2021年中考数学热点专题复习:例析线段和差倍分问题的求解策略
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证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法:①长(或大)折半 ②短(或小)加倍2、判断:两种方法有时对同一个题都能使用,但存在易繁的问题,因此,究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线:①为折半或加倍而添;②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递:在加倍或折半后,还不易或不能证明结论,则要找与被证二量有等量关系的量来传递,或者添加这个量来传递。
此时,添 线从两方面考虑:①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线,ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证:FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明:延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中,/ B=2 / C ,AD 是高,M 是BC 边上的中点。
$•••1求证:DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,BE 的延长 1线交AC 于F ,求证:AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证:BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线,垂足为E ,证明:取AB 的中点N ,连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中,AB=AC , E 是AB 的中点,D 在AB 的延长线上,且 DB=AC 。
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题: 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有:三角形中位线定理;梯形中位线定理;直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图,在△ABC 中,∠B =2∠C ,AD ⊥BC 于D ,M 为BC 中点. 求证:DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式,通过对比例式进行变形或重新组合,从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图,在△ABC 中,BD 是∠B 的平分线,△ABD 的外接园交BC 于E ,若AB =21AC , 求证:CE =2AD 。
对应练习1、已知:如图所示,点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点,AD=CE ,BD 、AE 交于点P ,AE BQ ⊥于Q .求证:PB PQ 21=.2、如图所示,在ABC ∆中,AB=AC ,︒=∠90BAC ,BE 平分ABC ∠,交AC 于D ,BE CE ⊥于E 点,求证:BD CE 21=. Q A DP C B E AEADF3、已知:如图所示,锐角ABC ∆中,C B ∠=∠2,BE 是角平分线,BE AD ⊥,垂足是D .求证:AC=2BD .4、如图,在ABC ∆中,延长BC 到D ,使CD=2BC ,E 在AC 上,且AE=2EC ,D 的延长线交AB 于F ,求证:EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题:这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式,在相关线段或其延长线上构造一线段,使之能够表示几条线段的和差倍分关系,从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时,往往通过添辅助线,构造出能表示线段的和差倍分关系的线段,促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析,想一想,图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段,否则乱添加辅助线只能把图形复杂化,使思路步人歧途。
线段与角的和差倍分计算
在几何学中,我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。
这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。
本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。
一、线段的和、差计算
1.线段的和计算:给定线段AB和线段BC,我们需要计算出两个线段
的和,即线段AB+BC。
计算方法是将线段AB和BC的长度相加,即AB+BC。
2.线段的差计算:给定线段AB和线段BC,我们需要计算出两个线段
的差,即线段AB-BC。
计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度,
即AB-BC。
二、角的和、差计算
1.角的和计算:给定角α和角β,我们需要计算出两个角的和,即
角α+角β。
计算方法是将两个角的度数相加,即α+β。
2.角的差计算:给定角α和角β,我们需要计算出两个角的差,即
角α-角β。
计算方法是将角α的度数减去角β的度数,即α-β。
三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算:给定线段AB,我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。
计算方法是将线段AB的长度除以2或4,即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算:给定角α,我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。
计算方法是将角α的度数除以2或4,即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。
在实际应用中,我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算,例如角的补角、互补角和对应角等关系。
巧用线段图,解决“和倍”问题,让“和倍”问题不再难解—
—和倍问题解答技巧
和倍问题是已知两个数的和与这两个数的倍数关系来求这两个数是多少。
它与差倍问题一样由于思维方法不符合孩子的思维特点去,使问题变得比较困难,如果结合线段图来理解。
就会变简单易想了。
例题:学校将360本书分给二、三两个年级,已知三年级所分得的本数是二年级的2倍,问二、三两个年级各分得多少本?
例题:小宁有圆珠笔芯30枝,小青有圆珠笔芯15枝,问小青把多少枝给小宁后,小宁的圆珠笔芯是小青的8倍?
从例题分析可以看出,和倍问题只要找准和与其对应的倍数,就可以求1倍数,解决这类使学生感觉困难的题目了。
那么如果三个量之间存在着倍数关系呢?根据题意画图试试
试一试:已知鸡、鸭、鹅共1210只,鸭的只数是鸡的2倍,鹅的只数是鸭的4倍,问鸡、鸭、鹅各多少只?。
线段和、差、倍、分的几种证明方式谢群峰【期刊名称】《数学学习》【年(卷),期】2003(000)006【摘要】线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1 如图 ,已知△ABC中,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分∠ACB ,∴∠ACD =∠DCE .又∵CD =CD ,∴△ACD≌△ECD .∴∠A =∠CED ,AD=DE .∵∠A =2∠B ,∴∠CED =2∠B .∵∠CED =∠ 1 +∠B ,∴∠ 1 =∠B .∵EB =ED=AD .∴CE +BE =CA +AD .即BC =AC +AD .如用“补短法”如何证 ?大家试一试 !例 2 △ABC中,∠A =90°,AB =AC ,∠C的平分线交AB于D ,求证 :BC =AC+AD .分析 :...【总页数】3页(P)【作者】谢群峰【作者单位】海南省那大二中【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶2.平面几何中线段“和差倍分”问题的证明 [J], 倪建荣;3.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;4.关于线段和、差、倍、分关系的证明 [J], 冼词学5.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。
探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题,“截长补短法”是解决这一类问题的常用方法,“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和;“补短”就是将题中某条线段延长(补上某线段),然后,证明它与题中某条线段相等。
例1.如图Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D.求证:AD+AB=BC.分析:要证明AD+AB=BC.根据BD是∠ABC的平分线,可借助角平分线的性质,在BC 上构造一条线段等于AB,另一条线段等于AD即可。
为此,可作DE⊥BC.证法1:DE⊥BC,垂足于E.∵DB是∠ABC的平分线,DA⊥AB,∴DA=DE,AB=EB,又∵AB=AC,∴∠C=45°,∴ED=CE,∴BC=BE+CE=AB+AD.补短法也可以证明。
证法2:如图2,延长BA到F,使AF=AD,连结DF.∵DA⊥AB,∴∠FAC=90°,∵AF=AD,∴∠F=45°,同理∠C=45°,∴∠F=∠C,∵∠FBD=∠CBD,BD=BD,∴△FBD≌△CBD,∴FB=BC,∵FB=BA+FA=BA+AD,∴AD+AB=BC评注:证明一条线段等于两条线段之和,一般有截长法或补短法两种变式1:△ABC中,∠A=108°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D.求证:BC=AB+CD变式2: △ABC中,∠A=100°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D.求证:BC=BD+AD(同学们仿照例题,中、课后思考完成)“一题多解”有利于锻炼学生思维的灵活性,活跃思路,让学生能根据题目给出的已知条件,并结合自身情况,灵活地选择解题切入点.“一题多解”有利于培养学生的创新思维,使学生不满足仅仅得出一道习题的答案,而去追求更独特、更快捷的解题方法。
“一题多解”有利于学生积累解题经验,丰富解题方法,学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。
线段和差倍分问题
思路点拨
两点入手分析:1看已知易得出哪些线段的长;2把所求的线段由图写成其它线段的和倍差分的形式记算。
一.经典题型
1.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB 上一个动点,当PC+PD的和最小时,求pb的长度。
2如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则求PA+PB的最小值。
3如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
(将军饮马问题)
二.实战演练
1.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则求BM+MN的最小值。
2.已知A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PA+PB长度最小,则求最小值。
二.拓展思维
1在一条直线m上,求一点P,使PA-PB的差最大;
(1)1)点A、B在直线m同侧:
(2)点A、B在直线m异侧:。
_线段及角的和差倍分计算线段及角的和、差、倍分计算时,根据不同的题目要求,可以运用基本的数学运算进行计算。
以下是线段及角的和差倍分计算的详细说明。
一、线段的和差倍分计算:1.线段的和计算:线段的和是指将两个线段进行相加得到结果。
当计算线段的和时,需要保持两条线段的方向和位置不变。
例如,设线段AB的长度为a,线段BC的长度为b,则线段AB和线段BC的和为线段AC,即a+b=AC。
2.线段的差计算:线段的差是指将两个线段进行相减得到结果。
当计算线段的差时,需要保持两条线段的方向和位置不变。
例如,设线段AB的长度为a,线段BC的长度为b,则线段AB和线段BC的差为线段AC,即a-b=AC。
3.线段的倍分计算:线段的倍分计算是指将一条线段等分为若干段。
当计算线段的倍分时,需要确定等分的份数,然后计算每一段的长度。
例如,将线段AB等分为n段,每一段的长度为x,则线段AB的长度a可以表示为:a = nx。
二、角的和差倍分计算:1.角的和计算:角的和是指将两个角度进行相加得到结果。
当计算角的和时,需要保持两个角的位置和旋转方向不变。
例如,设角度A的度数为a°,角度B的度数为b°,则角度A和角度B的和为角度C,即a°+b°=C°。
2.角的差计算:角的差是指将两个角度进行相减得到结果。
当计算角的差时,需要保持两个角的位置和旋转方向不变。
例如,设角度A的度数为a°,角度B的度数为b°,则角度A和角度B的差为角度C,即a°-b°=C°。
3.角的倍分计算:角的倍分计算是指将一个角度等分为若干份。
当计算角的倍分时,需要确定等分的份数,然后计算每一份的度数。
例如,将角度A等分为n份,每一份的度数为x°,则角度A的度数a可以表示为:a = nx°。
以上是线段及角的和差倍分计算的基本步骤和原理。
在实际应用中,可以根据具体的题目要求,灵活运用这些计算方法进行求解。
线段的和、差、倍、分问题(一)1.数有加减乘除四则运算,线段有和差倍分四则运算。
2.线段的和差倍分四则运算,关键是正确地画出图形,有时需要分类讨论。
3.对于比较复杂的,可设某个线段为x,找出等量关系,列一元一次方程求解。
4.结论:已知线段AB,点C是线段AB上任意..一点,点M,N分别是线段AC与线段BC的中点,则MN=12 AB.证明:由于点M是AC中点,所以MC= 12AC,由于点N是BC中点,则CN=12BC,而MN=MC+CN=1 2(AC+AB)=12AB。
典型例题例1 如果A、B、C三点在同一直线上,且线段AB=4cm,BC=2cm,那么AC两点之间的距离为()A、2cmB、6cmC、2或6cmD、无法确定分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据正确画出的图形解题.解:本题有两种情形:(1)当点C在线段AB上时,如图:AC=AB-BC,又∵AB=4cm,BC=2cm,∴AC=4-2=2cm;(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图:AC=AB+BC,又∵AB=4cm,BC=2cm,∴AC=4+2=6cm.例2 如果A,B,C在同一条直线上,线段AB=6cm,BC=2cm,M是AB的中点,N是BC的中点,那么M、N两点之问的距离是()A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、8cm或4cm分析:根据中点定义求出BM、BN的长度,然后分①点C不在线段AB,②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解.解:∵AB=6cm,BC=2cm,M是AB的中点,N是BC的中点,∴BM=12AB=12×6=3cm,BN=12BC=12×2=1cm,①如图1,点C在线段AB的延长线上时,MN=BM+BN=3+1=4cm,②如图2,点C在线段AB上时,MN=BM-BN=3-1=2cm,综上所述,M、N两点之问的距离是4cm或2cm.例3 如图,线段AC=6 cm,线段BC=15cm,点M是AC的中点,在CB上取一点N,使得CN:NB=1:2,求MN的长.分析:因为点M是AC的中点,则有MC=AM= 12AC,又因为CN:NB=1:2,则有CN= 13BC,故MN=MC+NC 可求.解:∵M是AC的中点,∴MC=AM=12AC=12×6=3cm,又∵CN:NB=1:2,∴CN=13BC=13×15=5cm,∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm.答:MN的长为8cm.强化训练:1.已知线段AB=8cm,点C是线段AB上任意一点,点M,N分别是线段AC与线段BC的中点,则线段MN= .2.如图,线段AB=12cm,C是线段AB上任意一点,M,N分别是AC,BC的中点,MN的长为cm,如果AM=4cm,BN的长为cm.3.已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点,BC=4cm,若M是AC的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度是()A、7cmB、3cmC、7cm或3cmD、5cm4.如图,A、B、C、D四点在同一条直线上,M是AB的中点,N是DC的中点,MN=a,BC=b,那么AD等于()A、a+bB、a+2bC、2b-aD、2a-b5.C,D是线段AB上任意两点,M,N分别是AC,BD的中点,若CD=a,MN=b,则AB的长为()A、2b-aB、b-aC、2b+aD、以上均不对6.已知AB=10cm,在AB的延长线上取一点C,使AC=16cm,则线段AB的中点与AC的中点的距离为A、5cmB、4cmC、3cmD、2cm7.若M是AB的中点,C是MB上任意一点,那么与MC相等的是()A、12(AC-BC)B、12(AC+BC)C、AC-12BC D、BC-128.已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为()A、3:4B、2:3C、3:5D、1:29.C为线段AB上一点,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点;若AB=26cm ,AM=6cm。
中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法:通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和,在证所构造的线段和求证中那一条线段相等;2、截长法:通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段,在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明,这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1,若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法:如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可;补短法:如图3,延长AB至H点,使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段,截取的作法不同,涉及四种方法。
方法一:如图2所示,在BF上截取BM=DF,易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形,又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形,则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二:如图2所示,在BF上截取FM=GC,可证四边形GCFM为平行四边形,可得CM=FG=CF ;可得△ BFC=\ BDC=45 ,得△ MCF=90 ;于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。
方法三:如图3所示,在BF上截取FK=FD,得等腰Rt△ DFK,可证得△ DFC=\ KFG=135 ,所以△ DFCX A KFG(SAS),所以KG=DC=BC ,△FKG=A FDC=A CBF,KGA BC,得四边形BCGK 为平行四边形,BK=CG ,于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示,在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45,△ DFC=\ KFG,于是△ DCFX A KGF (AAS),DF=KF,于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。
线段的和差倍分教案篇一:三角形专题线段的和差倍分专题:三角形之线段的和差倍分1、在△ABC中,∠ACB= 900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD ⊥MN于D,BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE。
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,问DE 、AD、BE 有何关系,并说明理由。
A2、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D. 求证:DE?AD?BE.3、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD4、如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:?BD=CF?BD=2CE.5、?如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D 点作EF∥BC交AB于E,交AC于F,求证:EF=BE+CF.?在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACG,过D点作EF∥BC 交AB于E,交AC于F,试探究BE、EF与CF的数量关系.篇二:【教案】2.4线段的和与差2.4线段的和与差教学目标1.理解线段可以相加减,掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2.利用线段的和与差进行简单的计算。
教学重点和难点重点:用直尺、圆规作线段的和、差。
难点:进行简单的计算。
教学时间:1课时教学类型:新授教学过程:一、复习旧知,作好铺垫1.已知线段AB,用圆规、直尺画出线段CD,使线段CD=AB. 2.两点间的距离是指()A.连结两点的直线的长度;B.连结两点的线段的长度;C.连结两点的直线;D.连结两点的线段.二、创设情景,激趣导入1.我们知道数(如有理数)可以相加减,那么作为几何图形的线段是否可以相加减呢?12.观察:如图所示,A、B、C三点在一条直线上,1)图中有几条线段?2)这几条线段之间有怎样的等量关系?A B C学生讨论三、尝试探讨,学习新知1.显然,图中有三条线段:AB、AC、BC,它们有如下的关系AB+ BC= AC,AC- BC= AB,AC- AB= BC2.由此,你可以得到怎样的结论两条线段可以相加(或相减),它们的和(或差)也是一条线段,其长度等于这两条线段的和(或差)3.例题1:如图,已知线段a、b,1)画出一条线段, 使它等于a+b2)画出一条线段, 使它等于a-b※学生尝试画图※教师示范,(注意画图语句的叙述)解:(1)①画射线OP;②在射线OP上顺次截取OA=a,AB=b线段OB就是所要画的线段.(2)①画射线OP;②在射线OP上截取OC=a,在射线OC上截取CD=b线段OD就是所要画的线段.2 b4.在例题1中为什么CD要“倒回”截?不“倒回”截行吗?5.思考:你会作一条线段使它等于2a吗?1)学生讨论2)2a是什么意思?(a+a)3)那么na(n为正整数,且n1)具有什么意义?6.尝试:例题2 如图,已知线段a、b,画出一条线段,使它等于2a-b1)学生独立完成2)反馈,纠正这两个例题是线段的和、差、倍的具体画法,教师在画图的过程中,要边画边讲.注意讲清以下问题:(1)先画的图形是已知的线段a,b.(2)画射线的目的是确定整个图形的起点,由于在没有画完的情况下,终点不能确定,而这种只有起点而没有终点的状态,只有用射线描述最为合适.(3)什么叫“顺次截取”?就是要沿着射线的方向,从起点开始,依照计算的顺序截取.(4)线段的和、差在画图中的区别是什么?“和”是在截取时不改变方向.而“差”在截取时的方向是变化的.3通过这两个例题.使学生能够掌握线段的和、差、倍的画图.(5)两个例题讲完后可以安排一个练习:已知线段a,b,c(a>b >c),画一条线段,使它等于2a+3b-c.7.将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.若已知点M是线段AB的中点,你能得到哪些等量关系.AM?MB,AM?MB,BM?ABAB?2AM,AB?2MB8.已知线段AB,你会画出它的中点C吗?除了用尺测量,你还有其他方法吗?9.介绍用尺规作线段AB 的中点C.注意语言的叙述:解:(1)以点A为圆心,以大于AB的长a为半径作弧,以点B 为圆心,以a为半径作弧,两弧分别相交于点E、点F;(2)作直线EF,交线段AB于点C.点C就是所求的线段AB的中点. 1212四、反馈小结、深化理解1.学生自己总结本节课的学习内容,应回答出线段的和、差、倍、分的画法;线段中点的定义. 4a2.线段的和、差、倍的画法中应注意的问题.如步骤、方向等.3.一些关键词的用法,如“连结”、“顺次”等.五、学习训练与学习评价建议一、判断题(每题4分,共20分)(1)连接A、B两点,那么线段AB叫做A、B两点的距离.()(2)连接A、B两点的线段的长度,叫做A、B两点的距离.()(3)若AB=BC,则B是线段AC的中点.()(4)若AB=AM+BM,则点M在线段AB上.()(5)若点M在线段AB外,则必有ABAM+MB.()二、填空题(每题5分,共20分)(1)点M把线段PQ分成两条相等的线段,点M叫做线段PQ的______,这时有PQ=_______=_______.(2)延长线段AB到C,使BC=AB,反向延长AC到D使AD=AC,则CD=_______AB.(3)如图1.3-4,如果A、B两点将MN三等分,C为BN的中点,BC=5cm,则MN=________.(4)如图1.3-5,在直线PQ上要找一点A,使PA=3AQ,则A点应在________.图1.3-4图1.3-5 5篇三:线段和差倍分怎样证明线段的和差倍分问题怎样证明线段的倍分问题【典型例题】常规题型1、已知:如图所示,点D、E分别是等边?ABC的边AC、BC上的点,AD=CE,BD、AE交于点P,BQ?AE于Q.求证:PQ? 12PB.B C常规题型2、已知:如图所示,在?ABC中,AB=AC,?A?120?,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:CM=2BM.C N A能力挑战1、如图所示,在?ABC中,AB?12BC,D是BC的中点,M是BD的中点.求证:AC=2AM. ABD能力挑战2、已知:如图所示,在?ABC中,BD是AC边上的中线,BH平分?CBD,AF?BH,分别交BD、BH、BC于E、G、F.求证:2DE=CF.AD EBQ【经典练习】1、如图所示,已知?ABC中,?1??2,AD=DB,DC?AC.求证:AC? 1AB.21 2CD 2、已知:如图所示,D是?ABC的边BC上一点,且CD=AB,?BDA??BAD,AE是?ABD的中线.求证:AC=2AE. A E?AB于3、已知:如图所示,在?ABC中,AB=AC,?BAC?120?,D 是BC的中点,DEEE.求证:EB=3EA.AED?BAC?120?,4、已知:如图所示,在?ABC中,AB=AC,P是BC 上一点,且?BAP?90?.求证:PB=2PC.B P5、已知:如图所示,锐角?ABC中,?B?2?C,BE是角平分线,AD?BE,垂足是D.求证:AC=2BD.C6、如图所示,在?ABC中,AB=AC,?BAC?90?,BE平分?ABC,交AC于D,CE?BE于E点,求证:CE?1BD.2B C怎样证明线段的和差问题【典型例题】常规题型1、如图所示,已知?ABC中,?A?60?,BD、CE分别平分?ABC和?ACB,BD、CE交于点O.求证:BE+CD=BC. AEDB C能力挑战1、如图所示,在等腰直角三角形ABC中,?BAC?90?,AD=AE,AF?BE交BC于F,过点F作FG?CD于M,交BE延长线于点G,求证:BG=AF+FG.G AEB C能力挑战2、如图所示,在?ABC中,AB=AC,?A?100?,BE平分?ABC,求证:AE+BE=BC.AC B【练习】1、如图所示,已知?ABC中,?A?2?B,CD是?ACB的平分线,求证:BC=AC+AD.BC2、如图所示,若E为正方形ABCD的边BC上一点,AF为?DAE 的平分线,AF与CD相交于F点.求证:AE=BE+DF. A DFB3、如图所示,已知?ABC和?ADE均为等边三角形,B、C、D 在一直线上,求证:CE=AC+CD.ED?C?90?,4、如图所示,已知在?ABC中,AC=BC,AD是?BAC的平分线,求证:AB=AC+CD.CDB A5、如图所示,等边?ABC和等边?BDE,点A在DE的延长线上,求证:BD+DC=AD.CA B证明线段的和差倍分问题作业1、如图所示,在等腰三角形ABC中,P是底边BC上的任意一点.(1)求证:P点(本文来自: 千叶帆文摘:线段的和差倍分教案)到两腰的距离之和等于腰上的高.(2)若P点在BC的延长线上,那么点P到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系?AFE BC2、如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,?A?108?,BD平分?ABC.求证:BC=AB+DC.ADC B3、如图所示,已知?ABC是等腰三角形,AB=AC,?BAC?45?,AD 和CE是高,它们相交于H,求证:AH=2BD.E H4、如图所示,在?ABC中,?ACB?90?,P是AC的中点,过A过BP的垂线交BC延长线于点D,E是垂足.若?DBE?30?,求证:BP=4PE.D。
差倍问题的解答方法和技巧
以下是 6 条关于差倍问题的解答方法和技巧:
1. 嘿,要解决差倍问题,首先得仔细审题呀!就像找宝藏一样,得搞清楚题目里的数量关系。
比如说吧,小明有 10 个苹果,小红的苹果数是小明的 3 倍还多 5 个,那这差距和倍数不就出来了嘛!这时候就可以通过设未知数来求解啦。
2. 哎呀呀,还有哦,画线段图可是个大法宝呢!把题目中的数量关系用线段表示出来,那可清楚啦。
像小李比小王多 20 元,小李的钱是小王的 4 倍,咱就可以画线段呀,一下子就明白啦,这可不是超级简单嘛!
3. 咱可得记住咯,找关键信息很重要哇!比如那道题说甲比乙多 30,甲又是乙的 5 倍,那 30 不就是关键的差嘛,能不记住嘛!然后利用这些信息列式求解,就容易多啦,是不是呀?
4. 嘿,还有个窍门呢,就是要多练习呀!练得多了,看到这类题就像看到老朋友一样亲切,一下子就能找到解法。
就好像你每天和朋友打招呼一样自然,能不会嘛!比如那道甲车速度是乙车的 2 倍,它们的速度差是 10,多练几遍,肯定能轻松搞定呀!
5. 要善于思考呀,别拿到题就懵。
比如说有个题说一个数比另一个数的3 倍少 10,这可得好好琢磨琢磨呀,别着急。
就像解一个谜题一样,慢慢想,肯定能找到答案的,加油哇!
6. 哇塞,千万别忘了检查答案呀!解完题可得看看对不对。
就好比你做完一件大事,不得回头看看有没有遗漏呀!要是不检查,出错了多可惜呀!像那道说哥哥的零花钱是弟弟的 4 倍,两人零花钱相差 30 元,最后算完了一定要检查检查哟!
总之,解决差倍问题不难,只要认真审题,掌握方法,多练多思考,肯定没问题!。
【初中数学】2021中考数学知识考点:和差倍分问题【初中数学】2021中考数学知识考点:和、差、倍、分问题2021中考数学知识考点:和、差、倍、分问题1增长量=旧有量增长率现在量=旧有量+增长量(1)倍数关系:通过关键词语是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率来体现.(2)多少关系:通过关键词语多、太少、和、高、严重不足、余下去彰显.2.等积变形问题:(1)等积变形就是以形状发生改变而体积维持不变为前提.常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积.(2常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.①圆柱体的体积公式v=底面积低=sh=r2h②长方体的体积v=长宽高=abc3.劳力调配问题:这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:(1)既有调到又存有移出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有移出没调到,移出部分变化,其余维持不变4.数字问题(1)必须搞清楚数的则表示方法:通常可以设立个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且19,09,09)(2)数字问题中一些则表示:两个已连续整数之间的关系,很大的比较大的大1;偶数用2n则表示,已连续的偶数用2n+2或2n2则表示;奇数用2n+1或2n1则表示.5.工程问题:工程问题:工作量=工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和=总工作量=16.行程问题:路程=速度时间时间=路程速度速度=路程时间(1)碰面问题:慢行距+慢行距=原距(2)追及问题:快行距-慢行距=原距(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度把握住两码头间距离维持不变,水流速和船速(晴不速)维持不变的特点考量成正比关系.。
2021年中考数学热点专题复习:例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中,要证明一条线段是另外几条线段的和差,或是另一线段的几倍或几分之几,我们统称为线段的和差倍分问题,处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题.
一、利用全等形或相似形
对于线段的倍分问题,通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口,找出图形中较短线段的倍分线段,再用全等三角形证明它与较长线段相等,或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形,利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的.例1如图1,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD =45°,AD与BE交于点F,连CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=2,求AD的长.
分析由图形的对称性,不难发现点E为AC的中点,即AC=2AE,故问题(1)只要证明BF=AC.
(2)略.
例2如图2,点A、B、C、D在⊙O上,AC⊥BD于点E,过点O作OF⊥BC于点F.
(1)求证:△AEB∽△OFC;
(2)AD=2OF.
二、取长补短法
对于线段的和差问题,通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式,化归为线段的相等问题(俗称取长补短法).
例3 如图3,已知点A、B、C、D顺次在⊙O上,且AB=BD,BM⊥AC于点M,求证:AM=CD+CM.
证明(延长法)
延长DC至点N,使CN=C M,下面只要证明AM=DN即可.连BN,则由AB=BD,得
∠ACB=∠ADB=∠BAD=∠BCN,
又CN=CM,BC为公共边,
例4 如图4,在菱形ABCD中,F为BC边的中点,DF与对角线AC交于点M,过点M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.
解 (1)略;(2)证法1(截取法)
如图4,连BD 交AC 于点O ,分别证明AO =DF ,OM =ME 即可.
证法2(延长法)
如图5,延长DF 至点N ,使FN =ME ,只要证AM =DN 即可.
连CN 、MB .同证法1可得△BCD 为正三角形,M 是正△BCD 的中心.
三、几何变换法
用几何变换法证明线段的和差倍分问题,实质上是利用几何变换将线段移动,使较短线段在适当的位置进行“集中”,使隐含的数量关系明显化,从而达到证明的目的. 例5 如图6,⊙O 外接于正方形ABCD ,P 为劣弧AD 上任意一点,求证:PA PC PB
+恒为定值,并求出此定值.
证明 当P 与A 重合时,易知 2PA PC AC PB AB
+==;
一般情况下,可将△ABP绕点B顺时针旋转90°,得△CBQ,则
综上,无论P为劣弧AD上哪一点,PA PC
PB
恒为定值2,得证.
例6 如图7,在四边形ABCD中,AB∥CD,E为BC边的中点,F在DC边的延长线上,且∠BAE=∠EAF,求证:AB=AF+CF.
解将△ABE绕点E顺时针旋转180°,得到△GCE,则由AB∥CD、E为BC边的中点知点G在DC的延长线上.。