二次函数面积最大值

二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。

这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。

我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。

老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。

”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。

我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。

我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。

原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。

你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。

当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。

中考压轴题:二次函数中的面积问题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题课型一对一/一对N教学目标1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．重、难点割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

课首沟通1、上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？2、在初中学习二次函数过程中，是否还存在思维障碍和知识点？3、面对二次函数图象中的图形平移得到面积问题能不能自我总结出一般法则呢？知识导图导学一：二次函数中求面积的最值知识点讲解 1：直接公式法求解图形面积S△ = a ha d (d表示已知点到直线的距离)2、割补（和差）法以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：或S△ =3、平行线等积变换①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC= S△DBC，S△AOB =S△COD例 1. （2015潍坊中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2－x1＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．【学有所获】图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)(2)(3)[学有所获答案] (1) 直接公式求法(2) 割补法(3) 平行线等积变换法我爱展示1.（2014海珠一模）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE＝90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．2.（2015越秀期末考试）如图，已知抛物线y＝x2＋ax＋4a与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C且OB＝OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC的面积为，求点P的坐标；（3）若以A，B，C，P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个?导学二：二次函数中的图形平移、折叠问题知识点讲解 1：二次函数、一次函数图象平移法则将（）的图像如何平移到的图像。

《实际问题与二次函数》说课稿各位评委：你们好！很高兴有机会参加这次比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：实际问题与二次函数——最大值问题。

所用教材是人民教育出版社九年级上第22章第三节实际问题与二次函数，本节共需四课吋，面积最大是第一节，利润最大是第二节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：实际问题与二次函数也可以称作二次函数的应用，本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题乂是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题Z-,它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题、利润问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲解。

目的在于让学生通过掌握求最大值这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高小乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最人、利润最大、运动小的二次函数、综合应用四课时。

3 •学情及学法分析对九年级学生來说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最値，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，口的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标屮知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合木节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定木节课的教学目标如下：1•知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=3x? + bx + c QHO)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

二次函数中有关围成矩形面积的最大值问题的探究山东省莱芜市实验中学 张明 271100围成矩形面积的最大值问题，是二次函数应用中非常重要的一类问题，解决这类问题，往往要根据题目所提供的信息，把矩形的面积表示成关于矩形一边的二次函数，从而把实际问题转化成数学问题，归结为二次函数模型，再用二次函数的相关知识，使问题得以解决，在这一过程中，把矩形面积表示成矩形一边的二次函数是解决问题的关键，除此之外，把握已知信息，结合自变量的限制条件，数形结合，也是准确求解所必需的，下面结合实例加以说明。

类型一：用已知定长的线段围成矩形例1、有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S 与它的一边长x 之间的函数关系式？当x 为何值时，矩形面积S 取得最大值，最大值是多少？分析：这是一道常规题，只要把矩形的另一边用x 表示出来，矩形面积S 等于矩形两邻边之积，顺利得到关于x 的二次函数，从而得解。

解：矩形的另一边是 ()22603020,30003030303()0,030x S x x x x x x x x x x x ∴=-=->->∴-=-+=-+＜＜＜＜∴ 当30152(1)x =-=⨯- 时，S 最大=225()2cm 类型二：一边靠墙围矩形在围成矩形问题中，除了类型一，还有一种类型就是一边靠墙，只围另三边，这一类型中，有两个条件与类型一不同，一是围矩形的四条边改为只围三边；二是墙长作为一个限制条件影响自变量的取值范围。

抓住这两点就能准确求解。

例2、在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x （m ），花园的面积为y （2m ）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到2002m 吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：同例1一样，只要把矩形的另一边用x 表示出来，矩形面积S 等于矩形两邻边之积，顺利得到关于x 的二次函数，只是利用墙长作为一个限制条件求出自变量的取值范围。

二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。

其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。

这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。

三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。

对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。

四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。

设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。

五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。

例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。

首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。

然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。

二次函数中三角形面积最大值问题解法探究作者：***来源：《天津教育·下》2020年第09期【摘要】近年來，二次函数图象中以动点引起的三角形面积变化问题，因底或高的不确定性，往往不能直接利用三角形面积公式求解。

此类问题综合性强，灵活多变，给学生带来了解题困扰。

【关键词】二次函数;三角形面积;最大值中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：0493-2099（2020）27-0142-02【Abstract】In recent years， the problem of changes in the area of triangles caused by moving points in quadratic function images cannot often be solved directly using the triangle area formula due to the base or high uncertainty. This type of questions is comprehensive and flexible， and it causes problems for many students.【Keywords】Quadratic function; Triangle area; Maximum二次函数是初中数学知识体系中的重点和难点，它综合几何图形形成的综合题和探究题更是增加了学习的深度和广度，对学生的思维能力和学习能力提出了更高的要求，成了近年来中考的热点。

本文将以2016年湖南省某市数学中考第26题为例，就二次函数中三角形面积最大值问题的解题思路、方法与技巧进行探讨和归纳，供大家参考。

评析：割补法通过灵割、巧补化不规则图形为规则图形或化不规则图形为有利于面积表达的常规几何图形进行面积的推导和计算。

本题利用割补法求[△ABP]的面积，关键在于分割出有利用面积表达的[△ADP]和[△BDP]，利用其面积和减去[△ABD]的面积。

二次函数求面积最大值二次函数求面积最大值是高中数学中的经典问题，也是数学竞赛中常考的知识点之一。

本文将分步骤阐述二次函数求面积最大值的具体过程和数学原理。

一、二次函数的标准形式首先，我们需要了解二次函数的标准形式。

一般情况下，二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，y为因变量，a代表着开口向上或向下的程度，若a > 0，则开口向上，若a < 0，则开口向下。

b代表着抛物线在水平方向上的平移，c代表着抛物线的纵坐标值。

二、二次函数求解面积最大值的步骤接下来，我们来具体阐述二次函数求解面积最大值的步骤。

我们以y = -x² + 6x为例，来说明具体的求解过程。

步骤一：求解极值首先，我们需要求解二次函数的极值。

根据二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的导数为：y' = 2ax + b将二次函数y = -x² + 6x带入上式，可得到：y' = -2x + 6令导数y' = 0，则有：-2x + 6 = 0解得x = 3将x = 3代入原方程y = -x² + 6x中，可得到：y = -9因此，二次函数y = -x² + 6x在x = 3处达到极大值，极大值为-9。

步骤二：确定积分区间接下来，我们需要确定二次函数在哪个区间内积分。

由于二次函数的对称轴为x = -b / 2a，因此我们可以通过求解对称轴的坐标得到积分区间。

将二次函数y = -x² + 6x带入对称轴公式中，可得到：x = -6 / (-2) = 3因此，积分区间为[0, 3]。

步骤三：求解面积最大值最后，我们可以使用求定积分的方法来求解面积最大值。

将二次函数y = -x² + 6x代入定积分公式中，可得到：S = ∫[0, 3](-x² + 6x)dx= [-1 / 3 x³ + 3x²] [0, 3]= 9因此，二次函数y = -x² + 6x在[0, 3]区间内的面积最大值为9。