二次函数中考真题汇编[解析版]

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF 的最大值为 9 2 ；（3）M 点坐标为可以为（2， 4
3），（ 5 5 ，3），（ 5 5 ，3）．
2
2
【解析】
【分析】
（1）根据题意由 A、B 两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将 D 点
坐标代入求出 a 的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
∵ C、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴ CD∥ x 轴．
又∵ ∠ CNE＝∠ NBF，∠ CEN＝∠ NFB＝90°，
∴ △ CNE∽ △ NBF．
∴ CE ＝ NF ， NE BF
又∵ CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴
m2 4m ＝ 3 m ，
【答案】（1）见解析；（2）x=4，16 【解析】 【分析】 （1）连接 EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用 SAS 证明
OBC≌ OED 即可； （2）连接 EF、BE，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到 y 与 x 的函数关 系式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】 （1）证明：连接 EF． ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ 解得：a＝1．
∴ 二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即 y＝x2﹣4x+3．
（2）如图 1 所示．
因点 P 在二次函数图象上，设 P（p，p2﹣4p+3）． ∵ y＝x2﹣4x+3 与 y 轴相交于点 C， ∴ 点 C 的坐标为（0，3）． 又∵ 点 B 的坐标为 B（3，0）， ∴ OB＝OC ∴ △ COB 为等腰直角三角形． 又∵ PF//y 轴，PE//x 轴， ∴ △ PEF 为等腰直角三角形．
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90° 由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE ∴∠DEF＝90° 又∵∠ADE＝∠DAF＝90°， ∴四边形 ADEF 是矩形 又∵AD＝DE， ∴四边形 ADEF 是正方形 ∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45° ∵AD＝BC， ∴BC＝DE 由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45° ∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE． ∴OC＝OD． 在△OBC 与△OED 中，
∴ 线段 EF 的最大值为，EFmax＝ 0 9 2 ＝ 9 2 ． 4 2 4
（3）①如图 2 所示：
若∠ CNB＝90°时，点 N 在抛物线上，作 MN//y 轴，l//x 轴交 y 轴于点 E，
BF⊥l 交 l 于点 F．
设点 N 的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点 M 的坐标为（m，3），
二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0），交 y 轴于点 C，抛 物线上一点 D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段 EF 的 最大值； （3）如图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 N，当 △ CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标．
综上所述，满足题意的 M 点坐标为可以为（2，3），（ 5 5 ，3），（ 5 5 ，3）．
2
2
【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识
点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
2．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： (Ⅰ)将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图②； (Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B′处，如图③，两 次折痕交于点 O； (Ⅲ)展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图④． （探究） （1）证明： OBC≌ OED； （2）若 AB＝8，设 BC 为 x，OB2 为 y，是否存在 x 使得 y 有最小值，若存在求出 x 的值并 求出 y 的最小值，若不存在，请说明理由．
用三角形相似知识进行分析求解．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣b）（x﹣c），
∵ y＝ax2+bx+与 x 轴 r 的两个交点 A、B 的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴ 二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
பைடு நூலகம்
又∵ 点 D（4，3）在二次函数上，
∴ （4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
（2）由题意可知点 P 在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为 PF//y 轴，点 F
在直线 BC 上，P 的坐标为（p，﹣p+3），在 Rt△ FPE 中，可得 FE＝ 2 PF，用纵坐标差的
绝对值可求线段 EF 的最大值．
（3）根据题意求△ CBN 是直角三角形，分为∠ CBN＝90°和∠ CNB＝90°两类情况计算，利
m
m2 4m 3
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝ 5 5 ，m2＝ 5 5 ．
2
2
∴ M 点坐标为（ 5 5 ，3）或（ 5 5 ，3）
2
2
②如图 3 所示：
当∠ CBN＝90°时，过 B 作 BG⊥CD， ∵ ∠ NBF＝∠ CBG，∠ NFB＝∠ BGC＝90°， ∴ △ BFN∽ △ CGB． ∵ △ BFN 为等腰直角三角形， ∴ BF＝FN， ∴ 0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m． ∴ 化简得，m2﹣5m+6＝0． 解得，m＝2 或 m＝3（舍去） ∴ M 点坐标为，（2，3）．
BC DE， BCO FDE， OC OD，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
∴ EF＝ 2 PF．
设一次函数的 lBC 的表达式为 y＝kx+b， 又∵ B（3，0）和 C（0，3）在直线 BC 上，
3k b b 3
0
，
k 1 解得： b 3 ，
∴ 直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3． ∴ yF＝﹣p+3． FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴ EF＝﹣ 2 p2+3 2 p．