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学习目标 1.了解三种函数的增长特征。
2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。
(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。
3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》课表解读教材分析本节是北师大版必修第一册第四章第四节，是在学习了指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质的基础上研究的通过对指数函数、幂函数、对数函数的图象的学习，学生对这三类函数的增长趋势有了一定的认识与了解，这一节的主要内容是比较三类函数的增长情况通过具体函数的比较，推广出一般结论，要比较的是三类函数，教材是通过两两比较实现的，结论是指数函数增长最快，对数函数增长最慢，幂函数居两者之间，于是教材就用幂函数分别与对数函数和指数函数进行比较.教材精选了具体函数，注意到两点：一是容易计算函数值；二是考虑幂函数比对数函数增长快时，让幂函数的指数明显小于对数函数的底数，于是取12y x =和2log y x =，而在考虑幂函数比指数函数增长慢时，让幂函数的指数明显大于指数函数的底数，于是取100y x =和2x y =.本节教材内容还有以下两个特点：（1）让一般结论得到落实.教材在分析了表44-和表45-之后就分别得出了般的结论，是不是还显得草率，一个例子不足以说明问题？教材通过“思考交流”栏目，让学生对一般结论说明理由，同时，还通过比较一组函数（对数函数、一次函数、指数函数）的增长速度加深印象.这组函数的图象实际上就是教材在研究对数函数的图象时，利用反函数思想得出的图45-，其中一次函数y x =的图象是另两个图象的对称轴.（2）借助直观实现比较.一说到直观，人们首先想到的是图形，但是，这里利用图形不太适合，因为增长的比较说的是自变量充分大时的情况，不易在同一个平面直角坐标系中画出自变量充分大时的这三类函数的图象，哪怕两个也不容易画出，于是，教材选择了另一种直观数表，通过观察自变量充分大后不同函数值的大小关系和变化趋势来感受不同函数的增长.高考中主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长差异及应用.本节内容涉及的数学核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等.教学建议1.课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、从特殊到一般的原则.教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉.2.教学时需要明确“增长”的两点含义，第一点是：增长的快慢实际上是函数的变化率（也就是后期学的导数的大小，用平均变化率描述），第二点是：这里比较的是当自变量充分大时的情况，.自变量比较小时，比较增长没有意义，当自变量充分大时，增长的快慢在数学上是很重要的，如算法的步骤如果是指数阶的，基本上在计算机上是不可行的这里比较出来的增长结论可能不适用于自变量较小时的情况，如x 分别取2和5时，指数函数2x y =的函数值分别是4和32，幂函数100y x =的函数值分别是301.267650610⨯和697.88860905210⨯，显然在区间(2,5)上，幂函数比指数函数增长得快人们日常画出的（看到的）三类函数的草图一般都没有表示出自变量充分大时的情况，这是值得在教学中注意的.3.要学习比较的方法教材给出的方法是一般的方法，每次都是两个函数进行比较，让中间量分别比较另外的量，即比较出了a b b c <<，，就有a b c <<成立.4.感受直观的作用.直观的方法有多种，通过分析或实验，选择合适的直观方法，使学生能直观地看出结论，积累直观方法的过程也是学生数学思维得到发展的过程.5.通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供学数学、用数学的机会，体现发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念.学科核心素养目标与素养1.认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，达到直观想象核心素养水平二的要求.2.通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小（快慢）的经验，达到逻辑推理核心素养水平二的要求.情境与问题本案例先通过“杰米和韦伯的故事”，设计问题引人课题，能够极大地激发学生学习的兴趣和热情；然后通过复习回顾学习过的指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质，为学习本节课的新知识做好充分的准备.内容与节点指数函数、幂函数、对数函数增长的比较是在我们研究了这三类函数的图象与性质的基础上，来研究这三类函数的增长差异，为这三类函数的应用做准备，是前面知识的延续与发展，也是我们今后如何选择这三类函数模型描述现实生活中实际问题的基础.过程与方法利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；结合实例体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等不同函数类型增长的含义，能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点难点重点三类函数增长情况的结论，函数增长快慢比较的常用方法.难点通过数据分析表述函数增长快慢的理由.。
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案1. 教学目标•了解指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的应用。
2. 教学重点和难点2.1 教学重点•指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法。
2.2 教学难点•对数函数的性质和增长速度比较；•指数函数和幂函数的增长速度比较。
3. 教学内容及方法3.1 指数函数的基本性质1.指数函数的定义；2.指数函数的图像和性质；3.指数函数的增长速度及其比较方法；4.指数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.2 幂函数的基本性质1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质；3.幂函数的增长速度及其比较方法；4.幂函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.3 对数函数的基本性质1.对数函数的定义；2.对数函数的图像和性质；3.对数函数的增长速度及其比较方法；4.对数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.4 比较指数函数、幂函数、对数函数的增长速度1.指数函数和幂函数的比较；2.对数函数的增长速度比较。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.5 应用综合运用指数函数、幂函数、对数函数的特性，解决实际问题。
教学方法：案例分析和讨论。
4. 教学资源教材：北师大版高中数学必修第一册（2019版）5. 教学步骤及时间安排5.1 第一课时（40分钟）课时内容：指数函数的基本性质1.讲解指数函数的定义及性质（10分钟）；2.演示指数函数的图像和性质（10分钟）；3.练习指数函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍指数函数的应用（5分钟）。
5.2 第二课时（40分钟）课时内容：幂函数的基本性质1.讲解幂函数的定义及性质（10分钟）；2.演示幂函数的图像和性质（10分钟）；3.练习幂函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍幂函数的应用（5分钟）。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y35305580105130155 y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：x 12345678910 2x248163264128256512 1 024 x2149162536496481100 2x＋79111315171921232527 log2x 01 1.585 02 2.321 9 2.585 0 2.807 43 3.169 9 3.321 9试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数累积收益方案1234567891011…一4080120160200240280320360400440…二103060100150210280360450550660…三0.4 1.2 2.8612.425.250.8102204.4409.2818.8…∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t 50110250种植成本Q 150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系；Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252； (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快 答案：C 2．下列所给函数，增长最快的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x 答案：C4．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )＝3x的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x ) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m ，从2013年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，∴q %＝0.9150，∴x 年后湖水量y ＝m ·(q %)x＝m ·0.9x 50.答案：y ＝0.9x 50·m 6．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x ；(2)当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )．一、选择题1．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A ．y ＝10x B ．y ＝lg x C ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1.综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？ 解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)．所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此 f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x . 所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：x 123456789102x248163264128256512 1 024x21491625364964811002x＋79111315171921232527log2x 01 1.585 02 2.321 9 2.585 0 2.807 43 3.169 9 3.321 9 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数累积收益1234567891011…方案一4080120160200240280320360400440…二103060100150210280360450550660…三0.4 1.2 2.8612.425.250.8102204.4409.2818.…8∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 50 110 250 种植成本Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系； Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252； (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg. 若x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1. 当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快 答案：C 2．下列所给函数，增长最快的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x 答案：C4．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x 的图像，如图所示， 由于函数f (x )＝3x 的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m ，从2013年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，∴q %＝0.9150，∴x 年后湖水量y ＝m ·(q %)x＝m ·0.9x 50.答案：y ＝0.9x 50·m 6．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x ；(2)当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )． 一、选择题1．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A ．y ＝10x B ．y ＝lg x C ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1.综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求； 对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)， 由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x . 所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
