1.3 简单的逻辑联结词平塘民族中学高二年级周金顺（2013年10月9日星期三）学习要求：1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.4.逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.知识要点：1.“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作 p∧q .2.“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作 p∨q .3.真值表4.p全盘否定，就得到一个新命题，记作7p，读作“非p”或“ p的否定”.5.命题非p的真假：若p是真命题，则非p必是假；若p是假命题，则非p必是真 .新课教学：探究点一：p∧q命题问题1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答：命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思.结论：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.问题2 分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∧q型命题的真假和命题p，q真假的关系.答：命题①②③均为真；当p、q都是真命题时，p∧q是真命题.例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：(1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.解：(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.(2)p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题.(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题.小结：判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.跟踪训练1：指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假.(1)(n－1)·n·(n＋1) (n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；(2)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集.解：(1)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1) (n∈N*)能被3整除. 因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题.(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集. 因为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题.探究点二：p∨q命题问题1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答：命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.结论：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.“或”与集合运算中并集的定义A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中“或”的意义相同，是逻辑联结词. “或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习或休息”，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思，如x<3或x>5.问题2 分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.答：①真；②假；③真.当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.例2：分别指出下列命题的形式及命题的真假：(1)相似三角形的面积相等或对应角相等；(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形的面积相等；q：相似三角形的对应角相等. 因为p假、q真，所以p∨q为真命题.(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集用“或”联结后构成的新命题，即p∨q. 因为命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题.(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等用“或”联结后构成的新命题，即p∨q. 因为命题p，q都是假命题，所以命题p∨q是假命题.小结：判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练2：对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假.(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：3>4，q：3<4；(3)p：π是整数，q：π是分数.解：(1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题.(2)p∨q：“3>4或3<4”，即“3≠4”，是真命题.(3)p∨q：“π是整数或分数”，即“π是有理数”，是假命题.探究点三：p∨q与p∧q的应用问题：如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？答：p∧q为真，则p、q均真，所以p∨q为真. 当p∨q为真时，则p、q 至少一个为真，p∧q不一定为真.例3：设有两个命题.命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.解：对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a<1. 对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0. 又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p、q必是一真一假. 当p真q假时有－3<a≤0，当p假q真时有a≥1. 综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞).小结：由p∨q为真知p、q至少一真；由p∧q为假知p、q中至少一假.因此，p与q 一真一假，分p真q假与p假q真两种情况讨论.跟踪训练3：本例中其它条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∧q 为真命题”，求a的取值范围.练习：1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：p∧q是真命题⇒p是真命题，且q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q是真命题⇒p∧q是真命题.2.给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.3.“p是假命题”是“p或q为假命题”的________条件.解：p假时，p或q不一定假，但p或q假时，p一定假，所以“p是假命题”是“p或q是假命题”的必要不充分条件.4.p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是______.解：p：x<3；q：－1<x<5.∵p且q为假命题，∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.探究点四--7p命题问题1：观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.答：两组命题中，命题q都是命题p的否定.结论：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作7p，读作“非p”或“p的否定”.问题2：逻辑联结词“非”的含义是什么？答：“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则7p对应集合A在全集U中的补集∁U A. 结论：若p是真命题，则7p必是假命题；若p是假命题，则7p必是真命题.例1：写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：3是有理数；(2)p：5不是75的约数；(3)p：7<8；(4)p：5＋6≠11；(5)p：空集是任何非空集合的真子集.解：(1)7p：3不是有理数.命题p是假命题，7p是真命题；(2) 7p：5是75的约数.命题p是假命题，綈p是真命题；(3) 7p：7≥8.命题p是真命题，綈p是假命题；(4) 7p：5＋6＝11.命题p是假命题，綈p是真命题；(5) 7p ：空集不是任何非空集合的真子集.命题p是真命题，小结：7p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写7p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“7p∨7q”等.跟踪训练1：写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解：(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.探究点五--命题的否定与否命题问题1 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p 的否定，并加以辨析.答：命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等. 命题的否定只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条件和结论的全盘否定，这就是命题的否定与否命题的区别.例2：写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解：(1)命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x ，y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题.(2)命题的否定：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0，为假命题；命题的否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，为真命题.小结：命题的否定是对命题的全盘否定，否定的是命题的结论，其真假性和原命题相反；而否命题对条件、结论均进行否定，其真假性和原命题的真假性没有关系. 跟踪训练2：写出下列各命题的非(否定).(1)p ：100既能被4整除，又能被5整除；(2)q ：三条直线两两相交；(3)r ：一元二次方程至多有两个解；(4)s ：2<x ≤3.解：(1)非p ：100不能被4整除，或不能被5整除.(2)非q ：三条直线不都两两相交.(3)非r ：一元二次方程至少有三个解.(4)非s ：x ≤2或x >3.探究点六--p ∨q 、p ∧q 、7p 命题的综合应用问题 对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？答：已知命题p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假，可以通过真值表判断命题p 、q 的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论.例3：设命题p ：函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x 的方程x 2＋2x＋log a 32＝0的解集只有一个子集.若“p 或q ”为真，“綈p 或綈q ”也为真，求实数a 的取值范围.分析：由“p 或q ”为真，“綈p 或綈q ”也为真可知p 、q 中有一真一假，分别满足p 真q 假或p 假q 真时a 的范围.解：当命题p 是真命题时，应有a >1；当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于“p 或q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真，又“綈p 或綈q ”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假.p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32.综上所述，实数a 的取值范围是a ≥32. 小结：由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3：已知a>1，命题p：a(x－2)＋2>0，命题q：(x－1)2>a(x－2)＋1.若p∨7q为真，7q为假，求实数x的取值范围.。
