平面向量经典例题：
1.
已知向量 a ＝(1,2)， b ＝ (2,0)，若向量 λa ＋b 与向量 c ＝ (1，－ 2)共线，则实数 λ等于 ()
1
A ．－ 2
B ．－ 3
2 C ．－ 1 D ．－ 3
[ 答案 ] C
[ 解析 ] λa ＋b ＝( λ，2λ)＋ (2,0)＝(2＋ λ，2λ)，∵ λa ＋ b 与 c 共线，∴－ 2(2＋ λ)－ 2λ＝ 0，∴ λ＝－ 1. 2.
(文)已知向量 a ＝ ( 3，1) ，b ＝ (0,1)， c ＝(k ， 3) ，若 a ＋2b 与 c 垂直，则 k ＝( )
A ．－ 1
B ．－ 3
C ．－ 3
D ．1
[ 答案 ] C
[ 解析 ] a ＋2b ＝( 3，1)＋ (0,2)＝ ( 3， 3)，
∵a ＋2b 与 c 垂直，∴ (a ＋2b) ·c ＝ 3k ＋ 3 3＝ 0，∴ k ＝－ 3.
(理 )已知 a ＝ (1,2)，b ＝(3 ，－ 1)，且 a ＋b 与 a － λb 互相垂直，则实数 λ的值为 (
)
6
11
A ．－ 11
B ．－ 6 6 11 C.11
D. 6
[ 答案 ] C
[ 解析 ] a ＋b ＝ (4,1)， a －λb ＝(1 －3λ，2＋ λ)， ∵a ＋b 与 a － λb 垂直，
∴ ( a ＋ b) ·(a －λb)＝ 4(1－ 3λ)＋ 1×(2＋ λ)＝ 6－11λ＝ 0，∴ λ＝ 6
.
11
3.设非零向量
a 、
b 、
c 满足 |a|＝ |b|＝ |c|，a ＋ b ＝ c ，则向量 a 、 b 间的夹角为 ()
A ． 150°
B ． 120°
C ． 60°
D ．30°
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 如图，在 ?ABCD 中，
∵ |a|＝ |b|＝ |c|，c ＝ a ＋b ，∴△ ABD 为正三角形，∴∠ BAD ＝60°，∴〈 a ， b 〉＝ 120°，故选 B.
(理 )向量 a ， b 满足 |a|＝1， |a － b|＝ 3
，a 与 b 的夹角为
60°，则 |b|＝()
2
1 1 A.
2 B.
3 1
1 C.4
D.5
[ 答案 ] A
[ 解析 ] ∵ |a － b|＝ 3
，∴ |a|2 ＋ |b|2－ 2a ·b ＝ 3
，∵ |a|＝1，〈 a ， b 〉＝ 60°，
2
4
设|b|＝ x ，则 1＋x 2－x ＝
3
1 4 ，∵ x>0，∴ x ＝ .
2
→ → →
)
＋ AB 2＝0，则△ ABC 必定是 (
4.若 AB ·BC
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
[ 答案 ] B
[ 解析 ] → → → 2
→ → →→ → → →
AB ·BC ＋ AB ＝AB ·(BC ＋ AB ) ＝AB ·AC ＝0，∴ AB ⊥ AC ，
∴AB ⊥AC ，∴△ ABC 为直角三角形． 5.若向量 a ＝ (1,1)，b ＝(1，－ 1) ，c ＝ (－ 2,4)，则用 a ，b 表示 c 为()
A ．－ a ＋3b
B ． a － 3b
C ．3a －b
D ．－ 3a ＋b
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 设 c ＝ λa ＋ μb ，则 ( －2,4)＝ (λ＋ μ，λ－μ)， λ＋ μ＝－ 2 λ＝ 1
∴ ，∴ ，∴ c ＝ a －3b ，故选 B.
λ－ μ＝4 μ＝－ 3
在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O ，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与
→
CD 交于点 F ，若AC
→ →
)
＝a ，BD ＝ b ，则 AF 等于 (
1
1
2 1
A. 4a ＋ 2b
B.3a ＋ 3b
1 1
1 2
C.2a ＋4b
D.3a ＋3b
[ 答案 ] B
[ 解析 ]
→→
， ∵ E 为 OD 的中点，∴ BE ＝ 3ED
∵DF ∥AB ，∴
|AB|
＝ |EB|，
|DF | |DE|
1
2
2
∴|DF |＝
|AB|，∴ |CF |＝
|AB |＝ |CD |，
3 3 3
→ → → → 2 → 2 →
∴ AF ＝ AC ＋ CF ＝ AC ＋ 3 CD ＝ a ＋ 3 (OD －
→ 2 1 1 2 1
OC)＝a ＋ 3(2b － 2a)＝3a ＋3b.
6.
若△ ABC 的三边长分别为
→ →
AB ＝7， BC ＝5， CA ＝6，则 AB ·BC 的值为 ()
A ． 19
B ． 14
C ．－ 18
D ．－ 19
[ 答案 ] D
[ 解析 ]
7
2
＋52－ 62
19
→ → →→
(
－
19
＝－ 19.
据已知得 cosB ＝
＝ ，故
AB
·BC ＝
|AB
|×|BC|×( － cosB)＝ 7×5×
35
2×7×5
35
)
7.
若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y) 相互垂直，则 9x ＋ 3y 的最小值为 ()
A ． 12
B ． 2 3
C ．3 2
D ．6
[ 答案 ] D
