中考数学复习知识点专题讲解34---线段和差倍分问题的求解策略

证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例4、例5、例6。

例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。

求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。

$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。

求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。

求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。

ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。

例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。

对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

中考专题复习——线段（和、差）最值问题一、考点分析：“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、“饮马问题”、“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。

二、教学目标：1、理解并掌握实际生活中最短问题的实质就是垂线段最短、两点之间，线段最短；2、巩固、提高空间观念、模型思想和几何直观的思想和意识。

三、重点、难点分析：教学重点：借助三大变换转移线段达到共线的目的。

教学难点：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。

四、典例分析：例1：（1）、如图，⊙O的半径5cmAB=，点POA=，弦8cm为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是cm．【设计意图】：复习回顾：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称垂线段最短；引出第一个数学模型:（2）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ______【设计意图】：转化问题背景，进一步深入思考，发现问题的本质仍是垂线段最短的应用。

例2、（1）如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3 D．6【设计意图】：复习回顾：以正方形为背景的两条线段和最小问题，找出问题本质“两点之间线段最短”，利用对称化“折”为“直”，实现共线，总结出数学模型：(2)、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．①求抛物线的函数关系式；②设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；【设计意图】：以抛物线为背景，三角形周长最小，看似三条线段和最小，实质仍是两条线段和最小问题，学会扒开问题表面，找到问题本质，突出数学模型思想的重要性。

线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。

这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。

本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。

一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。

计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。

2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。

计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。

二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。

计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。

2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。

计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。

三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。

计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。

计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。

在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。

线段与角的和差倍分计算一、线段的和差倍分计算已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB.D为线段BC的中点。

求CD的长度和a的值。

解析：根据线段的定理，AC=AB+BC，又因为BC=2CD，所以AC=AB+2CD。

又因为AC=2AB.D，所以AB+2CD=2AB.D，化简得CD=(2D-1/2)a，a=3AD。

在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求BC的长度。

解析：因为O是AC的中点，所以OC=OA，又因为OB=1.5 cm，所以BC=BO+OC=1.5+OA。

根据勾股定理，OA^2+AC^2=OC^2，代入已知条件，得到OA=√(25-3.75)=4.3301.所以BC=1.5+4.3301=5.8301，约等于6 cm。

某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，___。

现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在哪里？解析：根据三角形中位线定理，AC^2+BD^2=2AM^2+2MC^2.又因为AC=CD=DB，所以AM=MC=MD=MB=AC/2=CD/2=DB/2.所以AC^2+BD^2=4AM^2+4MC^2=8AM^2，所以AM^2=(AC^2+BD^2)/8.因为AC=CD=DB=AB/3，所以AB^2=3AC^2=3BD^2，代入上式得到AM^2=AB^2/12.所以M在AB的中点。

点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度。

解析：根据线段的定理，AC=AB/2=2cm，BD=AB/2=2cm，又因为CD=AC/2=1cm，所以CD的长度为1cm。

已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长。

解析：根据线段的定理，AC+CB=AB，所以AB=AC+CB=8+2EB=18.又因为D和E分别是AB和CB的中点，所以DE=AD-EB=AB/2-EB=9/2.线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长。

应用题——利用线段图解决及倍差倍问题线段图是一种常见的数据可视化工具，可以用来解决各种计量问题。

在实际应用中，我们经常会遇到一种问题，即如何利用线段图解决及倍差倍问题。

通过分析线段图上的长度关系，我们可以得到满足题目要求的解答。

本文将详细介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题。

一、线段图的基本概念在开始介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题之前，我们先来了解一下线段图的基本概念。

线段图由多个线段组成，每个线段表示一个数值。

线段的长度代表相应数值的大小。

线段图可以用来展示不同类别或不同变量之间的比较关系，使数据更加直观和易于理解。

二、及倍差倍问题的定义及倍差倍问题是一类常见的数学问题，通常涉及到人口增长、物体搬运等领域。

具体而言，及倍差倍问题要求我们在已知某个数值的前提下，求解相对于该数值的倍数增长或倍数减少的另一个数值。

三、利用线段图解决及倍差倍问题的步骤下面我们将具体介绍如何利用线段图解决及倍差倍问题的步骤，以帮助读者更好地理解和应用。

1. 收集已知信息并绘制线段图首先，我们需要收集已知信息，并按照线段的长度进行绘制。

根据题目要求，确定线段的长度代表的数值，并在坐标轴上进行标注。

2. 分析线段长度接下来，我们要分析线段的长度之间的关系。

根据题目要求，判断哪些线段表示及倍差倍关系。

通常，及倍差倍关系的线段长度之间会存在一定的比例关系。

3. 计算未知数值在分析线段长度之间的关系后，我们可以利用已知数值推导出未知数值。

根据线段的比例关系，进行简单的数学计算，求解未知数值。

4. 检验答案最后，我们应该检验所得的答案是否满足题目要求。

将求得的未知数值代入题目中进行验证，确保结果的准确性。

四、应用实例为了更好地理解如何应用线段图解决及倍差倍问题，我们来看一个具体的实例。

假设某城市人口在2000年为500万，按照每年人口增长20%，我们需要求解该城市在2020年的人口。

首先，我们根据已知信息绘制线段图。

将2000年的人口表示为一条线段，长度为500万。

2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．一、利用全等形或相似形对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF．(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．(2)略．例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F．(1)求证：△AEB∽△OFC；(2)AD＝2OF．二、取长补短法对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）．例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM．证明（延长法）延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN，又CN＝CM，BC为公共边，例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME．解 (1)略；(2)证法1（截取法）如图4，连BD 交AC 于点O ，分别证明AO ＝DF ，OM ＝ME 即可．证法2（延长法）如图5，延长DF 至点N ，使FN ＝ME ，只要证AM ＝DN 即可．连CN 、MB ．同证法1可得△BCD 为正三角形，M 是正△BCD 的中心．三、几何变换法用几何变换法证明线段的和差倍分问题，实质上是利用几何变换将线段移动，使较短线段在适当的位置进行“集中”，使隐含的数量关系明显化，从而达到证明的目的． 例5 如图6，⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上任意一点，求证：PA PC PB+恒为定值，并求出此定值．证明 当P 与A 重合时，易知 2PA PC AC PB AB+==；一般情况下，可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ，则综上，无论P为劣弧AD上哪一点，PA PCPB恒为定值2，得证．例6 如图7，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC边的中点，F在DC边的延长线上，且∠BAE＝∠EAF，求证：AB＝AF＋CF．解将△ABE绕点E顺时针旋转180°，得到△GCE，则由AB∥CD、E为BC边的中点知点G在DC的延长线上．。

差倍问题总结知识点差倍问题的种类繁多，可以涉及不同的数学概念和知识点。

在本文中，我们将从基础的差倍问题入手，逐步介绍常见的差倍问题类型，并总结解决这些问题的方法和技巧。

通过学习本文，读者可以系统地了解和掌握差倍问题的解题方法，提高数学解题能力。

一、差倍问题的基本概念1.1 差倍问题的定义差倍问题是指给定两个数a和b，通常会给出它们之间的差等关系或者倍数关系，然后要求求出其中一个数或者两个数的具体数值。

通常差倍问题的表达形式为：“a与b的差（或者倍）是c，求a（或者b）的值”。

1.2 差倍问题的分类差倍问题的分类较为复杂，可以根据具体问题的条件和要求划分。

主要包括差、倍、最值、整数等多种类型。

下面我们将逐一介绍这些类型的差倍问题。

二、差倍问题的解题方法和技巧2.1 列表法列表法是一种简单直观的解题方法，适用于差倍问题中的大多数情况。

通过列出a和b的所有可能取值，然后逐一验证是否符合问题条件，最后得出满足条件的结果。

列表法的优点是简单易懂，缺点是计算量较大，适用于数据较小的情况。

2.2 代数运算法代数运算法是一种较为抽象的解题方法，适用于差倍问题中的一些复杂情况。

通过建立方程或者不等式，利用代数运算的性质求解未知数值。

代数运算法的优点是通用性强，适用于较为复杂的差倍问题，但需要一定的代数知识和技巧。

2.3 逻辑推理法在解决差倍问题中，有时需要运用一些逻辑推理的方法。

通过分析问题的条件和要求，运用逻辑推理的思维方式，找出满足条件的解，这对提高数学思维能力有一定帮助。

2.4 求最值法有些差倍问题要求求出a和b的最大值或者最小值。

在这种情况下，可以通过分析问题条件，利用最值的性质找出满足条件的最大或最小值。

求最值法在差倍问题中应用广泛，可以帮助解决一些复杂的问题。

2.5 整数解法在差倍问题中，有些问题要求a和b都是整数解。

在这种情况下，我们需要寻找满足条件的整数解，可以运用一些整数解法的技巧，如分析乘法分解、奇偶性质等的技巧，找出满足条件的整数解。

数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系【摘要】数形结合是数学教学中非常重要的一环，通过线段图能够更直观地理解数学概念。

本文首先介绍了数形结合的基本概念，然后详细探讨了线段图在理解两数的和与差关系以及倍数关系中的应用。

还阐述了线段图在解决实际问题中的重要性，并提供了绘制线段图的方法。

数形结合为学生提供了直观的数学概念理解方式，而线段图的应用使数学知识更加具体和易于理解。

通过线段图理解两数的关系，不仅能够提高学生的学习兴趣和学习效果，还能够帮助他们更深入地理解数学原理，从而在数学学习中取得更好的成绩。

【关键词】关键词：数形结合，线段图，数学教学，和差关系，倍数关系，实际问题，绘制方法，直观理解，具体易懂，学习兴趣，学习效果1. 引言1.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中非常重要的一种方法，它通过将抽象的数学概念与具体的图形结合起来，使学生更容易理解和掌握数学知识。

数形结合能够帮助学生将抽象的概念转化为具体的形象，从而提高他们的学习效果。

通过数形结合，学生可以直观地感受到数学的美妙之处，增强对数学的兴趣和信心。

数形结合不仅可以帮助学生理解数学概念，还可以帮助他们在解决问题时更加灵活和有效。

通过将数学问题转化为图形问题，学生可以更清晰地看到问题的本质，从而更容易找到解决问题的方法。

在数形结合的指导下，学生可以更加深入地理解数学知识，发现其中的规律和联系，提高他们的思维能力和解决问题的能力。

1.2 线段图在数学教学中的应用线段图在数学教学中的应用极其广泛，它是一种直观且具体的数学工具，能够帮助学生更加深入地理解抽象的数学概念。

在教学中，线段图常常被用来解释两个数的和与差的关系。

通过绘制线段图，学生可以直观地看到两个数的距离，从而更容易理解它们的和或差的大小。

这种视觉化的方法有助于学生加深对数学概念的理解，提高他们的学习效果。

线段图在数学教学中扮演着重要的角色，它使数学知识更加具体和易于理解。

通过线段图的应用，学生可以更快地掌握数学概念，提高学习效果。