七年级三角形的内角与外角角平分线培优练习题

冀教新版七年级下学期《9.2 三角形的内角和外角》同步练习卷一．选择题（共25小题）1．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分线∠BAC．过点D 作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．70°2．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（）A．36°B．72°C．108°D．144°3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若∠B＝∠ACB，∠BAC＝40°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝（）A．92°B．94°C．96°D．98°5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，D、E分别为AB、AC上的点，将△BCD，△ADE沿CD、DE翻折，点A、B恰好重合于点F处，则∠ACF＝（）A．22°B．25°C．28°D．31°6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°7．如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（）A．∠3＝2∠1+∠2B．∠3＝∠1+2∠2C．∠3＝∠1+∠2D．∠3＝180°﹣∠1﹣∠28．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°9．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE、BD交于点F，∠A＝50°，∠BCA＝60°，那么∠BFC的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°10．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠CDE的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．120°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD 折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°12．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝45°，∠C＝35°，则∠AED＝（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°14．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°15．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A ＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C，⑤2∠A＝2∠B＝∠C，不能确定△ABC 是直角三角形的条件有（）个．A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（）A．42°B．66°C．69°D．77°17．如图，在△ABC中，直线DE分别交AB、AC于点D、E，DE∥BC，∠1＝105°，∠B＝65°，则∠A的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°18．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°19．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD 于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°20．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°21．如图，在△ABC中，点P是△ABC的三条角平分线的交点，则∠PBC+∠PCA+∠P AB＝（）A．45°B．120°C．180°D．90°22．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个23．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°24．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（）A．75°B．80°C．85°D．90°25．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β冀教新版七年级下学期《9.2 三角形的内角和外角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分线∠BAC．过点D 作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．70°【分析】依据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再根据角平分线以及垂线的定义，即可得到∠ADE的度数．【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝60°，又∵AD平分线∠BAC，∴∠BAD＝30°，又∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，∠ADE＝60°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．2．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】依据2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，即可得出2（180°﹣∠C）＝3∠C，进而得到∠C的度数，可得∠C的补角．【解答】解：∵2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝3∠C，∴∠C＝72°，∴∠C的补角等于108°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及补角的概念，解题时注意：三角形内角和是180°．3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若∠B＝∠ACB，∠BAC＝40°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到结论【解答】解：∵∠B＝∠ACB，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB＝70°是解题的关键．4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝（）A．92°B．94°C．96°D．98°【分析】先根据三角形的外角性质求出∠DEC的度数，再根据平行线的性质得出结论即可．【解答】解：∵∠DEC是△ADE的外角，∠A＝46°，∠1＝52°，∴∠DEC＝∠A+∠1＝46°+52°＝98°，∵DE∥BC，∴∠2＝∠DEC＝98°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形的外角性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，D、E分别为AB、AC上的点，将△BCD，△ADE沿CD、DE翻折，点A、B恰好重合于点F处，则∠ACF ＝（）A．22°B．25°C．28°D．31°【分析】根据折叠的性质即可得到AD＝FD＝BD，推出D是AB的中点，可得CD＝AB＝AD＝BD，想办法求出∠FCB即可解决问题；【解答】解：由折叠可得，AD＝FD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝31°，∠BCD＝∠B＝59°，∴∠BCF＝2∠BCD＝118°，∴∠ACF＝118°﹣90°＝28°，故选：C．【点评】本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC＝90°+∠A，∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°，故选：D．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．7．如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（）A．∠3＝2∠1+∠2B．∠3＝∠1+2∠2C．∠3＝∠1+∠2D．∠3＝180°﹣∠1﹣∠2【分析】根据四边形的内角和是360°和平角的定义求解．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，∴∠A＝∠A′，即∠1＝∠A′，∵∠4＝180°﹣∠2﹣∠A′＝180°﹣∠2﹣∠1，又∵∠B+∠C＝180﹣∠1，∠3+∠4+∠B+∠C＝360°∴∠3+180°﹣∠2﹣∠1+180°﹣∠1＝360°∴∠3＝2∠1+∠2，故选：A．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），多边形的内角和定理．图形在折叠的过程，会出现全等的图形﹣﹣相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．8．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A＝50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE、BD 交于点F，∠A＝50°，∠BCA＝60°，那么∠BFC的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠ABC＝35°，根据三角形外角的性质计算．【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝70°，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝35°，∵CE为△ABC的高，∴∠BEC＝90°，∴∠BFC＝∠EBF+∠BEF＝125°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．10．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠CDE的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．120°【分析】根据角平分线定义求出∠FCB和∠EBC，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠EBC＝∠ABC＝＝25°，∠FCB＝＝＝35°，∴∠CDE＝∠EBC+∠FCB＝25°+35°＝60°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线定义和三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出∠CDE＝∠EBC+∠FCB是解此题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD 折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE度数为（）A．71°B．64°C．38°D．45°【分析】由折叠的性质可求得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题．【解答】解：由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∵∠A＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝26°+45°＝71°，∴∠ADE＝180°﹣71°﹣71°＝38°故选：C．【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．12．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可得到正确结论．【解答】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，即①正确；∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF∴∠DCF＝∠ACF，∠DBC＝∠ABC，∵∠DCF是△BCD的外角，∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC，即②正确；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°+∠ABC）＝90°﹣∠ABC＝90°﹣∠ABD，即③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，即④错误；∴正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝45°，∠C＝35°，则∠AED＝（）A．80°B．82.5°C．90°D．85°【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC＝100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC＝47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣35°＝100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD═50°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+45°＝95°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC═47.5°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠AED＝35°+47.5°＝82.5°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．14．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°【分析】先根据图形翻折变化的性质得出∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，再根据三角形内角和定理即可求出∠AED+∠ADE及∠NED+∠NDE的度数，再根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成，∴∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，∠A＝∠N＝65°，∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．故选：D．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A ＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C，⑤2∠A＝2∠B＝∠C，不能确定△ABC 是直角三角形的条件有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形内角和定理可判断．【解答】解：若①∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°若②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°若③∠A＝90°﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°若④∠A＝∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A＝∠B＝∠C＝60°若⑤2∠A＝2∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°∴不能确定△ABC是直角三角形的条件有1个故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是本题的关键．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（）A．42°B．66°C．69°D．77°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC可得答案．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，∴∠B＝90°﹣∠A＝66°．由折叠的性质可得：∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝69°．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．17．如图，在△ABC中，直线DE分别交AB、AC于点D、E，DE∥BC，∠1＝105°，∠B＝65°，则∠A的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质分析得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝65°，∴∠ADE＝65°，∵∠1＝105°，∴∠A的度数是：105°﹣65°＝40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的外角以及平行线的性质，正确掌握三角形外角的性质是解题关键．18．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质求出∠AED+∠AFD的度数，然后根据平角等于180°解答．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×120°＝240°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣240°＝360°﹣240°＝120°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．19．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD 于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，那么∠BFC的度数是（）A．110°B．l15°C．120°D．125°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝50°，依据BD为△ABC的角平分线，可得∠ABD＝25°，根据CE为△ABC的高，即可得到∠BEF＝90°，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFC＝∠BEF+∠ABD．【解答】解：∵∠A＝80°，∠BCA＝50°，∴∠ABC＝50°，又∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝25°，∵CE为△ABC的高，∴∠BEF＝90°，∴∠BFC＝∠BEF+∠ABD＝90°+25°＝115°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了垂直的定义以及三角形内角和定理．21．如图，在△ABC中，点P是△ABC的三条角平分线的交点，则∠PBC+∠PCA+∠P AB＝（）A．45°B．120°C．180°D．90°【分析】根据角平分线性质可得∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB，∠P AB ＝∠BAC，根据三角形内角和为180°即可解题．【解答】解：∵点P是△ABC三条边角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB，∠P AB＝∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠PBC+∠PCA+∠P AB＝90°，故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理．22．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝∠BAC﹣∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，∴正确的有①②④，共三个，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键23．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB＝78°＝39°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB＝39°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．24．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（）A．75°B．80°C．85°D．90°【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．25．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．。

七年级三角形的内角与外角角平分线培优练习题（优选.)三角形的内角与外角角平分线1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。

（1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D= .（2）∠A=100°，则∠D= .（3）∠D=150°，则∠A= .（4）写出∠D和∠A的关系2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，（1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D= .（2）∠A=100°，则∠D= .（3）∠D=50°，则∠A= .（4）写出∠D和∠A的关系3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，（1）∠1=80°，∠2=50°则∠O= .（2）∠A=100°，则∠O= .（3）∠D=50°，则∠A= .（4）设∠BOC=a，则∠A等于.4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点，则∠BDC度数是（）A．133°B．86°C．109.5°D．88°5、如图所示，已知△ABC 中，∠A=84°，点B 、C 、M 在一条直线上，∠ABC 和∠ACM 两角的平分线交于点P 1，∠P 1BC 和∠P 1CB 两角的平分线交于点P 2，∠P 2BC 和∠P 2CB 两角的平分线交于点P 3，则∠P 3的度数是 .6、如图△ABC 中，∠A=96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点A 1∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于点A 5，则∠A 5的度数为（ ）7、如图所示，已知△ABC 中，∠A=84°，点B 、C 、M 在一条直线上，∠ABC 和∠ACM 两角的平分线交于点P 1，∠P 1BC 和∠P 1CM 两角的平分线交于点P 2，∠P 2BC 和∠P 2CM 两角的平分线交于点P 3，则∠P 3的度数是 .8、如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.赠人玫瑰，手留余香。

()专题04 三角形的角平分线及其规律专题解读】无论是中考，或者是竞赛中，常常有与三角形的角平分线（包括内、外角的平分线）相关的问题.这类题目形式多样，变化方向非常广泛。

如果我们能够善于对这类有关三角形的角平分线的基本图形进行归类，并对角平分线的性质和结论做好总结，那么必将对我们的学习产生很大的帮助，也将更有利于我们有效地找寻到解决有关的较难几何证明题的思路与方法.思维索引例1.（1）如图（1），在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，已知：∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数； （2）如图（2），∠BAC 的角平分线AF 交BC 于点E ，过点F 作FD ⊥BC 于点D ，若∠C -∠B=30°，求∠F 的度数.E DAED AB BF图（1） 图（2）例2.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D .设OAC x ∠=︒图1 图2 （1）如图1，若AB /∥ON ，则 ①∠ABO 的度数是____________②当∠BAD =∠ABD 时，x =__________；当∠BAD =∠BDA 时，x =____________（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由.例3.已知：△ABC 中，记,BAC ACB αβ∠=∠=.（1）如图1，若AF 平分∠BAC ，BF 、CF 分别平分△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE ，BG ⊥AF 于点G . ①用α的代数式表示∠BFC 的度数；②用β的代数式表示∠FBG 的度数；（2）如图2，若点F 为△ABC 的三条内角平分线的交点，且BG ⊥AF 于点G . ①请补全图形；②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正确的结论.EB图1 图2素养提升1.△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点D ，连接AD ，若∠BDC =130°，则∠BAD 为（ ） A.65° B.60° C.40° D.35°2.如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠EAC 和∠FCA 的平分线交于点D ，则∠ADC 为（ ） A.75° B.69° C.63° D.45°3.如图，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点F 、D ，若∠BEC=132°，∠BGC=118°，则∠A 为（ ） A.65° B.66° C.70°D.78°BBEB第1题图 第2题图 第3题图4.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于1D ，∠AB 1D 与∠AC 1D 的角平分线于点2D ，依次类推，∠AB 5D 与∠AC 5D 的角平分线交于点6D ，则∠B 6D C 的度数是（ ） A.56° B.60° C.68° D.54°5．如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论：①AD //BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC =12∠BAC .其中正确的结论有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个BBB第4题图 第5题图 第6题图6．△ABC 的外角平分线CD 与∠ABC 平分线BD 交于点D ，若∠BDC =40°，则∠CAD =________． 7．如图，在△ABC 中，∠A =m °，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，∠1A BC 的平分线与1ACD ∠的平分线交于点21,,n A A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，则n A ∠=__________°.（用含m 的代数式表示） 8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 的角平分线与∠DCB 的外角平分线相交于点F ，且∠A +∠D=210°，则∠F =_____________°.9.如图，若AB //CD ，BF 平分∠ABE ，CF 平分∠DCE ，∠BEC=86°，则∠BFC =__________°.2BB第7题图 第8题图 第9题图10.如图，在△ABC 中，∠A=60°，HI 、FI 分别平分∠ABC 、∠ACB ，BD 、CD 分别平分∠HBC 、∠BCF ，BE 、CE 分别平分∠DBC 、∠DCG ，则∠E =_________°.11.（1）如图甲，在凹四边形ABCD 中，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点E ，∠A=60°，∠BDC=140°，则∠E =__________°（2）如图乙，∠ABD ，∠BAC 的角平分线交于点E ，∠C=40°，∠BDC=140°，求∠AEB 的度数； （3）如图丙，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点1F 、2F 、…、9F ，若∠BDC =120°，∠B 3F C =64°，则∠A 的度数为___________.B图甲 图乙 图丙12.如图，已知点A 、B 分别在∠ECF 的两边上（不与点C 重合），AD 、BD 平分∠EAB 和∠ABF 相交于点D .（1）如图1，若∠ECF =90，试猜想∠ADB =________________°； （2）在（1）的基础上，若∠ECF 每秒钟变小10°，经过了1秒（09t <<）， ①试用含t 的代数式表示∠ADB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠ECF 与∠ADB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG 平分∠ABC ，其它条件不改变，是否存在t ，使得23BGD ADB ∠=∠，若存在直接写出t 的值，若不存在，请说明理由.CA图（1） 图（2）13．（1）如图1，BD 、BC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝ ．（2）如图2，将△ABC 沿BC 向右平移后可得△FCE ，BD 、DE 分别平分∠ABC 、∠FE C ．∠A ＝n °，求∠BDE 的度数；（3）如图3，将△ABC 绕点C 旋转180°得△EFC ，DA 平分∠BAC ，DB 平分∠ABC ，GF 平分∠CFE 、GE 平分∠CEF 的外角，试探究∠ADB 与∠FGE 有何确定的数量关系，并说明理由．BCD A BCDEFAAH GFEDCB图1 图2 图314．直线EF 与直线MN 垂直相交于O ，点A 在直线EF 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AG 、BG 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AGB 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AGB 的大小；（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠EAB 和∠ABM 的角平分线，又DG 、CG 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CGD 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，延长AB ，已知∠BAO 和它的外角平分线分别与∠AON 的角平分线及其延长线相交于G 、C ，在△BCG 中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠BAO 的度数．AOMGF E BNAONM GFED CB A ONMG FECB图1 图2 图3专题04三角形的角平分线及其规律思维索引】例1．(1)∠DAE ＝10° (2)∠F ＝15°例2．(1)①∠ABO ＝20° ②120；60 (2)20；35；50；125例3．(1)①∠BFC ＝90°－12α； ②．∠FBG ＝90°－12β (2)①∠BFC ＝90°＋12α； ②∠FBG ＝12β．素养提升】1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C ； 6．50°； 7．2nm； 8．15°； 9．43°； 10．30°； 11．(1)100°； (2)130°； (3)40°；12．(1)45°； (2)①45°＋5t ； ②t ＝3秒； (3)t ＝1.8． 13．(1)125°； (2) 90°＋12n ； (3)∠ADB ＝90°＋∠FGE ．14．(1)45°； (2)67.5°； (3)45°或36°．。

与三角形有关的角三角形的内角第1课时三角形的内角和01基础题知识点1三角形内角和定理1．在△ABC中，(1)若∠A＝20°，∠B＝60°，则∠C＝100°；(2)若∠A＝20°，∠B＝∠C，则∠C＝80°；(3)若∠A＝20°，∠B－∠C＝30°，则∠C＝65°；(4)若∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝60°；(5)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠C＝90°．2．如图，AC和BD相交于点O，∠A＝20°，∠B＝40°，则∠C＋∠D的度数为60°．3．写出下列图中x的值：(1)x＝45；(2)x＝75．知识点2三角形内角和定理与三角形的角平分线4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为(D)A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数．解：∵∠A ＝36°，∠C ＝72°， ∴∠ABC ＝72°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°.知识点3 三角形内角和定理与平行线的性质6．(衡阳中考)如图，直线AB ∥CD ，∠B ＝50°，∠C ＝40°，则∠E 等于(C )A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°7．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠ADE ＝155°，则∠B 的度数为65°．知识点4 三角形内角和定理的应用8．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A ＝100°，∠B ＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C 的度数为(B )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N点方向前进16 m ，到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为55°，则建筑物M 处观测A ，B 两处的视角∠AMB 是多少度？解：根据题意可知∠A ＝30°，∠MBN ＝55°. ∵∠ABM ＋∠MBN ＝180°， ∴∠ABM ＝180°－55°＝125°. ∵∠A ＋∠ABM ＋∠AMB ＝180°， ∴∠AMB ＝180°－125°－30°＝25°.02 中档题10．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝(C )A ．360°B ．180°C ．280°D ．320°11．(邵阳中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝46°，∠C ＝54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是(C )A ．45°B ．54°C ．40°D ．50°12．在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 是直角三角形．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC ＝18°．14．如图，将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠，使AD 与A′D 重合，AE 与A′E 重合，若∠A ＝30°，则∠1＋∠2＝60°．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线BE ，CD 相交于点F ，已知∠ABC ＝42°，∠A ＝60°，求∠BFC 的度数．解：∵∠ABC ＝42°，∠A ＝60°， ∴∠ACB ＝78°.∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点F ，∴∠FBC ＝12∠ABC ＝21°，∠FCB ＝12∠ACB ＝39°.∴∠BFC ＝180°－(∠FBC ＋∠FCB)＝120°.16．如图，按规定，一块模板中AB 、CD 的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC ，测得∠BAC ＝32°，∠DCA ＝65°，此时AB 、CD 的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？解：不符合规定． 延长AB 、CD 交于点O ，∵在△AOC 中，∠BAC ＝32°，∠DCA ＝65°，∴∠AOC ＝180°－∠BAC －∠DCA ＝180°－32°－65°＝83°＜85°. ∴模板不符合规定．17．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.∵∠CBA＝75°－30°＝45°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°.18．如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．解：∵DF∥EC，∴∠BCE＝∠D＝42°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.∵∠A＝46°，∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.第2课时直角三角形的两个锐角互余01基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个3．(宁波中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为(B) A．40°B．50°C．60°D．70°4．(咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(C) A．50°B．45°C．40°D．30°5．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于90度．6．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝35°，则∠BCD的度数为35°．知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形7．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为直角三角形．8．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形．∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．02中档题9．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．70°10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则其中直角三角形的个数是(B)A．1 B．2 C．3 D．411．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－α，则△ABC是直角三角形吗？是．12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，∴∠PEF＝12∠BEF，∠PFE＝12∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∴△EPF为直角三角形．03综合题13．如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形．∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°.∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.三角形的外角01基础题知识点1认识外角1．如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角．2．如图，以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD．知识点2三角形内角和定理的推论3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能4．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于(B) A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝110°.6．已知△ABC的三个内角度数之比是1∶2∶3，则三个外角对应的度数之比是5∶4∶3．7．求出图中x的值．解：由图知x＋80＝x＋(x＋20)．解得x＝60.知识点3三角形内角和定理的推论与平行线的性质、三角形的角平分线8．(红河中考)如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为(C)A．60° B．65°C．70° D．75°9．(昆明中考)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(A)A．85°B．80°C．75°D．70°10．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝80度．02中档题11．(内江中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(A)A．75° B．65° C．45° D．30°12．(乐山中考改编)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝85°．13．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝60°，则∠2＝150°．14．如图，∠α＝125°，∠1＝50°，则∠β的度数是105°．15．如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数．解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.。

七年级数学下册三角形内角和专题培优-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN七年级数学下册三角形内角和专题培优一、选择题1. 下列命题：① 多边形的外角和小于内角和② 三角形的内角和等于外角和③ 多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个2. 一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加( )(A)180° (B)90° (C) 360° (D)540°3.在四边形ABCD 中，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数之比为2∶3∶4∶3，则D ∠的外角等于( )（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°4. 在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是 ( )(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 105.一个多边形除1个内角外，其余各内角和为2570，则这个内角的度数为 ( ) （Ａ）︒50 （Ｂ）105 （Ｃ）120 （Ｄ）1306.如图，EF //CD //AB ，则下列各式中正确的是 ( )（A ）∠1＋∠2＋∠3＝180°（B ）∠1＋∠2－∠3＝90°（C ）∠1－∠2＋∠3＝90° （D ）∠2＋∠3－∠1＝180°7. 在下列条件中：①C B A ∠=∠+∠ ②321::C :B :A =∠∠∠③B A ∠-︒=∠90 ④C B A ∠=∠=∠中，能确定ABC ∆是直角三角形的条件有( )（Ａ）①②（Ｂ）③④（Ｃ）①③④（Ｄ）①②③8.下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部;②三角形三条高至多有两条不在三角形内部;③三角形的三条高的交点不在三角形内部,就在三角形外部;④钝角三角形三内角的平分线的交点一定不在三角形内部.其中正确的个数为（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个9.如图,A D ⊥BC, A D ⊥BC, GC ⊥BC, CF ⊥AB,D,C,F 是垂足,则下列说法中错误的是( )A. △ABC 中,AD 是BC 边上的高B. △ABC 中,GC 是BC 边上的高 D. △GBC 中,GC 是BC 边上的高 D. △GBC 中,CF 是BG 边上的高AF GB C D10.若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )A．90°；B．105°；C．130°；D．120°.11.锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C。

三角形的内角与外角角平分线培优练习题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]三角形的内角与外角角平分线1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。

（1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D=.（2）∠A=100°，则∠D=.（3）∠D=150°，则∠A=.（4）写出∠D和∠A的关系2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，（1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D=.（2）∠A=100°，则∠D=.（3）∠D=50°，则∠A=.（4）写出∠D和∠A的关系3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，（1）∠1=80°，∠2=50°则∠O=.（2）∠A=100°，则∠O=.（3）∠D=50°，则∠A=.（4）设∠BOC=a，则∠A等于.4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点，则∠BDC度数是（）A．133°B．86°C．109.5°D．88°5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是.8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.P3P2P1C B。

三角形的内角与外角计算练习题在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一。

学习三角形的性质和计算方法对理解其他几何图形和解题方法都有很大的帮助。

本文将为您提供一些关于三角形内角与外角计算的练习题，帮助您巩固相关概念和技巧。

练习题1：已知△ABC，∠A=50°，AB=5cm，AC=6cm，求∠B 和∠C 的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形ABC的内角之和为180°。

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 50° - ∠C，由此可知∠B的度数。

同理，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - ∠B，由此可知∠C的度数。

三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。

所以△ABC的外角之和为3 * 180° = 540°。

练习题2：已知△DEF，DE=8cm，∠D=60°，求角∠E 和∠F 的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形DEF的内角之和为180°。

∠E = 180° - ∠D - ∠F = 180° - 60° - ∠F，由此可知∠E的度数。

同理，∠F = 180° - ∠D - ∠E = 180° - 60° - ∠E，由此可知∠F的度数。

三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。

所以△DEF的外角之和为3 * 180° = 540°。

练习题3：已知△GHI，∠G=70°，∠H=45°，求角∠I的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形GHI的内角之和为180°。

∠I = 180° - ∠G - ∠H = 180° - 70° - 45°，由此可知∠I的度数。

章节测试题1.【题文】若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是______．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=______．（用α、β表示）【答案】∠APB=α－β∠P5=α－β【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠MAC＋∠NCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠MAC＋∠NBC；（2）根据角平分线的定义表示出∠PAC＋∠PBC，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（3）根据（2）的结论分别表示出∠P1、∠P2…，从而得解．【解答】解：（1）∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，∴∠MAC＋∠NCB＝∠EAC＋∠FBC＝β，∵AM∥BN，∴∠C＝∠MAC＋∠NCB，即α＝β；（2）∵∠EAC的平分线与∠FBC平分线相交于P，∴∠PAC＋∠PBC＝∠EAC＋∠FBC＝β，∴∠C＝∠APB＋（∠PAC＋∠PBC），∴α＝∠APB＋β，即∠APB＝α－β；（3）由（2）得，∠P1＝∠C－（∠PAC＋∠PBC）＝α－β，∠P2＝∠P1－（∠P2AP1＋∠P2BP1），＝α－β－β＝α－β，∠P3＝α－β－β＝α－β，∠P4＝α－β－β＝α－β，∠P5＝α－β－β＝α－β．2.【题文】如图，在△ABC中，∠B=50°，∠AEC=80°，CE平分∠ACB，求∠A 和∠BCE的度数．【答案】70°，30°【分析】根据三角形外角的性质得出∠BCE＝∠AEC－∠B，由CE平分∠ACB，求得∠BCA的度数，根据三角形内角和定理就可以求出∠A．【解答】解：∵∠B＝50°，∠AEC＝80°，∴∠BCE＝∠AEC－∠B＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠BCE＝60°，∴∠A＝180°－∠B－∠BCA＝70°．3.【题文】如图，在中，平分，且，求的度数．【答案】72°【分析】先根据角平分线定义得到∠BAD=∠BAC，再利用三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C=180°，加上∠B=3∠BAD，所以2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，解得∠BAD=18°，则∠B=54°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=3∠BAD，∴2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴∠BAD=18°，∴∠B=3∠BAD=54°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=18°+54°=72°．4.【题文】认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题. 探究1：如图(1)在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°－∠A)=90°－∠A.∴∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－(90°－∠A)=90°+∠A探究2：如图(2)中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.【答案】∠BOC=∠A.【分析】根据提供的信息，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC 与∠A的关系；【解答】解：结论：∠BOC=∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD．又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1．∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A，即∠BOC=∠A．5.【题文】如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE平分线交于D，求∠D的度数．【答案】25°．【分析】根据角平分线的性质可得∠4=∠ACE，∠2=∠ABC，利用三角形外角的性质，找出∠D和∠A的关系，即可求∠D的度数．【解答】解：∵∠ABC的平分线BD与△ACB的外角∠ACE的平分线CD相交于点D，∴∠4=∠ACE，∠2=∠ABC，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D=∠4﹣∠2，=∠ACE﹣∠ABC，=（∠A+∠ABC）﹣∠ABC，=∠A+∠ABC﹣∠ABC=∠A，∵∠A=50°，∴∠D=25°．6.【题文】某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触焦的危险？请说明理由.【答案】（1）BP=7海里；（2）没有危险，理由见解析.【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解．（2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°,从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小.【解答】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30°∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°-15°=15°，∴∠PAB=∠APB∴BP=AB=7（海里）（2）过点P作PD垂直AC，则∠PDB=90°∴PD=PB=3.5＞3∴没有危险7.【题文】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数．【答案】66.5°【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．8.【题文】如图，在△ABC中，∠C=90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数．【答案】45°．【分析】先利用三角形外角性质求出∠EAB+∠FBA=270°，DA,DB是角平分线，所以∠DAB+∠DBA=135°，易得∠D度数.【解答】解：根据三角形的外角性质，∠EAB=∠ABC+∠C，∠ABF=∠BAC+∠C，∵AD、BD分别是∠EAB，∠ABF的平分线，∴∠DAB+∠DBA=（∠ABC+∠C+∠BAC+∠C）=（∠ABC+∠BAC）+∠C，∵∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°﹣90°=90°，∴∠DAB+∠DBA=×90°+90°=135°，在△ABD中，∠D=180°﹣135°=45°．9.【题文】如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.【答案】(1) (2) (3)【分析】如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.【解答】解：在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∵BP与CP是△ABC的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-α．在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-α）=90°+α．∴β=90°+α．故答案为：β=90°+α．如图（2），结论：∠BPC=∠A．证明如下：∠P=∠1-∠2=（∠ACD-∠ABC）=∠A．∴β=α；故答案为：β=α；如图（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，∴∠CBP=（∠A+∠ACB），∠BCP=（∠A+∠ABC），∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-（∠ABC+∠ACB），∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-（∠ABC+∠ACB）=90°-α，即β=90°-α．故答案为：β=90°-α．10.【题文】已知∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，求∠BDC的度数．【答案】110°.【分析】连接AD并延长，利用三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可证得：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=110°.【解答】解：连接AD，并延长．∵∠3＝∠1＋∠B，∠4＝∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠3＋∠4＝(∠1＋∠B)＋(∠2＋∠C)＝∠B＋∠BAC＋∠C，∵∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°，∴∠BDC＝110°.11.【题文】如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE 的延长线交BC的延长线于点G.求证：(1)∠EGH>∠ADE；(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形的外角性质得出∠EGH>∠B，再根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案；（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．【解答】证明：(1)因为∠EGH是△FBG的外角，所以∠EGH>∠B.又因为DE∥BC，所以∠B＝∠ADE.所以∠EGH>∠ADE.(2)因为∠BFE是△AFE的外角，所以∠BFE＝∠A＋∠AEF.因为∠EGH是△BFG的外角，所以∠EGH＝∠B＋∠BFE.所以∠EGH＝∠B＋∠A＋∠AEF.又因为DE∥BC，所以∠B＝∠ADE，所以∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.12.【题文】如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE 的度数．【答案】10°.【分析】由∠BAC=80°，AE平分∠BAC，可得：∠BAE=40°，结合∠AEC=∠B+∠BAE及∠B=60°，可得∠AEC=100°；由AD⊥BC可得∠ADE=90°，再由∠AEC=∠DAE+∠ADE，就可计算出∠DAE的度数.【解答】解：∵∠BAC=80°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°+40°=100°.∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°.∵∠AEC=∠DAE+∠ADE，∴∠DAE=∠AEC-∠ADE=100°-90°=10°.13.【题文】一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．【答案】50°，理由见解析.【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3-∠2等于∠1的邻补角的度数．【解答】解：小刚的答案为50°．理由如下：如图，设∠1的邻补角为∠4，∵∠1=130°，∴∠4=180°-130°=50°，∵∠3是人字架三角形的外角，∴∠3=∠2+∠4，∴∠4=∠3-∠2=50°，∴∠3比∠2大50°．14.【题文】如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数．【答案】66.5°【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66.5°；故答案是：66.5°．15.【题文】如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F. （1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？【答案】【答案:（1）∠F=（∠B+∠D）；（2）3.【分析】（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．（2）设∠B=2α，则∠D=4α．利用（1）中的结论和已知条件来求x的值．【解答】解： 1）∠F=（∠B+∠D）；理由如下：∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，∴∠D+∠1=∠3+∠F①同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②又∵∠DEA，∠BCA的平分线相交于F，∴∠1=∠2，∠3=∠4；∴①﹣②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴设∠B=2α，则∠D=4α，∴∠F=（∠B+∠D）=3α，又∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴x=3．16.【题文】如图，在△ABC中，∠1 是它的一个外角，点E为边AC上一点，延长BC到点H，连接EH．求证：∠1＞∠2．【答案】证明见解析．【分析】根据三角形外角的性质解答即可.【解答】证明：如图，在△ABC中，∠1＞∠3，在△DCE中，∠3＞∠2，所以∠1＞∠2．17.【题文】证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC的三个外角．求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．【答案】证明见解析.【分析】根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.【解答】∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．18.【题文】如图，在△ABC中，∠A＝20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA 中，DE是CA边上的高，又有∠EDA＝∠CDB，求∠B的大小．【答案】∠B＝60°.【分析】∠A＝20°，DE是CA边上的高，所以∠EDA＝∠CDB=90°-20°=70°，根据外角的性质得∠CDB=∠A+∠DCE=70°，所以∠DCE=∠BCD=50°，所以∠B=180°-∠BCD-∠CDB=60°.【解答】∵DE是CA边上的高，∴∠DEA＝∠DEC＝90°.∵∠A＝20°，∴∠EDA＝90°－20°＝70°.∵∠EDA＝∠CDB，∴∠CDE＝180°－70°×2＝40°.在Rt△CDE中，∠DCE＝90°－40°＝50°.∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA＝2∠DCE＝2×50°＝100°.∴∠B＝180°－∠BCA－∠A＝60°.19.【题文】如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC.求∠4的度数．【答案】45度【分析】由三角形外角的性质易得∠3的度数，再由已知条件可得∠2的度数，这样就可求得∠ABC的度数，由BE平分∠ABC可得∠EBA的度数，最后由∠4=∠2+∠EBA 可得∠4的度数.【解答】解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，∴∠3=20°.∴∠2=∠3=10°.∴∠BAC=∠2+∠3=30° .∴∠CBA=180°-∠C-∠BAC=70°∵BE平分∠CBA，∴∠EBA=∠CBA=35° .∴∠4=∠EBA+∠2=45°.20.【题文】如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于一点F，∠A=63°，∠ACD=34°∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFC的度数。

9.1.2三角形的内角和与外角和同步练习试卷含答案解析课时作业一．选择题（共9小题）1．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝135°，∠A＝75°，则∠B的大小为（）A．60°B．140°C．120°D．90°3．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．135°D．165°4．在△ABC中，∠B＝35°，∠C的外角等于110°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．70°D．75°5．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形6．若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．80°B．30°C．40°D．50°8．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°9．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．110°二．填空题（共5小题）10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC 的度数是．11．如图，△ABC被撕去了一角，经测量得∠A＝66°，∠B＝23°，则△ABC是三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）12．一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如上图形，则∠1＝度．13．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠A＝68°，∠B＝65°，则∠ACD＝．14．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D＝度．三．解答题（共3小题）15．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）试猜想△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．16．如图，求x的值．17．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，按角判断△ABC的形状．9.1.2三角形的内角和与外角和同步练习试卷含答案解析课时作业参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°解：由题意得，∠DBC＝90°﹣45°＝45°，∠ACB＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°，故选：D．2．如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝135°，∠A＝75°，则∠B的大小为（）A．60°B．140°C．120°D．90°解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝135°，∠A＝75°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝135°﹣75°＝60°．故选：A．3．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．135°D．165°解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：D．4．在△ABC中，∠B＝35°，∠C的外角等于110°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．70°D．75°解：∵∠B＝35°，∠C的外角等于110°，∴∠A＝110°﹣35°＝75°．故选：D．5．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．6．若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解：设三个内角度数为2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，则三个内角度数为40°、60°、80°，则这个三角形一定是锐角三角形，故选：A．7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．80°B．30°C．40°D．50°解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC＝40°，故选：C．8．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°解：∵∠A+∠B+∠C＝180°又∵∠B+∠C＝3∠A，∴4∠A＝∠180°，∴∠A＝45°，∴△ABC一定有一个内角是45°，故选：C．9．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．110°解：由图可知，∠2＝90°﹣45°＝45°，∴∠1＝180﹣45°﹣30°＝105°．故选：A．二．填空题（共5小题）10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC 的度数是80°．解：∵∠C＝60°，∠B＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，故答案为：80°．11．如图，△ABC被撕去了一角，经测量得∠A＝66°，∠B＝23°，则△ABC是钝角三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）解：由三角形内角和定理得：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣66°﹣23°＝91°＞90°，∴△ABC是钝角三角形；故答案为：钝角．12．一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如上图形，则∠1＝105度．解：∠1＝∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故答案为：105．13．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠A＝68°，∠B＝65°，则∠ACD＝133°．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝68°+65°＝133°，故答案为：133°．14．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D＝25度．解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝50°，∴∠D＝25°．故答案为：25．三．解答题（共3小题）15．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）试猜想△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣35°﹣70°＝75°，∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC＝180°，∴∠BDE＝105°16．如图，求x的值．解：由三角形的外角性质可知，x+70＝x+x+10，解得，x＝60．17．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，按角判断△ABC的形状．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝3∠A，∠C＝5∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+3∠A+5∠A＝180°，∴∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，∴△ABC是钝角三角形．。

O E
D
C
B A O
D
C B A
N M P
O
D
C
B A
智才艺州攀枝花市创界学校三角形的内、外角
平分线
班级座号
一、运用整体思想解题
1.如图，ΔABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，假设∠A=m °，那么∠BOC 是多少度
〔1〕假设∠A ＝80°，那么∠BOC 是多少度？
〔2〕假设∠A=m °，那么∠BOC 是多少度〔用含m 的式子表示〕
2.如图，ΔABC 中，BO 、CO 分别是△ABC 的两内角的邻补角平分线，假设∠A=m °,
那么∠BOC 是多少度〔用含m 的式子表示〕
3.如图，ΔABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACD ， 〔1〕假设∠A=40°,那么∠BOC 是多少度
〔2〕假设∠A=m °,那么∠BOC 是多少度 练习：4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，角平分线AD 、BF 交于点E ，求AD 与BF 的交角度数.
5.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED, 求∠CDE 的度数.
6.如图1，线段AB 、CD 相交于点O,连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形〞.
如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交 于M 、N.试解答以下问题： 在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：
图2中，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系 O C
B A 图1
图2。

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.5三角形的内角和与外角和专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•楚雄州期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝35°，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形2．（2022•天津模拟）直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．（2021秋•绥德县期末）如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是（）A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，已知AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝56°，∠EAD＝10°，则∠C的度数为（）A．80°B．76°C．74°D．66°5．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（）A．42°B．40°C．38°D．35°6．（2022秋•延平区校级月考）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．（2022秋•阜阳期中）如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C ＝64°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．44°B．46°C．48°D．50°8．（2022秋•新洲区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，已知∠DAC＝α，∠DAB＝90°﹣，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC的度数为（）A．B．C．30°﹣D．45°﹣α二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•阜康市校级月考）在△ABC中，已知∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状．10．（2022秋•衢江区期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．11．（2022•永丰县模拟）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，AD∥BC，则∠D的度数为．12．（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C＝80°，∠B＝36°，则∠F＝度．13．（2022秋•武昌区校级期中）在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，∠BOC＝150°，则∠A 的度数为．14．（2022秋•新田县期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，∠A2021BC的平分线与∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022＝．15．（2022•寻乌县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为．16．（2021秋•昭阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2＝，∠BOC＝．（用含α的式子表示）三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•渝中区校级月考）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．求∠ADE的度数．18．（2022秋•中江县校级月考）已知△ABC中，∠B＝5∠A，∠C﹣∠B＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．19．（2022秋•江汉区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C ＝70°．（1）∠AOB的度数为；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．20．（2022秋•阜阳期中）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F，交BC于点D．（1）求证：∠ABC＝∠AFE；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．21．（2021秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC交AB，BC于点D，E，EF平分∠DEB交AB于点F，且∠B＝42°，∠DFE＝73°，求∠A的度数．22．（2021秋•兴庆区校级期末）（1）如图1，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如图2，求证：∠AGF＝∠AEF+∠F；（3）如图3，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线于点F，∠AGF＝150°，求∠F的度数．23．（2022秋•阜阳期中）如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角．（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．24．（2022春•泰州月考）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．（1）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD是“奇妙互余三角形”．（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，则△ABC是“奇妙互余三角形”；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，结论正确的有．（填写序号）（3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．。

初一数学下学期培优训练小专题11 内外角平分线综合问题【例题讲解】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12A∠；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12A ∠；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12MBC∠＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q ＝2∠E ，则90°﹣12A ∠=A ∠，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12A ∠＝2（90°﹣12A ∠），解得∠A ＝120°． 综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°． 【综合演练】1．90MON ∠=︒，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)．(1)如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，随着点A 、点B 的运动，当AO=BO 时AEB ∠= ︒；(2)如图②，若BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点D ，随着点A ，B 的运动D ∠的大小会变吗？如果不会，求D ∠的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的平分线与BOQ ∠的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO ∠的度数．2．已如在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若70ABC ∠=︒，则NDC ∠=________．（2）如图2，若BF 、DE 分别平分CBM ∠、CDN ∠，判断DE 与BF 位置关系并证明理由．（3）如图3，若BP 、DP 分别五等分CBM ∠、CDN ∠（即15CBP CBM ∠=∠，15CDP CDN ∠=∠），则P ∠=_______．3．已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G.(1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °(2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °； (3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)(4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)4．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°；③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A∠的度数．5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝36°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．(1)如图，连接CE ．①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数；②若CE 平分∠ACD ，求∠BEC 的度数．(2)若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数．6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．【课本问题】（1）如图1，ABC 中，点D 在BC 边上，直线DG AB ∥交AC 于点G ，E 在AB 边上，F 在BC 边上，ADG ∠与AEF ∠互补，AD 与EF 平行吗？为什么？【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD 是ABC 的角平分线，延长CA 与FE ，交于点H ，直线DG 与EF 的延长线交于点K ，K H ∠=∠相等吗？为什么？7．如图，分别过Rt △ABC (∠A =90°)的顶点B 、C 作射线BD 、CD ，两射线交于点D ．BF 、CG 分别是∠ABD 、∠ACD 的邻补角的角平分线，BF 与CG 的反向延长线交于点F ．(1)如图1，若∠D =90°，求证：∠ABD =∠ACD ：(2)如图2，请说出∠D 与∠F 的数量关系？并说明理由．8．操作：如图1，将ABC 沿射线BF 平移到DCE △，使原B 点与C 点重合，这时CD AB ∥，所以1A ∠=∠，2B ∠=∠，请回答：(1)A B ACB ∠+∠+∠的值为___________°；(2)若56A ∠=︒，40B ∠=︒，则ACF ∠=_____°；若A x ∠=︒，B y ∠=︒，则ACF ∠=____°；我们把A ∠、B ∠、ACB ∠称为ABC 的内角；把ACF ∠称为ABC 的外角，DEF ∠为DCE △的外角，每个三角形都有六个外角．(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知ABC 中，56A ∠=︒，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCA ∠，CQ 平分外角ACF ∠交BP 与点Q ，求BPC ∠，BQC ∠．9．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若60A ∠=︒，则BDC ∠的度数为_________；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若MN ∥AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系（用含α的代数式表示）．10．在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是射线AC 上的动点（不与点D 重合），过点E 作EF ∥BC 交直线BD 于点F ，∠CEF 的角平分线所在直线与射线BD 交于点G ．(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．11．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B 的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．①试说明∠PBQ=∠ACQ；②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应的数轴上的数是，点H对应的数轴上的数是；（2）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO＝a，试用a来表示∠M的大小：（写出推理过程）（3）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，求∠N＋∠M的值．13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O 重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数.14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中HABC∠∠的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．答案与解析【例题讲解】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12A∠；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12A ∠；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12MBC∠＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ ＝2∠Q ＝90°，则∠Q ＝45°，∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°；③∠Q ＝2∠E ，则90°﹣12A ∠=A ∠，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12A ∠＝2（90°﹣12A ∠），解得∠A ＝120°． 综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【综合演练】1．90MON ∠=︒，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)．(1)如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，随着点A 、点B 的运动，当AO=BO 时AEB ∠= ︒；(2)如图②，若BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点D ，随着点A ，B 的运动D ∠的大小会变吗？如果不会，求D ∠的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的平分线与BOQ ∠的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO ∠的度数．【答案】(1)135°(2)∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化，值为45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON =90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍．（1）解：∵AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，∴∠EBA =12∠OBA ，∠BAE =12∠BAO ，在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF =3∠E 时，得∠E =30°，此时∠ABO =60°； ②当∠EAF =3∠F 时，得∠E =60°， 此时∠ABO =120°＞90°，舍去；③当∠F =3∠E 时，得19022.54E ︒︒=⨯=∠，此时∠ABO =45°；．④当∠E =3∠F 时，得39067.54E ︒︒=⨯=∠，此时∠ABO =135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°．【点评】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．2．已如在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若70ABC ∠=︒，则NDC ∠=________．（2）如图2，若BF 、DE 分别平分CBM ∠、CDN ∠，判断DE 与BF 位置关系并证明理由．（3）如图3，若BP 、DP 分别五等分CBM ∠、CDN ∠（即15CBP CBM ∠=∠，15CDP CDN ∠=∠），则P ∠=_______．【答案】（1）70°；（2）DE ∥BF ，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC +∠CDN =180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF +∠CDE =90°，从而推出∠EDB +∠FBD =180°，可得结论；（3）根据五等分得到∠CDP +∠CBP =36°，连接PC 并延长，证明∠DCB =∠DPB +∠CBP +∠CDP ，即可计算．【解析】解：（1）∵∠A =∠C =90°，∠ABC =70°，∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠NDC=180°-110°=70°；（2）DE∥BF，如图，连接BD，∵∠ABC+∠ADC=180°，且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°，∵∠CBF=12∠MBC，∠CDE=12∠CDN，∴∠CBF+∠CDE=90°，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，∴DE∥BF；（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，∴∠CDP+∠CBP=15（∠MBC+∠CDN）=36°，连接PC并延长，∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，∴∠DPB=90°-36°=54°．【点评】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G. (1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= ° (2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °；(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示) (4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)【答案】（1）21°；（2）14°；（3）13α；（4）∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°【分析】（1）由于∠BAD =∠OBA +∠BOA =α+90°，由AF 平分∠BAD 得到∠F AD =12∠BAD ，而∠F AD =∠EOD +∠OGA ，145(90)2OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =12α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可；（2）由于∠GOA =13∠BOA =30°，∠GAD =13∠BAD ，∠OBA =α，根据∠GAD =∠EOD +∠OGA 得到130(90)3OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =13α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可；（3）由（2）得到∠OGA =13α；（4）讨论：当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°，利用∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°，∠F AD =∠EOD +∠OGA 得到130(90)2OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°，同理得∠OGA =12α﹣15°． 【解析】（1）21°； （2）14°； （3）13α；（4）当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°，∵∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°， 而AF 平分∠BAD ， ∴∠F AD =12∠BAD ， ∵∠F AD =∠EOD +∠OGA ， ∴2×30°+2∠OGA =α+90°， ∴∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°， 同理得到∠OGA =12α﹣15°，即∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质． 4．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)=++BDC BAC B C ∠∠∠∠ (2)①40，②90，③70°【分析】（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F ，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；（2）①由（1）的结论可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后把50A ∠=︒，90BXC ∠=︒代入上式即可得到ABX ACX ∠+∠的值；②结合图形可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，代入50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒即可得到ADB AEB ∠+∠的值，再利用上面得出的结论可知()12DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【解析】（1）=++BDC BAC B C ∠∠∠∠，理由如下： 连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠， ∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，∴BDC BAD B C CAD ∠=∠+∠+∠+∠， ∵BAC BAD CAD ∠=∠+∠， ∴=++BDC BAC B C ∠∠∠∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠， ∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒， ∴905040ABX ACX ∠+∠=︒-︒=︒， 故答案是：40；②由（1）的结论易得=++DBE DAE ADB AEB ∠∠∠∠，DCE ADC AEC A ∠=∠∠∠＋＋， ∵50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒， ∴80ADB AEB ∠+∠=︒；∵DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠， ∴12ADC ADB ∠=∠，12AEC AEB ∠=∠，∴()14050902DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；③由②知，()1110BG C ABD ACD A ∠=∠+∠+∠， ∵177BG C ∠=︒， ∴设A ∠为x ︒，∵140ABD ACD x ∠+∠=︒-︒， ∴()11407710x x -=+， ∴70x =， ∴A ∠为70°． 故答案是：70°．【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BDC A B C ∠=∠+∠+∠是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝36°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．(1)如图，连接CE ．①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数； ②若CE 平分∠ACD ，求∠BEC 的度数．(2)若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数． 【答案】(1)① 42°；② 30°；(2)∠BEC 的度数为48°或132°或12°．【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC =84°，由角平分线的定义得到∠ABE =12∠ABC =42°，根据平行线的性质即可得到结论；②根据邻补角的定义得到∠ACD =180°-∠ACB =144°，根据角平分线的定义得到∠CBE =12∠ABC =42°，∠ECD =12∠ACD =72°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①如图1，当CE ⊥BC 时，②如图2，当CE ⊥AB 于F 时，③如图3，当CE ⊥AC 时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．（1））①∵∠A=60°，∠ACB=36°，∴∠ABC=84°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=42°，∵CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE=42°；②∵∠A=60°，∠ACB=36°，∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°，∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠CBE=12∠ABC=42°，∠ECD=12∠ACD=72°，∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；（2）①如图1，当CE⊥BC时，∵∠CBE=42°，∴∠BEC=48°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=42°，∴∠BEC=90°+42°=132°，③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE=42°，∠ACB=36°，∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°．综上可得：∠BEC 的度数为48°或132°或12°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键．6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．【课本问题】（1）如图1，ABC 中，点D 在BC 边上，直线DG AB ∥交AC 于点G ，E 在AB 边上，F 在BC 边上，ADG ∠与AEF ∠互补，AD 与EF 平行吗？为什么？【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD 是ABC 的角平分线，延长CA 与FE ，交于点H ，直线DG 与EF 的延长线交于点K ，K H ∠=∠相等吗？为什么？【答案】（1）AD EF ∥，理由见解析；（2）K H ∠=∠，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADG =∠BAD ，结合ADG ∠与AEF ∠互补可得∠BAD +∠AEF =180°，然后根据平行线的判定即可得出AD EF ∥；（2）根据角平分线定义可得∠BAD =∠CAD ，根据AD EF ∥可得∠DAC =∠H ，∠BAD =∠ADG ，进而得出∠H =∠ADG ，再根据DG AB ∥得出∠K =∠ADG ，从而得出∠K =∠H ． 【解析】解：（1）AD EF ∥． 理由：∵DG AB ∥， ∴∠ADG =∠BAD ， ∵ADG ∠与AEF ∠互补， ∴∠ADG +∠AEF =180°， ∴∠BAD +∠AEF =180°， ∴AD EF ∥； （2）∠K =∠H ．理由：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD ，∥，∵AD EF∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，∴∠H=∠ADG，∥，∵DG AB∴∠K=∠ADG，∴∠K=∠H．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．如图，分别过Rt△ABC(∠A=90°)的顶点B、C作射线BD、CD，两射线交于点D．BF、CG分别是∠ABD、∠ACD的邻补角的角平分线，BF与CG的反向延长线交于点F．(1)如图1，若∠D=90°，求证：∠ABD=∠ACD：(2)如图2，请说出∠D与∠F的数量关系？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠D+2∠F=270°，理由见解析【分析】（1）如图所示，设AC与BD交于点O，根据∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，即可证明结论；（2）如图所示，延长DC到N，设AC与BD交于点O，∠FBD=x，∠ACF=y，分别求出∠D=90°-2x+2y，∠F=90°+x-y，即可得到答案．（1）解：如图所示，设AC与BD交于点O，∵∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）解：∠D +2∠F =270°，理由如下：如图所示，延长DC 到N ，设AC 与BD 交于点O ，∠FBD =x ，∠ACF =y ，∵BF 平分∠DBE ，CG 平分∠DCH ，∴∠DBE =2∠FBD =2x ，∠DCH =2∠GCH =2∠ACF =2y ，∴∠ACN =∠DCH =2y ，∴∠ABD =180°-∠DBE =180°-2x ，∠ACD =180°-∠CAN =180°-2y ，∵∠A +∠ABD +∠AOB =∠D +∠ACD +∠DOC =180°，∠AOB =∠DOC ，∴∠A +∠ABD =∠D +∠ACD ，∴90°+180°-2x =∠D +180°-2y ，∴∠D =90°-2x +2y ，∵∠A +∠ABC +∠ACB =∠F +∠FBC +∠FCB =180°，∴∠A +∠ABF +∠F +∠ACF =360°，又∵∠ABF =∠ABD +∠DBF =180°-x ．∴∠F =360°-∠ABF -∠A -∠ACF =90°+x -y ，∴2∠F =180°+2x -2y ，∴∠D +2∠F =270°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．8．操作：如图1，将ABC 沿射线BF 平移到DCE △，使原B 点与C 点重合，这时CD AB ∥，所以1A ∠=∠，2B ∠=∠，请回答：(1)A B ACB ∠+∠+∠的值为___________°；(2)若56A ∠=︒，40B ∠=︒，则ACF ∠=_____°；若A x ∠=︒，B y ∠=︒，则ACF ∠=____°；我们把A ∠、B ∠、ACB ∠称为ABC 的内角；把ACF ∠称为ABC 的外角，DEF ∠为DCE △的外角，每个三角形都有六个外角．(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知ABC 中，56A ∠=︒，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCA ∠，CQ 平分外角ACF ∠交BP 与点Q ，求BPC ∠，BQC ∠． 【答案】(1)180°(2)96°、x y ︒+︒(3)118°、28°【分析】（1）根据平角的定义，可得12180ACB ∠+∠+∠=︒，求解即可；（2）将已知条件代入求解即可；（3）根据三角形的内角和可知124ACB ABC ∠+∠=︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和即可求出BPC ∠；根据角平分线的性质以及外角的性质即可求出BQC ∠.（1）12180ACB ∠+∠+∠=︒，12A B ∠=∠∠=∠又，，180ACB A B ∴∠+∠+∠=︒，180︒故答案为；（2）5640,A B ∠=︒∠=︒，156240∴∠=︒∠=︒，，1296ACF ∴∠=∠+∠=︒，,,(),A x B y ACF x y ∠=︒∠=︒∠=+︒当96()x y ︒+︒故答案为，；（3）∵56A ∠=︒，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴124ABC ACB ∠+∠=︒，∵BP 、CP 分别平分 ABC ∠，BCA ∠，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB BCA ∠=∠， ∴()111246222PBC PCB ABC BCA ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵180BPC PBC PCB ∠+∠+∠=︒，∴18062118BPC ∠=︒-︒=︒，∵ACF ∠是ABC 的外角，∴ACF ABC A ∠=∠+∠，∵CQ 平分ACF ∠，∴()1122QCF ACF ABC A ∠=∠=∠+∠， ∵QCF ∠是BCQ △外角，∴QCF PBC Q ∠=∠+∠，即()11128222Q QCF PBC ABC A ABC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒, ︒︒故答案为118，28. 【点评】本题考查了三角形的内角和和外角的性质，涉及平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和和外角的性质是解题的关键.9．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若60A ∠=︒，则BDC ∠的度数为_________；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若MN ∥AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系（用含α的代数式表示）．【答案】(1)120°(2)①90°-2α ②不变，90°-2α ③NDC ∠与MDB ∠的关系是NDC ∠+MDB ∠=902α-． 【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．②与 ①结合起来求解即可．③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．（1）∵ BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴∠CBD =12ABC ∠，∠BCD =12ACB ∠， ∴∠CBD +∠BCD =12ACB ∠+12ABC ∠=1()2ABC ACB ∠+∠， ∵∠CBD +∠BCD +∠BDC =180°，∠ABC +∠ACB +∠A =180°，∴180°-∠BDC =1(180)2A -∠， ∴∠BDC =902A ∠+， ∵∠A =60°， ∴∠BDC =9030+=120°，故答案为：120°．（2）①∵∠NDC =180°-∠MDC ，∴NDC MDB ∠-∠=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC +∠MDB ）=180°-∠BDC=180°-（902A ∠+） =902α-．②NDC MDB ∠-∠保持不变，恒等于90°-2α．理由如下： ∵∠NDC =180°-∠MDC ，∴NDC MDB ∠-∠=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC +∠MDB ）=180°-∠BDC=180°-（902A ∠+） =902α-．故保持不变，且为902α-．③NDC ∠与MDB ∠的关系是NDC ∠+MDB ∠=902α-．理由如下：∵∠NDC +∠MDB +∠BDC =180°，∴∠NDC +∠MDB =180°-∠BDC ，∵∠BDC =902α+，∴∠NDC +∠MDB =180°-（902α+）=902α-．【点评】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．10．在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是射线AC 上的动点（不与点D 重合），过点E 作EF ∥BC 交直线BD 于点F ，∠CEF 的角平分线所在直线与射线BD 交于点G ．(1)如图1，点E 在线段AD 上运动．①若∠ABC ＝40°，∠C ＝60°，则∠BGE ＝______°；②若∠A ＝70°，则∠BGE ＝______；③探究∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．∴∠BGE=∠2+∠3=12∠C+12∠ABC=12（∠C+∠ABC）=12（∠180°-∠A）=12（∠180°-70°）=55°．故答案为：55°；③∠BGE=90°-12∠A理由：∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝12∠ABC，∠2=12∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=12∠C，∠3=12∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=12∠C+12∠ABC=12（∠C+∠ABC）=12（∠180°-∠A）=90°-12∠A ；（2）解：①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，由（1）知：∠1＝12∠ABC，∠2=12∠CEF，∵EF//BC∴∠CEF=180°-∠C∴∠2=∠3=12（180°-∠C）∵∠1+∠A+∠BDA＝180°∠3+∠BGE+∠EDG＝180°且∠BDA＝∠EDG∴∠3+∠BGE=∠1+∠A∠BGE=∠1+∠A-∠3即∠BGE=12∠ABC+∠A-12（∠180°-∠C）=12∠ABC+∠A- 90°+12∠C=12（∠ABC+∠C）+∠A- 90°=12（180°-∠A）+∠A- 90°=90°-12∠A+∠A- 90°=12∠A；②当点E在DC的延长线上，如图，若GE交BC于点H，∵EF//BC∴∠3=∠2=12∠CEF =12∠ACB∵∠1+∠3+∠BGE ＝180°∴∠BGE=180°-(∠1+∠3)=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°- 12（180°-∠A ） =180°-90°+12∠A =90°+12∠A ．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，解第（2）步时要注意分类讨论．11．如图1，已知∠MON=60°，A 、B 两点同时从点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿射线ON 匀速运动，点B 以每秒y 个单位长度沿射线OM 匀速运动．（1）若运动1s 时，点A 运动的路程比点B 运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A 、点B 的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；（2）如图2，点C 为△ABO 三条内角平分线交点，连接BC 、AC ，在点A 、B 的运动过程中，∠ACB 的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC 并延长，与∠ABM 的角平分线交于点P ，与AB 交于点Q ． ①试说明∠PBQ=∠ACQ ；②在△BCP 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO 的度数．【答案】（1）3，1；（2）ACB ∠的度数不发生变化，120ACB ∠=︒；（3）①说明见解析；②60BAO ∠=︒．点为ABO 三条内角平分线交点，即1,2OAB =∠CBA +∠=由三角形的内角和定理得点为ABO 三条内角平分线交点，即1,2OAB =∠AOC =∠+又BP 是ABM ∠的角平分线12PBQ ∴∠=PBQ ∴∠=∠②BP 是ABM ∠12PBA ∴∠=11221()902PBC PBA ABC ABM O A M A B BA OB ∠∴∠=∠+∠==∠∠+=∠+︒ 由三角形的外角性质得：3030PCB BOC OBC OBC ∠=∠+∠=︒+∠>︒则在BCP 中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是2PCB P ∠=∠90PBC =︒∠30,60P PCB ∠=︒∠=∴︒1206060PCB ACQ ACB ∴∠=︒-=-︒=∠∠︒603030OAC ACQ AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒223060BAO OAC ∠=∠=⨯︒=∴︒．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义、三角形的内角和定理是解题的关键．12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC 垂直于数轴，AC 的中点过数轴原点O ，AC ＝8，斜边AB 交数轴于点G ，点G 对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE 交数轴于点F ，斜边AD 交数轴于点H ．（1）如果△AGH 的面积是10，△AHF 的面积是8，则点F 对应的数轴上的数是 ，点H 对应的数轴上的数是 ；（2）如图(2)，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，若∠HAO ＝a ，试用a 来表示∠M 的大小：（写出推理过程）（3）如图(2)，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，设∠EFH 的平分线和∠FOC 的平分线交于点N ，求∠N ＋∠M 的值．【答案】（1）-5，-1（2）12ɑ+22.5°（3）∠M+∠N=97.5°．【解析】（1）-5，-1（2） ∵∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，∴∠FHM=12∠FHA，∠HGM=12∠HGA，∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，∴∠M=12∠HAG=12（∠HAO+∠OAG）=12ɑ+22.5°（3）∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，∴∠N=90°-12∠FAO=90°-12∠FAH-12∠OAH（可以直接利用∠N=90°-12∠FAO）=90°-15°-12∠OAH=75°-12∠OAH，∵∠M=12∠OAH+22.5°，∴∠M+∠N=97.5°．13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O 重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数.【答案】（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中HABC∠∠的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．【答案】（1）3；（2）∠CEF=∠CFE；（3）12【解析】试题分析：(1)、根据三角形的面积计算公式求出三角形的面积；(2)、根据垂直得出∠BCO=∠BAC，根据角平分线得出∠ABF=∠CBF，则∠ABF+∠BAC=∠CBF+∠BCO，根据△ABF和△BCE的内角和定理得出∠AFB=∠CEB，从而得出答案；(3)、根据题意求出HABC∠∠的大小.试题解析：(1)、S△BCD=3(2)、∠CEF=∠CFE理由：∵AC⊥BC，MN⊥AB∴∠BAC+∠ABC=90°，∠BCO+∠ABC=90°，∴∠BCO+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BCO =∠BAC，∵BF平分∠CBA∴∠ABF=∠CBF∴∠ABF+∠BAC =∠CBF+∠BCO 在△ABF与△BCE中∠ABF+∠BAC +∠AFB =∠CBF+∠BCA+∠CEB=1800∴∠AFB=∠CEB∴∠CEF=∠CFE(3)、H ABC ∠∠考点：角度计算.。

三角形的内角和及外角定理培优练习一、单选题(共12道，每道8分)1.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数为( )A.10°B.12°C.15°D.18°答案：A解题思路：2.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A.30°B.40°C.60°D.80°答案：B解题思路：3.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )A.40°B.45°C.50°D.55°答案：A解题思路：4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，∠AFD=158°，则∠EDF=( )A.79°B.68°C.44°D.42°答案：B解题思路：5.如图，在△ABC中，∠BAC=4∠1=4∠C，BD⊥CA于点D，则∠DBA=( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：6.如图，一个直角三角形纸片ABC，剪去直角后，得到一个四边形GBCH，则∠1+∠2=( )A.90°B.180°C.240°D.270°答案：D解题思路：7.如图，在四边形ABCD中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D的度数为( )A.40°B.24°C.50°D.45°答案：A解题思路：8.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC的度数为( )A.55°B.60°C.80°D.90°答案：C解题思路：9.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中α的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°答案：B解题思路：10.如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于点D，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：11.已知△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：12.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=∠1，∠ADC=80°．求∠C的度数．解：如图，∵∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADC=∠1+∠B（_______________________）∵∠B=∠1（已知）∴∠ADC=2∠1（等式的性质）∵∠ADC=80°（已知）∴∠1=∠ADC=40°（_______________________）∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠2=∠1=40°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-40°-80°=60°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②④①B.③④①C.③②①D.②⑤④答案：B解题思路：。

9.1.2　三角形的内角和与外角和基础过关全练知识点1　三角形的内角和1.(2021福建泉州永春月考)在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C的度数为( )A.100°B.80°C.60°D.40°2.(2022四川成都二十中期中)满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.不确定3.(2022江苏无锡锡山期中)已知:如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的平分线,若∠DAC=30°,∠BAC=80°.(1)求∠EBC的度数;(2)求∠AOB的度数.知识点2　三角形的外角及其性质4.(2022海南海口期末)如图,∠A=65°,∠B=45°,则∠ACD=( )A.65°B.60°C.45°D.110°5.(2022河南信阳浉河期末)如图所示,下列结论正确的是( )A.∠1>∠B>∠2B.∠B>∠2>∠1C.∠2>∠1>∠BD.∠1>∠2>∠B6.(2022辽宁沈阳模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC 交BC边于点D,若∠C=26°,则∠ADB的度数是( )A.61°B.64°C.71°D.109°7.(2022浙江台州期末)如图,下列关于∠A,∠B,∠C,∠1的关系中一定成立的是( )A.∠A+∠B=∠C+∠1B.∠A+∠1=∠B+∠CC.∠A+∠B+∠C=∠1D.∠A+∠B+∠C+∠1=360°8.(2021云南昆明五华期中)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E,若∠ABC=32°,∠BAC=118°,求∠ECD的度数.知识点3　三角形的外角和9.(2022山东济南长清期末)如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,则∠1+∠2+∠3的大小为( )A.90°B.180°C.270°D.360°10.【新独家原创】∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图(1),则∠1+∠2的度数为 ;若∠A=60°,如图(2),则∠1+∠2的度数是 ;若∠A=α,如图(3),则∠1+∠2的度数为 .图(1) 图(2) 图(3)能力提升全练11.(2021江苏宿迁中考,5,)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°12.(2022河南郑州期末,4,)一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )A.90°B.100°C.105°D.120°13.(2022重庆云阳期末,11,)如图,钝角△ABC 中,∠2为钝角,AD 为BC 边上的高,AE 为∠BAC 的平分线,则∠DAE 与∠1、∠2之间的等量关系为( )A.∠DAE =∠2-∠1B.∠DAE =∠2―∠12C.∠DAE =∠22―∠1D.∠DAE =∠1+∠2214.【分类讨论思想】(2022黑龙江哈尔滨中考,17,)在△ABC 中,AD为边BC 上的高,∠ABC =30°,∠CAD =20°,则∠BAC 是 度.15.(2022山东济南济阳期末,16,)如图,△ABC 中,∠ABC 的三等分线与∠ACB 的平分线交于点O 1,O 2,若∠1=115°,∠2=135°,则∠A 的度数为 .16.(2021江苏徐州邳州期中,22,)如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC与∠ACD的平分线交于点E,若∠A=40°,求∠E的度数.17.【学科素养·推理能力】(2022广东佛山顺德期中,22,)如图,在△ABC中,BO,CO是∠ABC,∠ACB的平分线且BO,CO相交于点O.(1)若∠ACB=80°,∠ABC=40°,求∠BOC的度数;(2)若∠A=60°,求∠BOC的度数;(3)请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系,不需要说明理由.素养探究全练18.【推理能力】【跨学科·物理】(2022河南许昌建安期中)试验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.理解题意并解决问题.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b 反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,求∠2及∠3的度数.解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4= ,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7= ,∴∠5=∠6= ,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5= .(2)在(1)中,①若∠1=55°,则∠3= ;②若∠1=40°,则∠3= .(3)由(1)(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行,请你写出推理过程.答案全解全析基础过关全练1.B　根据三角形内角和等于180°可知,∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(60°+40°)=80°.2.B　∵2∠A=2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=45°,∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选B.3.解析　(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴△ADC是直角三角形,∵∠DAC=30°,∴∠C=90°-∠DAC=60°,∵∠BAC=80°,∴∠ABC=180°-∠ABC=20°.∠BAC-∠C=40°,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠EBC=12(2)∵∠BAC=80°,∠DAC=30°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=50°,由(1)可知∠EBC=20°,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABO=∠EBC=20°,在△AOB 中,∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=110°.4.D　∵∠A=65°,∠B=45°,∴∠ACD=∠A+∠B=110°,故选D.5.D　由题图知,∠1>∠2,∠2>∠B,∴∠1>∠2>∠B.故选D.6.C　∵∠BAC=90°,AD平分∠BAC,∴∠DAC=45°,∵∠C=26°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=45°+26°=71°,故选C.7.C　如图,延长AD交BC于点E,∵∠AEC=∠A+∠B,∠1=∠C+∠AEC,∴∠1=∠A+∠B+∠C,故选C.8.解析　∵∠ABC =32°,∠BAC =118°,∴∠ACD =∠ABC +∠BAC =32°+118°=150°,∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,∴∠ECD =∠ACE =12∠ACD =12×150°=75°.9.D ∵∠1,∠2,∠3是△ABC 的三个外角,∴∠1+∠2+∠3=360°.故选D.10.答案 270°;240°;180°+α解析　题图(1)中∠A 的邻补角为90°,根据三角形的外角和知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;题图(2)中∠A 的邻补角为120°,根据三角形的外角和知∠1+∠2+120°=360°,所以∠1+∠2=240°;题图(3)中∠A 的邻补角为180°-α,根据三角形的外角和知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2=180°+α.能力提升全练11.B 在△ABC 中,∠A =70°,∠C =30°,∴∠ABC =180°-∠A -∠C =80°,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =12∠ABC =40°,∵DE ∥AB ,∴∠BDE =∠ABD =40°,故选B.12.C 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,∴∠A =90°-30°=60°,又∠AGE =∠BGD =90°-45°=45°,∴∠α=45°+60°=105°,故选C.13.B ∵AD 是BC 边上的高,∴∠D =90°,∴∠DAC =90°-∠1,∵∠BAC +∠2+∠1=180°,∴∠BAC =180°-∠1-∠2,∵AE 平分∠BAC ,∴∠CAE =12∠BAC =12(180°-∠1-∠2),∴∠DAE =∠DAC -∠CAE =90°-∠1-12(180°-∠1-∠2)=∠2―∠12,故选B.14. 答案 80或40解析　当△ABC 为锐角三角形时,如图(1),∠BAD =180°-∠B -∠ADB =180°-30°-90°=60°,∠BAC =∠BAD +∠CAD =60°+20°=80°;当△ABC 为钝角三角形时,如图(2),∠BAD =180°-∠B -∠ADB =180°-30°-90°=60°,∠BAC =∠BAD -∠CAD =60°-20°=40°.综上所述,∠BAC =80°或40°.故答案为80或40.图(1)图(2)15.答案 70°解析　∵∠O 2BO 1=∠2-∠1=20°,∴∠ABC =3∠O 2BO 1=60°,∠O 1BC =∠O 2BO 1=20°,∴∠BCO 2=180°-20°-135°=25°,∴∠ACB =2∠BCO 2=50°,∴∠A =180°-∠ABC -∠ACB =70°.16.解析　由三角形的外角的性质可知,∠E =∠ECD -∠EBD ,∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E ,∴∠EBD =12∠ABC ,∠ECD =12∠ACD ,∵∠ACD -∠ABC =∠A =40°,∴12∠ACD ―12∠ABC =20°,∴∠E =∠ECD -∠EBD =20°.17.解析　(1)∵BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,∠ACB =80°,∠ABC =40°,∴∠CBO =12∠ABC =20°,∠BCO =12∠ACB =40°,∴∠BOC =180°-∠CBO -∠BCO =120°.(2)∵∠A =60°,∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =120°,∵BO 平分∠ABC ,CO平分∠ACB ,∴∠CBO =12∠ABC ,∠BCO =12∠ACB ,∴∠CBO +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB )=60°,∴∠BOC =180°-(∠CBO +∠BCO )=120°.(3)∠BOC =90°+12∠A.素养探究全练18.解析　(1)解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4=180°-50°-50°=80°,∵m ∥n ,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7=180°-80°=100°,∴∠5=∠6=180°―∠22=40°,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5=180°-50°-40°=90°.(2)①∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-110°=70°.∵m ∥n ,∴∠2=180°-∠7=180°-70°=110°.∵∠5=∠6,∴∠5=12(180°-∠2)=12×70°=35°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-55°-35°=90°.②∵∠1=40°,∴∠4=∠1=40°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-80°=100°.(180°-∵m∥n,∴∠2=180°-∠7=180°-100°=80°.∵∠5=∠6,∴∠5=12×100°=50°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-∠2)=1240°-50°=90°.(3)根据平面镜反射光线的规律可知,∠1=∠4,∠5=∠6,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∵∠1+∠4+∠7=180°,∠2+∠5+∠6=180°,∴2(∠5+∠4)+ (∠2+∠7)=360°,∴∠5+∠4=1×(360°-180°)=90°.∵∠3+∠4+∠5=180°,2∴∠3=180°-(∠4+∠5)=180°-90°=90°.∴当∠3=90°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.。

三角形内角和、外角练习题1.三角形有内角和定理和外角性质。

内角和为180°，外角和为360°，这些是做题时常用的已知条件。

已知其中两个角的大小可以求出第三个角的大小。

2.一个三角形最多只有一个钝角或一个直角，最少有两个锐角。

3.内角和定理和外角性质是求角度和推理的基础。

外角性质可用于证明一个角等于另外两个角的和，作为中间关系式证明两个角相等，或证明角的不等关系。

4.作辅助线可以使问题更简单。

经典例题解析：1.已知三角形三个内角度数的比为1：5：6，求最大的内角度数。

根据内角和定理，三个内角的和为180°，设它们分别为x、5x、6x，则有x+5x+6x=180°，解得x=20°，最大的内角为6x=120°。

举一反三：在△ABC中，已知∠A=55°，∠XXX∠C大25°，求∠B的度数。

设∠B=x，∠C=y，则∠A+∠B+∠C=180°，代入已知条件得x+y=125°，又因为∠B比∠C大25°，所以x=y+25°，代入前面的式子得2y+25°=125°，解得y=50°，x=75°，即∠B的度数为75°。

又如：三角形中至少有一个角不小于60度。

2.已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

证明∠BAC＞∠B。

根据外角性质，∠BAC=∠ACD+∠ACB，而CE是∠ACD的平分线，所以∠ACE=∠ECD=1/2∠ACD，又因为CE交BA延长线于点E，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB，代入前面的式子得∠BAC=∠ACD+∠ACE+∠XXX∠ACD+1/2∠ACD+∠ECB=3/2∠ACD+∠ECB。

又因为∠XXX和∠ECB是同旁内角，所以∠XXX＜∠B，代入前面的式子得∠BAC＞∠B。

举一反三：如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来，根据外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠A+∠C，代入前面的式子得∠B＜∠1-∠A，∠C＜∠2-∠A，即可得到所求的关系。

三角形的内角及外角的角平分线有关题型：1．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．2．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为．3．（1）如图①，∠DCE=∠ECB=α，∠DAE=∠EAB=β，∠D=30°，∠B=40°①用α或β表示∠CNA，∠MPA，∠CNA=，∠MPA=②求∠E的大小．（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠B，∠D之间是否存在某种等量关系？若存在，写出结论，说明理由；若不存在，说明理由．4．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D（2）性质应用：①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．5．如图1的图形，像我们常见的风筝．我们不妨把这样图形叫做“筝形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：观察“筝形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=58°，则∠ABX+∠ACX=°；②如图3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=150°，则∠DCE=°；②如图4，已知∠ABD，∠ACD 的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠B G1C=77°，则∠A=°．6．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=；②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．7．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD=度；（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论．（填“能”或“不能”）8．如图，将一块直角三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．（1）如图①，点D在△ABC内．（i）若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度，∠ABD+∠ACD=度；（ii）请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．9．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．10．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．。

苏科版七年级数学下册三角形（多边形）的内外角和提优训练【学习目标】1、了解三角形中的基本概念；2、掌握三角形中三边关系，并会应用解决三角形的存在性问题；3、灵活运用三角形的内外角和解决几何图形中的求角问题；4、会应用多边形的内外角和计算公式.【基础知识梳理】1、掌握三角形中的基本概念：三角形的内角、外角定义、“三线”的定义与性质、周长和面积的计算.三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段；②高、角平分线、中线的应用.2、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边.若三角形的三边分别为a、b、c，则|a－b|<c<a+b3、三角形的内外角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.三角形的外角和是360°.4、多边形的内角和:n边形的内角和等于（n－2）•180°；任意多边形的外角和等于360°.【典型例题】一、三角形中的基本概念例1、看图填空，如图：（1）如图中共有个三角形，它们是；（2）△BGE的三个顶点分别是，三条边分别是，三个角分别是；（3）△AEF中，顶点A所对的边是；边AF所对的顶点是；（4）∠ACB是△的内角，∠ACB的对边是．【变式】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．（2）是否存在“特征角”为120°的三角形，若存在．请举例说明．例2、（1）下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4例3、已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE ＝∠CEF．二、三角形三边关系例4、如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB＝12、BC＝14、CD＝18、DA＝24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为．【变式】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(1) (2) (3) (4)三、三角形的内外角和例5、【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，则∠A＝度，∠P＝度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．四、多边形的内外角和例6、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【拓展应用】例7、如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2－∠C＝．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．【能力提升】1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形2. 如图AD是△ABC的中线，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积为（）A．5cm2B．10cm2C．15cm2D．20cm23．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．94. 已知△ABC的周长是24cm，若三边a，b，c满足b：c＝3：4，且a＝2c－b，则边a的长度是．5. 如图所示：在△AEC中，AE边上的高是．6. 如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，A n为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…（1）完成下表：连接个数出现三角形个数（2）若出现了45个三角形，则共连接了__________个点.（3）若一直连接到A n，则图中共有个三角形．7. 如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．（1）以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；（2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．8. 小王准备用一段长30m 的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am ，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m ．（1）请用a 表示第三条边长．（2）问第一条边长可以为7m 吗？请说明理由．9. 在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）10. 在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 平分∠BAC ，F 为射线AE 上一点（不与点E 重合），且FD ⊥BC 于D ．（1）如图①，当点F 与点A 重合，且∠C ＝50°，∠B ＝30°时，求∠EFD 的度数，并直接写出∠EFD 与12（∠C －∠B ）之间的数量关系．（2）如图②，当点F 在线段AE 上（不与点A 重合），∠EFD 与∠C －∠B 有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F 在△ABC 外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C －∠B 的数量关系．【能力提升】答案1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）A ．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C．2. 如图AD是△ABC的中线，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积为（）A．5cm2B．10cm2C．15cm2D．20cm2【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴S△EBD＝S△ECD，S△DFB＝S△DFC，S△ABD＝S△ADC＝12S△ABC＝15cm2，∴S△EFB＝S△EFC，∴S阴＝S△ABD＝15cm2，故选：C．3．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得n－3＝5，解得n＝8．故这个多边形的边数是8．4. 已知△ABC的周长是24cm，若三边a，b，c满足b：c＝3：4，且a＝2c－b，则边a的长度是．【解答】解：由题意得，，解得：，故答案为：105. 如图所示：在△AEC中，AE边上的高是．解：由题意可得：△AEC中，AE边上的高是CD，故答案为：CD．6. 如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，A n为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…（1）完成下表：连接个数出现三角形个数（2）若出现了45个三角形，则共连接了__________个点.（3）若一直连接到A n ，则图中共有 个三角形．解：（1）连接个数1 2 3 4 5 6 出现三角形个数3 6 10 15 21 28（2）8个点；（3）1+2+3+…+（n +1）＝12[1+2+3+…+（n +1）+1+2+3+…+（n +1）] ＝12（n +1）（n +2）． 故答案为12（n +1）（n +2）．7. 如图，过A 、B 、C 、D 、E 五个点中的任意三点画三角形．（1）以AB 为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；（2）分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．解：（1）如图所示：以AB 为边的三角形能画3个有：△EAB ，△DAB ，△CAB ；（2）△ABD 是等腰三角形，△EAB ，△CAB 是钝角三角形．8. 小王准备用一段长30m 的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为a m ，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m ．（1）请用a 表示第三条边长．（2）问第一条边长可以为7m 吗？请说明理由．解：（1）第三边为：30－a －（2a +2）＝（28－3a ）m ．（2）第一条边长不可以为7m ．理由：a ＝7时，三边分别为7，16，7，∵7+7＜16，∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m ．9. 在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）【解答】解：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．10. 在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 平分∠BAC ，F 为射线AE 上一点（不与点E 重合），且FD ⊥BC 于D ．（1）如图①，当点F 与点A 重合，且∠C ＝50°，∠B ＝30°时，求∠EFD 的度数，并直接写出∠EFD 与12（∠C －∠B ）之间的数量关系．（2）如图②，当点F 在线段AE 上（不与点A 重合），∠EFD 与∠C －∠B 有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F 在△ABC 外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C －∠B 的数量关系．解：（1）如图1，∵∠B ＝30°，∠ACB ＝50°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠ACB ＝100°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝12∠CAB ＝50°， ∵FD ⊥BC ，∴∠FDC ＝90°，∵∠ACB ＝50°，∴∠DAC ＝180°－90°－50°＝40°，∴∠EFD ＝∠CAE －∠CAD ＝50°－40°＝10°；∠EFD ＝12（∠C －∠B ）， 理由是：∵∠BAC +∠B +∠C ＝180°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝12∠CAB ＝90°－12（∠B +∠C ）， ∵FD ⊥BC ，∴∠FDC ＝90°，∴∠DAC ＝180°－90°－∠C ＝90°－∠C ，∴∠EFD ＝∠CAE －∠CAD ＝[90°－12（∠B +∠C ）]－（90°－∠C ）＝12（∠C －∠B ）；（2）∠EFD ＝12（∠C －∠B ），理由是： 过A 作AM ⊥BC 于M ，由（1）可知：∠EAM ＝12（∠C －∠B ）， ∵AM ⊥BC ，FD ⊥BC ，∴AM ∥FD ，∴∠EFD ＝∠EAM ＝12（∠C －∠B ）；（3）∠EFD ＝12（∠C －∠B ），理由是： 过A 作AM ⊥BC 于M ，由（1）可知：∠EAM ＝12（∠C －∠B ）， ∵AM ⊥BC ，FD ⊥BC ，∴AM ∥FD ，∴∠EFD ＝∠EAM ＝12（∠C －∠B ）．。