矩形及其性质

矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

矩形的性质及应用矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和广泛的应用。

本文将介绍矩形的性质及其在日常生活和工程领域中的应用。

一、矩形的定义和性质矩形是一种四边形，具有以下性质：1. 边长相等：矩形的对边两两相等，即AB = CD，BC = AD。

2. 对角线相等：矩形的对角线相等，即AC = BD。

3. 内角为直角：矩形的四个内角均为直角（90度角），即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

4. 互相平行：矩形的对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。

5. 对边垂直：矩形的对边互相垂直，即AB⊥BC，AD⊥DC。

二、矩形的应用1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常用的几何形状之一。

例如，在房屋平面设计中，矩形可以表示房间的墙壁，屋顶的平面形状等。

使用矩形结构可以简化建筑设计过程，使结构更稳定。

2. 产品设计：许多产品的外观设计都使用了矩形的形状。

例如，电视、手机、书桌等产品的外形通常是矩形，因为矩形有较大的空间利用率和良好的稳定性，便于制造和使用。

3. 数学推导：矩形的性质在数学推导中经常被应用。

例如，利用矩形的对角线相等性质，可以推导出勾股定理；利用矩形的内角为直角性质，可以推导出平行线之间的角度关系等。

4. 图像处理：在图像处理和计算机图形学中，矩形常被用作图像的基本单元。

图像可以被划分成一个个矩形像素块，利用矩形的性质和坐标系统进行处理和显示。

5. 地理测量：在地理测量中，矩形常被用来表示土地的边界、建筑物的平面布局等。

通过测量矩形的边长和角度，可以计算土地的面积和建筑物的体积。

6. 电路布局：在电路设计中，矩形的形状可以用来表示电路板的外形和内部布局。

矩形的边界可以作为电路板的导线和器件的连接点，方便电路布线和组装。

7. 几何推理：利用矩形的性质，可以进行一些几何推理和证明。

例如，通过对矩形的两个对角线进行分析，可以证明一个四边形是矩形。

三、总结矩形是一种重要的几何形状，具有明确的性质和广泛的应用。

矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。

求证：ABE ∆≌CDF ∆。

【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。

【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。

FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。

求证：四边形ADCE 是矩形。

【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。

ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。

自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 20；B. ；C. ；D. 25．例2．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．例3．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积例4．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__________ ．第2页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．3．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．4．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为__________ ．第3页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．【错题精练】例1．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线与点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50∘，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．例2．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．第4页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．2．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．1．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）第5页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）4．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A、B，过线段AB的中点作CD平行于MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C、D．求证：四边形ACBD是矩形．5．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB．求证：▱ABCD是矩形．6．下列说法中，错误的是（）第6页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形第7页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。

矩形定义及性质(教案)第一章：矩形的定义1.1 引入矩形的概念通过实物展示，如门窗、书籍等，让学生感受到矩形的实际应用。

引导学生思考矩形的特征，如四个角都是直角，四条边都相等等。

1.2 矩形的符号表示解释矩形的符号表示方法，例如矩形ABCD，其中A、B、C、D分别表示矩形的四个顶点。

强调矩形的顶点顺序，例如顺时针或逆时针排列。

1.3 矩形的性质强调矩形的四个角都是直角，即每个角的度数为90度。

说明矩形的对边平行且相等，即AD平行于BC，AB平行于CD，并且AD = BC，AB = CD。

第二章：矩形的对角线2.1 矩形的对角线定义解释矩形的对角线是指连接矩形相对顶点的线段。

强调对角线的长度相等，即AC = BD。

2.2 矩形的对角线性质说明对角线互相平分，即对角线相交的点O是对角线的中点，即AO = CO，BO = DO。

引导学生通过画图或几何证明来验证对角线的性质。

第三章：矩形的面积3.1 矩形的面积定义解释矩形的面积是指矩形内部的所有点构成的区域的大小。

强调矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积来计算，即面积= length ×width。

3.2 矩形的面积性质说明矩形的面积不受形状变化的影响，即无论如何旋转或翻转矩形，其面积保持不变。

引导学生通过实际例子或几何证明来验证矩形的面积性质。

第四章：矩形的周长4.1 矩形的周长定义解释矩形的周长是指矩形四条边的长度之和。

强调矩形的周长可以通过将长和宽相加后乘以2来计算，即周长= (length + width) ×2。

4.2 矩形的周长性质说明矩形的周长不受形状变化的影响，即无论如何旋转或翻转矩形，其周长保持不变。

引导学生通过实际例子或几何证明来验证矩形的周长性质。

第五章：矩形的实际应用5.1 矩形在日常生活中的应用举例说明矩形在建筑设计、家具设计、电子产品设计等方面的应用。

引导学生思考矩形形状的特点如何满足实际需求。

5.2 矩形的数学应用解释矩形在数学问题中的重要性，例如计算矩形区域的面积、周长等。

矩形性质[五篇范文]第一篇：矩形性质矩形性质：1.矩形的四个角都是直角2.矩形的对角线相等且互相平分3.对边相等且平行4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等5.矩形是轴对称图形，对称轴是任何一组对边中点的连线矩形判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.有三个角是直角的四边形是矩形4.四个内角都相等的四边形为矩形5.关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6.对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

矩形的中点四边形是菱形。

菱形性质对角线互相垂直且平分；四条边都相等；对角相等,邻角互补；每条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线判定一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四边相等的四边形是菱形关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形。

第二篇：矩形的性质的教学反思数学学习应体现以教师为主导、以学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。

在教学“矩形的性质” 一课时反思如下：1、手脑并用，走进课堂以“一个活动的平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了合本质相关的认知结构，取得了良好的教学效果。

2、探索理解。

平行四边形变形为矩形的过程的演示；同时举例生活中给人以矩形形象物体；给学生一个感性认知。

学生画矩形；学生探究矩形性质时通过学生主动观察、猜想、测量、交流、归纳、并验证等数学活动；从而使学生形成对矩形的性质的理解和有效的学习策略，引导学生利用实验由特殊到一般认识的对矩形的性质研究，得出结论，并让所有的学生用推理的形式给以证明。