偏最小二乘法(PLS)简介

偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用 于近红外 、 红外 、拉曼 、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法 〔1, 2〕 。

近年来 , 随着 PLS 方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外 、 红外和拉曼中应用 的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别 、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题 。

由于 PLS 方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果 〔3 ～ 5〕 。

本文主要介绍PLS 方法在光谱定性分析方面的原理及应用 实例 。

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。

该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。

如美国Tripos 公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS 。

在PLS 方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。

替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS 特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。

在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。

§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。

一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。

偏最小二乘法1.1基本原理偏最小二乘法(PLS)是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。

但它相对于主成分回归(PCR)更进了一步，两者的区别在于PLS法将浓度矩阵Y和相应的量测响应矩阵X同时进行主成分分解：X=TP+EY=UQ+F式中T和U分别为X和Y的得分矩阵，而P和Q分别为X和Y的载荷矩阵，E和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差。

偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y中因子的同时也用于描述变量X。

为了实现这一点，数学中是以矩阵Y的列去计算矩阵X的因子。

同时，矩阵Y的因子则由矩阵X的列去预测。

分解得到的T和U矩阵分别是除去了人部分测量误差的响应和浓度的信息。

偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称关联矩阵E：B=(TT )F U因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对关联矩阵B的计算。

1.2主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。

他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。

同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。

新变量是一组正交的，即互不相关的变量。

这种新变量又称为主成分。

如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。

卞面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。

假设有n个样本包含p个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而人小不同。

换句话说，光谱A表示在由p个波长构成的p维变量空间的一组点(n个)，而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。

这条直线其实就是纯光谱b。

因此由m个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。

如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用bl, b2表示，则有：<=c“b： + c i2bl有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴bl,b2来表示。

偏最小二乘法
偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）是一种多元统计分析方法，通常用于处理具有多个自变量（特征）和一个或多个因变量（响应变量）的数据集。

PLS的主要目标是通过线性组合自变量来建立与因变量之间的关系，同时减少自变量之间的多重共线性。

PLS的核心思想是将自变量和因变量进行分解，然后找到它们之间的最大协方差方向。

这种方法可以降低数据维度，同时保留与因变量相关性最高的信息。

PLS可以应用于回归问题和分类问题。

PLS的应用领域包括化学分析、生物信息学、工程、金融和其他领域，特别是在处理高维数据和样本较少的情况下，PLS可以帮助提高模型性能和降低过拟合的风险。

PLS方法通常包括以下步骤：
1. 数据准备：收集自变量和因变量的数据。

2. 标准化：对数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。

3. 模型拟合：建立PLS模型，找到自变量和因变量之间的最大协方差方向。

4. 模型评估：评估模型的性能，通常使用交叉验证等方法。

5. 预测：使用训练好的PLS模型进行新数据的预测。

PLS有不同的变种，包括PLS回归（用于连续因变量），PLS-DA（用于分类问题），以及其他扩展。

这种方法在实际数据分析和建模中具有广泛的应用，可以帮助解决多变量数据分析中的问题。

偏最小二乘回归方法1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。

多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。

而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。

为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。

最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。

它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。

近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。

偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。

它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。

偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。

下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。

偏最小二乘法（PLS）简介-数理统计偏最小二乘法partial least square method是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。

近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。

而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。

这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。

这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。

但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。

偏最小二乘回归可以解决这个问题。

它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y 中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。

现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y= b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。

例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。

偏最小二乘法( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法, 已被广泛应用于近红外、红外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立, 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法〔1, 2〕。

近年来, 随着PLS方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展, PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。

由于PLS方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分, 克服主成分分析( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点, 可有效降维, 并消除光谱间可能存在的复共线关系, 因此取得令人非常满意的定性分析结果〔3 ～5〕。

本文主要介绍PLS方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。

该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。

如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS。

在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。

替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。

在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。

§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。

一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。

在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。

偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种多元统计学方法，常用于建立回归模型和处理多重共线性问题。

它是对线性回归和主成分分析（PCA）的扩展，可以在高维数据集中处理变量之间的关联性，提取重要特征并建立回归模型。

PLS回归可以分为两个主要步骤：PLS分解和回归。

1.PLS分解：PLS分解是将原始的预测变量X和响应变量Y分解为一系列的主成分。

在每个主成分中，PLS根据两者之间的协方差最大化方向来寻找最佳线性组合。

PLS根据以下步骤来获得主成分：1)建立初始权重向量w，通常是随机初始化的；2) 计算X和Y之间的协方差cov(X,Y)；3)将w与X与Y的乘积进行中心化，得到新的X'和Y'；4)标准化X'和Y'，使得它们的标准差为1；5)多次迭代上述步骤，直到达到设定的主成分数目。

2.回归：在PLS分解之后，我们得到了一组主成分，接下来可以使用这些主成分来建立回归模型。

回归模型可以通过以下步骤来构建：1)将X和Y分别表示为主成分的线性组合；2)根据主成分得分对回归系数进行估计；3)使用估计的回归系数将新的X预测为Y。

PLS的实现可以通过以下几种方法：1.标准PLS（NIPALS算法）：它是最常见的PLS算法。

它通过递归地估计每个主成分和权重向量来实现PLS分解。

该算法根据数据的方差最大化原则得到主成分。

2.中心化PLS：数据在进行PLS分解之前进行中心化。

中心化可以确保主成分能够捕捉到变量之间的相关性。

3. PLS-DA：PLS-Discriminant Analysis，是PLS在分类问题中的应用。

它通过利用PLS分解找到最佳线性组合，以区分两个或多个不同的分类。

4. PLS-SVC：PLS-Support Vector Classification，是PLS在支持向量机分类中的应用。

它通过PLS寻找最优线性组合，同时最小化分类误差。

偏最小二乘法（PLS）简介偏最小二乘法（PLS）简介简介偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。

近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。

偏最小二乘法长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。

而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。

这是多元统计数据分析中的一个飞跃。

偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。

偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。

偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。

主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。

这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。

但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。

偏最小二乘回归可以解决这个问题。

它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。

现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了基本概念偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。

例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。

matlab中的偏最小二乘法（pls）回归模型，离群点检测和变量选择【实用版】目录一、偏最小二乘法（PLS）简介二、PLS 回归模型的实现三、离群点检测方法四、变量选择方法五、实例应用六、模型评估与优化正文一、偏最小二乘法（PLS）简介偏最小二乘法（PLS）是一种多元统计数据分析方法，于 1983 年由S.Wold 和 C.Albano 等人首次提出。

PLS 实现了在一个算法下，可以同时实现回归建模（多元线性回归）、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量之间的相关性分析（典型相关分析）。

与 PCA 方法相比，PLS 不仅解决了自变量共线性的问题，还考虑了自变量主元对于因变量变化的解释作用。

二、PLS 回归模型的实现在 MATLAB 中，可以通过调用 pls.m 函数建立 PLS 回归模型。

该函数返回一个包含成分列表的对象 PLS。

在构建模型时，需要对数据进行预处理，包括去除离群点和选择重要变量。

三、离群点检测方法离群点是指数据集中与其它数据点显著不同的点。

在 PLS 回归模型中，离群点可能会对模型的性能产生负面影响。

为了识别和处理离群点，可以采用以下方法：1.基于残差的方法：通过计算数据点预测残差并与某个阈值进行比较，判断该数据点是否为离群点。

2.基于距离的方法：计算数据点到其它数据点的距离，根据距离阈值判断是否为离群点。

3.基于聚类的方法：对数据集进行聚类分析，将距离聚类中心较远的点视为离群点。

四、变量选择方法在 PLS 回归模型中，变量选择是为了找到对因变量影响最大的自变量。

常用的变量选择方法包括：1.逐步回归法：从特征集开始，每一步根据某种准则（如 VIF、R 方等）移除一个特征，直到满足停止条件。

sso 回归法：在回归模型中添加 L1 惩罚项，使得部分系数变为0，从而实现变量选择。

3.主成分分析（PCA）：将原始变量映射到新的主成分上，选择主要成分作为新变量，减少变量数量。

五、实例应用本文以基准近红外数据为例，建立 PLS 回归模型，并采用离群点检测和变量选择方法进行数据预处理。