MathematikGliederung1) Zahlen2) Mengen3) Arithmetik4) Geometrie5) Funktionen6) Differentialrechnung7) Integralrechnung8) Lineare AlgebraZahlen: nochmal zum Einstieg10,000 - zehn tausend 100,000 - einhundert tausend 1,000,000 - eine Million 1,000,000,000 - eine Milliarde 1012 - eine Billion 1015 - eine BilliardeMengen: Die ZahlenmengenNatürliche Zahlen ℕ: {1,2,3,…}Ganze ZahlenGanze Zahlen ℤ: {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}Rationale Zahlen ℚ: {…,-⅓,..,⅝,…,1,…}Irrationale Zahlen I:{2,e, π,…}Reelle Zahlen ℝ= ℚ∪IMengenoperationenSchnittmenge: A ∩B Vereinigung: A ∪B Differenz: A\BArithmetik: Die GrundrechenartenAddition (Zusammenzählen): 5+7=12 Subtraktion (Abziehen): 10-8=2 Sprich: …fünf plus sieben ist gleich zwölf“Sprich: …zehn minus acht ist gleich zwei“Multiplikation (Vervielfachen): 3・6=18 Division (Teilen): 9:3=3Sprich: …drei mal sechs ist gleich achtzehn“Sprich: …neun geteilt durch drei ist gleich drei“ZählerNennerGeometrie: Geometrische Formen• Nulldimensional:Punkt• Eindimensional:e. Gerade Halbgerade (Strahl) Strecke• Zweidimensional: PolygonDreieck Viereck Fünfeck …• Besondere Vie recke:Quadrat Rechteck Trapez Parallelogramm Raute• Kreis: Parabel: Ellipse:•Dreidimensional:Würfel Quader Pyramiden2-dim Fläche 二维3-dim Volumen 三维Zylinder Kegel PyramidenstumpfRechterwinkel 直角senkrecht 垂直的n. Quadrat 正方形 e. Ebene 平面m. Parameter 参数Mantel 面（Zylinder Mantel 圆柱面）Geometrie: Trigonometrie•Größen im Dreieck:•Trigonometrische Funktionen:HöheAchseSpitzeMantellinieRadiusGrundflächeMantelfläche—Analysis: Funktionen•Definition: Eine Vorschrift f die jedem Element x einer Menge A genau ein Element y aus einer Menge B zuordnet heißt eine Funktion von A in Bf : A B , x f(x) bzw. y=f(x)sprich: f : A B: …f bildet ab von A nach B“x f(x): …x wird abgebildet auf f von x“y=f(x): …y gleich f von x“•Die Menge A nennt man Definitionsbereich oderUrbildbereich von f Urbildbereich von f•Die Menge B nennt man Bildbereich von f•Die Menge aller f(x) mit x∈A nennt man Wertebereic von f (sprich x∈A: …x Element von A“ oder …x aus A“)Funktionen: einige Beispiele•Geradengleichung: f: ℝ→ℝ, y = mx + n•Potenzfunktionen: f: ℝ→ℝ, x→x2•Wurzelfunktionen: f: ℝ+→ℝ+, y =x•Trigonometrische Funktionen: g: ℝ→[-1,1], y=sin(x) •Exponentialfunktionen: f: ℝ→ℝ+\{0}, y = 5e x•Logarithmusfunktionen: f: ℝ+\{0}→ℝ, y = ln(x)•Polynomfunktion: f: ℝ→ℝ, x→2x + 4x3 + 0.5x5 + 7x7•Umkehrfunktion: Diejenige Funktion, die jedem Bild eindeutig sein Urbild zuweist. Z.B. :f: ℝ→ℝ+\{0}, y = e x und f: ℝ+\{0}→ℝ, y = ln(x)Funktionen: Eigenschaften•Achsensymmetrisch: f(-x) = f(x), z.B. f(x)=x2•Punktsymmetrisch: f(-x)=-f(x), z.B. f(x)=x3•Nullstelle: alle x∈A für die gilt f(x)=0•Polstelle: Definitionslücke, an der die Funktionswerte beliebig groß werden, f(x)= x-1 an der Stelle x=0 •Monotonie:Falls f(x1)≥f(x2) für alle x1>x2 heißt die Funktionmonoton steigendFalls f(x1) ≤f(x2) für alle x1>x2 heißt die Funktionmonoton fallendFunktionen: Eigenschaften (2)•Monotonie:Falls f(x1)>f(x2) für alle x1>x2 heißt die Funktionstreng monoton steigendFalls f(x1) <f(x2) für alle x1>x2 heißt die Funktionstreng monoton fallend•Beschränktheit:Obere Schranke: für alle Elemente y∈B gilt: y≤b.Dann heißt b obere Schranke. 区间上限Untere Schranke: für alle Elemente x∈B gilt: y≥a.Dann heißt b untere Schranke.区间下限•Graph der Funktion: Menge aller Punktepaare (x/f(x)). Wird auch als Kurve der Funktion bezeichnet. Y-AchseX-AchseFunktionen: Eigenschaften (3)•Funktionenschar: Menge aller Kurven, deren Abbildungsvorschrift (Definition) sich um mindestens einen Parameter unterscheiden, z.B.:f(x)=x2 + bAnalysis: Differentialrechnung•Grenzwert: Wert, dem sich die Funktion an einer bestimmten Stelle annähertSprich: …Der Grenzwert von f für x gegen x1 ist gleich p“oder …Der Limes von f für x gegen x1 ist gleich p“•Konvergenz: Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion an dieser Stelle. Andernfalls divergiert die Funktion.•Stetigkeit: Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, wennAnalysis: Differentialrechnung (2)•Asymptote: Nähert sich der Graph einer Funktion f(x) für x→±∞einer Geraden g(x) an, so heißt die x→±∞einer Geraden g(x) an, so heißt die Asymptote+∞=plus unendlich -∞=minus unendlich•Differenzenquotient: Entspricht der Steigung der Sekanten:•Differentialquotient: Entspricht der TangentensteigungAnalysis: Differentialrechnung (3)•Differenzierbarkeit: Eine Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0, wenn folgender Grenzwert existiert:Eine Funktion heißt differenzierbar, wenn für alle x0∈D der obige Grenzwert existiert •Diesen Grenzwert nennen wir die erste Ableitung von f an der Stelle x0 und bezeichnen ihn als f‘(x ) (lies: … f Strich von x0“)•Extremstelle: Hat eine Funktion an einer Stelle x0 einen Extremwert (Minimum oder Maximum), so ist f‘(x0) = 0Minimum 极小值global Max 最大值Analysis: Differentialrechnung (4)•Höhere Ableitungen: Die Ableitung von f‘(x0) nennen wir die zweite Ableitung an der Stelle x0 f‘‘(x0) (lies: …f zwei Strich an der Stelle x0“)•Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktionf“(x0) < 0 : rechtsgekrümmt 凸函数f“(x0) > 0 : linksgekrümmt 凹函数und gibt Aussage über Extremwerte:f‘(x0) = 0 und f‘‘(x0) < 0 : Hochpunkt (Maximum)f‘(x0) = 0 und f‘‘(x0) > 0 : Tiefpunkt (Minimum)•Wendepunkt: Ist f“(x0) = 0 bezeichnet man x0 als Wendepunkt, da sich hier dieKrümmung ändert•Sattelpunkt: f‘(x0) = 0, f“(x0) = 0 und f‘‘‘(x0) ≠0f‘(x) = f Strich von x f“(x) = f zwei Strich von xAnalysis: Integralrechnung•Integral entspricht anschaulich der Flächeunter der Funktion, es kann durch Summen angenähert werden, z.B. Untersumme:sprich: …Integral f von x dx in den Grenzen von a bis b“•Stammfunktion: Jede Funktion F für die gilt F‘(x) = f(x) für alle x∈D nennen wir eine Stammfunktion von f in D•WendepunktLineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme•Lineares Gleichungssystem:hier drei Unbekannte und drei Gleichungen Unbekannte 未知数•Matrix-/ Vektorschreibweise:die Spaltedie ZeileLineare Algebra: e. Rechenoperationen•Skalarprodukt:sprich: …Skalarprodukt von a und b“•Vektorprodukt:•Spatprodukt:•Länge des Vektors:Lineare Algebra: Ebenen und Geraden•Parameterform:Gerade:Ebene:•Normalform: stellt in 2D eine Gerade und in 3D eine Ebene darLineare Algebra: Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden• Geraden:Schnittpunkt parallelwindschief• Ebenenparallel SchnittgeradLineare Algebra: Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden (2)• Ebene und Gerade:Schnittpunkt Schnittgerade parallel e. Richtung 方向e = Exponentialfunktion π=Pi2 = Wurzel zwei 106 =zehn hoch sechs63= 6te Wurzel aus 3 ln (4 )=logarithmus aus 4 hoch 6 mal "("=Klammer auf 6te Wurzel aus e von x ")"=Klammer zu |x|=Betrag von xSchnittgerade 6x ef(x) = 4xFür die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:…x wird abgebildet auf f von x“…f von x wird x zugeordnet“ (vornehmlich, wenn das -Symbol in der Symbolik steht) …y gleich f von x“ (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht) …y ist das Bild von x unter der Abbildung f“。
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