福建省福州市第八中学2016届高三数学第四次质量检测试题 理
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福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}2,3,4,1,2A B ==，则[()U A B =（A ）{}2（B ）{}5（C ）{}34，（D ）{}2345，，，2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()+∞,0内是减函数的是（A ）x y )21(=（B ）x y cos = （C ）x y ln = （D ）21x y -=3．等差数列}{n a 中，211152=++a a a ，则=+-+-108642a a a a a （A ）0 （B ）7 （C ）14 （D ）214．“92>x ”是“3>x ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．已知0>a ，0>b 且b a ≠，设x =2ba +,b a y +=，4ab z =，则x ，y ，z 的大小关系是 （A ）z x y >> （B ）z y x >> （C ）x z y >>（D ）x y z >>6．已知数列}{n a 满足2121n n n a a a -+=+，且01=a ，则该数列的前100项的和等于（A ）24（B ）25 （C ）74 （D ）757．已知几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图均为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（A ）38（B ）328 （C ）34 （D ）3248．存在函数)(x f 满足：对任意R ∈x ，都有 （A ）x x f 2sin )(sin = （B ）x x f 2sin )(cos =（C ）|1|)2(2-=-x x x f（D ）1|)1(|2-=-x x f9．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，3||=，5||=，则⋅=（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1610．若y mx z +=在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥-03,02,02y x x y y x 上取得最小值时的最优解不唯一，则z 的最大值是（A ）3-（B ）0（C ）21 （D ）23 11．关于函数x x x f cos sin )(=的性质的描述，不正确的是 （A ）任意R ∈x ，)()π(x f x f =+（B ）任意R ∈x ，)2π()2π(x f x f -=+（C ）不存在)2π,0(0∈x ，使0)(0=x f （D ）不存在)2π,0(0∈x ，使21)(0>x f12．比较下列各组中两数的大小： ①2015201620162015<；②2015201620162015>；③2015201620162015<； ④2015201620162015>，其中正确结论的序号是（A ）①③（B ）②④（C ）①④（D ）②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13.若31)4πtan(=-θ，则θtan =___________． 14.已知向量)1,3(=a ，)1,(-=+x b a ．若b a //，则||b =___________．15.正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上，且3=AB ，则球的表面积为___________．16.曲线14122=+yx 上的点到原点O 的距离最小值等于___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足n a S n n 22-=，2+=n n a b ． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c 2log =，数列}1{1+n n c c 的前n 项和为n T ，证明21<n T ．18.（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是三个内角C B A ,,的对边，且A b B a c cos cos )2(=-．（Ⅰ）求B ；C 1B 1A 1CBAF（Ⅱ）若6=BC ，AC 边上的中线BD 的长为7，求AB C ∆的19.（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，211===CA C A AA ，21==B A AB ．（Ⅰ）求证：BC AA ⊥1；（Ⅱ）求二面角1A BC A --的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆G 的焦点分别为)0,2(1-F ，)0,2(2F ，且经过点)2,2(-M ，直线2:+=ty x l 与椭圆G 交于A ，B 两点． Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求△AB F 1的面积的最大值． 21.（本小题满分12分） 已知函数3)(e 2)(2+--=a x x f x ，R ∈a ．（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）若0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 注：e 是自然对数的底数．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于圆O ，BC AD //，过点C 作圆O 的切线，交BD 的延长线于点F ，交AD 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：BC DE AB ⋅=2；（Ⅱ）若9==BC BD ，6=AB ，求切线FC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数m x mx x f ++-=4)(（0>m ）． （Ⅰ）证明：4)(≥x f ；（Ⅱ）若5)2(>f ，求m 的取值范围．ED C B A 福州八中2015—2016学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题 CDBBAC ACCDBD 二、填空题13、2 14、102 15、π4． 16、3 三、解答题 17、解：（Ⅰ）因为n a S n n 22-=， 所以)1(2211+-=++n a S n n ，从而22211--=++n n n a a a ， 即221+=+n n a a ．所以22422211=++=++=++n n n n n n a a a a b b ． 又22111-==a S a ，所以21=a ，04211≠=+=a b ， 所以}{n b 是首项为4，公比为2的等比数列，所以11224+-=⨯=n n n b ，从而221-=+n n a ．…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1+=n c n ，所以2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n c c n n ， 从而212121)2111(...)4131()3121(<+-=+-+++-+-=n n n T n ．……12分 18、解：（Ⅰ）根据正弦定理，由(2)cos cos c a B b A -=，可得A B B A C cos sin cos )sin sin 2(=-， 整理得A B B A B C cos sin cos sin cos sin 2+=， 所以C B C sin cos sin 2=，因为0sin ≠C ，所以21cos =B ， 又因为π),0(∈B ，所以3π=B ．………………6分 （Ⅱ）如图，延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接AE ，CE ． 因为D 为AC 的中点，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以3π2=∠BCE ，14=BE ． 在BCE ∆中，根据余弦定理，得3π2cos 2222⋅⋅-+=CE BC CE BC BE ， 即016062=-+CE CE ，解得10=CE ，所以10==CE AB ．所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ．……12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为BD 是AC 边上的中线，所以)(21BC BA BD +=，所以22)(41BC BA BD +=， 即BC BA BC BA BD ⋅++=24222．所以3πcos 626||74222⨯⨯++=⨯BA0160=-+，x B 1解得10||=BA ，即10=AB ． 所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设x AB =，=CD y DA =．在ABC ∆中，根据余弦定理，可得3πcos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ， 即366422+-=x x y …①． 在BCD ∆中，根据余弦定理可得，yy y y DC BD BC DC BD BDC 141372672cos 2222222+=⨯-+=⋅-+=∠． 在ABD ∆中，同理可得，yx y y x y AD BD AB AD BD BDA 14497272cos 22222222+-=⨯-+=⋅-+=∠． 因为π=∠+∠BDA BDC ，所以BDA BDC ∠-=∠cos cos ，所以)49(13222+--=+x y y ，即62222-=x y …②． 由①②可得016062=-+x x ，所以10=x ，即10=AB ．所以ABC ∆的面积3153πsin 10621sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=B BC AB S ． 19、解：（Ⅰ）取1AA 中点O ，连接CO ，BO ． 1CA CA =，1AA CO ⊥∴，又∵1BA BA =，∴1AA BO ⊥，……3分 O CO BO = ，⊥∴1AA 平面BOC ，⊂BC 平面BOC ，BC AA ⊥∴1．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）1AA CO ⊥，又侧面⊥C C AA 11侧面11A ABB ，侧面 C C AA 1111A ABB =1AA ⊥∴CO 平面11A ABB，而1AA BO ⊥OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ．则有)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,1(),0,0,0(11--B C B A A O ， ……7分设),,(1111z y x =n 是平面ABC 的一个法向量，),,(2222z y x =n 是平面BC A 1的一个法向量， )3,1,0(),3,0,1(-=-=CB CA ，由⎪⎨⎧=⋅,01CA n 即⎨⎧=-=-3,0311z z x 解得⎨⎧==,3,311z y z x 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01212C A B A n n 即⎩⎨⎧=+=+,03,02222z x y x 解得⎩⎨⎧=-=,3,32222z y z x令12-=z ，∴)1,3,3(2--=n ． ……10分设二面角1A BC A --为θ，则71|cos |2121=⋅⋅=n n n n θ，所以二面角1A BC A --的正弦值是734． ……12分20、解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则24232||||221=+=+=MF MF a ，所以22=a ，又因为2=c ，所以4222=-=c a b ，所以椭圆G 的方程为14822=+y x ． ……5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,2,14822ty x y x 得044)2(22=-++ty y t ，032322>+=∆t 恒成立． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则24221+-=+t t y y ，24221+-=t y y ．△AB F 1的面积等于⋅≤+++⋅=++⋅=-+=-⋅⋅=∆2411112821284)(2||221222221221211t t t t y y y y y y c S AB F当且仅当11122+=+t t ，即0=t 时，等号成立，所以当0=t 时，△AB F 1的面积的最大值等于24．……12分21、解：（Ⅰ）)e (2)(a x x f x+-='．因为函数)(x f y =的图象在0=x 处的切线与x 轴平行，所以0)1(2)0(=+='a f ， 解得1-=a ，经检验1-=a 符合题意．……5分 （Ⅱ）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，等价于0)(min ≥x f ． 首先，必须0)0(≥f ，即0322≥+-a ，解得55≤≤-a ．以下只研究]5,5[-∈a 的情况．)e (2)(a x x f x +-='，设)e (2)(a x x g x+-=，则当0≥x 时，0)1e (2)(≥-='x x g ，所以)e (2)(a x x g x+-=在),0[+∞内单调递增，且)1(2)0(a g +=．①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，0)0()()(≥≥='g x g x f ，所以)(x f 在),0[+∞内单调递增，0)0()(≥≥f x f ，所以当51≤≤-a 时，在),0[+∞内单调递增．②当0)1(2<+a ，即1-<a 时，由)e (2)(a x x g x+-=在),0[+∞内单调递增，知存在唯一),0[0+∞∈x 使得0)(0=x g ，即a x x -=00e，且当∈x ),0(0x 时，0)()(<='x g x f ，)(x f 在),0(0x 上单调递减， 当∈x ),(0+∞x 时，0)()(>='x g x f ，)(x f 在),(0+∞x 上单调递增， 所以)(x f 的最小值为3)(e 2)(2000+--=a x x f x ，又a x x -=00e，所以3)e (e 2)(2000+-=x x x f )3e )(1e (00-+-=x x ，因此，要使当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，只需0)(0≥x f ，即03e 0≤-x即可． 解得3ln 00≤<x ，此时由a x x -=00e，可得0e 0x x a -=．以下求出a 的取值范围．x x x h e )(-=，]3ln ,0(∈x ， 得0e 1)(<-='xx h ， 所以)(x h 在]3ln ,0(上单调递减，从而133ln -<≤-a综上①②所述，a 的取值范围]5,33[ln -．……12分22、解：（Ⅰ）因为CF 与圆O 相切，所以DBC DCE ∠=∠，又BC DE //，所以DCB CDE ∠=∠，所以BCD CDE ∆∆~，可得DCDEBC DC =，所以BC DE DC ⋅=2， 又DC AB =，所以BC DE AB ⋅=2……………………………………5分 （Ⅱ）DBC DCE ∠=∠，BFC ∠是公共角，所以BCF CDF ∆∆~，所以69===CD BC FC FB DF FC ，所以FD FC 326+=， 又FB FD FC ⋅=2)9(+⋅=FD FD ，所以554=FC ．………………10分23、解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程可化为22sin 22cos 22=+θρθρ，所以直线l 的直角坐标方程为04=-+y x ． ……………5分 （Ⅱ）设点)sin ,cos 2(ααP ，则点P 到直线l 的距离为24)sin(524sin cos 2-+=-+=ϕαααd （其中=ϕtan 2），所以当1)sin(-=+ϕα时，点P 到直线l 的距离的最大值为22410+．…………………10分24、解：（Ⅰ）因为m ＞0，所以m m m x m x m x m x x f +=+--≥++-=4|)()4(|4)(，又因为4424=⋅≥+m mm m ，当且仅当2=m 时等号成立，所以4)(≥x f ．………………………………………………5分 （Ⅱ）|2||42|)2(m m f ++-=，当24<m ，即2>m 时，44)2(+-=mm f ，由5)2(>f ，解得2171+>m ．当24≥m ，即20≤<m 时，m m f +=4)2(，由5)2(>f ，解得10<<m ．综上，m 的取值范围是),2171()1,0(+∞+ ．…………………………10分。
