5-3 高斯定理及其应用(1)

静电场中的高斯定理及其应用1高斯定理高斯定理（Gauss’s Law）是物理学中最重要的电荷定律之一，由19世纪哥本哈根学家卡尔·马克斯·高斯于18日本宣言1877年提出。

高斯定理对于理解静电场非常重要，它实际上是一条关系电荷密度和电场的定律，用一般的话来说，它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况。

它可以被表达为：“定积分表示的电荷密度的体积积分等于其相应的电场大小的表面积积分”关于高斯定理的精确表达可以表达为：（$\vec{E}·da=\rho·dv$）2应用电荷分布情况下的静电场等电势及电荷等强场的计算应用高斯定理。

其中，电荷分布情况下的静电场的计算是最常见的应用，用来计算空间电场的大小和方向。

具体的做法是选择一个闭合的表面，在此表面上应用高斯定理：（$\oint\vec{E}.da=\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$）其中，q enclosed是这个表面内封闭的电荷，而$\epsilon_0$是真空介电常数。

由此可以求出该表面上电场的大小及方向。

除此之外，高斯定理也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。

由高斯定理，可以得到：（$\oint\vec{E}·da=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho·dv$）可以从该等式中看出，积分的表面的表面积积分是由内部的体积积分而产生的，这也就是所谓的电荷等强场原理。

因此，如果电荷的分布情况已经确定，则可以依据上述的高斯定理来求出电荷密度的大小和方向分布情况。

3结论总而言之，高斯定理是物理学中最重要的电荷定律之一，对于理解静电场非常重要。

它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况，也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。

因此，高斯定理有着重要的应用价值。

高斯括号原理及其应用高斯括号原理与应用：一、高斯拆号原理1、什么是高斯拆号原理高斯拆号原理（Gauss's Bracket Principle）是一种由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1812年发明的数学原理，它可以求出在拆号运算中，具有相同系数和次方项的多项式间的和。

2、高斯拆号原理的极简表达高斯拆号原理极简表达可以分为两部分：（1）同指数相加：a^m + b^m = (a + b)^m（2）同分母相加：(a/b)+(c/b)=(a+c)/b3、高斯拆号原理的推导高斯拆号原理的推导建立在高斯定理和二次代数上，分步骤如下：（1）把常数项和次幂项分开：a^m + b^m = (a + b)m + 0;（2）用高斯定理把多次项展开：a^m + b^m = m(a+b) + m(m-1)(ab)/2; （3）用二次代数把展开式整理：a^m + b^m = (a + b)^m.二、高斯拆号原理的应用1、通过简单的拆号运算求解多项式间的和高斯拆号原理可以简化多次项的拆号运算，减少大量的计算量，且结果更准确，如：(1) 2x^2 + 6x + 2 + 5x^2 + 11x + 5 ==> 7x^2 + 17x + 7(2) (1/4a^2 + 5/4a + 1/2)(1/2a + 1/4) ==> 1/8a^3 + 3/8a^2 + 1/4a + 1/82、多项式拆分运算高斯拆号原理也可以用来拆分一个多项式，例如展开（2x+3）（5x-1）可以用（2x）（5x）+（2x）（-1）+（3）（5x）+（3）（-1）的形式来表示，这样可以更容易求出各个项的值。

3、线性代数中的应用在线性代数中，高斯拆号原理也可以被用于求解向量的线性组合，例如，如果有三个不同的向量u、v、w，那么它们的线性组合可以表示为：u + 2v + 3w = (u + v + w) + (v + w).4、常用公式的推导高斯拆号原理可以用来推导一些有用的公式，例如多项式展开公式：（a+b）^n = a^n + n*a^(n-1)*b+...+b^n，也可以用于计算一些有用的定积分，甚至可以用于立体几何面积的求取。

三 等势面 电势梯度1 等势面电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面。

为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等。

特点：（1） 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功为零；0d )(00=⋅=-=⎰b ab a ab l E q V V q W （2）在静电场中，电场强度E 总是与等势面垂直的，即电力线是和等势面正交的曲线簇；0d 0=⋅=⎰b aab l E q W l d E ⊥（3） 等势面密的地方电场强度强。

2 电场强度与电势梯度θcos l E lE V V U A B AB ∆=∆⋅=--= ）（lV E l E V l l ∆∆-=∆=∆-， l V l V E l l d d lim 0-=∆∆-=→∆ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂-=∂∂-=z V E y V E x V E z y x ，V E -∇= ，k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ nn d d l V E -= n nd de l V E -= 物理意义（1） 空间某点电场强度的大小取决于该点邻域内电势V 的空间变化率；（2） 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。

求E 的三种方法(1) 电场强度叠加原理；(2) 高斯定理；(3) V E -∇=3 电力线和等势面的关系（1） 电力线与等势面处处正交；（等势面上移动电荷，电场力不做功）（2） 等势面密处电场强度大；等势面疏处电场强度小。

问题：（1） 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？（2） 0=V 的地方，0=E 吗 ？（3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上E 一定相等吗 ？例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。

解：21220)( π4R x qV +=ε[]2322021220)( π4)( π4R x qxR x x qx V E x +=+∂∂-=∂∂-=-εε0=∂∂-=y VE y0=∂∂-=z VE z例2 求电偶极子电场中任意一点P 的电势和电场强度。

第五章 静电场 思考题5-1 根据点电荷的场强公式241rq E ⋅=πε，当所考察的点与点电荷的距离0→r 时，则场强∞→E ，这是没有物理意义的。

对这个问题该如何解释？ 答:当时,对于所考察点来说,q 已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用.5-2 0q F E =与02041r rq E ⋅=πε两公式有什么区别和联系？ 答：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电场分布。

静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。

5-3 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，是否能肯定面S 上每一点的场强都等于零？答：不能。

通过闭合面S 的电通量e Φ为零，即0=⋅⎰SS d E，只是说明穿入、穿出闭合面S的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。

只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S 上每一点的场强都等于零。

5-4 如果在闭合面S 上，E处处为零，能否肯定些闭合面一定没有包围净电荷？答：能肯定。

由高斯定理∑⎰=⋅内q S d E S1ε ，E 处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和0=∑内q ，即此封闭面一定没有包围净电荷。

但不能保证面内各局部空间无净电荷。

必然，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E 处处为零0=∑内q ，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。

5-5 电场强度的环流⎰⋅ll d E 表示什么物理意义？0=⋅⎰ll d E表示静电场具有怎样的性质？答：？（自己解答的）电场强度的环流⎰⋅ll d E说明静电力是保守力，静电场是保守力场。

0=⋅⎰l l d E表示静电场的电场线不能闭合。

如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路，由于回路上各点沿环路切向，得⎰≠⋅Ll d E 0，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。

第三章 静电场 自学练习题一、选择题：5-1．电荷面密度均为+σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图放置，其周围空间各点电场强度E（设向右为正）随位置坐标x 变化的关系为：（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【提示：带σ的 “无限大”均匀带电平板在其空间产生的场强为0/2σε，则两块平板之间的场强为零，外面为0/σε】5-2．下列说法正确的是：（ ）（A ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷； （B ）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零；（C ）闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点电场强度必定为零； （D ）闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零。

【提示：用01SEdS qε=∑⎰⎰判断】5-3．下列说法正确的是：（ ）（A ）电场强度为零的点，电势也一定为零；（B ）电场强度不为零的点，电势也一定不为零；（C ）电势为零的点，电场强度也一定为零；（D ）电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零。

【提示：电场等于电势梯度的负值为场强】5--1．两块金属板的面积均为S ，相距为d （d 很小），分别带电荷q +与q -，两板为真空，则两板之间的作用力为：（ ）（A ）202q F S ε=； （B ）20q F Sε=； （C ）2204q F dπε=； （D ）2208q F dπε=。

【提示：带σ的 “无限大”均匀带电平板在其空间产生的场强为0/2σε，则另一板受到的力为0/2q σε⋅，即22q F Sε=】5--2．有一电场强度为E 的均匀电场，的方向与行，则穿过如图所示的半球面的电通量为：（ ）（A ）2R E π； （B ）212R E π； （C ）22R E π； （D ）0。

【提示：穿入半球面的电通量与穿出的电通量相等，所以穿过半球面的电通量为零】5--3． 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ ）（A ）如果高斯面上E处处为零，则该高斯面内必无电荷；（B ）如果穿过高斯面上电通量为零，则该高斯面上的电场强度一定处处为零；（C ）如果高斯面内有净电荷，则通过该高斯面的电通量必不为零；（D ）高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷提供。

高斯定理第四讲教学目的和教学要求1、掌握电通量的概念；2、掌握高斯定理；3、掌握高斯定理的应用。

重点和难点重点：高斯定理及其应用；难点：电通量的概念，应用高斯定理求场强。

主要教学方法讲授法，ppt演示学时2学时第四节高斯定理定义了电场强度，计算了部分带电体的电场的分布，那么电场具有什么样的性质是我们应该深入研究的。

高斯定理从一个侧面描述了电场的性质，它是以库仑定律和静电力的叠加原理为基础导出的一个通量定理。

下面首先引入电通量的概念。

1、通量在流体力学中，我们引入了流量（即通过任意曲面的通量）的概念；在速度矢量场中，取面元dS，以表示其法向的单位矢量，则通过dS的流量为：dφ=VdScosθ=dS （θ为V与n的夹角）积分可求得通过任意有限曲面S的流量。

通量的概念可以推广到任意矢量场，因此我们可以引入电场强度的通量，称为电通量。

均匀电场对垂直有向面元的电通量均匀电场对非垂直有向面元的电通量（θ为与的夹角）对任意曲面S的电通量为:对闭合曲面S的电通量为：注：立体角的概念：面元dS对一点所张的立体角为:闭合面S对其内任一点所张的立体角等于以该点为球心的球面所张的立体角。

即：2、高斯定理是描述电场强度对任意闭合曲面的通量等于什么的基本定理，或叫通量定理，是静电场的基本方程之一。

定理内容：静电场的电场强度对任意闭合曲面的通量等面内所包含的电量的代数和除以ε0。

数学表示：证明：（板书推导）3、高斯定理的应用一------求对称电荷分布的场强分布球对称的电场分布；面对称的电场分布；轴对称的电场分布；利用高斯定理的解题步骤１、对称分析；２、选择合适的高斯面；要求面上场强处处相等或分片相等或与面垂直，以便将E提到积分号外；要求场强与面的法线的夹角处处相等或分片相等，以便将cosθ提到积分号外；要求高斯面应是简单的几何面，以便计算面积；求高斯定理等式左端的通量；求高斯定理等式右端的面内总电荷；３、利用高斯定理求电场分布。