一元二次方程思维导图+资料
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一元二次方程(思维导图+资料)
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
一元二次方程 (思维导图+资料)复习过程
一元二次方程(思维导图+资料)1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式二、知识准备1、请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46 B.425 C. 419 D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-24、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0；（3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
初中数学一元二次方程部分知识框架图如下
初中数学一元二次方程部分知识框架图如下 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中数学一元二次方程部分知识框架图如下：第一：一元二次方程的基本解法解一元二次方程的基本思路通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程求解。
1.直接开平方法：对形如(x+a）2 =b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 ＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2 =b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．2依据：配方法的理论依据是完全平方公式a2;+b2;±2ab=（a±b）2;关键：配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2 －4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2 －4ac的值，当b2 －4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5.图像解法:元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。
12 一元二次方程-一元二次方程知识图--葛军
12.一元二次方程知识图
一元二次方程是初中数学中的重要而基本的内容，自然地，它也就成为初中数学竞赛的重要内容．
“再回首，往事就在昨天，或许在今日，”
我们看来路，方知一元二次方程的基本内容构成下图：
掌握了这个图，应该说，应付一元二次方程的竞赛题是不会有多大问题的．特别指出的是，注意图中基本知识间的逆向关系，即逆向思维的运用，常是竞赛命题的基本出发点．（“一”表示两者之间的相互对应关系）
当然，掌握这个图的熟练程度，也决定了学习者在高中乃至大学学习数学的理解与掌握水平．
需要说明的是，上述的图中涉及“图像”知识点，因为需要用到函数的知识，这里就不再涉及，有兴趣的读者可以自行探索．
这小小的苇笛，你携带着它逾山越谷，从笛管里吹出永新的音乐，
——泰戈尔<吉檀迦利》。
一元二次方程 (思维导图+资料).
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
初中数学思维导图 一元二次方程的思维导图
初中数学思维导图一元二次方程的思维导图
一元二次方程 (1)
1.概念 (2)
1.1.等式两边都是整式 (2)
1.2.只含有一个未知数 (2)
1.3.未知数最高次数是2 (2)
2.解法 (2)
2.1.直接开平方法 (3)
2.2.公式法 (3)
2.3.配方法 (3)
2.4.因式分解法 (3)
3.根 (3)
3.1.根的判别式 (3)
3.2.根与系数的关系 (3)
3.3.特殊根 (3)
4.应用 (3)
4.1.审 (3)
4.2.设 (3)
4.3.列 (3)
4.4.解 (3)
4.5.验 (3)
4.6.答 (3)
1.概念
1.1.等式两边都是整式1.
2.只含有一个未知数
1.3.未知数最高次数是2
2.解法
2.1.直接开平方法2.2.公式法
2.3.配方法
2.4.因式分解法
3.根
3.1.根的判别式
b²-ac>0
b²-ac=0
b²-ac<0
3.2.根与系数的关系
两根之和
两根之积
3.3.特殊根
实数根
有理根
整数根
4.应用
4.1.审
4.2.设
4.3.列
4.4.解
4.5.验
4.6.答。
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1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2； (5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； 2、请你思考方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？三、学习内容问题1、如何解方程2x 2-5x+2=0？ 01832=++x x -01432=++x x四、知识梳理问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？ 问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程 1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2. 2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1 D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程：（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t 2-7t-4=0化为(t-27)2=465 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x 2-4x-2=0化为(x-32)2=9102、a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x ； (2)3y 2-y-2=0； 3、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于823. 4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.一、知识目标1、 会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥03、在公式的推导过程中培养学生的符号感重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误二、知识准备1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、 用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x三、学习内容问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 20b cx x a a ++= 移项，得 2b c x x a a+=-配方，得 222)2()2(22ab ac a b x a b x +-=+••+ 即 2224()24b b ac x a a -+=问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b 2－4ac ≥0？当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b aca -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b aca-≥ 到此，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为22b x a a +=±，即2b x a-±=。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：2b x a-= （240b ac -≥）这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
例 6 解下列方程：⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4四、知识梳理 引导学生总结：1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。
五、达标检测达标检测一1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b 2-4ac= .2、方程x 2+x-1=0的根是 。
3、用公式法解方程2x 2+43x=22,其中求的b 2-4ac 的值是（ ） A.16 B. ±4 C.32 D.644、用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac= ，方程的根是 .。
5、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x 1.2=21214412-± B. x 1.2=21214412-±-C. x 1.2=21214412+± D. x 1.2=64814412-±达标检测二1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .2、方程042=-x x 的解为 ．3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ） A. x 1=1,x 2=3B.x=2±23C.x=2±3D.x=-2±234、已知y=x 2-2x-3，当x= 时，y 的值是-3 5、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。
一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值一、知识准备1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）当240b ac -≥时，X 1,2 =2、 解下例方程：（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=0三、学习内容 1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴ x 2＋2x －8 = 0 ⑵ x 2 = 4x －4 ⑶ x 2－3x = －3 2、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例 解下列方程：⑴ x 2＋x －1 = 0 ⑵ x 2－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2－2x ＋1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b 2－4ac 的值可以发现它的符号决定着方程的解。
3、 你能得出什么结论？由此可以发现一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有当b 2－4ac = 0时，方程有当b 2－4ac ＜ 0时，方程我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式。
4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b 2－4ac当一元二次方程有两个相等的实数根时， b 2－4ac当一元二次方程没有实数根时，b 2－4ac例题教学不解方程，判断下列方程根的情况：1、2260x x +-=； 2、242x x +=； 3、x x 3142-=+四、知识梳理请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系五、达标检测达标检测一1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A.x 2=9B.4x 2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y 2+6y+7=04、方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b 2-4ac ＞0 B. b 2-4ac ＜0 C. b 2-4ac≤0 D. b 2-4ac≥05、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .达标检测二1、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定 2、关于x 的一元二次方程 的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 3、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )A.k ＞-1B.k≥-1C.k ＞1D.k≥04、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .5、若方程2610kx x -+=有实数根，则k 的范围是_____________________。