第15讲 行船问题

学科：奥数教学内容：第15讲行船问题知识网络行船问题也属于行程问题中的一类，因此解行船问题也要依据正确地运用路程、速度、时间这三者之间的关系。

与一般的行程问题相比，行船问题中多了个水流问题，因此行船问题是以行程问题为基础、加入了水流这个特殊的数量关系的问题。

由于水流的原因，行船问题中有些特殊的概念：船速、水速、顺水速度和逆水速度。

船速：船在静水中的速度；水速：水流速度；顺水速度：船顺水航行的实际速度；逆水速度：船逆水航行的实际速度；行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时间行船问题中的两个基本关系式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2重点·难点以基本关系式：路程=速度×时间为基础并考虑到水流这个特殊条件，正确理解船速、水速、顺水速度、逆水速度的含义及它们之间的关系，才能快速、准确地解决行船问题。

学法指导行船问题的特殊就在于它比一般的行程问题多了一个水流的影响，故在解决这类问题时除了用到解“行程问题”的方法，也会用到解“和差问题”的方法。

在解题中要灵活地运用行船问题的基本关系式。

经典例题［例1］一只轮船的速度是每小时3600米，船在水的流速为30米／分钟的河里航行，从下游的一个港口到上游的某地，再返回到原港口，共用了3小时20分，则这条船从下游港口到上游某地共航行了多少米？思路剖析此题中的速度、时间单位不统一，则应先统一单位。

3600米/小时=60米／分钟，3小时20分=200分钟。

此题欲求全程，若知道单程顺水或逆水航行的时间则问题可解。

而此题条件中给出的是顺水与逆水航行时间的和，注意到顺水与逆水航行的路程是相等的，那么所用时间的比例关系一定与顺水速度和逆水速度的比例相关。

利用这个关系则可求单程航行所用的时间。

解答3600米／小时=60米／分钟——静水速度60+30=90（米／分钟）——顺水速度60-30=30（米／分钟）——逆水速度顺水速度：逆水速度=90∶30=3∶1说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为：1∶3 往返总共用时3小时20分=200分钟那么顺水航行所用的时间为50311200=+⨯（分钟）全程：（60+30）×50=4500（米）答：这条船从下游港口到上游某地共航行4500米。

点津题目中共给出三个条件，由前两个条件易得出顺水、逆水速度，只有第三个条件似乎无法利用，那么就应该想到让这个条件与前两个条件建立一定的联系，此题利用的是比例关系。

[例2]甲、乙两人从相距40千米的A、B两地相向而行，甲以每小时3千米的速度从A 地出发，乙以每小时5千米的速度从B地出发，此时风速是每小时2千米，若甲顺风行驶，那么他们几小时后相遇？相遇地点距A地有多远？思路剖析此题虽然不涉及行船，但在二人行走的过程中要把风速考虑进去，那么甲的实际速度应是甲的顺风速度：3+2=5（千米/小时），乙的实际速度应为乙的逆风速度：5-2=3（千米／小时）。

甲、乙分别以这样的速度相向而行，是相遇问题，那么相遇时间=全程÷速度和。

而相遇地点与A地的距离即为甲的行走路程。

解答甲的实际速度：3+2=5（千米／小时）乙的实际速度：5-2=3（千米／小时）相遇时间：40÷（5+3）=5（小时）甲行走的路程：5×5=25（千米）答：甲、乙5个小时后相遇。

相遇时甲距A地25千米。

点津在涉及到风速的问题中，风速就类似于行船问题中的水速，这类问题也可被看做行船问题来加以解决。

[例3]游船的船速相同，若游船顺流而下则每小时行8千米，若逆流而上则每小时行4千米，两条游船同时从同一地点出发，一条顺流而下到A地然后返回，一条逆流而上到B 地然后返回，结果1小时后它们同时回到出发点。

忽略掉转方向的时间，求（1）水流的速度（2）A、B两地间距离（3）在1小时内两条船有多长时间前进的方向相同？方向是顺流还是逆流？思路剖析（1）根据：水速=（顺流速度-逆流速度）÷2可求水速。

（2）第一条船从0点出发顺流到A地，再逆流而上返回与第二条船从0点出发逆流到B地，再顺流而下返回所用时间都为1小时，由于两船船速相同，易知两船顺流与逆流的速度比为8：4=2：1，因此所用的时间比为1：2，即两船各自顺流行驶与逆流行驶的时间比都是1：2。

则OA 、OB 的距离可求，A 、B 地间距为OA 与OB 的和。

（3）由于顺流的船速较快，则先到A 地，调头后变为逆流航行，此时与先逆流航行的船的方向相同，因此两条游船前进方向相同的时间等于顺流航行时间与逆流航行时间的时间差。

解答（1）水流速度：（8-4）÷2=2（千米/小时）（2）两船顺流行驶所用的时间：314)]48(1[=⨯+÷（小时） 两船逆流行驶所用的时间：32311=-（小时）或328)]48(1[=⨯+÷（小时）那么OA 距离38318=⨯（千米） OB 距离38324=⨯（千米）AB 距离315238=⨯（千米）（3）顺流与逆流航行的时间差： 313132=-（小时）=20（分钟）答：水流速度为2千米/小时。

A 、B 两地间距离为315千米。

在1小时内两船有20分钟时间前进方向相同，方向是逆流。

[例4]一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。

求这艘小船的静水速度和水流速度。

思路剖析通过对两次航行的比较，可知第一次比第二次顺流多航行了（33-24）=9（千米），第二次比第一次逆流多航行了（14-11）=3（千米），而两次航行所用的时间相同，说明顺流航行9千米与逆流航行3千米所用的时间相同。

那么可知顺流速度与逆流速度的比为9：3=3：l 。

由第一个条件“顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11个小时”，知顺流航行33千米所用的时间与逆流航行33÷3=11（千米）所用时间相同，即第一个条件可转化为逆流航行11+11=22（千米），共用11个小时，则逆流速度可求，然后易知顺流速度，此题可求。

解答两次航行顺流的路程差：33-24=9（千米）逆流的路程差：14-11=3（千米）顺流速度：逆流速度=9：3=3：1顺流航行33千米与逆流航行33÷3=11（千米）时间相同则逆流速度：（11+11）÷11=2（千米／小时）顺流速度：2×3=6（千米／小时）静水速度：（6+2）÷2=4千米／小时）水流速度：（6-2）÷2=2（千米／小时）答：小船在静水中的速度为4千米／小时，水流速度为2千米/小时。

[例5]一条河的水流速度是每小时3千米，一条船从此河的上游A地顺流到达下游的C 地，然后调头逆流向上到达中游的B地，共用8小时。

已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，A地与B地相距24千米。

求A、C两地间的距离。

思路剖析由“这条船的顺流速度是逆流速度的2倍”可知顺流速度与逆流速度的差是逆流速度的1倍，再由公式：（顺流速度-逆流速度）÷2=水速，可知此题中逆流速度应为水速的2倍。

逆流速度：3×2=6（千米／小时），顺流速度：6×2=12（千米/小时）。

那么从A→B这段距离的航行时间可知：24÷12=2（小时），则由B→C→B这段路程用时间：8-2=6（小时），由顺水与逆水速度比，可知B→C或C→B所用的时间。

则B、C间距离可求，此题可解。

解答顺流速度比逆流速度多1倍，那么逆流速度为水速的2倍。

逆流速度：3×2=6（千米/小时）顺流速度：6×2=12（千米/小时）从A→B航行时间为：24÷12=2（小时）剩下路程所用的时间：8-2=6（小时）顺流速度与逆流速度的比：12：6=2：1B→C这段路程用时间：[6÷（2+1）]×1=2（小时）B、C这段路程为：2×12=24（千米）A、C间距离：24+24=48（千米）答：A、C两地间的距离为48千米。

［例6］甲、乙两船在静水中的速度分别为33千米／小时和25千米／小时。

两船从相距232千米的两港口同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后，乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？思路剖析此题为行船问题中的“相遇”和“追及”问题。

虽然题中没有给出水流速度这个条件，无法求出两船的实际速度，但由“相遇”和“追及”问题的特殊性，只需求出两船的速度和和速度差即可，由于两船在相遇问题中一个顺流一个逆流，那么求和时水流速度可以相互抵消，两船的速度和就是两船静水速度和。

而在追及问题中，两船方向相同，那么速度差与水速无关，即为两船静水速度差。

解答（l）相遇问题中，两船的速度和：33+25=58（千米／小时）相遇时间：232÷58=4（小时）（2）追及问题中，两船的速度差：33-25=8（千米／小时）追及时间：232÷8=29（小时）答：4小时后两船相遇，29小时后，甲船追上乙船。

点津考虑到“相遇”和“追及”问题中求速度和与速度差时，在行船问题中不受水流速度的影响是解题的关键。

发散思维训练1．一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时5千米，顺水航行需要3小时，逆水航行需要8小时，求两个港口之间的距离是多少？2．两个港口间距离63千米，一条船逆水航行这段路程需要9小时到达，而顺流航行只需7小时就可以行完，求船速和水流速度。

3．有一条小河是松花江的支流，小河的水流速度为3千米／小时，松花江的水流速度为4千米/小时。

一条船沿松花江逆水行驶8小时，行驶96千米到达小河，在小河还要顺水航行152千米。

这条船一共航行了多少小时？4．一只小船顺流航行48千米、逆流航行24千米共用12小时，顺流航行40千米、逆流航行28千米也用了12小时。

求水流的速度。

5．甲、乙两港相距320千米，一艘轮船往返两港需要36小时，逆流航行比顺流航行多花4小时。

现在一艘速度为10千米／小时的轮船往返于两港之间，这艘船往返一次需要多长时间？6．一条大河，河中间（主航道）水的流速为每小时9千米，沿岸边的流速为每小时7千米，一条船在河中间顺流而下，15小时行驶600千米，现这条船沿岸边返回原地，问需要多少小时？7．已知两城市相距6000千米，一架飞机往返两市一次需10小时，顺风飞行比逆风飞行少用2小时，求飞机的速度和风速各是多少？8．一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行31千米，返回甲港时逆水行了8小时，已知水速是5千米／小时，求甲、乙两港间的距离。