海淀区-2018学年第二学期期中高一数学试题及答案
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海淀区高一年级第二学期期中练习数 学学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. =︒︒+︒︒12sin 18cos 12cos 18sin（ ） A ．21 B ．21-C ．23 D ．23- 2. 在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（ ）A ．43 B ．61C ．21D ．1 3. 函数()sin cos f x x x =的最大值为（ ）A ．1B ．12CD ．324. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（ ） A ．3 B ．6 C． D ．125. 如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．5千米 B． C. 4千米D.6. 如图1，直线EF 将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，//BF 平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立7. 在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．sin sin A C <B ．cos cos AC > C ．tan tan A B <D ．cos cos B C <8. 在ABC ∆中，若2AC =，60B ∠=︒，45A ∠=︒， 点D 为AB 边上的动点，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．存在点D 使得BCD ∆为等边三角形B ．存在点D 使得1cos 3CDA ∠=C ．存在点D 使得:BD DC =D ．存在点D 使得1CD =二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 求值：22cos 15sin 15︒-︒= .ABCDEF1图ACDE F2图A C B 75︒30︒10. 已知tan32α=，则tan α的值为 . 11. 已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 .12. 在△ABC 中，已知60A =︒，a =3b =，则c = .13.若α，β均为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是 .14. 如图，的正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 逆时针旋转θ（0θ>），若旋转后三棱锥111D DC A -与其自身重合，则θ的最小值是 ；三棱锥111D DC A -在此旋转过程中所成几何体的体积为 .三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.16. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD AD =，45ACD ∠=︒，90BCD ∠=︒.（Ⅰ）求证：BC =；（Ⅱ）若AB =BC 的长.17. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，， 侧面底面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点G ，使得平面？并说明理由．18．正四棱锥S ABCD -的展开图如右图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积记为()f α，体积记为()g α．（Ⅰ）求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求()()g f ααa b c ，，为常数；（Ⅲ）试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）()()()海淀区高一年级第二学期期中练习参考答案数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.注：第12题对一个给2分，有错误答案不给分；第14题每空2分。
三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 15.（本小题11分） 解：（Ⅰ）由()2sin (cos sin )1f x x x x =-+22sin cos 2sin 1x x x =-+sin 2cos 2x x =+ ……………………………4分π)4x +. ……………………………6分2πT πω==，所以()f x 的最小正周期为π ………………………………7分（Ⅱ） 因为π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以π3π2,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以[]20,π4x π+∈. ………………………………9分当ππ2=42x +，即π=8x 时，()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ………11分16. （本小题11分） 解：（Ⅰ）在△ACD 中，45ACD ∠=︒，由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD=∠∠， …………………2分sin sin sin 2AD ADC AC ADCACD ⋅∠===⋅∠∠所以.………3分 在△BCD 中，90BCD ∠=︒，则sin BC BD BDC =⋅∠ . …………………6分因为πBDC ADC ∠+∠=，2BD AD =，所以sin 2sin BC BD BDC AD ADC =⋅∠=⋅∠=. …………………7分即BC =.（Ⅱ）在△ABC 中，135ACB ACD BCD ∠=∠+∠=︒，BC =由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠. (9)分即)22252(52AC AC AC =+-⨯= ……………………10分 因为0,AC >所以1,AC BC ==. ……………………11分 17. （本小题11分） （Ⅰ）证明： 方法一：取1CC 中点M ，连接FM ，BM ． 在△1CC D 中，因为,F M 分别为11,C D C C 中点， 所以//FM CD ，12FM CD =.在平行四边形中，因为//CD AB ，E 为AB 中点， 所以//FM EB ，FM EB =. 所以四边形FMBE 是平行四边形. 所以//EF BM .又因为BM ⊂平面，EF ⊄平面，所以//EF 平面． ………………………………4分 方法二：取CD 中点M ，连接FM ，EM ． 在△1CC D 中，因为,F M 分别为1,C D CD 中点， 所以1//FM CC .在平行四边形中，,E M 分别为,AB CD 中点， 所以//EM CB .又因为EM FM M =I ，,EM FM ⊂平面EFM ，1,CC CB ⊂平面11B BCC ， 所以平面//EFM 平面11B BCC . 又因为EF ⊂平面EFM ，所以//EF 平面11B BCC ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面平面 ，平面11B BCC ∩平面ABCD BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面11B BCC . 因为BM ⊂平面， 所以AC BM ⊥. 又因为//EF BM ，所以EF AC ⊥． ………………………………8分 （Ⅲ）在线段不存在点使得平面. ……………………………9分假设存在点使得平面，因为11C D ⊂平面， 所以11C D .而AC 与11C D 不垂直，矛盾.所以在线段不存在点使得平面. ……………………………11分18．（本小题11分） 解：（Ⅰ）因为正四棱锥S ABCD -中，1SA SB ASB α==∠=，，所以()4SAB f S α∆=+S 四边形ABCB 214sin 2SA SB ASB AB =⨯⋅⋅⋅∠+22 2sin 2cos SA SB SA SB ASB α=++-⋅⋅∠2sin 22cos αα=+-，其中π(0 )2α∈，． ………………………………4分 （Ⅱ）设正方形ABCD 中心为点O ，则2211(22cos )1cos 22OA AB αα==-=-．所以在Rt SOA △中，222cos SO SA OA α=-=．所以11()(22cos 33ABCD g S SO αα=⋅⋅=-正方形．……………………………8分所以()()g f αα=法一：222sin ()1122()332sin cos 2sin cos sin 22222g f ααααααα==++，所以22sin cos ()111cos cos 2()9921sin 12sin cos 22g f ααααααααα⎛⎫-==⋅⋅ ⎪+⎝⎭+.所以())()2g f απαα=<<． ………………………………10分 法二：222()1(1cos )cos 1(1cos )cos ()922sin 2cos 2sin cos 18(1sin )(1cos )g f αααααααααααα⎛⎫--=⋅= ⎪+--+-⎝⎭，所以())()2g f απαα=<<． ………………………………10分g f αα有最大值，无最小值．………………………………11分（Ⅲ）()()。
