线性代数期末测验（电气1206-1210）
1、尽可能多的给出方阵A 可逆的充要条件。
2、求三阶对称阵X ，使其满足3
2X X A +=，其中022210201A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
3、已知线性方程组12341234
12341234231,
363,3153,51012.
x x x x x x x x x x ax x x x x x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩问a 和b 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多
解？在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。
4、设向量组()()
()()12341,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,2,2,0,T
T
T T
αααα=-===-（
1）则由向量组生成的向量空间W 的维数为多少？试找出W 的一组基？（2）向量()2,1,5,10T
b =是否在W 内，若在请写出在所找基下的坐标，若不在请说明理由？（3）能否找到另外的正交向量组12,,ββ使其与W 内所有向量
均正交？
5、已知111110100000000,001,000,011000000000011A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，问：哪些矩阵是等价的？哪些矩阵相似？哪些合同？并说明理由。
6、n 阶方阵A 的每个元素均为非负，且每行元素之和为1，证明A 的所有特征值均在[1,1]-之间。
7、设111,()211a A a b R A b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
为A 的特征向量，求正交阵Q 使T
Q AQ =Λ。
123111212323123,,,0,,,
,,n n
A n A A A ααααααααααααααα⨯∈
≠==+=+8、设是维列向量，且， 试证明：线性无关。
9、证明满足3
2
224A A A E -+=的实对称矩阵A 是正定阵。
10..红绿色盲基因是一种隐性的位于X 染色体上的伴性基因。
为给出一个描述给定的人群中色盲的数学模型，需要将人群分为两类――男性和女性.令00,x y 分别为男性与女性中有色盲基因的比例，由于男性从母亲处获得一个X 染色体,且不从父亲处获得X 染色体,所以下一代的男性中色盲的比例1x 将和上一代的女性中含有
隐性色盲基因的比例相同.由于女性从双亲处分别得到一个X 染色体,所以下一代女性中含有隐形基因的比例
1y 将为0x 和0y 的平均值,写出第n 代男性和女性中色盲的比例, 并分析变化趋势。
参考答案
一、1.0A ≠；2.A 满秩；3.0AX =只有零解；4.AX b =有唯一解；5.所有特征值不为零；6.T
AA 为正定
阵；7.和单位阵等价；8.可表示为有限个初等阵的乘积；等等。
二、正交阵12
212123221Q ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
-⎝⎭，可使(0,3,3)T Q AQ diag =-，从而(0,1,1)T Q XQ diag =-，所以
00221121031201T X Q Q -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
三、1. 2a ≠时，方程组有唯一解；
2. 2,1a b =≠时，方程组无解；
3. 2,1a b ==时，方程组有无穷多解。
通解为8032,0120X c c R -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
四、1. W 为三维空间，第四个向量加上其它任两个向量都可以构成W 的一组基；
2. 以124,,ααα为基时，()2,1,5,10T
b =在基下的坐标为(2,1,0)，即122b αα=+;
3. 向量284101c -⎛⎫ ⎪
-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
可与W 空间内任一向量正交。
五、1.秩相同的矩阵是等价的，即,,A C D 等价；
2.特征值不同的阵一定不会相似，,,A B C 有相同的特征值：1,0,0，而D 的特征值为2,0,0。
但由于A 可以对角化，但B 不可以，故只,A C 是相似的；
3.合同一定会有相同的秩，并且对称阵只会与对称阵合同，不对称阵只会与不对称阵合同，由此可知CD 合同。
六、提示：可设特征向量的元素中最大值为M ，最小值为m 。
矩阵的每行与特征向量相乘时，用矩阵每行元素的性质可证明。
七、由110011111100a a a b b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知0,0a b ==，正交
阵0220100
2
2Q ⎛ ⎪
= ⎪ - ⎝⎭
，可使012T Q A Q ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭。
八、可用反证法。
先假设12,αα线性相关，设21k αα=，可用已知推出矛盾；同样再假设123,,ααα线性相关，3α可由12,αα线性表示，再用已知可推出矛盾。
九、存在正交Q 可使A 对角化，从而有：3232(22)224T Q A A A Q E -+=Λ-Λ+Λ=，于是A 的特征值（均为实数）必定满足：3
2
224λλλ-+=，即只可能2λ=，从而矩阵正定。
十、遗传的矩阵关系式为：11011/21/2n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，记为1n n U AU +=，则0n
n U A U =。
矩阵 1211P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可使1
1001/2P AP -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，从而
000011
0010000
(1)2()123(1)2()2n
n n n n n n x y x y U A U P P U x y x y --+⎛⎫-++- ⎪ ⎪==Λ=- ⎪++- ⎪⎝⎭
，000
021lim 23n x x y U x y →∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭即长期来看，男女所占比例趋于稳定，且相等。
