数学物理方法期末复习纲要

复习提纲第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面4、空间旋转面（柱面）具体内容函数收敛比如函数的极限是a,那么我们可以叫他为函数收敛于 a 性质如果函数收敛那么极限唯一。

如果函数收敛它一定有界（有界是指函数定义域存在一个数使得函数值的绝对值大于等于这个数）。

绕口令：函数有界是函数收敛的必要条件（因为可能极限不存在）证明极限的方法1求函数极限的方法定义证明设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。

记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）2利用左右极限左右极限存在并相等。

3利用极限存在准则一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。

二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。

4利用两个重要极限1）x->0时，sinx/x=1 2）x->无穷时，(1+1/x)^x=e x趋近0的时候5极限的运算法则。

第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。

注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。

例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。

在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。

某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。

因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。

一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。

积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。

《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。

本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。

为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。

本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。

本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。

二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。

参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。

三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。

2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。

u 。

3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。

2、掌握应用原函数法计算积分。

3、掌握柯西公式计算积分。

第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。

2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。

3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。

4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。

第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。

数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。

所定义的物理量则称为场函数。

如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。

如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。

一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。

平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。

平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。

平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。

平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。

其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。

),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。

要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。

典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。

函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。

物理期末考试复习提纲专题一：运动的描述【知识要点】1.质点（A）（1）没有形状、大小，而具有质量的点。

（2）质点是一个理想化的物理模型，实际并不存在。

（3）一个物体能否看成质点，并不取决于这个物体的大小，而是看在所研究的问题中物体的形状、大小和物体上各部分运动情况的差异是否为可以忽略的次要因素，要具体问题具体分析。

2.参考系（A）（1）物体相对于其他物体的位置变化，叫做机械运动，简称运动。

（2）在描述一个物体运动时，选来作为标准的（假定不动的）另外的物体，叫做参考系。

对参考系应明确以下几点：①对同一运动物体，选取不同的物体作参考系时，对物体的观察结果往往不同。

②在研究实际问题时，选取参考系的基本原则是能对研究对象的运动情况的描述得到尽量的简化。

3.路程和位移（A）（1）位移是表示质点位置变化的物理量。

路程是质点运动轨迹的长度。

（2）位移是矢量，用以初位置指向末位置的一条有向线段来表示。

位移的大小等于物体的初位置到末位置的直线距离，方向与速度即运动方向无直接关系。

路程是标量，它是质点运动轨迹的长度，与运动路径有关。

（3）当质点做单向直线运动时，路程与位移的大小相等。

4、速度、平均速度和瞬时速度（A）（1）速度：t 的比值。

即v=s/t。

速m/s）米/ 秒。

（2）平均速度=总位移/总时间。

是矢量，其方向就是物体在这段时间内的位移的方向。

平均速率=总路程/总时间，是标量，平均速率不是平均速度的大小。

（3）瞬时速度是指运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，指某一时刻附近极短时间内的平均速度。

瞬时速率是瞬时速度的大小，简称速率。

5、匀速直线运动（A）（1）定义：物体在一条直线上运动，如果在任意相等的时间内位移相等，这种运动叫做匀速直线运动。

（2A）①位移图象（s-t 图象）就是以纵轴表示位移，以横轴表示时间而作出的反映物体运动规律的数学图象。

A、纵截距表示物体的初始位置。

B、倾斜直线表示物体作匀速直线运动，水平直线表示物体静止，曲线表示物体作变速直线运动。

物理期末考试复习提纲物理是理科的重点学科，而且学习起来又有一些难度。

所以必须要做好复习提纲，这样才能学好物理，下面我给大家共享一些高一物理期末考试复习提纲，盼望能够协助大家，欢送阅读!高一物理期末考试复习提纲一、曲线运动(1)曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

(2)曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。

曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断改变的。

做曲线运动的质点，其所受的合外力必须不为零，必须具有加速度。

(3)曲线运动物体所受合外力方向和速度方向不在始终线上，且必须指向曲线的凹侧。

二、运动的合成与分解1、深刻理解运动的合成与分解(1)物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由确定的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成;由确定的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

运动的合成与分解根本关系：1分运动的独立性;2运动的等效性(合运动和分运动是等效替代关系，不能并存);3运动的等时性;4运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定那么。

)(2)互成角度的两个分运动的合运动的判定合运动的状况取决于两分运动的速度的合速度与两分运动的加速度的合加速度，两者是否在同始终线上，在同始终线上作直线运动，不在同始终线上将作曲线运动。

①两个直线运动的合运动仍旧是匀速直线运动。

②一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动是曲线运动。

③两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍旧是匀加速直线运动。

④两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。

当两个分运动的初速度的合速度的方向与这两个分运动的合加速度方向在同始终线上时，合运动是匀加速直线运动，否那么是曲线运动。

2、怎样确定合运动和分运动①合运动必须是物体的实际运动②假如选择运动的物体作为参照物，那么参照物的运动和物体相对参照物的运动是分运动，物体相对地面的运动是合运动。

期末复习纲要 第一章知识要点1、质点：用来代表物体的有质量而无大小形状的点。

质点是理想化模型，现实生活中不存在。

物体可看作质点的条件：物体的大小形状对研究问题的影响可忽略不计。

例：关于质点，下列说法正确的是A. 研究地球的公转时可把地球看作质点，研究地球的自转时不可把地球看作质点B. 计算火车过桥时所用时间，火车可当成质点C. 研究体操运动员的空中姿态可以把运动员当作质点D. 运动员在百米赛跑时不可作为质点，在马拉松比赛时可作为质点2、参考系：为描述物体的运动而选来作为标准（假定不动）的另外的物体。

（1）要比较两个物体的运动情况，应选择同一参考系；（2）参考系可以任意选取，在研究地球表面物体的运动一般以地面或相对地面不动的物体为参考系。

例：描述一个物体的运动时，总要找参考系，以下说法正确的是( )A. 无风的雨天，坐在行驶的汽车里的人看到雨斜向下落向地面，是以地面上的房屋作为参考系的;B. “地球绕太阳运动”是以地球为参考系的;C. 坐在向东以8m/s 行驶的汽车里的人，以自己为参考系看向东以8m/s 行驶的汽车是静止的;D. 乘客坐在停在站台上的一列火车中，通过窗口看另一列火车时，以为自己的火车是在运动，这是由于他选择了另一火车为参考系的缘故。

3、坐标系：用来定量描述物体的位置变化。

坐标轴应有原点、正方向和单位长度。

中学物理常用的坐标系有一维坐标系和二维坐标系。

4、路程（标量）：质点运动轨迹的长度。

5、位移（矢量）：从初位置指向末位置的有向线段。

位移的大小为初位置到末位置的直线距离，位移的方向从初位置指向末位置。

（1）位移不可能等于路程；（2）位移大小可能等于路程（单向直线运动），其余所有情况位移大小小于路程。

例：某质点向东运动12m ，又向西运动20m ，又向北运动6m ，则它运动的路程和位移大小分别是：（ ）A ．2m 10m ； B.38m 10m ； C.14m 6m ； D.38m 6m例：一质点做匀变速直线运动，某一段位移内平均速度为V ，且已知前一半位移内平均速度为V 1，则后一半位移的平均速度V 2为：（ ）A ．112V V VV+ B.112V V VV- C.VV VV -1122 D.VV VV -1127、加速度（矢量）：速度的变化量和所用时间的比。