磁单极子存在时的Maxwell方程组的初边值问题_王治蓉

如果存在磁单极子,则麦克斯韦方程组中需要改写的式子是高斯定律磁场的高斯定律。

如果存在磁单极子,则麦克斯韦方程组中需要改写的式子是高斯定律磁场的高斯定律在物理学领域，磁单极子一直是一个备受关注的研究课题。

传统上，我们所熟悉的磁场是由磁偶极子产生的，它们总是成对出现，并且不可能存在独立的磁单极子。

然而，如果存在磁单极子，那么麦克斯韦方程组中的一些式子就需要做出相应的改写，其中包括高斯定律和磁场的高斯定律。

在本文中，我们将深入探讨这一主题，分析磁单极子对麦克斯韦方程组的影响，并对其中涉及的概念和原理进行全面的评估。

让我们回顾一下麦克斯韦方程组的基本形式。

麦克斯韦方程组描述了电磁场的行为，它由4个方程组成：电场的高斯定律、电场的安培定律、磁场的高斯定律和法拉第电磁感应定律。

在正常情况下，这些方程描述了电磁场的产生、传播和相互作用，然而如果考虑到磁单极子的存在，其中的一些方程就需要做出相应的修改。

具体来说，如果存在磁单极子，那么磁场的高斯定律就需要做出改写。

传统的磁场高斯定律表达了磁场的闭合性，即磁场线既没有起点也没有终点，这是由于磁场总是由磁偶极子所产生的。

然而，如果存在磁单极子，那么磁场线就会出现起点或终点，从而破坏了磁场的闭合性。

在存在磁单极子的情况下，我们需要重新审视磁场的高斯定律，并对其进行修正。

除了磁场的高斯定律之外，麦克斯韦方程组中的高斯定律也需要进行相应的修改。

传统的高斯定律描述了电场或磁场穿过一个闭合曲面的总通量与该曲面所包围的电荷量或磁荷量的比例关系。

然而，如果考虑到磁单极子的存在，那么电场或磁场的通量就会发生改变，从而需要对高斯定律进行修正。

在对麦克斯韦方程组中的式子进行修改时，我们需要考虑到磁单极子对整个理论体系所带来的影响。

除了对高斯定律的修改外，还需要进一步分析磁单极子与其他物理量之间的相互作用，探讨磁单极子的产生机制和性质，并考察它对电磁场的传播和辐射的影响等多方面问题。

研究磁单极子不仅仅是对麦克斯韦方程组的修改，更是对整个电磁理论的深入探讨。

第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。

重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。

直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。

二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。

2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。

如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。

1 电磁场计算中的基本问题1.1 Maxwell 方程组电磁场理论研究的主要问题是场量与场源之间的关系，或者说是场强、位、通量、通量密度、能量等等与电荷或电流等之间的关系。

研究在一定激励源作用下，所产生的响应的分布情况。

反之，根据场量的大小、分布的具体要求来设计合适的场源。

在此基础上，研究电磁场对电荷、电流的作用力，电场与磁场的相互关系，电磁感应的影响，媒质的极化和磁化等重要问题。

1.1.1 场与源赫姆霍兹定理指出：任何一个矢量场),,()(z y x F r F=，只要在有限区域V '所有各点处， )()(r b r F =∙∇和)()(r c r F=⨯∇已知，)(r F在场域边界上的切向或法向分量已知，则矢量场)(r F可以完全地被确定下来。

由定理可知，场的散度和旋度可以确定场的分布，实际上场的散度和旋度表达式正是场与源之间的微分关系式，不同媒质分界面上的衔接条件也由场的散度和旋度唯一的确定。

工程中常遇的电磁场可分为四种类型，设定在各向同性、线性、均匀媒质中： 1. 无散场：在V '空间内，0=⋅∇F，而F⨯∇不一定为零。

选择A为辅助函数，取A F ⨯∇=，由0)(≡⨯∇⋅∇A ，在如图示情况下，应有：⎰⎰''''='⨯∇=V V V Rr c V R F r A d 41d 41)()( ππ由A F ⨯∇=，()r c F'=⨯∇，有)(r c A'=⨯∇⨯∇例如静磁场中：B F =，J B μ=⨯∇， ))((J r cμ='，⎰''=V V d RJ r A μπ41)(⎰''⨯=⨯∇=V RV Re J A r B d 412μπ)( 毕奥-沙阀定律2. 无旋场：V '空间内，0=⨯∇F，0≠⋅∇F 。

=⨯∇F0≡∇⨯∇⇒ϕ，无旋场必然存在一标量位ϕ：ϕ-∇=F ，当)(r b F'=⋅∇时，()ϕ∇-⋅∇=⋅∇F )(r b '-=∇ ϕ2使V Rr b V d RF V V ''='⋅∇=⎰⎰''d 4141)( ππϕ例如静电场：E F =，ερ=⋅∇E ，ερϕ-=∇2()()⎰'''=V V Rr r d 41ερπϕ()⎰''=-∇=V R V Re r r r E d 412ρπεϕ)()(3. 调和场：V '空间中，0=⋅∇F，0=⨯∇F 。

电磁场理论大作业题目时变电磁场的唯一性姓名王志全学号2140920046专业物理电子学日期2015年1月15日摘要：从麦克斯韦方程组的初边值问题出发，引入子区域边界条件和外边界条件，给出了均匀介质区域中时变电磁场惟一性定理的一般证明及其物理解释，得到了时变电磁场解惟一性的普遍条件，并对时变电磁场惟一性定理作了新的表述。

关键词：麦克斯韦方程组；时变电磁场；初边值问题；惟一性定理1引言我们都知道在静电场和静磁场的情况下，静电场和静磁场都具有唯一性定理：静电场静电场唯一性定理是在一个空间内，导体的带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定，唯一，边界条件可以是各导体电势，各导体电量或部分导体电量与部分导体电势之混合[1]；静磁场的唯一性定理：我们假设磁场空间为一封闭曲面S所包围，如果S有限，则给定S面上的法向磁感应强度BSn件，以与高斯定理一致；如果S无限，则要求BS趋于0，其次，设磁介质各向同性，磁导率已知但允许出现非均匀性，以及在不同磁介质界面处出现间断[2]。

静电场、静磁场和时谐电磁场定解问题的唯一性定理可应用微分几何的外微分分析对其进行统一表述和证明.那么在时变电磁场中是不是也具有唯一性定理呢？法拉第电磁感应定律表明时变的磁场能够产生电场，反之，时变的电场也能够产生磁场。

时变的电场和磁场相互激励、相互依存，构成了统一电磁场不可分割的两部分。

自然界中所存在的磁场室友激励源产生的，一旦激励源确定后，电磁场也就随之确定了。

如果考虑范围局限于一个有限区域内，那么这个有限区域内的电磁场，除了由处在这个区域内的激励源产生，还可以由这个区域外的激励源产生，仅知道这个区域内的激励源还不能完全确定这个区域内的电磁场。

为了彻底确定这个区域内的电磁场，还必须知道区域外的激励源的影响。

外部激励源的影响反映在区域边界的边值上。

电磁场的基本问题就是给定所有边界上的边界条件求出满足麦克斯韦方程组描述的电磁场的解。

同一电磁场问题的求解可以采用不同的场量作变量求解，也可以采用不同的方法求解用不同的变量或者是用不同的方法求解得的电磁场定解问题的解答是不是正确的？电磁场定解问题的解是不是独一无二的？这就是电磁场的唯一性问题。

maxwell中boundaries and excitations Maxwell方程组是电磁学中的基本方程组，描述了电场和磁场如何相互作用和运动。

当这些方程被应用于特定情境时，会引出一些边界条件和激发现象的考虑。

本文将详细说明Maxwell方程组的边界条件和激发现象。

一、边界条件Maxwell方程组描述了电磁场的起源和演化，但在特定问题中，电磁场必须满足某些边界条件才能符合实际情况。

下面是Maxwell方程组的边界条件：1. 电场和磁场的法向分量（即与边界垂直的分量）在界面上是连续的。

2. 电场和磁场的切向分量（即与边界平行的分量）在界面上满足以下关系式：（a）电场的切向分量在界面上是连续的。

（b）磁场的切向分量在界面上是连续的。

3. 对于导体表面，电场切向分量为零。

这些边界条件反映了电场和磁场在边界上的行为。

根据这些条件，可以在给定问题中解出满足边界条件的电磁场的分布。

二、激发现象在一些特定情况下，电磁场可以由激励源引起。

这些激励源可以是电流、电荷、变化的磁场等等。

根据Maxwell方程组，可以推导出在激发源存在的情况下电磁场的行为。

1. 静电场的激发：在没有变化的电流或磁场情况下，电磁场方程简化为静电场方程，即库仑定律。

在这种情况下，只有电场分量存在，并且由电荷分布引起。

2. 静磁场的激发：在没有变化的电流或电场情况下，电磁场方程简化为静磁场方程，即安培定律。

在这种情况下，只有磁场分量存在，并且由电流分布引起。

3. 变化的电场的激发：当电流变化时，电磁场会产生变化，根据法拉第电磁感应定律，变化的电场会引起旋转的磁场。

这种激发现象被称为电磁感应。

4. 变化的磁场的激发：同样地，当电场的变化率发生变化时，根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场会引起旋转的电场。

这种激发现象被称为电磁感应。

这些激发现象在电磁学中起着重要的作用，它们描述了电磁场是如何与其它物质和场相互作用和演化的。

三、应用举例边界条件和激发现象在许多现实应用中发挥着关键作用。

maxwell方程特征值问题的混合谱元方法
Maxwell方程是描述电磁场的基本方程，包括4个方程式，它的特征值问题是求解Maxwell方程中电磁波解的频率，由于电磁波的特性和波动方程类似，因此可以使用混合谱元方法求解。

混合谱元方法是一种基于谱元和有限元方法的数值计算方法，它将这两种方法的优点结合起来，可以在复杂几何结构下求解偏微分方程的数值解。

具体来说，混合谱元方法将计算区域划分为若干个单元，然后在每个单元内使用高精度谱方法求解，而在单元之间采用有限元方法进行局部插值。

对于Maxwell方程的特征值问题，混合谱元方法可以将整个计算区域划分为小单元格，然后在每个单元内使用高精度谱方法求解。

由于Maxwell方程是可以分解为两个独立的波动方程的耦合，因此可以采用分步法求解。

具体来说，可以先求解一个电场波动方程，得到电场的分量，然后再求解一个磁场波动方程，得到磁场的分量。

这样，就可以计算出Maxwell方程的特征值，即电磁波的频率。

混合谱元方法具有高精度和高效性的优点，能够处理复杂几何结构下的Maxwell方程求解，具有广泛应用前景。

但也需要面对计算量大和算法复杂等挑战。

从麦克斯韦方程中看磁单极子拿一根金属棒，把所有的电子都引到一端，这时金属棒的电场是一个偶极场。

现在把金属棒切成两半，我们会得到一对电荷：一半是负电荷，另一半是正电荷，这两个电荷都有直接向外辐射的电场。

现在再拿一根金属棒，用磁铁磁化它，我们会得到一个与偶极子电场非常相似的偶极子磁场。

但如果我们再把这个金属棒分成两半，每一半的末端仍然是北极和南极，仍然会产生一个偶极场。

根据经典的电磁学，无论对金属棒切割多少次都没有关系，我们永远不会得到孤立的磁荷，也就是磁单极子。

早在1269年，法国学者Petrus Peregrinus de Marincourt首次进行了这项磁体切片实验，这是在我们知道磁体产生原理之前。

如今，我们知道磁性从何而来，我们对减半的磁铁会产生两个更小的磁铁并不感到惊讶。

在铁磁体中，磁场是磁铁原子中无数微小排列的电子偶极子场的总和。

产生偶极子磁场的另一种流行方法是电磁体，根据经典电动力学，移动电荷是磁场的来源。

经典理论磁单极子的不存在被编入经典电动力学的数学中，特别是高斯磁定律（麦克斯韦四个方程之一），它表明磁场的散度为零。

散度是一个数学术语，它描述的是向量场中里的一个点是源还是汇，零散度意味着没有源也没有汇。

根据这条定律，我们知道没有磁单极子的存在。

另一方面，电场的高斯定律告诉我们，电场的散度不为零，它与电荷密度成正比。

该电荷是电场线可以结束的地方——它形成了它们的源或汇，所以有诸如孤立电荷之类的东西。

如果我们快速浏览一下麦克斯韦方程组，我们会发现电和磁不是对称的。

如果我们向方程中添加磁荷这样的东西，也可以在这些方程之间具有对称性。

物理学家默里·盖尔曼说：“所有不被禁止的都是强制性的。

”这意味着如果物理理论的数学允许它的存在，那么它就存在于自然界中。

麦克斯韦方程中没有任何东西真正表明磁单极子不存在，除了麦克斯韦将磁荷设为零这一事实，因为他不相信它存在。

但原则上磁单极子可以存在，至少根据经典理论。

Maxwell 方程组边界条件的简单研究按照作业附加题上的要求进行运算，结果的确很简单明了根据作业题1.10和1.11的结果对于自由电荷在一定厚度的球壳中均匀分布的情况，其电场满足下面的条件：13f 112333f 212300 r R R = 1 R r R 3r R R R r 3r ρερε⎧⎫⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪-<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫-⎪⎪< ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭E r r 13f 112333f 21230 r R R = 1 R r R 3r R R R r 3r ρρ⎧⎫⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪-<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫-⎪⎪< ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭D r r 这里对E-r 关系简单分析就会发现，E 场始终沿径向，而且是球对称的。

所以不论如何，E 场沿切向的分量始终是0。

所以有()⨯-=⨯=⨯=n 12n 1n 2e E E e E e E 0而D 场的径向分量很明显是连续的。

当球壳的内半径增大到与外半径相等时，D 场不再连续，有：=1D 01222112212f 2R R 222f 22f 4π(R +R R +R )(R R )3lim 4πR r 4πR R 4πR r R r rd d ρρρσ→-====2r D r r r这里D 场满足边界条件()σσ-=-=n 12n r e D D e e ，这里=-n r e e在半径减小的过程中，D 场大小与R2的关系如下面的flash ：随R1的增大D 场大小的变化规律同样，对于磁场，我们利用一定厚度的无限长介质管壳，其中均匀分布沿无限长方向的电流。

结果有： 12112222021220 r R R = 1 R r R 2r R R R r 2r μμ⎧⎫⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪-⨯<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫-⎪⎪⨯< ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭B j r j r1211222221220 r R R 1 = 1 R r R 2r R R 1 R r 2r ⎧⎫⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪-⨯<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫-⎪⎪⨯< ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭H j r j r这里，B 场一直垂直于切面方向，所以有()2-===n 12n 1n e B B e B e B 0对于H 场的切向分量，在R1不等于R2的时候是连续的。

maxwell中boundaries and excitations -回复题目：Maxwell中的边界与激发导言：Maxwell方程组是描述电磁现象的基本物理定律，它们由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。

其中，边界条件与激发是研究电磁波传播和电磁场变化的关键问题。

本文将以Maxwell方程组中的边界条件和激发为主题，一步一步回答这两个问题。

一、边界条件（Boundaries）：边界条件是指电磁波传播或电磁场变化在介质界面上的行为。

根据Maxwell方程组，边界条件可以被量化为电场与磁场的连续性和法向分量的跃进关系。

1. 电场的连续性：在介质界面上，电场的切向分量可以不连续，但电场的法向分量必须连续。

这意味着，介质界面上的电场在跨越界面时会有突变。

2. 磁场的连续性：与电场类似，介质界面上的磁场的切向分量可以不连续，但磁场的法向分量必须连续。

这意味着，介质界面上的磁场在跨越界面时会有突变。

3. 法向分量的跃进关系：介质界面上的电场与磁场的法向分量之间存在一个跃进关系。

具体而言，电场法向分量的跃进值等于自由电荷面密度与介质内部电流密度之和与自由电流面密度之比。

而磁场法向分量的跃进值则等于介质内部电荷密度与自由电流面密度之和与介质内部电流密度之比。

通过以上三个条件，我们可以描述介质界面上电场和磁场的行为。

这些边界条件在求解电磁波方程时是非常重要的。

二、激发（Excitations）：激发是指在Maxwell方程组中引入新的电流或电荷项，导致电磁场的时空变化。

有两种常见的激发方式：电流激发和电荷激发。

1. 电流激发：电流激发是指通过引入电流分布来改变电磁场的时空变化。

具体而言，我们可以通过在给定区域内施加电流源来激发电磁场的变化。

这可以通过引入电源的电流密度项来完成。

2. 电荷激发：电荷激发是指通过引入电荷分布来改变电磁场的时空变化。

类似于电流激发，我们可以通过在给定区域内引入电荷源来激发电磁场的变化。

假设点磁荷存在时的maxwell方程组
在有宏观磁荷的情况下，maxwell方程组可以描述磁力学统计问题。

它由四个部分组成，即：
1. *守恒定律:* 在Minkowski空间中，任意时刻任意空间点上的磁场的跨矢量和电荷密度之和与无量纲系数ε0相乘为零。

2. *Ampere定律：*在Minkowski空间中，任意时刻任意空间点上的磁感应密度和无量纲系数μ0乘以电流密度之和为零。

3. *Faraday定律：* 在Minkowski空间中，任意时刻任意空间的特定的点上，电场的跨矢量改变率与无量纲系数μ0乘以磁场强度之和相等。

4. *Gauss定律：* 在Minkowski空间中，任意时刻任意空间的特定的点上的电荷密度的跨矢量与无量纲系数ε0乘电场强度之和相等。

Maxwell方程组是磁力学及电磁学领域最常用的一组方程，它可以用来求解特定条件下磁场、电场和电流的关系。

它描述了从一致电荷分布引起的电磁现象以及宏观磁荷的影响。

这是一组非常重要的物理学方程，是理解和分析电磁效应的基础，正是由于它的重要性，它得到了广泛的研究和应用。