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人教数学八下等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明同步练习

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32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明水平测试第1题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠．又因为AB DC =，60C ∠=， 所以11133022ABC C ∠=∠=∠=∠=． 又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==． 在Rt CDF △中，由正弦定义，可得DF = 所以梯形ABCD第2题.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等答案：Ｂ第3题. 如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S ，，，，）写出第10个黑色梯形的面积10S = ．答案：76BCBC第4题.用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③答案：B第5题.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形Ｂ．直角梯形Ｃ．矩形Ｄ．菱形答案：Ｄ第6题.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9第7题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=．答案：120第8题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．求证：EM =EN答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠……………………………2分 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=︒……………3分 在Rt △BME 和Rt △CNE 中，BME CNEB C BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE ………………………7分 所以EM ＝EN …………………………………8分ENMDCBA第9题. 如图，在直角梯形ABCD 中，1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则BC = cm ．第10题. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．梯形D ．平行四边形答案：Ｃ第11题. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC =Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF =答案：D第12题.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形答案：C第13题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．答案：平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）第14题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ）A ．矩形或等腰梯形B ．矩形或平行四边形BCDAA BCD F EADECBC ．平行四边形或等腰梯形D ．矩形或等腰梯形或平行四边形 答案：D第15题.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E ，连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．答案：证明：在等腰ABC △中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠．CE AB ⊥，BD AC ⊥，90BEC CDB ∴∠=∠=．又BC CB =，BEC CDB ∴△≌△． 3分BE CD ∴=．AE AD ∴=．AED ADE ∴∠=∠．AED ABC ∴∠=∠．ED BC ∴∥． 5分 又BE CD ，不平行，∴四边形BCDE 是梯形．7分∴四边形BCDE 是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形） 8分第16题.如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． （1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明．答案：解：（1）矩形ABDE ，矩形BCEF ； 或菱形BNEM ；或直角梯形BDEM ，AENB 等． 4分 （2）选择ABDE 是矩形． 证明：ABCDEF 是正六边形，120AFE FAB ∴==∠∠，30EAF ∴=∠，90EAB FAB FAE ∴=-=∠∠∠．5分AD CB E同理可证90ABD BDE ==∠∠．∴四边形ABDE 是矩形．7分选择四边形BNEM 是菱形．证明：同理可证：90FBC ECB ==∠∠，90EAB ABD ==∠∠，BM NE ∴∥，BN ME ∥．∴四边形BNEM 是平行四边形．BC DE =，30CBD DEN ==∠∠，BNC END =∠∠， BCN EDN ∴△≌△． BN NE ∴=．∴四边形BNEM 是菱形．7分选择四边形BCEM 是直角梯形．证明：同理可证：BM CE ∥，90FBC =∠，又由BC 与ME 不平行， 得四边形BCEM 是直角梯形． 7分第17题.下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（ ）答案：B第18题.把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm 答案：A5070A ． 50 80B ．50100C ．50 D ．第19题. （内蒙呼和浩特课改，3分）如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC BD =，120A ∠=．则C ∠=度．答案：75第20题. 如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt ABC △中，ACAB的值是 ．答案：2第21题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 平分602cm BAD B CD ∠∠==，，，则梯形ABCD 的面积为（ ）2cm A．B ．6C．D ．12答案：A第22题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点．（1）求证：EF EG =；（2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥？并说明理由．AC图1图2ＢＥＣＤＧＡ Ｆ答案：（1）证明：AD BC ∥DBC ADB ∴∠=∠又ABD DBC ∠=∠ABD ADB ∴∠=∠ AB AD ∴=2分又12AF AB =，12AG AD = AF AG ∴=3分又BAE DAE ∠=∠，AE AE =AFE AGE ∴△≌△ EF EG ∴=5分 （2）当2AB EC=时，EG CD ∥6分2AB EC = 2AD EC ∴= 12GD AD EC ∴== 7分又GD EC ∥∴四边形GECD 是平行四边形EG CD ∴∥8分第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，45B =∠，120D =∠，8cm AB =，则DC 的长为（ ）A ．3B ．3C ．D ．8cm 答案：A第24题.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s 答案：AＢＥＣＤＧＡ Ｆ ABCDABQ第25题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ． （1）求证：OE OF =；（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论．答案：（1）证明：梯形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，∴AD BC =，A B ∠=∠．2分AE BF =，∴ADE BCF △≌△．3分 ∴DEA CFB ∠=∠．∴OE OF =．4分（2）当DC EF =时，四边形DCEF 是矩形． 5分证明：DC EF ∥且DC EF =．∴四边形DCEF 是平行四边形．6分 又由（1）得ADE BCF △≌△，∴CF DE =．7分 ∴四边形DCEF 是矩形．8分评分说明：判断四边形DCEF 为平行四边形，并说理正确的，得2分第26题. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，110A =∠，则C =∠（ ） Ａ．90 Ｂ．80Ｃ．70Ｄ．60答案：Ｃ第27题. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35︒，则∠D = ．答案：110︒AB CDOF EAB C DOFEAD CB第28题.如图，等腰梯形ABCD 中，ADBC ∥，点E 是AD 延长线上一点，DE BC =．（1）求证：E DBC ∠=∠；（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）．答案：（1）AD BC ∵∥，BCD EDC ∠=∠∴． 1分BC DE =∵，BCD EDC ∠=∠，CD DC =， BCD EDC ∴△≌△． 3分 E DBC ∠=∠∴．2分 另证：DE BC ∵∥，DE BC =， 2分 BCED ∴是平行四边形．2分 E DBC ∠=∠∴．2分 （2）ACE △是等腰三角形． 2分第29题.面积为l 个平方单位的正三角形，称为单位正三角形．下面图 中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点．在图1、2、3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点在格点、面积都为l2个平方单位．答案：每画出一个(与顺序无关)正确的给l 分，答案不唯一，下图供参考：DABCE第30题.我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．答案：③——相邻两边垂直；④——相邻两边相等；⑤——相邻两边相等；⑥——相邻两边垂直；⑦——两腰相等；⑧——一条腰垂直于底边．。

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等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明最新版

等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明最新版


2
C
E
知识拓展：用下面方法证明等腰梯形的判定定理
⑴如图，分别延长梯形ABCD的腰BA、CD设它 们相交于点E.通过证明Δ EAD 和Δ EBC是
等腰三角形，来证明定理
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C
求证：AB=CD 证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC
又∵ AD∥BC ∴∠1=∠B, ∠2=∠C
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明

等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明

等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。

在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。

下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。

性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。

证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。

假设∠A和∠B是两个底角。

首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。

接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。

因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。

因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。

我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。

由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。

因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。

将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。

因此，等腰梯形的两个底角是相等的。

性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。

证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。

我们需要证明AC=BD。

我们已经知道∠BAD=∠CBA。

因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。

我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。

因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。

根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。

因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。

因此，AD=BD和AC=CD。

八年级数学下册19.3等腰梯形的性质与判定

八年级数学下册19.3等腰梯形的性质与判定


等腰梯形的性质：
等腰梯形两底平行，两腰相等
等腰梯形同一底边上的两个角相等.
等腰梯形两条对角线相等
A D
B
C
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠B＝∠C(等腰梯形同一底边上的两角相等) ∴△EBC是等腰三角形. 1 ∵AD∥BC， A ∴∠1=∠B ∠2=∠C ∴∠1＝∠2. ∴△EAD是等腰三角形.
已知：在等腰梯形ABCD 数学语言 表示为 中，AD∥BC,AB=DC， 求证： AC=BD
C∵等腰梯形ABCD，AD∥BC， ∴ AC=BD ABD≌DCA AB=CD
B
ABC≌DBC
AB=CD ∠ABC＝∠DCB ∠BAD＝∠CDB （等腰梯形同一底边上的两个角相等） BC=BC AD=AD
1
10 2
D
B
600 18
C
判断
对
错
1、一 组对边平行的四边形是梯形（ ） ２、一组对边平行但不相等的四边形是梯形( ) ３、一组对边平行，另一组对边不平行的四边 形是梯形（ ） ４、有一组对边平行而不相等，另一组对边相等 的四边形是等腰梯形（ ） 6、存在既是直角梯形，又是等腰梯形的梯形
生 活 中 处 处 有 数 学
下列图形中有你熟悉的图形吗？它们有什么 共同特点？
D 腰 高 A E
上底
C 腰
下底
B
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
练习:下列图形中，哪些是梯形？
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
┐ （Ｄ） （Ｅ） （Ｆ）
（Ｂ，Ｃ，D）
等腰梯形
梯形
直角梯形
两腰相等的梯形叫等腰梯形 有一个角是直角的梯形叫直角梯形
A
D
等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok

等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok

等腰梯形的性质专项练习30题（有答案）1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长．2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长．4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数．5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长．6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长．7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠A的度数．（2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°．AE⊥BC于E；EF⊥CD于F，点F是CD的中点．求证：AD=BE．9．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，AE⊥BC于E，∠B=60°，∠DAC=45°，，求梯形ABCD的周长？10．如图示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，中位线长为5cm，高为2cm，求梯形底边BC的长及梯形的面积．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=6cm，BD⊥CD于D，∠C=60°．（1）求∠DBC的度数；（2）求AD的长．12．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，已知AD=5cm，BC=9cm，求等腰梯形ABCD的周长．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．求证：AD=CE．15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，DE∥AB．（1）求∠BCD的度数；（2）若AB=4，求等腰梯形ABCD的面积．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠D=120°，AC平分∠BCD，梯形的中位线长为6，求AC的长及梯形的面积？17．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，求证：DE=CE．18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E、F是AB上的两点且AE=BF，DF与CE相交于点O．问OE与OF相等吗？为什么？19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=2∠B，BC=3，AB=2．求AD的长．20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，∠A=2∠C，BC=8cm，求腰DC的长．21．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，∠ACB=42°，∠ACD=27°．（1）∠BAC=_________°；（2）如果BC=10cm，连接BD，求BD的长度．22．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC吗？为什么？23．如图，在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC=BC，求∠B的度数．24．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，DE和CE相等吗，为什么？25．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC⊥BD，AE⊥BC．（1）求证：AE=（AD+BC）；（2）若AC=10cm，求等腰梯形ABCD的面积．26．如图，已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD=∠ABE．27．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，上底AD=3cm．（1）求∠ABC的度数；（2）求梯形ABCD的周长．28．已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD，若梯形的周长为25cm，求梯形各边的长．29．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，对角线AC⊥BD，延长BC至E点，使CE=AD，连接DE．（1）求∠ACE的度数；（2）若AD+BC=10cm，求△BDE的面积．30．如图所示：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，∠ADC=120°．（1）试探讨线段AC与BC的位置关系；（2）若AD=4，求梯形ABCD的面积．参考答案：1．过点D作DE∥AB，则可得DE=AB=CD，又∵∠B=∠DEC=60°，∴△DEC为等边三角形，∴CE=AB=6cm，故可得BC=BE+EC=AD+EC=8cm．2．在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠BCD．（1分）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．（1分）又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD．（1分）∴∠ACB=∠ACD．（1分）∵AC⊥AB，∴∠B+∠ACB=90°．（1分）∴∠B+∠B=90°．∴∠B=60°．3．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴∠BAD=∠B=60°，AD=BC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，∴∠ACB=90°，又∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∴∠ACD=∠DAC，∴DC=AD=3，∴BC=AD=3，在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=6，∴所求中位线的长是（AB+DC）=（6+3）=4.54．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠ACD=∠ACB=∠DCB，∵AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∴∠ABC=60°，∵AB=BF，∴∠BAF=∠F，∵∠ABC=∠BAF+∠F，∴∠BAF=30°，∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90°+30°=120°．5．分别过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∴AD=EF=4，BE=CF=（8﹣4）=2，∵∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CD=4，∵AB=CD，∴AB=4．6．如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，∴∠EBD=∠CMD=90°，∵AB∥CD，∴四边形ACEB是平行四边形，∴AC=BE，CE=AB，∵AB=2，CD=4，∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6，∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∴AC=BD，∴BD=BE，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2+BE2=DE2，即BD2+BD2=62，解得BD=3．故答案为：3．7．1）解：∵AD=BC=DC，∴∠CDB=∠CBD，∵DC∥BA，∴∠CDB=∠DBA，∴∠CBA=2∠DBA，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC=2∠DBA，∵DB⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠A=×90°=60°，答：∠A=60°．（2）解：作DE⊥AB于E，∵∠A=60°，∠DEA=90°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=1cm，由勾股定理得：DE=cm，同理AB=2AC=4cm，∴梯形ABCD 的面积是（CD+AB）×DE=×（2cm+4cm）×cm=3cm2，答：梯形ABCD 的面积是cm28．连接ED．∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵EF⊥CD，F是CD中点，∴ED=EC（3分）∴∠DEC=∠C=60°∴△ECD是等边三角形，（4分）∴∠B=∠DEC∴AB∥DE（5分）∴四边形ABED是平行四边形（6分）∴AD=BE（7分）9．∵AD∥BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=45°∵AE⊥BC ，，∴，∵∠B=60°，∴BE=1，AB=2，∴DC=2，作DF⊥BC于点F，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=FC=1，∴，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴，∴梯形ABCD的周长为：AD+DC+BC+AB=﹣1+2+2+2+﹣1=4+2．答：梯形ABCD的周长是4+2．10．取两腰AB，CD的中点分别为E和F，连接EF，根据梯形中位线定理得：EF=（AD+BC），∵EF=5cm，∴AD+BC=10cm，过A，D作出梯形的两条高AM和DN，∵梯形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°，∴四边形AMND为矩形，∴AD=MN，又Rt△ABM和Rt△DCN中，AM=DN，AB=AC，∴Rt△ABM≌Rt△DCN，∴BM=CN，由∠AMB=90°，∠B=45°，得△ABM为等腰直角三角形，∴MB=AM=2cm，同理CN=DN=2cm，设AD=MN=xcm，则AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10，解得：x=3，∴BC=2+x+2=7；∴梯形的面积S===10cm2．答：BC=7cm，梯形的面积10cm2．11．（1）∵BD⊥CD于D，∴∠BDC=90°，∵∠C=60°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°；（2）如图，过D作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，∵AB=DC，∴DC=DE，∵∠C=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DC=6cm，在Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，DC=6cm，∴BC=2DC=2×6=12cm，∴BE=BC﹣CE=12﹣6=6cm，∴AD的长为6cm．12．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，又BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，∴CD=8，AB=16，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16 13．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=AB=5cm，∴等腰梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm，答：等腰梯形ABCD的周长是24cm．14．法一：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），∠A+∠ABC=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°，∴∠A=∠DCE，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∵∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠E，在△ABD和△CDE 中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴AD=CE；证法二：连接AC，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴AC=BD（等腰梯形的对角线相等），∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），在△ABC和△DCB 中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∴∠ACB=∠E，∴AC∥DE，又∵DE=BD，∴DE=AC，∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），∴AD=CE．（平行四边形的对边相等）．15．（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=CD=DE，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∵点E是BC边的中点，∴BE=DE=CE，∴DE=DE=CE，即△CDE是等边三角形，∴∠BCD=60°；（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵△CDE是等边三角形，AB=CD=4，∴DF=CD•sin60°=4×=2，∵AB=BE=CE=4，∴BC=2AB=8，∴S梯形ABCD =（AD6BC）•DF=×（4+8）×2=1216．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠D=120°，∴∠B=∠BCD=60°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD=30°，则∠BAC=90°，又∠CAD=∠BCA，∴∠CAD=∠ACD，则AD=CD=AB ，在Rt △ABC 中，∵∠BCA=30°， ∴BC=2AB=2AD ， ∵中位线长为6， ∴AD+BC=3AD=12， ∴AD=4，BC=2AD=8，在Rt △ABC中，由勾股定理，得，作AE ⊥BC 于E ， 则，∴梯形的面积为，答：AC 的长是4，梯形的面积是12．17．∵等腰梯形ABCD ， ∴BC=AD ，∠CBE=∠DAE ． ∵E 是AB 上的中点， ∴BE=AE ．∴△CBE ≌△DAE （SAS ）． ∴DE=CE ． 18．OE=OF ． 理由：∵AE=BF ，∴AE+EF=BF+EF ，即AF=BE ． ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AD=CB ，∠A=∠B ． ∴△ADF ≌△BCE ． ∴∠DFE=∠CEF ． ∴OE=OF19．过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形AEFD 是矩形， 所以AD=EF ，BE=FC因为∠A=2∠B ，又∠BAD+∠B=180°，所以∠B=60° 在Rt △AEB 中，因为∠BAE=90°﹣60°=30°，AB=2， 所以BE=AB=所以AD=BC ﹣2BE=3﹣1×2=1．20．因为四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ， 所以∠A=∠ADC ，∠ADC+∠C=180°（2分）又∠A=2∠C ，则2∠C+∠C=180°，故∠C=60°（4分） 因为BD ⊥CD ，BC=8cm ，所以，∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°（6分）则DC=BC=4cm ，即为所求． 21．（1）∵∠ACB=42°，∠ACD=27°， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=69°；（2）∵∠ABC=∠BAC=69°， ∴AC=BC=10cm ，又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC=10cm ．22．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AB=DC ，∠A=∠D ． ∵M 是AD 的中点， ∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）． ∴MB=MC23．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠B=∠BCD ． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ， ∵AD=CD ，∴∠ACD=∠DAC ， ∴∠ACB=∠DCA ，设∠ACD=x ，则得到∠DAC=∠ACB=x ，∠B=∠BAC=2x ，∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°，即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠B=72°24．DE=CE ．理由是：∵等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ， ∴∠A=∠B ，∵E 为AB 的中点， ∴AE=BE ，在△CBE 和△DAE 中，∴△CBE ≌△DAE （SAS ）， ∴DE=CE ．25．1）证明：过点D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形， ∴CF=AD ，DF=AC ， ∵AC ⊥BD ，AE ⊥BC ， ∴DH=AE ，DF ⊥BD ， ∵AB=CD ， ∴AC=BD ， ∴BD=DF ，∴△BDF 是等腰直角三角形， ∴BH=FH ，∴DH=BF=（BC+CF）=（AD+BC），∴AE=（AD+BC）；（2）解：∵AC=10cm，∴BD=DF=10cm，在Rt△BDF中，BF==10（cm），∴AD+BC=BF=10cm，∴AE=BF=5（cm），∴S梯形ABCD =（AD+BC）•AE=×10×5=50（cm2）．26．∵四边形AEBC是平行四边形，AD=BC，∴AD=BC=AE，BD=AC=BE，在△AEB和△ADB中，，∴△AEB≌△ADB，∴∠ABD=∠ABE．27．（1）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠C=∠ABC，∵BD平分∠ABC，∴∠C=∠ABC=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∴3∠DBC=90°，∴∠DBC=30°，∴∠ABC=∠C=2∠DBC=60°；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=DC，∵AD=3cm，∴AB=DC=3cm，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DBC=30°，DC=3cm，∴BC=2DC=6cm，∴梯形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．28．∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABC=∠C，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=∠C，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠C=2∠DBC，∵BD⊥CD，∴∠DBC=30°，∴BC=2CD，∵梯形的周长=AD+AB+BC+CD=5AB=30cm，∴AB=AD=CD=6cm，BC=12cm29．（1）∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED为平行四边形∴DE∥AC，DE=AC∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴BD=DE，∴∠E=∠DBE，∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠E=45°∵DE∥AC，∴∠E+∠ACE=180°，∴∠ACE=135°（2）∵AD=CE，∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm，∴Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2+DE2=BE2，又∵BD=DE，∴BD2=50，∴S△BDE =cm2．30．（1）线段AC与BC的位置关系是：AC⊥BC，理由是：∵等腰梯形ABCD，∠ADC=120°，∴∠DAB=∠CBA=60°，又由AD=DC，∠ADC=120°，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．（2）过C作CE∥AD交AB于E，∵DC∥AB，CE∥AD，AD=DC，∴四边形ADCE是菱形，∴AD=CE=4，又∠CBA=60°，△CBE为等边三角形，作CF⊥AB于F，∴，则梯形ABCD 的面积为cm2，答：梯形ABCD的面积是12cm2．等腰梯形的性质--- 11。