2021学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.1第1课时集合的含义学案新人教A版必修1.doc

第1课时 集合的含义知识归纳1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。

元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。

2、集合的符号表示：⑴集合用 表示，元素用 表示。

⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：⑶常用数集符号：非负整数集〔或自然数集〕： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集：3、元素的性质：〔1〕 〔2〕 〔3〕一、根底过关1． 以下各项中，不可以组成集合的是( ) A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则以下各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素4． 由以下对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．6． 判断以下说法是否正确？并说明理由．(1)参加20xx 年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某的年轻教师． 7．集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8． 集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 ( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，假设集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A为实数集，且满足条件：假设a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)假设2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．答案1． 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±52. 6． 解 (1)正确．因为参加20xx 年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定． (3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 8． D 9．B 10．211．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．12．证明 (1)假设a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12. (2)假设A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。

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§1。

1。

1集合的含义与表示一、知识归纳:1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合,简称集。

元素:集合中的每个 叫做这个集合的元素。

2、集合的表示方法⎩⎨⎧描述法：列举法：3、集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：二、例题选讲：例1、观察下列实例：① 小于11的全体非负偶数; ②整数12的正因数；③抛物线12+=x y 图象上所有的点; ④所有的直角三角形；⑤高一（1）班的全体同学; ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题:⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它。

⑶指出以上集合哪些集合是有限集.例2、用适当的方法表示以下集合：⑴平方后与原数相等的数的集合;⑵设b a ,为非零实数,b ba a+ 可能表示的数的取值集合；⑶不等式62<x 的解集； ⑷坐标轴上的点组成的集合；⑸第二象限内的点组成的集合； ⑹方程组⎩⎨⎧=-=+15y xy x 的解集。

三、针对训练：1．课本P5第1题： 2．课本P6第1、2题3．已知集合{}0axA=xx|2=12++⑴若A中只有一个元素，求a及A；⑵若,ΦA求a的取值范围.=§1。

1.1集合的含义与表示（2）一、知识归纳:4、集合的符号表示：⑴集合用表示，元素用表示。

题型三 元素与集合之间的关系
[例 3] 集合 A 是由形如 m+ 3 n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断 a=- 3 ,b= 1 ,c=(1-2 3 )2 与集合 A 的关系.
3 3
解:因为 a=- 3 =0+(-1)× 3 ,而 0,-1∈Z,故 a∈A, 因为 b= 1 = 3 3 = 1 + 3 ,而 1 , 1 ∉Z,故 b∉A,
3x 32
故 A 中有元素 0,1,2,共 3 个.
答案:3
题型四 易错辨析
[例4] 方程x2-(2+a)x+2a=0的解集中元素的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)1或2
(D)不能确定
错ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ:因为x2-(2+a)x+2a=(x-2)(x-a)=0.所以x=2或x=a.故选B.
纠错:上述解题过程中没有注意到字母a的取值具有不确定性. 正解:因为x2-(2+a)x+2a=(x-2)(x-a)=0, 所以当a≠2时,方程有两个解是2和a,当a=2时方程只有一个解是2.因 此应选C.
2
2
一题多变1:本题中若改为:集合A由元素a+2,2a2+a构成,求实数a的取值 范围.
解:根据集合中元素的互异性可知,a+2≠2a2+a, 即a2≠1,所以a≠±1. 故a的取值范围是a≠±1.
一题多变2:已知集合A由元素3,2a2+a构成,若元素2+a∈A,求实数a的值.
解:因为2+a∈A,所以2+a=3或2+a=2a2+a. 若2+a=3,则a=1,此时,2a2+a=3,不满足集合中元素的互异性,舍去. 若2+a=2a2+a,则a=-1或a=1(舍去). 经检验,a=-1满足条件,故a=-1.

第1课时集合的含义学习目标核心素养1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，提升逻辑推理素养.1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2019年入学的全体学生D[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.]2．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4C[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]3．用“∈”或“∉”填空：1________N；－3________Z；2______Q；0______N*；5________R.2[答案] ∉∈∉∉∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]集合的基本概念①中国各地最美的乡村；②高一、一班身高较高的同学；③高一、一班身高为185 cm以上的同学；④不小于3的自然数．A．③④B．②③④C．②③D．②④A[①中“最美”，②中“较高”标准不明确，不符合确定性，故不能构成集合；③④中的元素、标准明确，且元素互异，均能构成集合，故选A.]判断一组对象能否组成集合的标准,判断一组对象能否组成集合，关键看两点：1确定性：看该组对象是否满足确定性，即能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.2互异性：即该组对象中没有相同的对象.[跟进训练]1.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)上海世博园中所有漂亮的展馆构成一个集合．[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确．“漂亮”标准不明确，不能构成一个集合．元素与集合的关系①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的2种方法1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.[跟进训练]2．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.6 [∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.]3．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．0,1,2 [∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3. 又x ∈N ，故x ＝0或1或2. 即集合A 中的元素为0,1,2.]集合中元素的特性及应用1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？ 提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合中的元素a ，b 存在怎样的关系？ 提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 思路点拨：A 中含有元素：1和a 2――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ――→求a 的值 检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．(变条件)本例若去掉条件“a ∈A ”，其他条件不变，求实数a 的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a 2≠1，即a ≠±1.2．(变条件)已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值． [解] 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a ＝－1.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 提醒：解答此类问题易忽视元素的互异性而产生增根的情形．1．核心要点：集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．判断一组对象能否构成集合的依据是元素的确定性和互异性，求解与集合有关的字母的值时，需借助元素的互异性来检验所求参数值是否符合要求．2．数学思想：解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)接近于0的数可以组成集合．( )(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )[答案] (1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．中央电视台著名节目主持人D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B 项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C 项，“著名”标准不明确，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.] 4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.。