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(完整版)平面向量典型例题.docx

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平面向量经典例题：1.已知向量 a ＝(1,2)， b ＝ (2,0)，若向量 λa ＋b 与向量 c ＝ (1，－ 2)共线，则实数 λ等于 ()1A ．－ 2B ．－ 32 C ．－ 1 D ．－ 3[ 答案 ] C[ 解析 ] λa ＋b ＝( λ，2λ)＋ (2,0)＝(2＋ λ，2λ)，∵ λa ＋ b 与 c 共线，∴－ 2(2＋ λ)－ 2λ＝ 0，∴ λ＝－ 1. 2.(文)已知向量 a ＝ ( 3，1) ，b ＝ (0,1)， c ＝(k ， 3) ，若 a ＋2b 与 c 垂直，则 k ＝( )A ．－ 1B ．－ 3C ．－ 3D ．1[ 答案 ] C[ 解析 ] a ＋2b ＝( 3，1)＋ (0,2)＝ ( 3， 3)，∵a ＋2b 与 c 垂直，∴ (a ＋2b) ·c ＝ 3k ＋ 3 3＝ 0，∴ k ＝－ 3.(理 )已知 a ＝ (1,2)，b ＝(3 ，－ 1)，且 a ＋b 与 a － λb 互相垂直，则实数 λ的值为 ()611A ．－ 11B ．－ 6 6 11 C.11D. 6[ 答案 ] C[ 解析 ] a ＋b ＝ (4,1)， a －λb ＝(1 －3λ，2＋ λ)， ∵a ＋b 与 a － λb 垂直，∴ ( a ＋ b) ·(a －λb)＝ 4(1－ 3λ)＋ 1×(2＋ λ)＝ 6－11λ＝ 0，∴ λ＝ 6.113.设非零向量a 、b 、c 满足 |a|＝ |b|＝ |c|，a ＋ b ＝ c ，则向量 a 、 b 间的夹角为 ()A ． 150°B ． 120°C ． 60°D ．30°[ 答案 ] B[ 解析 ] 如图，在 ?ABCD 中，∵ |a|＝ |b|＝ |c|，c ＝ a ＋b ，∴△ ABD 为正三角形，∴∠ BAD ＝60°，∴〈 a ， b 〉＝ 120°，故选 B.(理 )向量 a ， b 满足 |a|＝1， |a － b|＝ 3，a 与 b 的夹角为60°，则 |b|＝()21 1 A.2 B.3 11 C.4D.5[ 答案 ] A[ 解析 ] ∵ |a － b|＝ 3，∴ |a|2 ＋ |b|2－ 2a ·b ＝ 3，∵ |a|＝1，〈 a ， b 〉＝ 60°，24设|b|＝ x ，则 1＋x 2－x ＝31 4 ，∵ x>0，∴ x ＝ .2→ → →)＋ AB 2＝0，则△ ABC 必定是 (4.若 AB ·BCA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[ 答案 ] B[ 解析 ] → → → 2→ → →→ → → →AB ·BC ＋ AB ＝AB ·(BC ＋ AB ) ＝AB ·AC ＝0，∴ AB ⊥ AC ，∴AB ⊥AC ，∴△ ABC 为直角三角形． 5.若向量 a ＝ (1,1)，b ＝(1，－ 1) ，c ＝ (－ 2,4)，则用 a ，b 表示 c 为()A ．－ a ＋3bB ． a － 3bC ．3a －bD ．－ 3a ＋b[ 答案 ] B[ 解析 ] 设 c ＝ λa ＋ μb ，则 ( －2,4)＝ (λ＋ μ，λ－μ)， λ＋ μ＝－ 2 λ＝ 1∴ ，∴ ，∴ c ＝ a －3b ，故选 B.λ－ μ＝4 μ＝－ 3在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O ，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与→CD 交于点 F ，若AC→ →)＝a ，BD ＝ b ，则 AF 等于 (112 1A. 4a ＋ 2bB.3a ＋ 3b1 11 2C.2a ＋4bD.3a ＋3b[ 答案 ] B[ 解析 ]→→， ∵ E 为 OD 的中点，∴ BE ＝ 3ED∵DF ∥AB ，∴|AB|＝ |EB|，|DF | |DE|122∴|DF |＝|AB|，∴ |CF |＝|AB |＝ |CD |，3 3 3→ → → → 2 → 2 →∴ AF ＝ AC ＋ CF ＝ AC ＋ 3 CD ＝ a ＋ 3 (OD －→ 2 1 1 2 1OC)＝a ＋ 3(2b － 2a)＝3a ＋3b.6.若△ ABC 的三边长分别为→ →AB ＝7， BC ＝5， CA ＝6，则 AB ·BC 的值为 ()A ． 19B ． 14C ．－ 18D ．－ 19[ 答案 ] D[ 解析 ]72＋52－ 6219→ → →→(－19＝－ 19.据已知得 cosB ＝＝ ，故AB·BC ＝|AB|×|BC|×( － cosB)＝ 7×5×352×7×535)7.若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y) 相互垂直，则 9x ＋ 3y 的最小值为 ()A ． 12B ． 2 3C ．3 2D ．6[ 答案 ] D[ 解析 ]a ·b ＝ 4(x －1)＋ 2y ＝0，∴ 2x ＋ y ＝ 2，∴ 9x ＋ 3y ＝32x＋ 3y ≥2 32x ＋ y＝6，等号在 x ＝1 ，y ＝ 1 时成立．2 8.若 A ，B ， C 是直线 l 上不同的三个点，若→→→O 不在 l 上，存在实数 x 使得 x 2OA ＋ xOB ＋BC ＝ 0，实数 x为 ( )A ．－ 1B ． 0C.－1＋ 5D.1＋ 522[ 答案 ] A[ 解析 ]→→→ → →→ →A 、B 、 Cx 2 OA ＋xOB ＋ OC － OB ＝ 0，∴ x 2 OA ＋(x －1)OB ＋ OC ＝0，由向量共线的充要条件及→共线知， 1－ x －x 2＝1，∴ x ＝ 0 或－ 1，当 x ＝0 时， BC ＝0，与条件矛盾，∴ x ＝－ 1.9.(文)已知 P 是边长为→ → → 2 的正△ ABC 边 BC 上的动点，则 AP ·(AB ＋ AC)() A ．最大值为 8B ．最小值为 2C ．是定值 6D ．与 P 的位置有关[ 答案 ] C[ 解析 ] 以 BC 的中点 O 为原点，直线 BC 为 x 轴建立如图坐标系， 则 B(－1,0) ，C(1,0)，A(0， → → 3)，AB ＋AC＝ ( －1，－ 3)＋ (1，－ 3)＝ (0，－ 2 3)，→3)，设 P(x,0)，－ 1≤x ≤ 1，则 AP ＝( x ，－ → → → 3) ·(0，－ 2 3)＝ 6，故选 C.∴ AP ·(AB ＋AC )＝ (x ，－→ →(理 )在△ ABC 中， D 为 BC 边中点，若∠ A ＝120°，AB ·AC ＝－ 1， →则|AD|的最小值是 ( )13A. 2B.22 C. 2 D. 2[ 答案 ] D[ 解析 ]→ → → →°＝－ 1，∵∠ A ＝ 120°， AB ·AC＝－ 1，∴ |AB | ·|AC| cos120·→ → → → → →∴|AB| |AC ·2＋ |AC 2≥2|AB，∵ D 为 BC 边的中点，|＝2，∴ |AB ||| ·|AC|＝4→1 → →→1 → → → → 1 → →11 ∴AD ＝ (AB ＋ AC )，∴ |AD |2＝4 (|AB|2＋ |AC |2＋ 2AB·AC)＝ (|AB |2＋ |AC |2－2) ≥(4－ 2)＝ ，24 42→2∴|AD|≥ 2 .10. 如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB ，AD 分→1 →→ 别交于 E 、F 两点，且交其对角线于 K ，其中 AE ＝ AB ，AF31 → →→＝ 2AD ，AK ＝λAC ，则 λ的值为 ( )1 1 A. 5B.4 1 1C.3D.2[ 答案 ] A[ 解析 ]如图，取 CD 的三等分点 M 、N ，BC 的中点 Q ，则 EF→ 1 →1 ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知 AK ＝ AC ，∴ λ＝ .5511. 已知向量 a ＝(2,3)， b ＝ (－ 1,2)，若 ma ＋4b 与 a －2b 共线，则 m 的值为 ()1 B ． 2A. 2C ．－ 2D ．－ 12[ 答案 ] C[ 解析 ] ma ＋4b ＝(2m － 4,3m ＋ 8)，a － 2b ＝ (4，－ 1)，由条件知 (2m －4) ·(－ 1)－ (3m ＋8)× 4＝0，∴ m ＝－ 2，故选 C.12.→→ → → 等于 ()在△ ABC 中， C ＝ 90°，且 CA ＝ CB ＝ 3，点 M 满足 BM＝2MA ，则 CM·CB A ． 2 B ． 3C ．4D ．6[ 答案 ] B[ 解析 ] → →→ → → CM ·CB ＝(CA ＋ AM) ·CB → 1 → → → → 1 → →＝( CA ＋ AB ) ·CB ＝CA ·CB ＋AB ·CB331 →→1 2×3× 2＝ 3.＝|AB| ·|CB| ·cos45 °＝ ×3233→ →13. 在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点， AB ＝ 3，BD ＝ 1，则 AB ·AD＝________. [ 答案 ]152[ 解析 ] →→→→ →由条件知， |AB|＝ |AC|＝ |BC|＝3，〈 AB ， AC 〉＝ 60°，2 →〈 A B ，CB 〉＝ 60°， CD ＝3CB ，→→→→ → → → →→ → → 2 →2 15 .∴AB ·AD ＝ AB ·(AC ＋ CD )＝ AB ·AC ＋ AB ·CB ＝3× 3× cos60°＋ ×3× 3×cos60°＝23314. 已知向量 a ＝(3,4)， b ＝ (－ 2,1)，则 a 在 b 方向上的投影等于 ________．2 5。

[解析 ]a 在b 方向上的投影为 a ·b － 22 5[ 答案 ] －5 ＝＝－5.|b|52π 15. 已知向量 a 与 b 的夹角为，且 |a|＝ 1， |b|＝ 4，若 (2a ＋λb) ⊥a ，则实数 λ＝________.3[ 答案 ] 12π2π， |a|＝ 1， |b|＝ 4，∴ a ·b ＝ |a| ·|b| ·cos 〈 a ， b 〉＝ 1×4×cos＝－ 2，∵ (2a ＋ λb)⊥ a ，∴ a ·(2a ＋ λb)＝2|a|2＋ λa ·b ＝ 2－ 2λ＝ 0，∴ λ＝ 1.→→ → → → → →16.已知： |OA|＝ 1， |OB|＝ 3，OA ·OB ＝0，点 C 在∠ AOB 内，且∠ AOC ＝30°，设 OC ＝mOA ＋ nOB (m ，＋mn ∈ R ) ，则 n ＝ ________.[ 答案 ] 3[ 解析 ] → →→ →→ → →设 mOA ＝OF ， nOB ＝ OE ，则 OC ＝OF ＋ OE ，→ → → ∵∠ AOC ＝30°，∴ |OC| ·cos30 °＝ |OF |＝ m|OA|＝m ，→ → → 3n ，|OC | sin30· °＝ |OE|＝ n|OB|＝m → m两式相除得： |OC|cos30 ° 1＝ 3，∴ ＝3.＝ → ＝tan30 n3n°|OC|sin30 °17. (文)设 i 、j 是平面直角坐标系 (坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，→且OA＝→－ 2i ＋j ，OB ＝ 4i ＋ 3j ，则△ OAB 的面积等于 ________．[ 答案 ] 5[ 解析 ] 由条件知， i 2＝1，j 2＝ 1，i ·＝j→ → ＝ (－2i ＋j) ·(4i ＋3j )＝－ 8＋ 3＝－→ →→0，∴ OA ·OB 5，又 OA ·OB ＝ |OA → → → → →| ·|OB| ·cos 〈 OA ， OB 〉＝ 55cos 〈 OA ，OB 〉，→ → 5 → → 2 5∴cos 〈 OA ，OB 〉＝－5 ，∴ sin 〈 OA ，OB 〉＝5 ， ∴S △ OAB ＝ 1 → →→→ 1 2 5＝5.2 |OA| ·|OB| sin ·〈 OA ，OB〉＝ × 5×5×52(理 )三角形 ABC 中， a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，能得出三角形 ABC 一定是锐角三角形的条 件是 ________(只写序号 )→ →③ b ＝3，c ＝ 3 3， B ＝ 30° ④ tanA ＋ tanB ＋tanC>0.①sinA ＋ cosA ＝1②AB ·BC<05 [ 答案 ] ④[ 解析 ]→ →→ →若 A 为锐角，则 sinA ＋ cosA>1，∵ sinA ＋ cosA ＝1，∴ A 为钝角，∵ AB·BC<0，∴ BA ·BC>0，5∴∠ B 为锐角， 由∠ B 为锐角得不出△ ABC 为锐角三角形； 由正弦定理 b ＝ c 得， 3 ＝ 3 3，∴sinCsinB sinC sin30 °sinC ＝ 3，∴ C ＝60°或 120°，∵ c ·sinB ＝ 33，3<3 33，∴△ ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为222 <3锐角三角形．④ 由tanA ＋ tanB ＋ tanC ＝ tan(A ＋ B)(1 － tanAtanB) ＋ tanC ＝ － tanC(1 － tanAtanB) ＋ tanC ＝tanAtanBtanC>0，及 A 、B 、 C ∈ (0， π)，A ＋ B ＋ C ＝ π知 A 、 B 、 C 均为锐角，∴△ ABC 为锐角三角形．18. 已知平面向量 a ＝(1， x)， b ＝(2x ＋ 3，－ x)．(1)若 a ⊥b ，求 x 的值．(2)若 a ∥b ，求 |a － b|.[ 解析 ] (1)若 a ⊥ b ，则 a ·b ＝ (1， x) ·(2x ＋ 3，－ x)＝1×(2x ＋3)＋ x(－x)＝ 0，整理得 x 2－ 2x － 3＝ 0，解得 x ＝－ 1 或 x ＝3.(2)若 a ∥b ，则有 1×( －x)－ x(2x ＋3)＝ 0，则 x(2x ＋ 4)＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2， 当 x ＝ 0 时， a ＝(1,0)， b ＝ (3,0)，∴|a － b|＝ |(1,0)－(3,0)|＝|(－ 2,0)|＝ －2 2＋ 02＝ 2，当 x ＝－ 2 时， a ＝ (1，－ 2)， b ＝(－1,2)，∴|a － b|＝ |(1，－ 2)－ (－ 1,2)|＝|(2，－ 4)|＝ 22＋ － 4 2＝ 2 5.119.已知向量 a ＝(sinx ，－ 1) ，b ＝( 3cosx ，－ 2) ，函数 f(x)＝(a ＋b) ·a －2. (1)求函数 f(x)的最小正周期 T ；π3 倍，得到(2)将函数 f(x)的图象向左平移 6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 函数 g(x)的图象，求函数 g(x)的解析式及其对称中心坐标．[ 解析 ] (1)f(x)＝( a ＋ b) ·a － 2＝ a 2＋a ·b －2＝ sin 2x ＋1＋ 3sinxcosx ＋ 1－ 22 ＝ 1－ cos2x3 1 ＝ 3 1 cos2x ＝ sin(2x － π2＋ 2sin2x － 2sin2x － 26 )，22π∴周期 T ＝ 2 ＝ π.(2)向左平移ππ ππ3 倍得，个单位得，y ＝sin[2( x ＋)－ ]＝ sin(2x ＋ ) ，横坐标伸长为原来的66662π2 π3k π πg(x)＝ sin(3x ＋6)，令 3x ＋6＝ k π得对称中心为 (2 －4， 0)，k ∈ Z .20. (文)三角形的三个内角 A 、B 、C 所对边的长分别为 a 、b 、c ，设向量 m ＝( c －a ，b －a)，n ＝ (a ＋b ，c)，若 m ∥n.(1)求角 B 的大小；(2)若 sinA ＋ sinC 的取值范围．c － a ＝ b － a， [ 解析 ] (1)由 m ∥n 知a ＋b c即得 b 2＝ a 2＋ c 2－ ac ，据余弦定理知 1 πcosB ＝ ，得 B ＝.2 3π(2)sinA ＋ sinC ＝ sinA ＋ sin(A ＋ B)＝ sinA ＋sin( A ＋3)1 33 sinA ＋ 3cosA ＝ π ＝sinA ＋ sinA ＋2 cosA ＝ 2 2 3sin(A ＋ ) ，26 π2π 2π∵B ＝ ，∴ A ＋ C ＝，∴ A ∈(0，3 )，3 3π π 5π π 1，∴A ＋ ∈( ，6)，∴ sin(A ＋6 )∈ ( ， 1]662∴ s inA ＋ sinC 的取值范围为 ( 3， 3]． 2(理 )在钝角三角形 ABC 中， a 、 b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边， m ＝ (2b －c ， cosC)， n ＝ (a ，cosA)，且 m ∥n.(1)求角 A 的大小；2π(2)求函数 y ＝ 2sin B ＋ cos(3－2B)的值域．[ 解析 ] (1)由 m ∥n 得(2b － c)cosA － acosC ＝0， 由正弦定理得 2sinBcosA － sinCcosA － sinAcosC ＝ 0，∵ s in(A ＋ C)＝ sinB ，∴ 2sinBcosA － sinB ＝0，π∵B 、 A ∈ (0，π)，∴ sinB ≠0，∴ A ＝ 3.13 1 3 π(2)y ＝ 1－ cos2B ＋ 2cos2B ＋ 2 sin2B ＝1－ 2cos2B ＋ 2 sin2B ＝ sin(2B － 6)＋ 1，当角 B 为钝角时，角 C 为锐角，则π2<B<π?π2π2π π，2<B< 30< 3 － B<2∴ 5π π 7π π1 1 1 3)．6 <2B － < 6 ，∴ sin(2B － )∈( － ，) ，∴ y ∈ (， 26 62 2 2 当角 B 为锐角时，角 C 为钝角，则π 0<B<2ππ 2π? 0<B<6，2<－ B<π3∴－ π π π π1，3)，<2B － < ，∴ sin(2B － )∈ (－1， 1)，∴ y ∈ (6 6 6 6 2 2 2 2 综上，所求函数的值域为(1，3)．2 221. 设函数 f(x)＝ a ·b ，其中向量 a ＝ (2cosx,1) ，b ＝(cosx ， 3sin2x)， x ∈R .(1)若 f(x)＝ 1－ π π3且 x ∈ [ － ， ] ，求 x ；3 3π(2)若函数 y ＝ 2sin2x 的图象按向量 c ＝( m ，n)(|m|<2)平移后得到函数 y ＝ f(x)的图象，求实数 m 、n 的值．[ 解析 ] (1)依题设， f(x)＝2cos 2x ＋ 3sin2xπ＝1＋2sin(2x ＋ )．6ππ 3由 1＋ 2sin(2x ＋ )＝ 1－ 3，得 sin(2x ＋ )＝－ 2，66π π π π 5ππ π π∵－ ≤ x ≤ ，∴－ ≤2x ＋ ≤，∴ 2x ＋ ＝－，即 x ＝－ .3 3 2 6 6 6 3 4(2)函数 y ＝ 2sin2x 的图象按向量 c ＝ (m ， n)平移后得到函数 y ＝ 2sin2(x －m)＋ n 的图象，即函数 y ＝ f(x)的图象．由 (1)得 f(x)＝ 2sin2(x ＋ ππ π12 )＋ 1.∵|m|< ，∴ m ＝－ ， n ＝ 1.212→→ → →22. 已知向量 OP ＝ (2cosx ＋ 1，cos2x －sinx ＋1)，OQ ＝(cosx ，－ 1)，f(x)＝ OP ·OQ.(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)当 x ∈ [0，2] 时，求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 值．→ →→ →∴f(x) ＝OP ·OQ ＝ (2cosx ＋ 1)cosx －(cos2x －sinx ＋1)＝2cos 2x ＋ cosx －cos2x ＋ sinx － 1＝cosx ＋ sinx ＝ 2sin(x ＋ π4)，∴函数 f(x)最小正周期 T ＝2π.π π π 3π(2)∵ x ∈[0， ]，∴ x ＋∈[ ，]，2 4 4 4π π ππ2.∴当 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f( x)＝2sin(x ＋ )取到最大值4 2 4 4323. △ ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，向量 m ＝ (－ 1,1)，n ＝ (cosBcosC ，sinBsinC － 2 )，且 m ⊥n.(1)求 A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：① a ＝1；② 2c －(3＋ 1)b ＝ 0；③ B ＝ 45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．3 [ 解析 ] (1)因为 m ⊥n ，所以－ cosBcosC ＋ sinBsinC － 2 ＝0，即 cosBcosC －sinBsinC ＝－3，所以 cos(B ＋ C)＝－ 3，22因为 A ＋ B ＋ C ＝ π，所以 cos(B ＋ C)＝－ cosA ，所以 cosA ＝ 3， A ＝30°.2 (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，因为 A ＝ 30°，a ＝1,2c － ( 3＋ 1)b ＝0，由余弦定理得，223＋ 1 2－2b · 3＋ 1 3 ＝ 2，所以 c ＝6＋ 2，1 ＝ b ＋ (2 b) 2 b · 解得 b221 16＋ 2 1 3＋1所以 S △ABC ＝ bcsinA ＝ · 2·2 ·＝4 ，2 22 方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为 A ＝ 30°，a ＝1， B ＝45°， C ＝105°，又 sin105 °＝ sin(45 ＋°60°)＝ sin45 °cos60°＋ cos45°sin60 °＝6＋ 2，4由正弦定理 c ＝asinC 1·sin105 ° 6＋ 2＝sin30＝2，sinA°1 1 6＋ 22 3＋1所以 S △ABC ＝ acsinB ＝ ·1·2·＝4 .222(注意：选择②③不能确定三角形)(理)如图，⊙ O 方程为 x2＋y 2 ＝4，点 P 在圆上，点 D 在 x 轴上，点 M 在 DP 延长线上，⊙ O 交 y 轴于 3 →点 N ， DP ∥ON ，且 DM ＝ 2DP.→→→(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设 F 1(0， 5) 、F 2 (0，－ 5)，若过 F 1 的直线交 (1)中曲线 C 于 A 、B 两点，→ →求F 2A ·F 2B 的取值范围．[ 解析 ] (1)设 P(x 0， y 0 )， M(x ，y)，3 → 32 y→y ＝ y 0y 0＝∵DM ＝ DP ，∴2，∴3，2x ＝ x 0 x 0＝ x2 2x 2 y 2 代入 x 0＋ y 0＝ 4 得， 4 ＋9 ＝1.(2)①当直线 AB 的斜率不存在时，显然 → →＝－ 4，F 2A ·F 2 B②当直线 AB 的斜率存在时，不妨设 AB 的方程为： y ＝ kx ＋ 5，y ＝ kx ＋ 5由 x 2 y 2 得， (9＋4k 2 )x 2＋ 85kx － 16＝0，4 ＋9＝ 1不妨设 A 1( x 1， y 1) ，B(x 2， y 2)，则－ 8 5kx 1＋ x 2＝ 9＋ 4k 2，－ 16x 1x 2 ＝9＋ 4k 2→ → ＝ (x ，y ＋ 5) ·(x ， y ＋ 5)＝ (x ， kx ＋ 2 5) ·(x ，kx ＋2 5)＝ (1＋ k 2 5k(x 1＋x 2)＋ 20 F 2A ·F 2B 1 1 22 11 22) x 1x 2＋ 2 － 16 1＋ k 2 － 80k 2 － 96k 2－16 ＝9＋ 4k 2 ＋9＋ 4k 2＋20＝9＋4k 2 ＋20＝－ 4＋200，9＋4k 2∵k 2≥0，∴ 9＋ 4k 2≥ 9，∴ 0<200 ≤ 200，9＋4k 29→ →≤164，∴－ 4<F 2A ·F 2B9 → →综上所述， F 2A2 的取值范围是 (－ 4，164·F B9 ] ． 24. 在平面直角坐标系内，已知两点A( －1,0)、 B(1,0)，若将动点 P( x ， y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大→→到原来的 2倍后得到点 Q(x ， 2y)，且满足 AQ ·BQ ＝ 1.(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；→ →→(2)过点 B 作斜率为－ 2的直线 l 交曲线 C 于 M 、 N 两点，且 OM ＋ON ＋ OH ＝ 0，又点 H 关于原点 O2的对称点为点 G ，试问 M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[ 解析 ] (1)设点 P 的坐标为 (x ， y)，则点 Q 的坐标为 (x ， 2y)， → →依据题意得， AQ ＝( x ＋1， 2y) ，BQ ＝ (x － 1， 2y)．→ →2＋y 2＝1.∵AQ ·BQ＝1，∴ x 2－ 1＋2y 2＝ 1.∴动点 P 所在曲线 C 的方程是 x22，∴ l ： y ＝－2(2)因直线 l 过点 B ，且斜率为 k ＝－ 22 (x － 1)，x 2 ＋ y 2＝ 12，消去 y 得， 2x 2－ 2x － 1＝0.联立方程组2x 1 ＋x 2＝1， 2(x 1－ 1)－ 2(x 2 －1) 设 M(x 1，y 1)、 N(x 2，y 2)，∴ 1∴ y 1＋ y 2＝－ x 1 x 2＝－ 2， 2 2＝－ 22 2 ( x 1＋ x 2)＋2＝ 2 .→ → →→2由OM ＋ ON ＋ OH ＝ 0 得， OH ＝ (－ x 1－ x 2，－ y 1－y 2)，即 H(－ 1，－ 2 ) ，而点 G 与点 H 关于原点对称，∴ G(1 ，2 2 )，设线段 MN 、GH 的中垂线分别为 l 1 和 l 2，k GH ＝2，则有2212 12x.联立方程组y － 4＝2 x －2 ，l 1：y － 4 ＝ 2(x －2)， l 2： y ＝－ y ＝－ 2x解得 l 1 和 l 2 的交点为 O 1(1，－ 28 8 )．9 2 ＋ 3 2 2 ＝ 3 11因此，可算得 |O 1H|＝8，8812＋ y 1＋ 2 311|O 1M |＝x 1－ 88 2＝8.所以 M 、 G 、 N 、 H 四点共圆，且圆心坐标为 O 1(1，－ 2 )，半径为 3 1188 8.。

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（完整版）平面向量基本概念练习题

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（完整版）平面向量基本概念练习题第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A ．|a | = |b |?a = bB ．|a |> |b |?a > bC ．a = b ?a 与b 共线D ．|a | = 0?a = 04．在下列说法中，正确的是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________；（2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________；（3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？O A B C D E F12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD u u u r （1cm 表示200m ）；（2）求DA u u u r 的模．*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。

(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题

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1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

(完整版)平面向量基本定理及经典例题

(完整版)平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。

其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。

（完整版）平面向量练习题（附答案）

（完整版）平面向量练习题（附答案）

（完整版）平⾯向量练习题（附答案）平⾯向量练习题1 . AC DB CD BA 等于______________ .2. 若向量a =( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是 _____________ .3. ______________ 平⾯上有三个点A (1, 3), B (2, 2), C (7, x),若/ ABC = 90°，贝U x 的值为 .4. _________________________________________________________________________ 向量a、b满⾜|a|=1，bl=J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹⾓为 _______________ .f f ⼻5. 已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a ——b的坐标是___________ .6. 已知A (—1 , 2), B (2 , 4), C (4, —3), D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD |的值等于________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A'的坐标是 ______ .8. 已知a=(1, —2),b=(1,x),若a丄b,则x 等于__9. 已知向量a,b的夹⾓为120,且|a|=2,|b|=5则(2a-b) ? a= _______10. 设a=(2,—3),b=(x,2x),且3a- b=4,则x 等于____11. 已知AB (6,1),BC (x,y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为________________12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|z 0,|b|z 0,贝U a与b的夹⾓为__________uuu uuu imr13. 在⼛ABC中，O为中线AM上的⼀个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最⼩值是___________________ .14. ___________________________________________________________________________将圆x2y22按向量v= (2 , 1 )平移后，与直线x y 0相切，则⼊的值为______________________ .⼆.解答题。