中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用 (I)

意林数学思维方法讲义之八 年级： 九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用）： ⑴a 决定__________。

①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。

②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。

③当|a |越大，图象开口越_____。

（2）a 和b 共同决定________。

①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。

简记为 。

（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。

当___ 时，图象与y 轴正半轴相交；当___ 时，图象与y 轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。

（4）当__ _时，图象与x 轴有两个交点；当_ 时，图象与x 轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x 轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是 （填番号）●变式练习：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用 【例2】已知，二次函数的解析式y 1=－x 2+2x +3． （1）求这个二次函数的顶点坐标；●变式练习：对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，则当2012=x 时的函数值为3-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A .-3B .3C .-5D .9●变式练习：如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是或．其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等 【例4】如图，若抛物线y =-x 2+bx +c 的图像经过点A （m ，0）、B （0，n ），已知一元二次方程x 2－4x ＋3=0的两根是m ，n 且m ＜n . （1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x 取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？ （3）点P 在线段OC 上，作PE⊥x 轴与抛物线交与点E ，若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，求点P 的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求抛物线的解析式；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M A O M△∽ABC △？若存在，求出点M 说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34。

2019-2020年中考数学思维方法讲义 第8讲 二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用）：⑴a 决定__________。

①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab 2时，y 随x 的增大而________。

②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x ﹥-ab2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。

③当|a |越大，图象开口越_____。

（2）a 和b 共同决定________。

①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。

简记为 。

（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。

当___ 时，图象与y 轴正半轴相交；当___ 时，图象与y 轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。

（4）当__ _时，图象与x 轴有两个交点；当_ 时，图象与x 轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x 轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是 （填番号）●变式练习：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b （a≠0）的图象与该二次图象交于A （12-，m ），B （2，n ）两点，结合图象直接写出当x 取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，则当2012=x 时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ） A .-3 B .3 C .-5 D .9●变式练习：如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是或．其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y =-x 2+bx +c 的图像经过点A （m ，0）、B （0，n ），已知一元二次方程x 2－4x ＋3=0的两根是m ，n 且m ＜n . （1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x 取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？（3）点P 在线段OC 上，作PE⊥x 轴与抛物线交与点E ，若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，求点P 的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求抛物线的解析式；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经 过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在， 求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34。

意林数学思维方法讲义之八年级：九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。

①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。

②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x 的增大而________。

③当||越大，图象开口越_____。

（2）和b共同决定________。

①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。

简记为。

（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。

当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。

（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当为何值时，？⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｏ x yO B y x点C ，D 作轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。

对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．知识互联网思路导航二次函数的应用题型一：二次函数的最值x=-b 2ax=-b 2a x=-b 2a x=-2a ④③②①【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例1】 ⑴ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑵ 当331012x +-≤≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12（昌平二模）例题精讲典题精练【解析】 ⑴ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q 的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑵ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例2】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，已知()04A ，、()50C ，．作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE CD ⊥交OA 于点E ． ⑴求点D 的坐标；⑵求证：ADE BCD △≌△；⑶抛物线2424455y x x =-+经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2012西宁)【解析】⑴ 证明：∵OD 平分AOC ∠，∴AOD DOC ∠=∠， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB OC ∥．∴ADO DOC ∠=∠， ∴AOD ADO ∠=∠．∴OA AD =（等角对等边）．∴D 点坐标为()44，． ⑵ 解：∵四边形AOCB 是矩形 ∴90OAB B ∠=∠=︒，BC OA =． ∵OA AD =， ∴AD BC =． ∵ED DC ⊥， ∴90EDC ∠=︒．∴90ADE BDC ∠+∠=︒． ∵90BDC BCD ∠+∠=︒， ∴ADE BCD ∠=∠． 在ADE △和BCD △中， DAE B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE BCD △≌△（ASA ） ⑶ 解：存在．∵二次函数解析式为：2424455y x x =-+，点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点坐标为2424455t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设AC 所在直线函数关系式为y kx b =+，()04A ，、()50C ，， ∴4540b k =⎧⎨+=⎩ ∴454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴AC 所在直线函数解析式为：445y x =-+．∵PM y ∥轴，∴445M t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，．2424444555PM t t t ⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2445t t =-+24255554t t ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭245552t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴当52t =时，5PM =最大值． ∴所求的P 点坐标为532⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【例3】 如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10a =米）， 当AB 为多少米时，围成的花圃面积最大．（人大附练习题） 【解析】 设AB 长为x 米，则花圃的面积()()()2223033303103575S x x x x x x x =-=-+=--=--+显然0303100x x <-⎧⎨>⎩≤解得20103x <≤，当203x =时，max 2003S =（平方米）.【例4】如图，已知抛物线经过点()10A -，、()30B ，、()03C ，三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN y ∥轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使BNC △的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． (2012黔东南州) 【解析】（1）设抛物线的解析式为：()1y a x =+()3x -，则：()01a +()033-=，1a =-； ∴抛物线的解析式：()()21323y x x x x =-+-=-++．（2）设直线BC 的解析式为：y kx b =+，则有： 303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；故直线BC 的解析式：3y x =-+．已知点M 的横坐标为m ，则()3M m m -+，、()223N m m m -++，； ∴故()()22233303N m m m m m m =-++--+=-+<<．（3）如图；∵()1122BNC MNC MNB S S S MN OD DB MN OB =+=+=⋅△△△，∴()()213327332032228BNC S m m m m m ⎛⎫=-+⋅=--+<< ⎪⎝⎭△； ∴当32m =时，BNC △的面积最大，最大值为278．典题精练题型二：二次函数综合应用xyNMOCBA【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和 点B (0，1-)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4，n )． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) (2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值． （2013西城一模）【解析】（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，1-）， ∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点C （4，n ）， ∴34124n =⨯-=. ∵抛物线212y x bx c =++经过点C （4，2）和点B （0，1-），∴21244,21.b c c ⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 解得5,41.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为21524y x =- （2）∵直线l ：314y x =-与x ∴点A 的坐标为（43，0）.∴OA=43.在Rt △OAB 中，OB=1，∴AB 53=.∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°.∴△OAB ∽△FDE .∴OA OB ABFD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，35OB FE DE DE AB =⋅=.∴p =2(FD+ FE )=43142()555DE DE ⨯+=.∵D （t ，215124t t --），E （t ，314t -），且04t <<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t =⨯-+=-+.∵2728(2)55p t =--+，且705-<，∴当2t =时，p 有最大值528.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且5AB =，4sin 5B =．（1）求过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为1y mx n =+，（1）中抛物线的解析式为22y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，PAE △的面积最大？并求出面积的最大值．（2012攀枝花）【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴5AB AD CD BC ====，4sin sin 5B D -=；Rt OCD △中，sin 4OC CD D =⋅=，3OD =；2OA AD OD =-=，即：()20A -，、()54B -，、()04C ，、()30D ，； 设抛物线的解析式为：()2y a x =+()3x -，得：()234a ⨯-=，23a =-；∴抛物线：222433y x x =-++．（2）由()20A -，、()54B -，得直线AB ：14835y x =--； 由（1）得：2222433y x x =-++，则：2483322433y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 解得：1120x y =-⎧⎨=⎩，225283x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；由图可知：当12y y <时，25x -<<． （3）∵12APE S AE h =⋅△， ∴当P 到直线AB 的距离最远时，ABC S △最大；若设直线L AB ∥，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ； 设直线L ：43y x b =-+，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，24224333x b x x -+=-++，且0=△； 求得：112b =，即直线L ：41132y x =-+； 可得点3722P ⎛⎫⎪⎝⎭，．由（2）得：2853E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线PE ：1193y x =-+； 则点27011F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，4911AF OA OF =+=；∴PAE △的最大值：1492873432113212PAE PAF AEF S S S ⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭△△△．综上所述，当3722P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，PAE △的面积最大，为34312．【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A ，B 两点， 点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD AB ⊥于点D ⑴求a ，b 及sin ACP ∠的值 ⑵设点P 的横坐标为m①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．(2012河南) 【解析】⑴ 由1102x +=，得到2x =-，∴(20)A -，由1132x +=，得到4x =， ∴(43)B ，． ∵23y ax bx =+-经过A ，B 两点，22(2)230,4430a b a b ⎧-⋅--=⎪⎨⋅+-=⎪⎩∴1122a b ==-，． 设直线A ，B 与y 轴交于点E ，则(01)E ，∵PC y ∥轴，∴ACP AEO ∠=∠． ∴25sin sin 5OA ACP AEO AE ∠=∠=== ⑵ 由⑴可知抛物线的解析式为211322y x x =-- ∴211322P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，112C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2211111342222PC m m m m m ⎛⎫=+---=-++ ⎪⎝⎭在Rt PCD △中，sin PD PC ACP =⋅∠212542m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭yxPOABCD21)m =-+∵0< ∴当1m =时，PD． ②存在满足条件的m 值，52m =或329．分别过点D ，B 作DF PC ⊥，垂足分别为F ，G ．在Rt PDF △中，21(28).5DF m m ==--- 又4,BG m =- ∴21(28)2545PCDPBCm m S DF m S BG m ---+===-△△ 当29510PCD PBC S m S +==△△时． 解得52m =． 当21059PCD PBCS m S +==△△时，解得329m =．A 讲训练1. ⑴ 已知实数x ，y 满足方程()()224233213x x y y ++++=，则x y += .⑵ 若实数a ，b 满足21a b +=，则2227a b +的最小值是 .【解析】 ⑴ 43-.⑵ 2.训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a =于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x +=22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+思维拓展训练(选讲)∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于(10)A ，,(30)B -，两点， ⑴ 求该抛物线的解析式；⑵ 设⑴中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.⑶ 在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.【解析】⑴将A (1，0)，(30)B -，代2y x bx c =-++中得 10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+⑵存在. 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩ ∴Q (－1，2)⑶答：存在. 理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大， ∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++ ＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，训练4. 已知抛物线2y x bx =+，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x c =．过点A 的直线绕点(0)A c ，旋转，交抛物线于点()B x y ，，交y 轴负半轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线与直线x c =交于点D ，设AOB △的面积为1S ，ABD △的面积为2S ． ⑴ 求这条抛物线的顶点的坐标；⑵ 判断1S 与2S 的大小关系，并说明理由．(大兴二模) 【解析】 ⑴∵ 抛物线y =x 2+bx ，在x 轴的正半轴上截得的线段的长为4，可知对称轴为直线x =2． ∴ A (2，0)，设图象与x 轴的另一个交点E 的坐标为 (4，0)， ∴ 抛物线为 y = x 2 +b x 经过点E (4，0) ．∴4b =- ，∴24y x x =-．∴ 顶点坐标为（2，－4）．⑵ S 1与S 2的大小关系是：S 1 = S 2 理由如下： 设经过点A （2，0）的直线为y=kx+b (k ≠0)．∴ 0 =2k +b ．∴ k =21-b ． ∴ y =b x b+-2． ∴ 点B 1的坐标为（x 1 ，b x b+-12）， 点B 2的坐标为（x 2 ，b x b+-22）．当交点为B 1时，b x bb x b S -=+-⨯⨯=11122221， 12221x b S -⨯⨯=b x bx b -=--=112)2(2． 21S S =∴．当交点为B 2时， b x bb x b S +-=+-⨯⨯=22122221 22122-⨯⨯=x b S =b x bx b +-=--=222)2(2． ∴ S 1 = S 2．综上所述，S 1 = S 2．B 讲训练1. 如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为2m S ，平行于墙的BC 边长为m x ．⑴若墙可利用的最大长度为10m ，篱笆长为24m ，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式．⑵在⑴的条件下，围成的花圃的面积为245m 时，求AB 的长．能否围成面积比245m 更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．⑶若墙可利用最大长度为40m ，篱笆长77m ，中间用n 道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形和x 为正整数时，请直接写出一组满足条件的x 、n 的值．【解析】 ⑴ 由题意得：2241833x S x x x -=⋅=-+，()010x <≤⑵ 由218453S x x =-+=解得：115x =（舍去），29x = ∴9x =时，2453xAB -== 又()22118124833S x x x =-+=--+，()010x <≤又∵103a =-<，抛物线的开口向下∴当10x =米时，S 最大为1403平方米 ∴平行于院墙的一边长大于9且小于等于10时，就能围成面积比45平方米更大的花圃．⑶ ∵()2771x x n n +⋅+=+()040x <≤，即12771x n ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭又∵n 为自然数时，12231n <++≤ ∴7723x<≤ ∴22538.53x <≤检验：当33x =，2n =；当35x =，4n =；当38x =，37n =．训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩ 解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a = 于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x += 22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(03)C ，，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(30)-，⑴ 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；⑵点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标； ⑶ 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.（东城二模） 【解析】 ⑴ 由题意，得：3,960.c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：1,3.a c =-⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：223y x x =--+顶点D 的坐标为(14)-，⑵ 易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ⨯△时，易得E 点坐标(22)-，，直线OE 的解析式为y x =-.设M 点坐标()x x -，，y xOMEDCB A2122 3.).x x x x x -=--+==舍∴M② 当1=9=63OBE S ⨯△时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为(14)-，⑶如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， 因为点P 在抛物线上，所以232n m m =-+-， 所以PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C 111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =.CPB △的面积有最大值27.8所以当点P 的坐标为315(,)24-时，CPB △的面积有最大值，且最大值为27.8训练4. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为的等边ABC △随着顶点A 在抛物线2y x =-上运动而运动，且始终有BC ∥x 轴．⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛 物线上？⑵ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即:1:8S S =上部分下部分）时，求顶点A 的坐标；⑶ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标．【解析】 ⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与y 轴交于点D ，如图所示．∵BC ∥x 轴，BC=AC=32，∴CD =，3=AD ． ∴C 点的坐标为)3,3(-． ∵当3=x 时，23y =--．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．⑵ 过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点A 的坐标为（x，2x -）． ∵:1:8S S =上部分下部分，∴23()AD x =-． ∵等边ABC △的边长为 ∴sin603AD AC =⋅︒=．∴23()3x -=．∴210x --=． 解方程，得 =x 2．∴顶点A的坐标为2,1)或2,1)．⑶当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为0)、0)、6)-．题型一 二次函数的最值 巩固练习【练习1】 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w (双) 与销售单价x (元)满足280w x =-+(20≤x ≤40),设销售这种手套每天的利润为y （元）. ⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？（海淀期末）【解析】 ⑴(20)(280)(20)y w x x x =-=-+-221201600x x =-+-.⑵22(30)200y x =--+.∵2040x ≤≤, a =-2<0,∴当30x =时，200y =最大值.答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元.【练习2】 已知2221x y +=，求225x y +的最大值和最小值. 【解析】 222215552292525222222510x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-++=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵22210y x =-≥，∴11x -≤≤当25x =时，取到最大值为2910；当1x =-时，取到最小值为2-.【练习3】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关 于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图 象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与 1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥，∴0∆≥.∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-复习巩固my 12344321-1-2-3-3-2-1O()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=.等号右边=0. ∴左边=右边.∴ x =1是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =- ∵1m n -=， ∴ a =m .当x =2时，y 1=2n +m 2=2（m -1）+m 2= m 2 +2m -2，y 2=22+ 2m （n -m -m ）+m （m -n ）=4 +2m （-1-m ）+m 224m m =--+. 如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，CD = y 2-y 1=2336m m --+=-3（m +12）2 +274由 y 1=y 2，得m 2 +2m -2=-2m 2-m +4.解得m =-2或m =1. ∴ m A =-2，m B =1. ∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.题型二 二次函数综合应用 巩固练习【练习4】 如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点(03)C -，．⑴ 求抛物线的对称轴及k 的值；⑵ 在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最 小，求此时点P 的坐标；⑶ 设点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M 点 运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面 积及此时点M 的坐标.（平谷一模）【解析】 ⑴ 抛物线2(1)y x k =++的对称轴为：直线1x =-．Q 抛物线2(1)y x k =++过点(03)C -，，则23(01)k -=++， 4k ∴=-． ⑵ 如下图，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PA PC +的值最小．又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1x =-的交点．由⑴可知，抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =+-=+-．令0y =，则2230x x +-=．解得：1231x x =-=，．则点A B 、的坐标分别是(30)A -，、(10)B ，． 设直线AC 的表达式为y kx b =+，则303k b b -+=⎧⎨=-⎩，. 解得 13.k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线AC 的表达式为3y x =--． 当1x =-时，(1)32y =---=-. 所以，此时点P 的坐标为(12)--，．⑶ 依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，AMB △的 面积最大．由抛物线表达式2(1)4y x =+-可知，抛物线的顶点坐标为(14)--，． ∴点M 的坐标为(14)--，．AMB △的最大面积1(31)482AMB S =⨯+⨯=△．【练习5】 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其 顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一 个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED .⑴ 求此抛物线及直线OC 的解析式；⑵ 当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；⑶ 连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标.（海淀期末）【解析】 ⑴∵ 抛物线过原点和A (0-)，∴ 抛物线对称轴为3-=x . ∴ B (3).设抛物线的解析式为2(3y a x =+. ∵ 抛物线经过(0, 0), ∴330a += . ∴1a =- .∴3)3(2++-=x y 2.y x =--∵ C 为AB 的中点, A (0-)、B (3)， 可得 C (32) .可得直线OC 的解析式为x y 33-=. ⑵连结OB . 依题意点E 为抛物线x x y 322--=与直线x y 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由2,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩， 解得5,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）.∴ E（53） 过E 作EF ⊥y 轴于F , 可得OF =53，∵ OE =DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF .∴ DO =2OF =103.∴ D (0, 10).∴ BD=⑶E 点的坐标为(32)或12-).。