2018届湖南省长沙市高三月考数学(理)试卷Word版含答案
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2018届湖南省长沙市高三月考数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足()3412i z i -=+，则z 的共轭复数是 A. 1255i -
- B. 1255i -+ C. 1255i + D. 1255
i - 2.已知集合{}{}
2|430,|21x
A x x x
B x =++>=<，则A B =
A. []3,1--
B. (][),31,0-∞--
C. ()(],31,0-∞--
D. (),0-∞ 3.下列命题中，为真命题的是 A. 0x R ∃∈使得0
0x e ≤
B. ()1
sin 2,,sin x x k k z x
π+
≥≠∈ C. 2,2x x R x ∀∈>
D. 若命题0x R ∃∈使得200100x x -+<≤，则:p ⌝0x R ∀∈使得
200100x x -+<>
4.在ABC ∆中，""A B C <<是"cos 2cos 2cos 2"A B C >>的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图是用模拟方法估计圆周率π值得程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入
A. 2000M P =
B. 42000M
P = C. 2000N P = D. 42000
N
P =
6.将甲桶中a 升水慢慢注入空桶乙中，tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线mt
y ae =，假设5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再经过mmin 甲桶中的水只有4
a
升，则m 的值为 A. 5 B. 8 C. 9 D. 10
7.已知函数()()()sin ,0,
cos ,0,
x x f x x x αβ+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是
A. ,4
4
π
π
αβ=
=
B. 2,36ππαβ=
= C. ,36ππαβ== D. 53,63
ππαβ== 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面
体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为 A. 8π B.
252π C. 12π D. 414
π
9.已知P
是ABC ∆所在平面内一点，20PB PC PA ++=。
现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在内PBC ∆的概率是
A. 23
B. 12
C. 13
D. 14
10.设实数,x y 满足20,
250,20,
x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨
⎪-≤⎩
，则y x
z x y =-的取值范围是
A. 33,32⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
B. 31,3
2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
C. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D. 13,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为
12,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为
P ，12,PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角
形，若110PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是 A. 1,9⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B.1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D. ()0,+∞ 12.已知实数
()()
,0,lg ,0,x
e x
f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于
x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不等
的实根，则t 的取值范围是
A. (],2-∞-
B. [)1,+∞
C. []2,1-
D. (][),21,-∞-+∞
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设20
10sin n xdx π
=⎰
，则n
展开式中的常数为 （用数字作答）.
14.已知向量,a b
满足()
2,3a a b a =⋅-=- ，则向量b 在a 方向上的投影的数量为 .
15.若函数()()10,0ax
f x e a b b
=->>的图像在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是 .
16.数列{}n a 满足113a =，对任意n N *∈，2
1n n n a a a +=+，则2016
111
i n a =+∑的整数部分是 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, ()sin cos .a b C C =+ (1)求角B 的大小； (2) 若2
A π
=
，D 为ABC ∆外的一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC 的面积的最大值.
18.（本小题满分12分）
为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人. (1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关；
(2)用上述数据样本估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数是X ，若每次抽取的结果是独立的，求X 的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=
,腰长为2，D,E 分别是AB,BC 的中点，将BDE ∆沿DE 翻折，得到四棱锥B-ADEC ，且F 为棱BC
的中点，BA =.
(1)求证：EF ⊥平面BAC ；
(2)) 在线段AD 上是否存在一点Q,使得AF//平面BEQ?若存在，求二面角Q-BE-A 的余弦值，若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
如图，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，x 轴被曲线
22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.
(1)求1C 的方程
(2)) 设2C 与y 轴交于点M ，过坐标原点O 的直线l 与相交于点A,B ，直线MA,MB 分别于相交于D,E.
（ⅰ）证明：MD ⊥ME;
（ⅱ）记,MAB MDE ∆∆的面积分别为12,S S ，是否存在直线l 使得1217
32
S S =？若存在，
求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数()()()22ln ,2ln ,ln20.693.f x m x x g x ex m x m R =-=-∈= (1)讨论()f x 的单调性；
(2))若()f x 的最大值为M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：.2
e m >. 请考生从第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1,1,
2
x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
圆C 的极坐标方程为4sin .6πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
(1) 求圆C 的直角坐标方程；
(2))若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫
≤- ⎪⎝
⎭
的公共点，求u y +的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()236f x x ax =-+-（a 为常数，a R ∈）. (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）如果函数()y f x =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围.。
