“植树问题”的再思考和实践

“植树问题”的再思考和实践“植树问题”是一个经典的问题，课改后，人教版教材将它以教学广角的形式安排在四年级下册。

在实践中，众多教师对“植树问题”感到难教（或说例题好教，习题难做），多数学生感觉难学，这引起了我们的关注。

一、调查分析1、样本选择。

我们对已经学过这个内容的五、六年级的学生进行了“测查问卷”和“访谈”。

为尽可能地减少误差，选择了由不同教师执教的两个六年级和两个五年级，共138名学生作为调查样本。

2、问卷题目。

由于教学参考书明确提出“不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度”，所以问卷调查题基本来自教材的例题和习题。

题目如下：（1）在操场边，有一条长20米的小路，学校计划在小路的一边种树，如果每融5米种一棵树，需几棵树？（2）你还记得“植树问题”是怎么学会（或老师是怎么教）的吗？（3）你对“植树问题”印象最深的是什么？（4）同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），共需要多少颗树苗？（5）奇奇到家要走64级台阶，每上一层楼要走16级台阶，奇奇家住在几楼？（6）一根木头长32米，要把它锯成每4米一段，每锯一段需要8分钟。

锯完一共要花几分钟？（7）广场上的大钟5时敲5下，8钞钟敲完，12时敲响12下，需要多长时间？其目的是想通过这些题目搞清楚学生学习植树问题后，到底留下了什么。

如第1－3题是开放题，它有多种答案，是想了解学生最容易回忆起的是哪种类型，能主动回忆起三种类型的学生有多少，等等。

情境相同的称之为标准情境，与例1情境不同，数学结构相同的问题情境称之为异情境。

（1）题目4的分析。

从数据上看，它正确率达到了66.66％，这样的数据说明学生对解决这一类问题，似乎没有什么问题，但事实真是如此吗？是不是因为有了正确的结果，就可以认为学生真的理解了？带着这些问题，笔者对学生进行了访谈。

访谈片段一师：为什么要“＋1”？生：因为写着两端都要种，所以要“＋1”。

师：100÷5=20（个），20表示间隔数，为什么“20＋1＝21（棵）变成棵数？76.61％的学生无法理解清楚这是为什么，而是反复强调一句“它是两端都种的，因此要‘＋1’”。

说明多数学生是直接套用了“两端都种，要‘＋1’”这个知识点，对棵数与间隔数之间的关系并不清晰。

这个观点在另外的两个问题的统计中得到进一步佐证，如下图：你还记得“植树问题”是怎么学会（或你还记得老师是怎么教）的吗？老师说：如果两头都种，那就总路程÷树与树之间的距离＋1，有一头种，一头不种就总路程÷树与树之间的距离，两头都不种就总路程÷树与树之间的距离－1。

你对“植树问题”印象最深的是什么？在算有两头都和都不种的时候，容易把它们弄反。

（2）题目5的分析。

为何同模型的楼梯问题和钟声问题的正确率一落千丈？楼梯问题是28.01％，而钟声问题只有3.38％？访谈片段二师指着算式64÷16＝4（楼），问：“你是怎么想的？”生：以前就不太会，现在考就这样子了。

师：这个样子是什么意思？生：做这种题目是先除的。

不过刚刚搞明白了，一楼也是一楼，但它不用走楼梯，就应该＋1。

师：刚刚搞明白是什么意思呢？生：刚从同学那里知道要问这个问题，就和他从一楼到四楼走了一趟，又商量了一下。

师：题目4和题目5有联系吗？生：（愣了好一会。

）哦！如果把题目5看成种树的话，就像64米的路，每隔16米种一棵了。

这是一个成绩属于中下的学生，从他的话可以看出，一开始，他并不会用植树问题的方法去分析同模型的楼层问题，然而只要引导他去经历这种过程，他还是能把两种不同情境的植树问题进行有效连接的。

（3）题目6的分析。

锯木头问题的正确率为何有72.94％？在访谈中发现，64.15％的学生都提到“老师说过最后一段不用再锯了”，有的还用“一刀两断”来解释。

这说明，当生活经验刚好与解题思路重叠时，再加锯木头的特定情境及解决方法又容易记住，才有这么高的正确率。

4、结果分析。

从测查和访谈的情况看，绝大多数学生解决植树问题的思维过程大致可分为三步：看到植树问题情境，首先想到用除法：路的总长÷间距＝棵数；其次接着看，题中是否有“两端都种”的明确提示语，有，就“＋1”，没有，就凭自我感觉决定“＋1”“－1”或“不加也不减”。

从以上分析可知：解决植树问题，多数学生并不会数学分析，而是靠死性的记忆、机械模仿和已有经验的推广。

二、教材解读、教师访谈和收集资料的对比研究以上情况会不会是由于个别教师的教学方法引起的？我们对教材、执教教师（包括校外）、收集的五十余份相关资料进行对比分析，发现了三者一些共同之处。

1、特别重视“植树问题”的三种不同类型的区分。

三者都认为“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”三种类型是植树问题的基本教学模型。

2、把三种类型的获得归结为“规律的发现”，把教学的注意力集中到结果的获取上。

在教学中，很多教师都用列表的形式，让学生比较容易地发现棵数与间果获取，导致了分析能力的缺失，使学生失去了最具有生命力的知识。

3、突出强调“化归思想”。

由于教学参考书中比较明确地提出，让学生经历“化繁为简”这么一个过程，多数教师把“化归思想”的渗透，当做植树问题教学的重中之重。

执教老师也基本按教学参考书这么教的，为何还会出现这么多问题？教学参考书的定位是否真的合理？三、我们的思考1、什么才是植树问题的基本教学模型？“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”，这三种类型真的是植树问题的基本数学模型吗？我们首先对“什么是植树问题”进行了思考，教学参考书是这样描述的：在现实生活中，类似于例1种树的问题还有很多，如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方队等等，它们中都隐藏着总数与间隔数之间的关系问题，可把这类问题统称为植树问题。

分析这些问题，它们最基本的共同点是两个量：“点”与“间隔”，且两个量的排列是有规律的：“点”隔着“间隔”依次重复出现，因此“间隔排列”才是植树问题最为基本的特征。

在教学中提出“间隔排列”这个概念是非常重要的。

如果学生在解决这一类问题时，无法从具体情境中抽象出哪两个量，且不会判断是不是间隔排列，那记住三种类型又有何用？2、“规律”真的是解决植树问题的关键因素吗？我们对植树问题“三种类型”的清晰度进行了专项统计。

多数学生对“三种类型”的结构还是比较清晰的，但很难体现在解题中。

因此将“三种类型”的区分及相应的计算方法看成是一种“规律”，要求学生牢固掌握并直接运用的想法恐怕是不合理的。

能直接运用“规律”的，只有那些有明确提示语如“两端都种”的题目，而多数问题是隐藏这种提示，无法直接找到，因此重要的并非是“规律的直接套用”，而在于学会用“一一对应”的方法去分析两个量在数量上的关系。

3、判断是否间隔排列、分析间隔与棵数之间的数量关系的基础是什么？笔者的观点是“画图”。

画图是学生能否正确判断“间隔排列和用一一对应分析”的主要着力点，它可把抽象的数学直观化，又可把学生自我思考的过程可视化，使解题者摆脱记忆的负担，集中精力去思考两个量之间的关系。

四、我们的实践1、分组实验准备。

（1）对比班的选择。

选择同一个教师执教，学生成绩差不多的两个班作为实验对象，尽可能避免由于学生的差异对实验数据的影响。

（2）普通班教学目标。

①让学生经历将实际问题中抽取出植树问题模型（两端都种，两端都不种，只种一端）的过程，理解和掌握植树问题时棵数与间隔数之间的关系；②使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法；③尝试运用规律来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

（3）实验班教学目标。

①重视不同情境之间的内在沟通，建立植树问题的基本模型—间隔排列。

②培养学生画图的意识和能力，学会用“一一对应”的方法分析两个量之间的关系，能用算式表示，并帮助学生积累分析问题的经验。

③在解决问题过程中渗透数学思想方法（建模思想）。

2、我们的实践经过。

（1）用直观图理解“间隔排列”，学会用一一对应的方法来分析两个量之间的数量关系。

①通过重复画三角形和圆形，让学生理解像一个三角形隔着一个圆形的排列就叫做间隔排列。

接着问学生：哪个图形多？学生很快看出三角形有三个，圆有三个，判断它们一样多。

接着我们出示“省略号”，再问：如果最后一个是三角形又是谁多呢？一开始有些学生可能会摸不着头脑，但等待一会儿，有些学生能用一个三角形对着一个圆形的语言来解释谁多。

通过交流使学生学会用一一对应的方法来分析两个量的数量关系。

②用情境图进一步巩固“间隔排列和一一对应分析方法”。

（2）研究具体的植树问题，得出棵数与间隔数是“间隔排列”的，并能用“一一对应”的方法分析它们之间的数量关系。

首先提供一道与例1同情境的“数字较小”的开放题：在操场上，有一条长20米的不路，学校计划在小路的一边种树，如果每隔5米种一棵树，需几棵树呢？通过让学生画图，提供直观的研究素材，并提示思考方向，重点沟通“三种类型”的联系。

主要通过两个问题来实现：①这几种方法有什么不同的地方呢？明确三种具体的类型：“两端种、只种一端和两端都不种”。

②这几种类型又有什么相同的地方？发现间隔数相同，可用“全长÷间隔=间隔数”计算出间隔数，并用一一对应的方法发现棵数与间隔数的关系。

接着提示“如果把5米的间隔看做是一个物体的话，它们是怎么排列的？”结合前面的直观图，让学生明白棵数与间隔是间隔排列。

（3）沟通不同情境间的内在联系—抽象出植树问题的共同本质特征“间隔排列”，并进一步巩固一一对应的分析方法。

尽管例1的“植树问题”可以被看做提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中又必须超出这一特定情境而引出普遍的数学模式。

我们出示数学楼的情境图，让学生理解“楼层”与“楼梯”之间的间隔排列的。

还出示了锯木头的情境图，让学生理解“段数”与“锯的次数”是间隔排列的，帮助学生清楚认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构—间隔排列，并利用适当的图形或符号以帮助学生很好地建构起相应的数学模式。

（4）研究纯文字的问题—有意识引导学生思考三个问题：①题中主要有哪两个量？②两个量是否间隔排列。

③如有一一对应的关系，谁多？五、实验对比数据分析在教学一个星期后，我们对两个对比班进行了后测，收集数据后，主要从两个方面—解答的正确率和是否会分析题目进行了统计和分析，结果如下图：1、与例题一样的标准情境（两端都种）。

单纯从解答正确率的数据来看，实验班数据并不占多少优势，总体上甚至低于普通班大约8个百分比（图1）。

但从是否会分析的统计数据来看优势还是比较明显的（图2）。

两班的学生先说出的理由，都是因为“两端都种”所以要“＋1”，但普通班中只有18.16％的学生对间隔数与棵数之间的关系是比较清楚的，而实验班有56.10％学生会用一一对应的方法分析棵数与间隔数之间的关系。