高中数学选修2-1(A版)：第二章 阶段复习课

高二数学 第二章 第3节双曲线（理） 人教新课标A 版选修2-1一、学习目标：1、知识目标：掌握双曲线的定义，双曲线的标准方程和双曲线的几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：双曲线的定义、标准方程和几何性质，并会利用双曲线的几何性质解决一些问题。

难点：双曲线的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关双曲线焦点三角形的问题并能与正余弦定理结合解题。

能用坐标法解决简单的直线与双曲线的位置关系等问题。

三、考点分析：学习完本节内容，我们要熟练掌握双曲线的定义及其两种标准方程的表达，会用待定系数法确定双曲线的方程，以及双曲线的简单几何性质的运用。

初步掌握用定义法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时解决一些直线与双曲线的位置关系的问题。

1、对双曲线第一定义的理解在双曲线定义中，平面内的动点与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数，当这个常数小于|F 1F 2|时，动点的轨迹是双曲线；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两射线F 1F 2，F 2 F 1；当这个常数大于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、双曲线的第二定义：动点M 与一个定点F 的距离和它到一条定直线的距离的比是一个大于1的正常数，这个点的轨迹是双曲线。

定点是双曲线的焦点。

定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

即dMF ||＝e （e ＞1）。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须大于1。

（3）符合双曲线第二定义的动点轨迹肯定是双曲线，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）双曲线离心率的两种表示方法：到相应准线的距离点的距离到焦点点M F M a c e ==准线方程为：双曲线焦点在x 轴：c a x 2±=双曲线焦点在y 轴：ca y 2±=3、双曲线的标准方程与几何性质标准方程22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0） 22a y －22bx ＝1（a ＞0，b ＞0）简图中心 O （0，0）O （0，0）顶点 A 1（－a ，0），A 2（a ，0）B 1（0，a ），B 2（0，－a ）范围 |x|≥a|y|≥a焦点 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，－c ），F 2（0，c ）准线x ＝±c a 2y ＝±c a 2渐近线 y ＝±a b xy ＝±ba x4. 焦半径公式（1）当M （x 0，y 0）为22a x －22b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。

(2)已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【解题探究】1.题(1)中方程ax2+2x+1=0一定是一元二次方程
吗?为什么?
2.题(2)中证明命题中的条件与结论各是什么?
【探究提示】1.方程ax2+2x+1=0不一定是一元二次方程. 当a=0时是一元一次方程;当a≠0时是一元二次方程. 2.命题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是a+b=1.
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0, 从而a2-ab+b2≠0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立. 所以a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【方法技巧】 1.求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前 后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们 转化的时候思维要缜密.
1 ”是“一元二次方程x2+x+m=0无实根”的既不充分 4
所以“m<
也不必要条件.
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【方法技巧】判断p是q的什么条件的两种思路 (1)命题角度:判断p是q的什么条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这 两个命题是否成立,若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p 的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分 条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
【自主解答】(1)①当a=0时,原方程化为2x+1=0,此时根为 x=- 1 ,满足条件.
2
②设f(x)=ax2+2x+1,当a≠0时,因为方程的常数项为1不为0, 方程没有零根. (ⅰ)若方程有两异号的实根x1,x2,则x1x2= 1 <0,

注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2＞0
异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
1 ,
1
两式做差得：３（x1
ｘ2）（x1
＋ｘ）＝（ｙ
2
1
ｙ2）（ｙ1
＋ｙ） 2
x1＋ｘ2 2m,
ｙ 1
＋ｙ 2
2n,
ｙ 1
ｙ2
x1ｘ2
2
即：ｎ＝－３ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝１ｘ上，那么
２
２
ｎ＝２１ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。
五、综合问题
1、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
y 1 2(x 1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k(x 1)
x
2
y
2
1
2
韦达定理
消y得 (2 k 2 )x2 2k(1 k)x k 2 2k 3 0
2k2 0
（8 3 - 2k） 0
练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x2 - y2 =1的左支交于A,B
两点, 直线l过点P -2,0和线段AB的中点. 1 求k的取值范围. 2 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;

y 2 k x 3 , 由 消去x,整理得 2 y 4x,
ky2-4y+8+12k=0.
①
(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以
k 0, 0,
x1 x 2 y y2 2.可设直线的点斜式方程 2, 1 2. y-1=k(x-2),k≠0. 2 2
【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=kx，与y=x联立方程组， 消去y,得x2-kx=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=k. 又因为P(2,2)为AB的中点， 所以 x1 x 2 2，
2 y 4x,
ky2-4y+4-4k=0,
Δ=16-4k(4-4k)>0恒成立,
又由根与系数的关系得 y1 y 2 根据M为AB中点，所以
4 2, k
4 , k
所以所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
【方法技巧】“中点弦”问题解题策略两法
位置关系.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
y k x 1 , (2)由方程组 消去y得 2 y 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的 中点的轨迹方程. 【解题指南】可采用“点差法”，即用点差法表示出直线斜率 与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解. 【解析】设弦的中点为M(x,y)，弦的端点坐标分别为(x1,y1)， (x2,y2)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.