人教版初中数学二次函数真题汇编及答案

其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
5．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x 轴的一 个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2 ＝4a（c﹣n）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有两个互异实根．其中正确结论的个数是 （）
当 m+1＜1 时，可知当自变量 x 满足 m≤x≤m+1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴当 x＝m+1 时，y 有最小值，
∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得 m＝ 5 （舍去）或 m＝﹣ 5 ，
综上可知 m 的值为 1+ 5 或﹣ 5 ．
故选 B． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，用 m 表示出其最小值是解题的关键．
8．若二次函数 y＝x2﹣2x+2 在自变量 x 满足 m≤x≤m+1 时的最小值为 6，则 m 的值为 （）
A． 5, 5,1 5,1 2
B． 5, 5 1
C．1
D． 5,1 5
【答案】B 【解析】
【分析】
由抛物线解析式确定出其对称轴为 x=1，分 m＞1 或 m+1＜1 两种情况，分别确定出其最小
③ a b c 0；④当 0 x 4时， ax2 bx c 0 ；⑤当 x 2 时， y 随 x 增大而增
大．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 【答案】D 【解析】
B．2
C．3
D．4
【分析】
根据题意，求得 a, b, c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
与 x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴ HF HE EF , AE AB BE
G 为 BE 的中点，
FE GE 1 BE, 2
9．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=4，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90°得到点 F，连接 CF，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A．16
B．15
C．12
D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，则△FEH∽△EBA，设 AE=x，可得出△CEF 面积
故选：D. 【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.
3．如图，抛物线 y 1 x2 1与 x 轴交于 A，B 两点， D 是以点 C 0, 4 为圆心，1为半径
9 的圆上的动点， E 是线段 AD 的中点，连接 OE, BD ，则线段 OE 的最小值是（ ）
A． 2
A．①②
B．①③④
C．①②③④
D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向可得出 a 的符号，再由抛物线与 y 轴的交点可得出 c 的值，然后进
一步根据对称轴以及抛物线得出当 x 1、 x 1、 x 3 时的情况进一步综合判断即
可．
【详解】
由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x= b 1， 2a
B． 3 2 2
C． 5 2
D． 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式即可得出 A 点与 B 点坐标，结合题意进一步可以得出 BC 长为 5，利用三
角形中位线性质可知 OE= 1 BD，而 BD 最小值即为 BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即 2
可. 【详解】
∵ y 1 x2 1， 9
④∵抛物线与直线 y＝n 有一个公共点，
∴抛物线与直线 y＝n﹣1 有 2 个公共点，
∴一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④符合题意．
故选：B．
【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次 函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
A．ac＞0
B．b＞0
C．a+c＜0
D．a+b+c＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
A.由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故 A 错误；
B.由对称轴可知：x＝ b ＜0， 2a
∴b＜0，故 B 错误；
C.由对称轴可知：x＝ b ＝﹣1， 2a
∴b＝2a，
先求出 A(2，c-4)，B(0，c)， A'(2，4 c)，, B '(0， c) ，结合矩形的性质，列出关于 c 的方
程，即可求解． 【详解】
∵抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，
∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W 绕原点旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ， ∴ A'(2，4 c)，, B '(0， c) ， ∵四边形 ABA' B' 为矩形， ∴ AA' BB' ，
∵x＝1 时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故 C 错误；
3
9
x
当 x= 1 时， y x2 2 2 1 ， y 1 2 ，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
2
4
x
当 x=1 时， y x2 2 3 ， y 1 1 ，此时抛物线的图象在反比例函数上方． x
∴方程
x3
2x
1
0
的实根
x0
所在范围为：
1 3
<x0
<
1 2
．
故选 C．
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析
6．已知抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，将抛物线W 绕原点
旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ，若四边形 ABA' B' 为矩形，则 c 的值为（ ）
A． 3 2
【答案】D
B． 3
C． 3 2
D． 5 2
【解析】 【分析】
∴当 x＝﹣2 时，y＜0，
即 4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ b ＝1，即 b＝﹣2a， 2a
∴3a+b＝3a﹣2a＝a<0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ 4ac b2 ＝n， 4a
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；
值，由最小值为 6，则可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值．
【详解】
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为 x＝1，
当 m＞1 时，可知当自变量 x 满足 m≤x≤m+1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝m 时，y 有最小值，
∴m2﹣2m+2＝6，解得 m＝1+ 5 或 m＝1﹣ 5 （舍去），
∴2 (2)2 (c 4) (4 c)2 (2c)2 ，解得： c 5 ．
2
故选 D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特 征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
7．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结 论的序号是( )
∴ HF HE EF 1 , AE AB BE 2
设 AE=x， ∵AB 8, AD 4,
∴HF 1 x, EH 4, 2
DH AE x,
SCEF SDHFC SCED SEHF
1 x(1 x 8) 1 8(4 x) 1 4 • 1 x
22
2
22
1 x2 4x 16 4x x 4
【详解】
由题可知 b 2 ，与 x 轴的一个交点坐标为 (4, 0) ，则另一个交点坐标为 0, 0 ，
2a 故可得16a 4b c 0 ， c 0 ，
故可得 4a b, c 0
①因为 c 0 ，故①正确；
②因为二次函数过点 0,0,4,0 ，故②正确；
③当 x 1 时，函数值为 a b c 0，故③正确； ④由图可知，当 0 x 4时， y 0 ，故④正确； ⑤由图可知，当 x 2 时， y 随 x 增大而减小，故⑤错误；
解：依题意得方程 x3 2x 1 0 的实根是函数 y x2 2 与 y 1 的图象交点的横坐标，
x 这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当
1
x=
时， y
x2
22
1
，y
1
4 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
4
16
x
当 x= 1 时， y x2 2 2 1 ， y 1 3 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
x
标，则方程 x3 2x 1 0 的实根 x0 所在的范围是（ ）
A．
0<x
0
<
1 4
B．
1 4
<x
0
<
1 3
C．
1 3
<x
0
<
1 2
D．
1 2
<x
0
<1
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意推断方程 x3+2x-1=0 的实根是函数 y=x2+2 与 y 1 的图象交点的横坐标，再根 x
据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例 函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x3+2x-1=0 的实根 x 所在范围． 【详解】
∴当 y = 0 时， 0 1 x2 1， 9
解得： x= 3， ∴A 点与 B 点坐标分别为：( 3 ，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3， ∴O 点为 AB 的中点， 又∵圆心 C 坐标为(0，4)， ∴OC=4，
∴BC 长度= OB2 0C2 5 ，
∵O 点为 AB 的中点，E 点为 AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线，
∴函数 y＝ 的图象在第二、第四象限，
故选 B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．
2．已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的一个交点坐标为 (4, 0) ，其部分图象如图所示，下
列结论：①抛物线一定过原点；②方程 ax2 bx c 0a 0 的解为 x 0 或 4；
∴b=2a，
①由图可知：当 x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确； ②由图可知：当 x=−1 时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确； ③abc=2a2＞0，正确； ④由图可知：当 x=−3 时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确； ⑤c−a=1−a＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象和性质，开口向下，可得 a<0，对称轴 x=1，利用顶点坐标，图象与 x 轴
的交点情况，对照选项逐一分析即可．
【详解】
①∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x
＝1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
1 x2 x 16, 4
∴当
x
1 2 1
4
2
时，△CEF
面积的最小值
1 4
4
2
16
15.
故选：B．
【点睛】 本题通过构造 K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与 AE 长度的函数 关系式是解题的关键．
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
即：OE= 1 BD， 2
∵D 点是圆上的动点， 由图可知，BD 最小值即为 BC 长减去圆的半径， ∴BD 的最小值为 4，
∴OE= 1 BD=2， 2
即 OE 的最小值为 2， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了抛物线性质与三角形中ห้องสมุดไป่ตู้线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关 键.
4．方程 x2 3x 1 0 的根可视为函数 y x 3 的图象与函数 y 1 的图象交点的横坐
人教版初中数学二次函数真题汇编及答案 一、选择题
1．已知抛物线 y＝x2+2x﹣m﹣1 与 x 轴没有交点，则函数 y＝ 的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求 m＜﹣2，即可求解． 【详解】 ∵抛物线 y＝x2+2x﹣m﹣1 与 x 轴没有交点， ∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0 ∴m＜﹣2