所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，又因为图象关于2x =对称，得[]0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.12．设函数2()ln (32)()f x x a x x a R =+-+∈在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A ．8(,)9+∞ B ．80,9⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．(0,)+∞【答案】C【解析】根据极值点存在的条件可知，()0f x '=在定义域()0,∞+只有一个根，即可求出． 【详解】由题意可知()()1230f x a x x'=+-=在定义域()0,∞+只有一个根，显然0a ≠， 所以()123x x a-=-，即函数()23y x x =-在()0,∞+上的图象与直线1=-y a 只有一个交点．作出函数()23y x x =-在()0,∞+上的图象，如图所示：所以10a->，即0a <． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，涉及转化思想的应用，属于基础题．二、填空题13．函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是________.【答案】y x =【解析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数()xf x xe =，求导可得()'(1)x f x x e =+，所以()'01f=，又()00f =，即函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是01(0)y x -=⨯-，即y x =，故答案为：y x =. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题. 14．如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是1.75x y b +=,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.【答案】5.95【解析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出b ,然后代入x ＝6,推出结果即可. 【详解】解：由题意可知12342.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==；又线性回归方程是 1.75x y b +=,经过样本中心,所以3.5 2.5 1.75b =+, 解得：0.7b =, 所以0.7 1.75y x =+,x ＝6时,y =0.7×6+1.75＝5.95（百吨）. 预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨. 故答案为：5.95. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题. 15．已知数列{}n a 满足112a =，1n n n a a +-=，则n a n 的最小值为__.【答案】12.【解析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到na n的解析式，再根据基本不等式可求得na n的最小值. 【详解】1n n a a n +-=，211a a ∴-=，322a a -=，433a a -=，⋯，11n n n a a -=--，这1n -个式子累加可得()112n n n a a --=，又112a =，则()2112n a n n =-+，∴111111222n a n n n ⎛⎫⎛⎫=+-≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1n =时取等号，因此，n a n的最小值为12.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，考查基本不等式在最值中的应用，注意需写出取等号时的n 值，属于中档题.16．已知边长为3的正ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30︒，则球O 的表面积为________． 【答案】16π【解析】先计算出正三角形外接圆半径，再由OA 与平面ABC 所成的角为30︒，求出球的半径，进而可求出结果. 【详解】设正ABC 的外接圆圆心为1O ，易知1AO =，在1Rt OO A 中，1 230O AOA cos ==︒，故球O 的表面积为24π216π⨯=. 【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型.三、解答题17．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ＝CD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，E 在PB 上.（1）证明：AC ⊥PD ；（2）若PE ＝2BE ，求三棱锥P ﹣ACE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）29【解析】（1）过A 作AF ⊥DC 于F ，推导出AC ⊥DA ，AC ⊥P A ，从而AC ⊥平面P AD ，由此能求出AC ⊥PD ．（2）由V P ﹣ACE ＝V P ﹣ABC ﹣V E ﹣ABC ，能求出三棱锥P ﹣ACE 的体积． 【详解】（1）过A 作AF ⊥DC 于F ，因为AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，所以CF ＝DF ＝AF ＝1， 所以∠DAC ＝90°，所以AC ⊥DA ，又P A ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥P A ， 又P A ，AD ⊂平面P AD ，P A ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面P AD ， 又PD ⊂平面P AD ，∴AC ⊥PD.（2）由PE ＝2BE ，可得V P ﹣ACE ＝V P ﹣ABC ﹣V E ﹣ABC ，所以111112323P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，1139E ABC P ABC V V --==， 所以三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE ＝V P ﹣ABC ﹣V E ﹣ABC 112399=-=.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，cos 2cos C a cB b-=.（1）求b 的最小值；（2）若a b <，2b =，求cos()6A π+的值.【答案】（1）32；（2）cos()64A π+=【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B ，进而可求B ； （2）由已知结合正弦定理，和差角公式及辅助角公式进行化简可求sin()6A π+，然后结合同角平方关系即可求解. 【详解】 （1）由cos 2cos C a cB b-=，得cos 2cos cos b C a B c B =-， 由正弦定理可得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=， 即sin()2sin cos sin B C A B A +==，又sin 0A ≠， ∴1cos ,0π2B B =<<，即3B π=， 由余弦定理可得，222229()39393()24a cb ac ac a c ac ac +=+-=+-=--⨯=， 当且仅当32a c ==时取等号， 故b 的最小值32；（2）由（1）知3B π=，又2b =结合正弦定理可得，a A ，c C =；3sin()]3a c A C A A π∴=+==++，整理可得，3sin()64A π+=；由a b <可得3A π<，故662A πππ<+<；∴cos()6A π+=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角函数中化简求值的应用，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题.19．2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办.某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图.成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.（1）在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++2()P K k>0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【答案】（1）有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）7 10.【解析】（1）由茎叶图求得平均数，再根据男生与女生分组情况填写二联表，求得2K再查表即可判断；（2）由分层抽样求出甲组和乙组人数，结合列举法和古典概型公式即可求解；【详解】（1）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人.作出22⨯列联表如下：甲组乙组合计男生 6 4 10女生 4 11 15合计10 15 25将列联表数据代入公式计算得，2225(61144) 2.778 2.70610151015K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.（2）由分层抽样知，甲组应抽2人（记为A 、)B ，乙组应抽3人（记为a ，b ，)c . 从这5人中抽取2人的情况分别是AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共有10种.其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc . 故至少有1人在甲组的概率是710. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，分层抽样法的应用，古典概型概率的求法，属于基础题20．设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）设点()00,A x y ，由线段AF 的中点坐标可得出点A 的坐标，再代入抛物线E 的标准方程可得出关于p 的方程，解出正数p 的值，即可得出抛物线E 的标准方程；（2）设点211,4y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出直线AB 的斜率，进而求出直线BC 的方程，将直线BC 的方程与抛物线E 的标准方程联立，可得出()21122160x x x x ++++=，可知该方程有解，由0∆≥可求得x 的取值范围，并进行检验，由此可得出点C 的横坐标的取值范围. 【详解】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了由直线垂直求抛物线上的点的横坐标的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()ln f x a x b =+. （1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 的极值点的个数. 【答案】（1）()max 2ln 22f x =-；（2）答案见解析.【解析】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =()f x 的单调性即可； （2）求出f x ，然后分0a ≤、0a <≤a >.【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x = 此时，函数()f x 的定义域为0,，()122f x x x'==，由0f x得：04x <<；由0fx得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减. 所以()()max 42ln 22f x f ==-，（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，0f x对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+， （i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个； （ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为12,x x ，0a =>0b =>，所以12,x x 都大于0， 即fx 在0,上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、最值和极值点，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线1sin2ρθ=交于A，B两点，求AB.【答案】（1）13π4+；（2）3【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3π,0,π22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x<≤时，330x y+-=，当10x-≤≤时，221x y+=，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，∴围成图形的面积13π4S=+.（2）由11sin2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1sin2ρθ=化直角坐标方程为12y=，2sin 6ρθ=+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴122B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．已知0m n >>，函数()()1f x x n m n =+-.（1）若4m =，1n =，求不等式()6f x >的解集； （2）求证：()24m f x x ≥--.【答案】（1）1917,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）代入m 、n 的值，由()6f x >可得出163x +>，解此不等式即可得解； （2）利用分析法可得知：要证不等式()24m f x x ≥--成立，即证()214x x m n m n ++-≥-，利用绝对值三角不等式及两次基本不等式证明即可.【详解】（1）当4m =，1n =时，()13f x x =+，由()6f x >，可得163x +>， 所以，163x +<-或163x +>，解得173x >或193x <-，因此，当4m =，1n =时，不等式()6f x >的解集为1917,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）要证()24m f x x ≥--，即证()214x x m n m n ++-≥-，由绝对值三角不等式可得()()()2211x x m x x m n m n n m n ⎡⎤++-≥+--⎢⎥--⎣⎦()()222222411142m m m m n m n n m n m n m n ≥+=+≥=+-⎛=+=+ ⎝-⎫⎭-⎪，当且仅当224m m n m n⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，即当m =，n =. 因此，原不等式成立. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式和基本不等式证明不等式，考查了转化思想，属中档题.。

适应性考试参考答案第一部分【答案】1-5CBACA6-10CBAAC11-15BBCAB16-20BACAB第二部分21-23BCD24-27BDAC28-31CDAB32-35CBBD36-40DAEFG完型：41-45BCABD46-50DCBDA51-55BDCAB56-60CADCA 阅读部分解释A篇【分析】本文是意见说明文．向大家介绍了几部非常著名的电影．有《阿甘正传》《美好的生活》《死亡诗人协会》以及《美丽的心灵》．【解答】（1）B．细节理解题．根据原文第二段"Realizing how much he means to others，he rushes back home and all sorts of happy，inspirational，Christmassy things happen．意识到自己对别人有多重要，他就匆匆赶回家，各种快乐的、鼓舞人心的、圣诞节般的事情都发生了．"可知《美好的生活》它有一个幸福的结局．故选B．（2）C．细节理解题．根据原文第三段"John Keating（Robin Williams）is a high school English literature teacher．约翰•基廷（罗宾•威廉姆斯饰）是一所著名的全男性寄宿制学校的高中英语文学老师，"可知罗宾威廉姆斯的影迷更喜欢看《死亡诗人协会》．故选C．（3）D．细节理解题．根据原文第二段"he managed to overcome his mental illness and continued to make contributions to the field of mathematics．他克服了自己的困难并继续在数学领域做出贡献．"可知在《美丽心灵》的结尾教授．故选D．【点评】做这类题材阅读理解时要求考生对文章通读一遍，做题时结合原文和题目有针对性的找出相关语句进行仔细分析，结合选项选出正确答案．切忌胡乱猜测，一定要做到有理有据．B篇BDACC篇：【答案解析】这是一篇说明文。

2020年广西高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（）A．5 B．10 C．25 D．503．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．24．若，则tanθ等于（）A．B．C．﹣4 D．45．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，则φ的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．若x，t满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．108．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．139．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（）A．20 B．28 C．20或32 D．20或2810．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计教龄在10年以上的教师12 34 46教龄在10年以下的教师22 23 45合计34 57 91附表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828给出相关公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d．（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660．参照附表，下列结论中正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（）A．4 B． C．4或D．4或512．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设函数，则f（f（﹣1））=________．14．设向量=（1，m），=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则•的最小值为________．15．在△ABC中，B=，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6，则△ABC的周长为________．16．设m ＞0，点A （4，m ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 为焦点，以A 为圆心|AF |为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列为等差数列，且a 1=8，a 3=26．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：X 人数YA B C A 14 40 10B a 36 bC 28 8 34若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（2）已知a ≥8，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． 19．如图，在四棱锥A ﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF=2，四边形EFCB 是高为的等腰梯形，EF ∥BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO ⊥CF ；（2）求O 到平面ABC 的距离．20．如图，椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，直线x=﹣a 与y=b 交于点D ，且|BD |=3，过点B 作直线l 交直线x=﹣a 于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．21．设a ∈R ，函数f （x ）=ax 2﹣lnx ，g （x ）=e x ﹣ax ．（1）当a=7时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．[选做题]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．[选做题]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．[选做题]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2020年广西高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】交集及其运算．【分析】求出A∩B中的元素，从而判断出n的值即可．【解答】解：集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，即A∩B={3，4，5，6，7，8}，则n等于9，故选：D．2．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（）A．5 B．10 C．25 D．50【考点】复数求模．【分析】分别求出a，b的值，从而求出|a+bi|即可．【解答】解：∵（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），∴a+bi=﹣7+24i，则|a+bi|==25，故选：C．3．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【考点】函数的值．【分析】求出f（2）=﹣f（﹣2），代入3f（﹣2）=8+f（2），得到3f（﹣2）=8﹣f（﹣2），解出即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（2）=﹣f（﹣2），∵3f（﹣2）=8+f（2），∴3f（﹣2）=8﹣f（﹣2），∴4f（﹣2）=8，∴f（﹣2）=2，故选：D．4．若，则tanθ等于（）A．B．C．﹣4 D．4【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和与差的正弦函数化简已知条件，然后求解即可．【解答】解：，可得：sinθ+cosθ=5sinθ，∴cosθ=4sinθ，∴tanθ=．故选：B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由题意可得=，即为b=a，c==a，可得e==．故选：A．6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，则φ的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，∴4•+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，故φ的最大值为﹣，故选：B．7．若x，t满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值，得到10=6+a，解出即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：，显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则10=6+a，解得：a=4，故选：C．8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．13【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，即被15除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：A9．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（）A．20 B．28 C．20或32 D．20或28【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据正（主）视图，侧（左）视图，可得梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由图可知，梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，所以体积为=20或=28．故选：D．10．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计教龄在10年以上的教师12 34 46教龄在10年以下的教师22 23 45合计34 57 91附表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828给出相关公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d．（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660．参照附表，下列结论中正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据列联表中的数据，计算观测值K2，对照数表即可得出结论．【解答】解：根据列联表中的数据，计算观测值K2==≈5.0536＞3.841，对照数表得出结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”．故选：B．11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（）A．4 B． C．4或D．4或5【考点】球的体积和表面积．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故选：C．12．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】令y=ax3﹣x2+5a，由条件利用复合函数的单调性可得在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax2﹣2x＜0，再利用二次函数的性质求得a的范围．【解答】解：令y=ax3﹣x2+5a，则f（x）=lgy，∴在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax2﹣2x=x（3ax﹣2）＜0，∴①，或②．解①可得≤a≤，解②求得a无解．综上可得，≤a≤，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设函数，则f（f（﹣1））=0．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数得f（﹣1）=，则f（）=2×﹣1=1﹣1=0，故．故答案为：014．设向量=（1，m），=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入向量的数量积公式得出关于m的函数，根据二次函数的性质得出的最小值．【解答】解：=（2m+1，m﹣1）．∴=2m+1+m（m﹣1）=m2+m+1=（m+）2+．∵m∈[﹣1，+∞），∴当m=﹣时，取得最小值．故答案为：．15．在△ABC中，B=，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6，则△ABC的周长为18．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得3c=8a，又由B=，利用三角形面积公式可求ac=24，联立可解得：a，c的值，利用余弦定理可求b的值，即可得解三角形周长．【解答】解：∵3sinC=8sinA，由正弦定理可得3c=8a，①又∵B=，△ABC的面积为6=acsinB=ac，解得：ac=24，②∴由①②联立，可解得：a=3，c=8，∴由余弦定理可得：b===7，∴△ABC的周长为：a+b+c=3+7+8=18．故答案为：18．16．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|=，则，∴p=2．∵点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列为等差数列，且a1=8，a3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求出通项公式．（2）直接把数列变为两个数列，一个是等差数列一个是等比数列，分别求和即可．【解答】解：（1）设数列的公差为d，∵，∴，…∴，∴…（2）…18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：XA B C人数YA 14 40 10B a 36 bC 28 8 34若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组，其中a＞b+2的共8 组，故所求概率为：．…19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．（1）求证：AO⊥CF；（2）求O到平面ABC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可．【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF…又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF，所以AO⊥平面EFCB，…又CF⊂平面EFCB，所以AO⊥CF…（2）解：取BC的中点G，连接OG．由题设知，OG⊥BC…由（1）知AO⊥平面EFCB，又BC⊂平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC．…因为，所以，即O到平面ABC的距离为．（另外用等体积法亦可）…20．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件列出，求解可得椭圆的方程．（2）设M（﹣2，y0），P（x1，y1），推出=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x1，y1，然后求解为定值．【解答】解：（1）由题可得，∴，∴椭圆的方程为…（2）A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程为：，即，…代入椭圆方程x2+2y2=4，得，…由韦达定理得，…∴，∴，…∴=﹣2x1+y0y1=﹣+==4．即为定值．…．21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=e x﹣ax．（1）当a=7时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）由f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，a＞（）max，设h（x）=（x＞0），求出a的范围，结合f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，得到a＜对x∈（0，+∞）恒成立．设H（x）=，求出a的范围，取交集即可．【解答】解：（1）函数f（x）=7x2﹣lnx的导数为f′（x）=14x﹣，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为14﹣1=13，切点为（1，7），可得切线的方程为y﹣7=13（x﹣1），即为13x﹣y﹣6=0；（2）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，即ax2﹣lnx＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＞（）max，设h（x）=（x＞0），则h′（x）=，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，函数h（x）递增；当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）递减．所以当x＞0时，h（x）max=h（e）=，∴a＞．∵h（x）无最小值，∴f（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立不可能．∵f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴g（x）=e x﹣ax＞0，即a＜对x∈（0，+∞）恒成立．设H（x）=，∴H′（x）=，当0＜x＜1时，H'（x）＜0，函数H（x）递减；当x＞1时，H'（x）＞0，函数H（x）递增，所以当x＞0时，H（x）min=H（1）=e，∴a＜e．综上可得，＜a＜e．[选做题]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…[选做题]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）化简曲线方程C，可得ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，结合ρsinθ=y，ρcosθ=x，即可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ=2cosθ+2sinθ﹣2sinθ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，又∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得，l的普通方程为y=（x+2），即x﹣+2=0，∴圆C的圆心到l的距离为d==，∴|PQ|的最小值为d﹣1=﹣1，∴|PQ|的取值范围为[﹣1，+∞）．[选做题]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2020年9月7日。

广西桂林十八中2021届高三数学第十次（适应性）月考试题 理（含解析）一、选择题1. 已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，UA =（ ）A. {}2,7B. {}1,2,7C. {}2,7,8D. {}1,2,7,8【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得UA .【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以UA ={}2,7.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2. 若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A.163i B. 6i C.203i D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++- ∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（ ） A. 7 B. 10C. 63D. 18【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合等差中项性质即可得到答案. 【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 所以311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+， 所以111133252814a d a a d a d +-++=+=， 所以147a d +=，即57a =， 所以1995()99632a a S a +⨯===..故选：C.【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，属于基础题.4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B. 考点：1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.5. 以双曲线2213y x -=的右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）A. ()2223x y +-= B. ()2229x y -+= C. ()2223x y -+= D. ()2223x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点坐标和渐近线方程，进而求出圆的半径，进而可得结果.【详解】3213y x -=，其中2221,3,4,2==∴==a b c c ，右焦点(2,0)渐近线方程为：y =，右焦点(2,0)到直线y =的距离为：2d == 圆的方程为：22(2)3x y -+=故选：C【点睛】本题考查了双曲线的方程和几何性质，圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于一般题目. 6. 已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A.23B.29C. 13-D. 49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 7. 若323log a = ，1ln2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c ＞b ＞a B. c ＞a ＞bC. b ＞a ＞cD. a ＞c ＞b【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解． 【详解】因为31323330log log log 1a =<=<=，1lnln102b =<=， 0.200.60.61c -=>=，所以c ＞a ＞b ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 8. 已知在边长为3的等边ABC ∆中，12BD DC =，则AD AC ⋅=（ ） A. 6 B. 9C. 12D. －6【答案】A 【解析】 【分析】转化1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅,利用数量积的定义即得解. 【详解】1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅13AB AC B AC C =⋅+⋅1||||cos ||||cos 3AB AC A AC C BC =⋅+⋅11133336232=⋅⋅+⋅⋅⋅=故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9. 函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可. 【详解】解：由ln 0x ≠得，0x >且1x ≠， 当01x <<时，ln 0x <此0y <时，排除B,C函数的导数'2212ln 22ln 2()(ln )(ln )x x x x f x x x -⋅-==，由'()0f x >得ln 1x >，即x e >时函数单调递增，由'()0f x <得ln 1x <且1x ≠，即01x <<或1x e <<时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题. 10. 函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A. ()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B. ()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C. ()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 D. ()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，求出2A =，再由()()12f x f x =，结合题中图像，得到12222x x πϕ+⎛⎫+=⎪⎝⎭，再由()123f x x +=，求出3πϕ=，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】由题中图像可知2A =，由图像，因为对不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()12f x f x =，易知函数在122x x x +=取到最大值， 所以12222x x πϕ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故122x x πϕ+=-，又()123f x x +， 故()()122sin 23x x ϕ++=，得()3sin 22πϕϕ-+=， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；故C 选项正确，ABD 都错； 故选：C.【点睛】本题主要考查由三角函数的图像确定函数解析式，求函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.11. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎫⎪⎪⎣⎭ D. ⎛ ⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即FA FP =，可求得FA a =，2a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥， 故三角形AFP 为等腰三角形，即FA FP =，且FA a ==由于P 在直线2a x c =上，故2a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥解得：e ≥e ≤01e <<故112e >≥ 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12. 若关于x 的不等式e 2x﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [0，2e ] B. （﹣∞，2e ]C. [0，2e 2]D. （﹣∞，2e 2]【答案】C 【解析】 【分析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m，可得所求范围．【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意； 当a ＝0时，e 2x ﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()'f x ＝2e 2x a x-， 由于y ＝2e 2xax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设()'f x ＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()'f x ＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()'f x ＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m﹣a ln m ， 由题意可得e 2m ﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ， 化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增.则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题13. 函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是________.【答案】y x = 【解析】 【分析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数()xf x xe =，求导可得()'(1)x f x x e =+，所以()'01f=，又()00f =，即函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是01(0)y x -=⨯-，即y x =，故答案为：y x =.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14. ()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________. 【答案】31 【解析】 【分析】由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为521x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式得通项为()5515=-12r r r r r T C x --+⋅⋅，则()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为： ()()45455531114C C ⨯-+-=，得解. 【详解】解：()5515=-12rrr r r T C x --+⋅⋅，则()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为： ()()451405553121231C C ⨯-⋅⋅--⋅⋅=.故答案为：31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.15. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，则事件A 的概率()P A =______． 【答案】332【解析】 【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】因为四名同学，每人限报四个项目中的其中一项，每人均有4种选择，共44256=种情况；事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，因此事件A 包含的基本事件个数为4424A =种，因此事件A 的概率()24325632P A ==. 故答案为：332. 【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记公式即可，属于常考题型.16. 的球面上有三点,,A B C ，AB =O ，二面角-C AB O -的大小为60°，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥O ABC -的体积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】先表示出二面角-C AB O -的平面角，结合长度及垂直关系求出三棱锥O ABC -的高，及底面积的最大值，代入体积公式可求体积.【详解】设ABC 所在截面圆的圆心为1,O AB 的中点为D, 连接1,OD O D ， 因为OA OB =，所以⊥OD AB ，同理1O D AB ⊥，所以1ODO ∠即为二面角C AB O --的平面角， 即160ODO ∠=；因为7,23OA OB AB ===，所以2OD =在1Rt ODO △中，13sin 60OO OD ==，11cos 602O D OD ==，所以13OO =，11O D =; 所以22112O A O D AD =+=;当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，1,,C O D 三点共线，ABC 的面积为1233332S =⨯⨯=， 此时三棱锥O ABC -的体积为111333333V S OO =⋅=⨯⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查多面体和球的组合问题，综合了二面角，线面角及三棱锥的体积，综合性强，稍有难度，侧重考查数学运算及直观想象的核心素养. 三、解答题17. 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（Ⅱ）连结PF ，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF ⊥底面ABCD ，这样可以建立以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）//BC DF∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥.又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，BF ⊂面ABCD BF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ，11sin3n PC nPCπ⋅∴=⋅，=t ∴=(P ∴，11,,222E ⎛- ⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，2211602220n FEx y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =.设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为7-.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.18. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，cos 2cos C a cB b-=． （1）求b 的最小值；（2）若a b <，2b =，求cos 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）32；（2）74. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，进而得到cos B ，再结合余弦定理和基本不等式，即可求解；（2）由（1）和由正弦定理和3a c +=，求得2sin sin 333A A π⎡⎤⎛⎫⨯+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】（1）在ABC 中，满足cos 2cos C a cB b-=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=．又由()2222293939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-=⎪⎝⎭．当且仅当32a c ==时，等号成立，故b 的最小值为32．（2）由（1）可得2sin b R B ==，又由正弦定理知sin sin sin 3a b c A B C ===，所以a A =，c C =，因为3a c +=2sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 整理可得3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 又a b <，3B π=，所以3A π<，故662A πππ<+<，所以cos 6A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及三角函数与三角恒等变换的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19. “一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A ，B ，C 的开发.（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A 的百件利润为400元，饮品B 的百件利润为300元，饮品C 的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润；（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C 进行加工工艺的改进和饮品D 的研发.已知工艺改进成功的概率为45，开发新饮品成功的概率为13，且工艺改进与饮品研发相互独立； （ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利ξ的数学期望. 【答案】（1）415元；（2）（ⅰ）35；（ⅱ）1843. 【解析】 【分析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A 、选择饮品B 、选择饮品C 的的频率，从而可计算总体的百件利润平均值.（2）（ⅰ）设饮品工艺改进成功为事件A ，新品研发成功为事件B ，事件M 为工艺改进和新品研发恰有一项成功，则()()()P M P AB P BA =+，从而可计算工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率. （ⅱ）求出ξ的分布列后可求ξ的数学期望.【详解】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A 的频率为350.35100=， 选择饮品B 的频率为450.45100=， 选择饮品C 的频率为200.20100=； 由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品A 的概率为350.35100=， 选择饮品B 的概率为450.45100=选择饮品C的概率为200.20100=； 则可以得到总体的百件利润平均值为4000.353000.457000.20415⨯+⨯+⨯=元. （2）（i ）设饮品工艺改进成功为事件A ，新品研发成功为事件B ， 依题意可知事件A 与事件B 相互独立，事件M 为工艺改进和新品研发恰有一项成功. 则()()()1142353535P M P AB P BA =+=⨯+⨯=. （ⅱ）由题意知企业获利ξ的取值为100-，10，120，230， 则()1221005315P ξ=-=⨯=，()428105315P ξ==⨯=， ()1111205315P ξ==⨯=，()4142305315P ξ==⨯=.故ξ的分布列如下：所以()281418410010120230151515153E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查条形图的应用以及独立事件的概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，本题属于中档题.20. 设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）设点()00,A x y ，由线段AF 的中点坐标可得出点A 的坐标，再代入抛物线E 的标准方程可得出关于p 的方程，解出正数p 的值，即可得出抛物线E 的标准方程；（2）设点211,4y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出直线AB 的斜率，进而求出直线BC 的方程，将直线BC 的方程与抛物线E 的标准方程联立，可得出()21122160x x x x ++++=，可知该方程有解，由0∆≥可求得x 的取值范围，并进行检验，由此可得出点C 的横坐标的取值范围.【详解】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了由直线垂直求抛物线上的点的横坐标的取值范围，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数()()ln f x a x b =+（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 的极值点的个数. 【答案】（1）()max 2ln 22f x =-；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =()f x 的单调性即可；（2）求出fx ，然后分0a ≤、0a <≤、a >.【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =此时，函数()f x 的定义域为0,，()1f x x '==由0fx 得：04x <<；由0f x 得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减. 所以()()max 42ln 22f x f ==-，（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，0f x对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤时，()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为12,x x ，0a =>0b =>，所以12,x x 都大于0， 即fx 在0,上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、最值和极值点，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,22sin 6π1,π.2θθρθ≤<⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线C 与曲线1sin 2ρθ=交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1π4；（2【解析】 【分析】（1）利用互化公式，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1（2）联立方程组，分别求出A 和B 的坐标，即可求出AB .【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为π,22sin 6π1,π.2θθρθ≤<⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩， 根据互化公式得，曲线C 的直角坐标方程为：当0x <≤0x -=，当10x -≤≤时，221x y +=， 则曲线C 与极轴所在直线围成的图形， 是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1∴围成图形的面积1π4S =.（2）由11sin 2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A ⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 2ρθ=化直角坐标方程为12y =， 3π2sin 6ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为33x y += ∴312B ⎫⎪⎝⎭， ∴33322AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23. 已知0m n >>，函数1()()f x x n m n =+-.（1）若4m =，1n =，求不等式()6f x >的解集； （2）求证：2()4f x x m --.【答案】（1）1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入4m =，1n =，转化163x +>为163x +>或163x +<-，即得解； （2）利用绝对值不等式的性质，可得到优质资料\word 可编辑21 / 2121()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---，再借助均值不等式()2(n m n n m +--214()n m n m -，即222144()m m n m n m ++-，可得证 【详解】（1）依题意，1()3f x x =+， 则11()66633f x x x >⇔+>⇔+>或163x +<-， 解得173x >或193x <-， 故不等式()6f x >的解集为1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或. （2）依题意，221()44()f x x m x x m n m n --⇔++--，因为()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---， ()2(m n m n n m =+--，故214()n m n m -，故222144()m m n m n m ++-，当且仅当m =，n =时等号成立. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，绝对值不等式的性质和均值不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

高三理综物理答案二、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但14 15 16 17 18 19 20 21B B D B D BD ABC BC必须做答。

第33题~第38题为选考题，考生根据要求做答。

）22.（1）3.750（3.748—3.752mm 均可给分）（2）光电门A 、B 之间的距离x（3））（212221-12-t t xg d mg F ∆∆ 23.（1）R 0；甲；E 2（2）偏小（3）24.（1）MN 刚扫过金属杆时，杆上产生的感应电动势为：0Bdv E =感应电流：RE I =R Bdv I 0= （2）MN 刚扫过金属杆时，杆受到的安培力为：BId F =由牛顿第二定律：ma F =mRv d B a 22= （3）PQ 刚要离开金属杆时，金属杆切割磁感线的速度为：v v v -0='则感应电动势为：）（v v Bd E -0='Rv v d B P ）（-022= 25.（1）当恒力F =0N 时，物块恰不会从木板的右端滑下。

设最终物块和木板的速度为v ， 对木板和物块组成的系统由动能定理得：μmgL mv v m M -21-2102=+）（ 由动量守恒得：(M +m )v =mv 0解得Ｌ=0.5m（2）当F =0N 时，物块恰能滑到木板的右端，且两者正好达到共同速度，物块和木板保持相对静止，一起运动；当F 继续增大时，物块减速、木板加速，两者在木板上某一位置具有共同速度；当两者共速后能保持相对静止（静摩擦力作用）一起以相同加速度a 做匀加速运动，则：mM F a +=；f=ma 由于静摩擦力存在最大值，所以：f ≤f max =umg =2N0≤F ≤4N（3）当0≤F ≤4N 时，最终两物体达到共速，并最后一起相对静止做加速运动，对应图（b ）中的AB 段；当F >4N 时对应图（b ）中的CD 段，当量物体达到共速时，F 继续增大，此时物块相对于木板向左运动，木板上物块相对于木板滑动的路程为：s=2x ∆当两者具有共同速度v 时，历时t ，则有：2+=+=F Mμmg F a M 22m/s g μa m == 根据速度时间关系得：v 0-a m t =a M t根据位移关系可得：22021-21-t a t a t v x M m =∆ 可得CD 段的-F s 1函数关系式为：441+=F s 33. （1）BDE （2）101；吸热 34.（1）变大；122+r h（2）①4m/s ；②10cm。

广西壮族自治区桂林市第十八中2025届高考数学全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)2．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-3．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．14．已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B 21C 25D ．435．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．196．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．17．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②8．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．39．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R10．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．411．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．2D ．－212．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期期中考试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. sin3π=（ ）A. 12B. 12-C. D. C根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.sin32π=. 故选：C. 2. 命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ）A. “若4a π≠"，则tan 1a ≠”B. “若4a π≠"，则tan 1a =”C. “若4a π=，则tan 1a ≠” D. “若tan 1a ≠，则4a π≠”A根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可. 根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题：若4a π=，则tan 1a =的否命题是：若4a π≠，则tan 1a ≠.故选：A.由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±，故选D ．4. 已知向量()2,1a =，()1,3b =，则=a b +（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25B由向量()2,1a =，()1,3b =，求得a b +的坐标，再利用平面向量的模公式求解. 因为向量()2,1a =，()1,3b =， 所以()3,4a b +=，所以22=345a b ++=，故选：B5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，3510a a +=，如7a =（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11A根据题中条件，由等差数列的性质，可直接得出结果. 因为{}n a 为等差数列，12a =，3510a a +=， 由等差数列的性质可得173510a a a a +=+=， 所以78a =. 故选：A.6. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A. 2 B. 3C. 2D. 3D由余弦定理得，解得（舍去），故选D .【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！7. 已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<A试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.8. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b>，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<.下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝A对于命题p ，当1,1a b ==-时，a b >且11a b>成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，∵sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，，故x R ∀∈，3sin cos 2x x +<为真命题，由以上可得p q ∧为真，故选A.9. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，()26482a a a =-，则7S =（ ） A. 6122-B. 7122-C. 612-D. 712-A由题中条件，求出等比数列的公比，再由求和公式，即可求出结果. 设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为112a =，()26482a a a =-，则()42482a a =-，即4241086a a -+=，解得44a =，所以3418a q a ==，则2q ，所以()()7716711211221122a q S q--===---.故选：A.10. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为（ ）A. 36B. 16C. 8D. 4C巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.11. 下列三个关于函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的命题：①只需将函数()2g x x =的图象向右平移6π个单位即可得到()f x 的图象；②函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中，真命题个数为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0C先对函数()f x 进行化简，得到()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于①运用三角函数图像平移进行判断；对于②计算出函数()f x 的对称中心进行判断；对于③计算出函数()f x 的单调增区间进行判断.因为1()sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2322f x x x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭3sin 2222x x =-26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①，将函数()2g x x =的图像向右平移6π个单位可得函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，得不到()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故①错误；对于②，令()26x k k Z ππ-=∈，解得()122k x k Z ππ=+∈，故无论k 取何整数，函数()f x 的图像不会关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故②错误；对于③，当()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时函数()f x 递增，当0k =时，()f x 的一个递增区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故③正确.只有1个命题正确.故选：C215先根据数列的前n 项和求出n a ，再由裂项相消法，即可求出结果. 因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，所以当2n ≥时，()()()221212121n n n n n n S n a n S -=-⎡⎤+--+-=+⎣⎦=， 又113a S ==也满足上式，所以21n a n =+，n *∈N ， 则()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭，因此数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前6项和是12236711111111111112 (235571315231515)a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭.故答案为：215.15在三角形PDE中由余弦定理得3cos2θ=，可求出43πθ=，最后在Rt PEA∆中，即可求解，得到答案．由题意，因为2CPD EDP DCPθθθ∠=∠-∠=-=，∴30PD CD==，422DPE AEP EDPθθθ∠=∠-∠=-=，∴103PE DE==，在三角形PDE中由余弦定理得222cos22PD DE PEPD DEθ+-==⋅))222301031033230103+-=⨯⨯，∴26πθ=，∴43πθ=，∴sin4PAPEθ=，∴3sin4103152PA PEθ=⋅=⨯=．故答案为15米．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.17. 集合{}()(3)0,0A x x a x a a=--，21xB xx-⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭．（1）若1a=，求RA B；（2）已知命题:p x A∈；命题:q x B∈，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．（1）[)2,3；（2）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）根据1a=，分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可得出结果；（2）先化简两集合，根据题中条件，得到B A ，列出不等式求解，即可得出结果. （1）当1a =时，{}()(1)(3)01,3A x x x =--<=，()201,21x B x x -⎧⎫=<=⎨⎬-⎩⎭，∴(,1][2,)R B =-∞⋃+∞，∴)([2,3)RA B ⋂=；（2）∵0a >，∴{}()(3)0,0(,3)A x x a x a a a a =--=，(1,2)B =， ∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A ．由B A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩（等号不同时成立），解得213a ≤≤，∴实数a 的取值范围2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18. 设12,F F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左，右两个焦点，C 上的点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和等于4． （1）求C 的方程和焦点坐标；（2）若直线y x m =+与C 只有一个公共点，求实数m 的值．（1）22143x y +=，焦点坐标为(1,0)±；（2）m =（1）根据椭圆的定义以及椭圆过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）联立直线与椭圆方程，利用0∆=，即可求出m 的值.解：（1）由题意知：22241914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1c =，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=，焦点坐标为(1,0)±；（2）联立22,1,43y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22784120x mx m ++-=，∵直线y x m =+与椭圆C 只有一个交点，∴()22Δ(8)474120m m =-⨯⨯-=，即270m -=，解得：m = 19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos 0b A B =.（1）求B ；（2）若ABC的周长为8+b =，求ABC 的面积. （1）23B π=；（2）（1）根据sin cos 0b A B =，利用正弦定理化简可得sin 0B B +=求解.（2）结合（1），利用余弦定理知2248a c ac ++=，再结合8a c +=求得ac ，再代入三角形面积公式求解.（1）因为sin cos 0b A B =，由正弦定理得sin sin sin 0B A A B +=， ∵sin 0A ≠，所以tan B = 又(0,)B π∈， ∴23B π=. （2）由余弦定理知222222cos 48b a c ac B a c ac =+-=++=， 由题意可知8a c +=，而222()24864a c a c ac ac +=++=+=， ∴16ac =，∴1sin 2ABC S ac B ==△20. 已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=．（1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22+=-⋅+n n S n . （1）将1122n n n a a ++-=， 变形为11122n nn na a ++-=，再利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到 2nn a n =⋅，再利用错位相减法求解. （1）∵1122n n n a a ++-=，∴11122n nn na a ++-=， 又∵112a =， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列；∴2nn a n =，2n n a n =⋅ （2）由（1）知2nn a n =⋅，所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯，231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯，两式相减得：23122222n n n S n +-=+++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，∴1(1)22+=-⋅+n n S n(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．21. 森林失火，火势以每分钟2100 m 的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火250 m ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁21 m 的森林损失费为60元，设消防队派x 名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用n 分钟． （1）求出x 与n 的关系式；（2）求x 为何值时，才能使总损失最少． （1）10(2)2n x x =>-；（2）27. （1）设派x 名消防员前去救火，用n 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则510010501002n x x ⨯==--；（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和，利用基本不等式即可求出最值．（1）由已知可得5010()05nx n =+， 所以10(2)2n x x =>-． （2）设总损失为y 元，则600050(125)10y n x nx +=++1012506000510022x x x x ⎛⎫=+++ ⎪--⎝⎭62500100(2)314502x x =+-+-3145036450≥=，当且仅当62500100(2)2x x =--，即27x =时，y 取最小值． 答：需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36450元．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F △是直角三角形，求a 的值；（2）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB 的面积为定值．（1）2a =；（2）证明见解析 .（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，则短轴与焦距相等，即1b c ==，结合222a b c =+即可求得a 的值；（2）讨论l 存在与不存在：a.当直线l 斜率存在，通过条件解出点A 坐标，将OAB 的面积用点A 坐标算出来；b.当直线l 斜率不存在，设出直线:l y kx m =+方程，联立椭圆方程消去y ，用设而不求法将弦长AB 表示出来，将点O 到直线l的距离d 用距离公式表示出来，根据面积公式1||2S AB d =⋅，结合14OA OB k k ⋅=-化简即可. 解：（1）由题知12MF F △是等腰直角三角形，且1b =，∴1b c ==，所以2222a b c =+=，解得2a =，故2a =．（2）证明：当2a =时，椭圆方程2244x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ， 由14OA OB k k ⋅=-知121214y y x x ⋅=-即12124x x y y =-， ①若直线l 垂直于x 轴，则OA OB k k =-，不妨设110,0x y >>此时，2111,24OA k x y ==又221144x y +=解得1122,2x y == 122212OABS =⨯⨯⨯= ②若直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+由22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩整理得()222148440k x kmx m +++-=， 22Δ6416160k m =-+>，所以2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484141414m km m k k km m k k k ---=++=+++， 所以2222244441414m m k k k--=-⨯++，所以22241m k -=，即22214m k =+ 所以()221212||14AB k x x x x =++-222222222844412114141414||km m k m k k k k k m --++⎛⎫=+-⨯== ⎪+++⎝⎭因为O 到直线y kx m =+的距离21d k =+，所以221121||122||1OAB k S AB d m k+=⨯⨯=⨯⨯=+， 综上，AOB 面积为定值1．【点睛】直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.。

桂林市第十八中学17级高三第一次月考数学(文科)命题人:常路 审题人:刘世荣注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：120分钟。

答卷前，考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2.若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3.设,a b 为非零向量,则“//a b ”是“a 与b 方向相同”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A.725 B.725- C.2425D.2425-5.运行如图所示的程序框图,则输出的a 的值为( )A.13B.14C.15D.166.已知向量,a b 满足||2a =,||1b =,且||2b a +=,则向量a 与b 的夹角的余弦值为( )A.2B.3C .8D.47.函数()ln f x x x=的图像可能是( )A.B. C. D.8.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移4π个单位,所得函数图像的一条对称轴的方程为( )A.3x π= B.6x π=C.12x π=D.12x π=-9.设E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点,且AB=2,EF=1,给出下列四个命题: ①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°;③11D B ⊥平面1B EF ;④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60°.其中正确的命题为: ( )A.①②B.②③C.②④D.①④10.若函数()ln f x kx x =-在区间()1+∞，单调递增,则k 的取值范围是( ) A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞11.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ , 若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )11212.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >>二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最大值为_______.15.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知374S =,6634S =,则8a =______.16.已知球的直径4DC =,,A B 是该球面上的两点,6ADC BDC π∠=∠=,则三棱锥A BCD -的体积最大值是________.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin 2sin a B A =. ⑴求角B; ⑵若1cos 3A =,求sin C 的值.18.(12分)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组:第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),并绘制出如下的频率分布直方图.⑴若用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本,求a 的值和样本中完成年度任务的销售员人数;⑵从⑴中样本内完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.19.(12分)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E 分别为AB,PB 的中点,且ED ⊥AB,PA ⊥AC,PC ⊥BC.⑴求证:BC ⊥平面PAC;⑵若PA=2BC 且AB=EA,三棱锥P-ABC 的体积为1,求点B 到平面DCE 的距离.20.(12分)已知点33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)上,且点M 到C 的左,右焦点的距离之和为.⑴求C 的方程;⑵设O 为坐标原点,若C 的弦AB 的中点在线段OM (不含端点O ,M )上,求OA OB ⋅的取值范围.21.(12分)设函数2()2ln 2f x x x ax =-++.⑴当3a =时,求()f x 的单调区间和极值;⑵若直线1y x =-+是曲线()y f x =的切线,求a 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨+⎩>=⎪⎪为参数,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. ⑴求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;⑵若直线l 与x 轴交于点P,与曲线C 交于点A,B,且1PA PB ⋅=,求实数m 的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()212 3.f x x x =-++ ⑴解不等式()6f x ≥;⑵记()f x 的最小值是m ,正实数,a b 满足2+2ab a b m +=,求2a b +的最小值.桂林市第十八中学17级高三第一次月考数学(理科)答案一.选择题解析:5.9.12.二.填空题解析:16.三.解答题17.解：⑴在ABC ∆中,由sin sin a bA B=,可得sin sin a B b A =,又由sin 2sin a B A =,得2sin cos sin sin a B B A B ==,∴cos 2B =,得6B π=.⑵由1cos 3A =,可得sin A =,则()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦1sin()cos 62A A A π=+=+=.18.解：⑴∵(0.020.080.092)41a +++⨯=,∴0.03a =.样本中完成年度任务的人数为6.⑵样本中完成年度任务的销售员中,第4组有3人,记这3人分别为1A ,2A ,3A ;第5组有3人,记这3人分别为1B ,2B ,3B ;从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为12A A ,13A A ,11A B ,12A B ,13A B ,23A A ,21A B ,22A B ,23A B ,31A B ,32A B ,33A B ,12B B ,13B B ,23B B ,共有15个基本事件.获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个,故所求概率为62155=.19.20.⑴当3a =时,2()2ln 32f x x x x =-++,所以22232'()23x x f x x x x -++=-+=. 令2232'()0x x f x x-++==,得22320x x -++=,因为0x >,所以2x =. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(0,2),单调递减区间(2)+∞，. ()f x 有极大值2ln 24+,()f x 无极小值.…………6分⑵因为2()2ln 2f x x x ax =-++,所以2'()2f x x a x=-+. 设直线1y x =-+与曲线()y f x =的切点为(00,()x f x ),所以2000000222'()21x ax f x x a x x -++=-+==-,即2002(1)20x a x -+-=. 又因为200000()2ln 21f x x x ax x =-++=-+,即20002ln (1)10x x a x -+++=所以2002ln 10x x +-=. 设2()2ln 1g x x x =+-,因为22(1)'()0(0)x g x x x+=>>, 所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 所以()g x 在区间(0,)+∞上有且只有唯一的零点.所以(1)0g =,即01x =.所以1a =-. …………12分22.解:⑴直线l 的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨=+⎩>=⎪⎪为参数,消去参数t 可得x m =+. 由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=,可得C 的直角坐标方程：222x y x +=.⑵把()12x m t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=为参数,代入222x y x +=,得2220t t m m ++-=. 由0∆>,解得13m -<<,∴2122t t m m =-,∵121PA PB t t ⋅==,∴221m m -=±,解得1m =或1.又满足0∆>,0m >,∴实数1m =或1.23解:⑴当32x ≤-时,()24f x x =--,由()6f x ≥.解得2x ≤-,综合得2x ≤-; 当3122x -<<时,()4f x =,显然()6f x ≥不成立; 当12x ≥时,()42f x x =+,由()6f x ≥解得1x ≥,综合得1x ≥. ∴()6f x ≥的解集是]([),21,-∞-+∞.⑵()()()212321234,f x x x x x =-++≥--+=即()f x 的最小值4m =. ∵222(),2a b a b +⋅≤由2+24ab a b +=可得()2242()2a b a b +-+≤(当且仅当2a b =时取等号),解得22a b +≥(负值舍去),∴2a b +的最小值为2.。

2019-2020学年广西壮族自治区桂林市第十八中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|(x 1)(x 4)0,|2A x B x x ，=--<=≤则AB = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【答案】D【解析】求得集合{|14}A x x =<<，根据集合的交集的概念及运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合{}{}|(1)(4)0{|14},|2A x x x x x B x x =--<=<<=≤， 所以{|12}(1,2]AB x x =<≤=，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集的概念，以及正确求解集合A 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若α是第三象限角，且1tan 3α=，则cos α=（ ） A． B． CD． 【答案】B【解析】试题分析：因为α是第三象限角，所以cos 0α<，由同角三角函数的基本关系式可得cos 10α=====-，故选B ．【考点】同角三角函数的基本关系式．3．若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则cos()A C += A ．12BC ．12-D． 【答案】C【解析】【详解】由2,180A C B A B C +=++=︒，得60B =︒， 故1cos()cos120cos602A C +=︒=-︒=-,故选C. 【考点】本题考查内角和定理、等差中项的概念、两角和与差的三角函数公式、诱导公式.点评：基本题型，综合考查等差中项的概念、两角和与差的三角函数公式、诱导公式等. 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C =种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ．【考点】古典概型．5．在ABC ∆中，若2,30,a b A ===︒则B 等于（ ） A ．30° B ．30150︒︒或C ．60︒D ．60120︒︒或【答案】D【解析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且(0,180)B ∈，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a b A B=，即sin sin sin 30b B A a ==︒=， 又由a b <，且(0,180)B ∈，所以60B =︒或120B =︒，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．设,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由11x y y +=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A -，所以目标函数的最大值为max 2213z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 7．已知4cos(),45πα+=则sin 2α= （ ） A ．725B ．925C ．925-D ．725-【答案】D【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2sin 2cos(2)[2cos ()1]24ππααα=-+=-+-，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得2sin 2cos(2)cos[2()][2cos ()1]244πππαααα=-+=-+=-+- 247[2()1]525=-⨯-=-，故选D.【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中合理使用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．设数列{}n a 为等差数列，且其前n 项和为n S .若81126a a =+数列，则9S =（ ） A ．40 B ．54C ．80D ．96【答案】B【解析】由81126a a =+，整理得146a d +=，得到56a =，又由19959()92a a S a +==，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，因为81126a a =+，所以112(7)610a d a d +=++，整理得146a d +=，即56a =， 又由195959()9295422a a a S a +⨯====，故选B. 【点睛】本题主要考查了通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．若对任意20,31xx a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1[,)3+∞ B ．1(,)3+∞C ．1(,)5+∞D ．1[,)5+∞【答案】D【解析】利用基本不等式求得231xx x ++的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对任意0x >，则有221111313153x x x x x x x x ==≤=++++++， 当且仅当1x x =时，即1x =时，等号成立，即231xx x ++的最大值为15， 又由对任意0x >时，231x a x x ≤++恒成立，所以15a ≥，即a 的取值范围为1[,)5+∞，故选D. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中利用不等式求得231xx x ++的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为A ．2B ．2C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则11111,1222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯=112ACD S =⨯=，故选B .【考点】1.三视图；2.几何体的表面积. 11．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1266363780S S S S S S ---⋅-=，且正整数m,n 满足31252m n a a a a =， 则18m n +的最小值是（ ） A ．53B ．95C ．157D ．75【答案】A【解析】由题设，求得正项等比数列{}n a 的公比为2q =，进而根据等比数列通项公式，化简得215m n +=，结合基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】设正项的等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，因为1266363780S S S S S S ---⋅-=，所以63780q q --=， 解得2q =或1q =-（舍去），若正整数,m n 满足31252m n a a a a =，则1214311112()m n a a qa q a q --=，整理得215m n +=，则181821728175()()151********m n n m m n m n m n ++=+=++≥+=， 当且仅当281515n mm n =，即3,6m n ==时等号成立， 所以18m n +的最小值为53，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，以及基本不等式的应用，涉及到不等式与数列的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得到,a b p ab q +==，再由,,2a b -三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出关于,a b 的方程组，即可求解. 【详解】由题意，若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点， 可得,a b p ab q +==，因为0,0p q >>，可得0,0a b >>，又,,2a b -三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩或224a b ab =-⎧⎨=⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩，所以5,144p a b q =+==⨯=，则9p q +=，故选C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及等差数列和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用一元二次方程的根和系数的关系和等差、等比数列的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(1,)b m =，若//a b ，则实数m 等于_________ 【答案】12【解析】根据向量的共线的条件，得到211m ⨯=⨯，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(1,)b m =，因为//a b ，所以211m ⨯=⨯，解得12m =. 【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共线的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．已知(sin ,cos )P αα为直线20x y -=上一点，则1sin 2cos 2αα+ 的值是 _____【答案】3【解析】由题意，得到2sin cos 0αα-=，即1tan 2α=，再利用三角函数的基本关系式和正弦、余弦的倍角公式，化为“齐次式”，代入即可求解，得到答案. 【详解】由题意，点(sin ,cos )P αα为直线20x y -=上一点， 所以2sin cos 0αα-=，即1tan 2α=， 又由2222221sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan cos 2cos sin 1tan ααααααααααα+++++==--2211()1222311()2++⨯==-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简、求值问题，其中解答中利用三角函数的基本关系式和倍角公式，化简为“齐次式”是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______． 【答案】4nn 1+ 【解析】运用等差数列的求和公式可得()n 11na n n 1n 122=⋅+=+，可得()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】 解：()n 12n 11na n n 1n 1n 1n 1n 122=++⋯+=⋅+=++++， 则()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭14n 41n 1n 1⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 故答案为4nn 1+． 【点睛】本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 16．在ABC 中三个内角A,B,∠∠∠C,所对的边分别是a ，b ，c ，若（b+2sinC ）cosA=-2sinAcosC,且ABC 面积的最大值是________【解析】运用两角和的正弦公式逆用，然后结合正弦定理、余弦定理进行化简，最后运用不等式求出面积最大值 【详解】()22b sinC cosA sinAcosC +=-()()22sin 2bcosA sinCcosA sinAcosC A C sinB ∴=-+=-+=-则2b sinB cosA -=，结合正弦定理得2a cosA sinA -==即t a n A =2A 3∠π= 由余弦定理得222122b c a cosA bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤11422ABCSbcsinA =≤⨯=【点睛】本题为求三角形面积的最大值，较为综合，考查了正弦定理、余弦定理和均值不等式，注意两角和公式逆用还有诱导公式的化简，整体计算需要把握好。